Histoires du zéro

Le zéro, question philosophique

"Lorsque, au treizième siècle, Fibonacci essaya d’expliquer à ses contemporains l’intérêt du zéro, l’Eglise jugea que cette innovation bouleversait trop de choses. Certains inquisiteurs estimèrent ce zéro diabolique. Il faut dire que s’il ajoutait de la puissance à certains chiffres, il ramenait à la nullité tous ceux qui tentaient de se faire multiplier par lui." Bernard Werber

Aussi bizarre que cela puisse paraître, il y a une grande distance entre la découverte des mathématiques et celle du zéro. Il a été découvert séparément par plusieurs civilisations, mais toujours très tardivement et difficilement par rapport au reste des mathématiques.

Le zéro nous semble un nombre comme les autres, quasiment même le plus simple d’entre eux, ce qui montre à quel point ce qui est enseigné ne nous aide pas à comprendre si une notion est intuitive ou ne l’est pas. En effet, la notion de zéro est très difficile à concevoir pour de nombreuses raisons qui n’ont rien de technique et sont philosophiques.

Le premier nombre que l’on conçoit n’est pas zéro, mais un puis deux, trois, quatre, les entiers, etc… Le zéro n’est nullement nécessaire pour concevoir les nombres entiers. Il n’est même pas indispensable aux nombres décimaux, même s’il va considérablement faciliter l’écriture des nombres entiers et décimaux et les calculs.

Mais, encore une fois, la question est profondément philosophique. Cela signifie que certains peuples, comme les Grecs, se poseront la question du zéro et le rejetteront pour des raisons liées à la validité du raisonnement sur le non-être. Ils affirmeront que n’existent que le un et le pluriel…

En effet, le zéro est une caractérisation de la non-existence.
Mais il convient d’abord de rappeler que les nombres n’existent pas dans la nature et qu’ils sont des libres créations conceptuelles des hommes. Un certain nombre d’auteurs semblent ignorer que les nombres sont des conceptions humaines et philosophiques et non des simples observations de la réalité… Personne n’a jamais vu un se promener devant lui. S’il admet l’unité, c’est par un choix intellectuel. En effet, si le un mathématique est toujours identique à lui-même, un objet n’est pas dans ce cas : il est toujours changeant et toujours différent d’un objet du même type. Deux jumeaux ne sont pas identiques et deux objets non plus, fussent-ils produits par la plus précise des industries, naturelle ou humaine.

L’égalité mathématique ne correspond pas à une identité que l’on trouverait par observation. Du coup, même le « un plus un égale deux » ne risque pas d’être une pure observation…

Un est bel et bien concept. C’est le premier existant.

Quant au zéro, il introduit donc la notion d’inexistant qui est loin d’être une notion évidente…

L’inexistant ne pouvant être considéré comme une chose, comment pourrait-on le nombrer ? Compter des êtres aussi imaginaires peut sembler totalement absurde.

Curieusement, la raison fondamentale de choisir de faire naître le zéro ou de ne pas le faire naître est donc parfaitement philosophique…
Si on examine quel peuple a inventé le zéro et à quel stade de sa civilisation, on en arrive à l’hypothèse qu’une question métaphysique est déterminante dans ce choix : l’existence (ou l’inexistence) de prédictions d’événements brutaux et discontinus conduit à choisir l’existence (ou l’inexistence) du zéro !!! Ce ne serait donc pas les progrès de la science (physique ou mathématique) qui auraient imposé l’invention du zéro, mais le développement de conceptions mystiques...

Expliquons cette remarque qui peut sembler très paradoxale à première vue.

