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Qu'est-ce que l'équation de Schrödinger ? - Matière et Révolution
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Qu’est-ce que l’équation de Schrödinger ?

mardi 13 mars 2012, par Robert Paris

Pour lire la suite, ne vous inquiétez pas, vous n’avez nullement besoin de comprendre le contenu mathématique de cette équation.

Cette équation tente de décrire les états d’une particule à partir desquels on peut espérer décrire les états d’un composé de particules. Nous allons voir qu’elle pose autant de problèmes philosophiques qu’elle résout de problèmes mathématiques. Et d’abord, on pouvait penser que la loi de la matière allait définir l’ordre alors qu’elle définit le... désordre ! On pouvait espérer qu’elle allait déterminer l’état existant de la particule alors qu’elle ne considère que des possibles... On pouvait penser que la découverte de la loi allait éclairer la dualité onde/particule alors qu’elle approfondit son obscurité. Loin de décrire la particule, elle décrit l’espace autour...

L’idée d’associer une onde à une particule matérielle venait de Louis De Broglie, mais cette fois il ne s’agit pas véritablement d’une onde. C’est une onde de ... probabilité de présence !!!

Le calcul des états stationnaires de l’onde a permis à Schrödinger de retrouver les règles de Bohr et Sommerfeld, fournissant les niveaux d’énergie atomique, sans avoir à les imposer ! Cette équation est donc d’une importance capitale puisqu’elle constitue l’un des piliers de la physique quantique. Dès mai 1926, il démontra en outre l’équivalence de sa mécanique ondulatoire avec la mécanique matricielle proposée moins d’un an auparavant par les Allemands Heisenberg, Born et Jordan. L’unification ainsi accomplie par Schrödinger fut l’un des événements majeurs qui parvint à convaincre l’ensemble des physiciens qu’ils étaient en train de vivre une révolution scientifique de grande ampleur.

On dispose donc d’une équation qui retrouve les résultats étonnants de la physique quantique et, avec elle, il reste de nombreux "mais".

Mais ... cette équation semble tombée du ciel.

Mais, la plupart du temps, on ne peut résoudre cette équation même si on démontre que ses solutions existent.

Mais elle a plusieurs solutions et ne livre donc que des possibles.

Mais elle ne décrit pas la particule en prédisant ses états et se contente de donner une probabilité de présence de la particule et de ses états.

Mais on ne peut pas s’en