Voyons d’abord en quoi la métaphysique peut pousser à faire naître un zéro. Tout d’abord, la réflexion sur le présent, le passé et même le futur sans discontinuité ne nécessite pas, du point de vue métaphysique, d’inventer le zéro. Sans rupture, les nombres entiers ou décimaux peuvent très bien figurer un tel développement. Par contre, si la civilisation envisage que l’histoire des hommes passe par des ruptures, des discontinuités de l’histoire, alors le zéro devient philosophiquement indispensable. En effet, la société passe par un moment où elle n’existe plus. Les philosophies de la disparition de l’univers nécessitent donc le zéro…

Les peuples qui ont trouvé le zéro prédisaient une disparition de l’univers et affirmaient que dans le passé l’univers avait connu aussi des disparitions et de réapparitions, naissances à partir du chaos… Le zéro, c’est le moment où l’univers sort du néant ou y retourne ! Et justement, ce sont des civilisations dans lesquelles des grands spécialistes en astronomie cherchaient les bases de ces apparitions et disparitions dans les étoiles qui ont les premiers conçus le zéro.

Le zéro, une avancée scientifique ?

Le zéro n’est nullement d’une réalité évidente en physique. Ainsi, un espace à zéro particule n’est nullement d’une nature différente d’un espace quantique à une particule. Le nombre de particules n’est pas un invariant et les processus de création/annihilation de particules empêchent de considérer les particules comme des objets en nombre fixe. Le nombre de particules fait partie des quantités incertaines sujettes aux inégalités d’Heisenberg.

Cela montre que les difficultés de concevoir le zéro sont liées à la difficulté de représenter la réalité par des nombres complètement déterminés.

Par exemple, les nombres sont censés décrire deux manières de voir qui sont pourtant incompatibles : la position et l’étendue. Et les deux posent des problèmes physiques.

La position décrite par un nombre (ou plusieurs) suppose une position entièrement ponctuelle, fixe, avec une précision absolue, sans mouvement, sans changement, toutes choses physiquement impossibles. L’étendue décrite par un nombre suppose un continuum qui est inconciliable avec la position qui est complètement discrète.
Le zéro, différence entre deux étendues, suppose une étendue nulle. Or aucun phénomène physique ne peut être complètement nul.

Peut-on dire cependant que cette découverte du zéro correspond à l’observation de l’univers ? Certains ont cru que le zéro physique correspondait au vide et les autres nombres à la matière. Mais la physique moderne est très loin de considérer que le vide n’est rien, est le zéro d’énergie, est le zéro de particules (il y a des particules virtuelles dans le vide aussi bien qu’au sein de la matière). Tout au plus peut-on considérer que la matière et l’antimatière (virtuels) s’équilibrent au sein du vide, permettant au positif et au négatif de s’annuler mutuellement. Mais, justement, cela ne correspond pas du tout au « rien ». C’est même là qu’est le fondement de quelque chose : de la matière durable que nous connaissons à notre échelle…
Certains pensent que la définition du zéro ne pose plus de problèmes aux scientifiques, mais ils se trompent.

Le grand physicien et mathématicien Henri Poincaré écrit dans "Science et méthode" (chapitre "Les mathématiques et la logique") :

"Qu’est-ce que zéro ? c’est le nombre des éléments de la classe nulle ; et qu’est-ce que la classe nulle ? c’est celle qui ne contient aucun élément.
Définir zéro par nul, et nul par aucun, c’est vraiment abuser de la richesse de la langue française."

Et, en physique, Max Planck pose le problème dans "Initiations à la physique" :

"On le voit, ce qui est en question, ce n’est rien moins que la notion de point matériel, la plus élémentaire de toutes les notions de la mécanique. La position centrale tenue par cette notion doit être abandonnée pour des raisons de principe, elle ne pourra subsister que dans certains cas limites."

Quand on reconnaît la notion de minimum comme la physique quantique, on récuse la notion de zéro…

Dans « Regards sur la matière », le physicien Etienne Klein rapporte le changement de point de vue qu’a représenté cette nouvelle physique : « Les calculs de Planck montrent que les échanges d’énergie électromagnétique sont portés par des grains, alors qu’on les croyait continus. Voilà la vraie révolution, qui ébranle la conviction que les physiciens avaient depuis Newton, selon laquelle on peut faire tendre une force vers zéro. »

L’astrophysicien Laurent Nottale répond ainsi dans « La complexité, vertiges et promesses » : « Le calcul différentiel consiste à prendre la limite d’un petit intervalle de temps, d’espace ou d’autres variables et à les faire tendre vers zéro. Dans le calcul différentiel, on présuppose que cette limite du zéro existe. Or, en physique, rien n’indique que cela soit vrai. Au contraire, à chaque fois que l’on a essayé de voir ce qui se passait à des échelles plus petites, on a toujours trouvé des choses nouvelles ; on n’a jamais découvert un domaine où les choses deviendraient plus simples. Quand on définit une vitesse, une dérivée, on présuppose que cela va se simplifier lorsqu’on se dirigera vers les petites échelles. Or, ce n’est pas le cas. (...) On a longtemps cru que la méthode ordinaire de calcul différentiel devait réaliser en physique l’idée de Descartes. On allait décomposer l’objet à étudier en des parties très petites pour faire en sorte que chacune de ces parties tende vers zéro. L’espoir était de rendre simple l’objet considéré à partir de ses éléments extrêmement simples et où rien ne bougeait ; il n’y avait plus ensuite qu’à intégrer sur tout l’objet de manière à obtenir ses propriétés globales. Dans la réalité, ça ne marche pas ainsi, car, quand on observe les sous-parties de plus en plus petites d’un objet, on voit apparaître des choses constamment nouvelles. On peut très bien avoir des objets plus compliqués vers les petites échelles que vers les grandes, ce qui prouve que l’identification « naïve » de la méthode cartésienne au calcul différentiel ne marche pas. Un objet, comme l’électron, vu classiquement comme un simple point, devient compliqué vers les petites échelles : il émet des photons, les réabsorbe, ces photons deviennent eux-mêmes des paires électrons-positons, etc… A l’intérieur de l’électron, il y a une espèce de foisonnement de particules virtuelles qu’on ne voit pas à grande échelle. (...) Un électron est objet élémentaire qui contient toutes les particules élémentaires existantes. (...) Donc, on ne va pas se contenter d’observer des déplacements dans l’espace et le temps comme dans la physique ordinaire, on va également observer les déplacements dans les changements d’échelle (...). »

« Le zéro et l’infini, concepts mathématiques, ne se trouvent pas sur l’échelle des nombres physiques… Le zéro et l’infini occupent sur cette échelle des places rigoureusement symétriques et sont donc assimilables l’un à l’autre… Ni l’un ni l’autre ne correspondent à des quantités mesurables. » écrit Christian Magnan.

BREF HISTORIQUE

Les Egyptiens semblent les premiers à introduire le zéro dans leurs écritures. Les Babyloniens ont utilisé, un peu plus de 200 ans avant J.-C., une forme de zéro à l’intérieur d’un nombre (par exemple : 304) mais jamais à droite du nombre, ni à gauche. C’est l’Inde qui, en reprenant l’héritage culturel des Grecs, perfectionne la numération. Elle n’utilise pas seulement le zéro comme notation à la manière babylonienne, mais aussi comme un nombre avec lequel opérer. Notion et notation indiennes du zéro sont ensuite empruntées par les mathématiciens arabes puis par les Européens.

Le professeur B. Lumpkin a découvert l’existence du zéro sur le continent africain, dans l’Egypte pharaonique. Son argumentation se base sur la découverte d’un extrait de papyrus dit "Papyrus Bulaq 18" rédigé il y a 3700 ans et traduit en Allemagne en 1920. C’est donc la première existence attestée du zéro.

Les Babyloniens ont attendu plus de 1000 ans avant de sentir le besoin de distinguer une place vacante. Le zéro des babyloniens a été créé bien après la naissance de cette numération. Les babyloniens conçurent en effet par la suite un signe représentant un double chevron incliné. Ce signe était en fait un véritable zéro dont l’utilisation était rendu nécessaire du fait de la structure du système de numération de position. Il servait à désigner l’absence d’unités d’un certain rang. C’est le plus vieux zéro de l’histoire mais il n’était pas encore conçu comme un nombre.

Le zéro avec sa connotation de néant, de non-existence offensait l’esprit rationnel des Grecs. Dans l’univers grec, il n’y avait pas de vide. Alors, il n’y a pas de zéro non plus. Pendant presque deux millénaires, l’occident ne put accepter le zéro. D’après les Grecs, le zéro n’avait aucune représentation graphique, donc, il ne pouvait point être un nombre. Pourtant, le système numérique grec n’interdisait pas le zéro. Ils avaient approché le zéro grâce à leurs intérêts pour l’astronomie. Les tables astronomiques grecques employaient le zéro. Son symbole était celui de la minuscule d’omicron, o. Il ressemblait beaucoup à notre zéro actuel, mais ce n’était probablement qu’une coïncidence. Les Grecs détestaient le zéro et s’en servaient le moins possible. Lorsqu’ils effectuaient leurs calculs selon les notations babyloniennes, les astronomes grecs convertissaient très souvent leurs résultats dans la numération grecque sans zéro.

Les Grecs n’avaient pas de misère à remarquer l’utilité du zéro dans leurs calculs mais le rejetèrent quand même. Ce n’était pas qu’ils l’ignoraient, mais c’était plutôt une question de philosophie. Ce symbole mystérieux était en conflit avec les croyances philosophiques fondamentales, car deux des idées concernant le zéro étaient mortelles pour la doctrine occidentale. Ces idées étaient le vide et l’infini. C’est incroyable à quel point ceux-ci avaient des pouvoirs qui traumatisaient les Grecs !

Les savants astronomes mayas mirent au point au cours du premier millénaire de notre ère une numération de position en base vicésimale, c’est à dire de base 20. Au 3e siècle, trois siècles avant les Indiens, les mayas avaient développé un système de numération très poussé, basé sur l’art du calendrier et de l’astronomie.

Il faut noter la place particulière des Mayas, seuls arithméticiens de l’Antiquité à définir deux zéros, l’un cardinal, l’autre ordinal.

Il avaient, eux aussi, inventé une numération de position à base 20 et comportant le zéro.

C’est à la civilisation de l’Inde que l’on doit d’avoir inventé le zéro "complet". Sa présence est attestée dès le cinquième siècle de notre ère. L’absence (ou idée du " zéro ") était signifiée par (sanskrit) :

– le vide
– le ciel, l’atmosphère, l’espace
– le point

Les Hindous considéraient le non-être comme un élément positif et une étape vers le nirvâna. C’est pourquoi, il semble être les seuls à avoir traité le zéro à part entière.

Ils appréciaient ce symbole pour sa connotation mathématique comme métaphysique. Pour les bouddhistes zen le zéro symbolise à la fois :

– la totalité de l’univers, à l’intérieur de son tracé, et
– le vide fondamental, dynamique, extérieur au temps, d’où viennent toutes choses.

C’est un espace vide, mais dynamique et riche de potentialités.
Le zéro ne représente rien mais peut donner naissance à d’autres nombres.

Il était représenté par un coquillage sur papier végétal ou une tête gravée dans la pierre.

En 628, le savant Brahmagupta dans son traité " Brahma-sphutasiddhârta ", définit le zéro comme la soustraction d’un nombre par lui-même : a - a = 0 et il en décrit les propriétés :

a + 0 = a

a - 0 = a

a . 0 = 0

Il va jusqu’à affirmer que la division par zéro est une définition de l’infini

Le zéro apparut vraiment vers 870 dans des écrits hindous.
À l’origine le mot hindous " sunya " ou " shûnya " signifie vide, néant.
Au IXe siècle, les Indiens l’utilisaient dans leur système numérique de position.

Au 12e siècle, le zéro est représenté par un point, le bindu
En 773, chez le calife de Bagdad, un indien apporte des écrits d’astronomie dus à Brahmagupta.

C’est Al-Khwarizmi qui les exploite et publie un livre en 820, présentant les nouveaux chiffres indiens. Ce livre sera traduit par Robert de Chester en Espagne au début XIIe siècle.

Par ailleurs, les Arabes traduisirent le mot indien " sunya " qui signifie "vide" en " as-sifr ".

La notion et la notation indiennes du zéro ont été empruntées à l’Inde par les mathématiciens arabes au IXe siècle. Le mot "sunya" a été traduit en arabe par sifr qui signifie "vide" et "grain".

Il a fallu attendre le XIIe siècle pour que l’usage de ce nombre se généralise en Occident, suite à la traduction du livre d’arithmétique du mathématicien arabe Al-Kuvarizhmi. Le mot arabe "sifr" est d’ailleurs la racine des mots "chiffre" et "zéro" en français.

Ce mot passe en Allemagne au XIIIe siècle et devient " cifra " puis " zyphra ", traduit en latin par " zephirum " et introduit par Fibonacci au XIIIe siècle pour désigner le zéro.

En italien, il se transforme en " zephiro ", " zeuero ", " cero " et, enfin, " zéro " en français.

Le même mot, transformé en " chiffre ", en vint aussi à désigner l’ensemble des symboles de la numération arabo-indienne.
"Cifra" donnera "cipher en anglais : code secret

Jusqu’à là, le monde occidental utilisait encore le laborieux système des chiffres romains.

Le zéro fut assimilé à un instrument du Diable, mais les marchands l’imposèrent avec le système décimal car il facilitait grandement les calculs.

A noter que pour éviter les erreurs, les marchands écrivaient les sommes en toutes lettres.

Cette apparition du zéro comme nombre n’a l’air de... rien. Pourtant, elle constitue un pas décisif dans l’histoire de l’humanité car elle va ouvrir la voie au développement de l’algèbre et des techniques de calcul et donc à l’essor des sciences et des techniques.

En 628, il est alors définit par le mathématicien indien Brahmagupta, comme le résultat d’un nombre entier soustrait à lui même.

Il a fallu attendre le huitième siècle pour voir le zéro apparaître dans le monde arabe. Il fut introduit par un astronome indien à la cour du calif Al-Mansur, à Bagdad en même temps que tout le système de numération indien.

Le zéro en tant que chiffre est apparu trois fois dans l’histoire des systèmes de numération élaborés par différents peuples et civilisations.

La première apparition du zéro en Mésopotamie semble remonter au IIIe siècle av. J.‑C., à l’époque des Séleucides. Il n’était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d’une position vide dans le système de numération babylonienne) ; bien qu’ignoré par les Romains, il fut repris et mieux utilisé encore par les astronomes grecs.

Il a été ensuite redécouvert par les Chinois, qui n’ont pas su en revanche introduire le zéro. Les inscriptions sur os et écailles (jiaguwen) découvertes dans la région de Anyang, dans l’actuelle province du Henan, à la fin du XIXe siècle, nous apprennent que, dès les XIVe ‑ XIe siècles av. J.‑C., les Chinois utilisaient une numération décimale de type « hybride », combinant dix signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position particuliers pour les dizaines, centaines, milliers et myriades.

En tant que nombre

Son usage moderne, à la fois comme chiffre et comme nombre, est héritée de l’invention indienne des chiffres nagari vers le Ve siècle. Le mot indien désignant le zéro était śūnya (çûnya), qui signifie « vide » « espace » ou « vacant ». Le mathématicien et astronome indien Brahmagupta est le premier à définir le zéro dans son ouvrage Brâhma Siddhânta. Ce mot, d’abord traduit en arabe par « ṣifr », ce qui signifie « vide » et « grain », a ensuite donné en français les mots chiffre et zéro (de par la traduction de sifr en l’italien zephiro, à partir duquel a été formé zevero qui est devenu zero). La graphie du zéro, d’abord un cercle, est inspirée de la représentation de la voûte céleste.

Comme l’indique l’étymologie, son introduction en Occident est consécutive à la traduction de mathématiques arabes, notamment les travaux d’al-Khwārizmī, vers le VIIIe siècle. Les chiffres indiens sont importés d’Espagne en Europe chrétienne aux environs de l’an mil par Gerbert d’Aurillac, devenu le pape Sylvestre II. Le zéro ne se généralise pas pour autant dans la vie courante, les chiffres indiens servant surtout… à marquer les jetons d’abaque de 1 à 9 !

Ce n’est qu’avec le retour du commerce intensif consécutif aux Croisades que les Européens généralisent, au XIIe siècle, l’usage du zéro. Une curiosité pour les œuvres des auteurs grecs et orientaux prend en même temps naissance.

Léonard de Pise, dit Fibonacci, a une influence déterminante. Il reste plusieurs années en Afrique du Nord en Algérie et exactement à Béjaïa ou Bougie et étudie auprès d’un professeur local. Il voyage également en Grèce, Égypte, Proche-Orient et confirme l’avis de Sylvestre II sur les avantages de la numération de position. En 1202, il publie le Liber Abaci, recueil qui rassemble pratiquement toutes les connaissances mathématiques de l’époque, et malgré son nom, apprend à calculer sans abaque.

Les deux zéros des Mayas

La page « Numération maya » comporte une section de même titre plus détaillée

Le zéro est utilisé par les Mayas durant le Ier millénaire, comme chiffre dans leur système de numération de position, comme nombre et comme ordinal dans le calendrier, où il correspond à l’introduction des mois. En les confondant dans une transcription unique, Sylvanus Morley a masqué qu’il s’agit de deux concepts et de deux zéros différents. L’un correspond à un zéro ordinal des dates, l’autre est un zéro cardinal des durées, jamais confondus dans leurs usages par les scribes.

Ce n’est qu’à partir du douzième siècle que le zéro commença à se répandre en occident, grâce notamment à la traduction du livre d’arithmétique publié en 820 par le grand mathématicien Al-Kuvarizhmi. Mais, durant tout le moyen âge on discuta encore en occident pour savoir si le zéro était seulement un chiffre ou pouvait être considéré comme un nombre. Puis finalement, son statut de nombre fut admis par tous. Et l’on ajouta le zéro à ce que l’on appelle les entiers naturels. Avant d’être considéré comme un chiffre, il avait en effet pour but de remplir les vides.

Le zéro est qualifié comme un nombre depuis le début du XXe siècle. Le calcul a commencé avec l’invention du zéro comme opérateur. Il a de nombreuses utilisations en science et dans la vie courante. Le commerce en a également bénéficié, ainsi le zéro a permis le développement des monnaies et de l’économie.

Dans le domaine des sciences, les puissances de dix , impossibles à concevoir avant l’apparition du zéro, ont permis par exemple d’évaluer la distance de certains astres ou la dimension de molécules ou d’atomes.

Tous les calculs, même les plus simples, sont impossibles sans le zéro. Les enfants apprennent à utiliser les additions et les soustractions dès le plus jeune âge, ce qui aurait été inimaginable au temps des chiffres romains : d’abord, ceux-ci compliquaient énormément les calculs, ensuite l’école n’était pas accessible à tout le monde. Aujourd’hui, tout le monde peut faire une multiplication ou une division, ce qui était réservé à une élite voilà quelques centaines d’années.

En mathématiques, le zéro est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif, égal à son opposé. Il pose de nombreux problèmes tel que la division par zéro qui est une énigme dans la division euclidienne. De plus, dans notre numération actuelle (en base 10) le zéro indique, dans l’écriture d’un nombre, l’absence d’unités de rang (dizaines, centaines...) mais, placé à droite d’un nombre, il décuple sa valeur. Le zéro permet aussi de comparer des nombres relatifs entre eux par l’intermédiaire de leur différence.

Depuis son apparition, le zéro est un nombre de référence. Il est la base de notre système de température (0°=température où l’eau gèle). IL est également, avec le 5, la base des arrondis (14,99 s’arrondit à 15). Enfin, le zéro est utile dans tous les nombres, puisque l’on peur le placer dans tous les nombres (15=0015,00).

Le zéro signifie qu’il y a une rupture entre les positifs et les négatifs : un nombre qui est à la fois les deux ou ni l’un ni l’autre, comme l’on voudra, un no man’s land...

C’est la discontinuité qu’impose cette rupture qui est reliée à la notion métaphysique de discontinuité de la civilisation. C’est pour cela que les peuples qui ont conçu le zéro avaient d’abord conçu cette rupture...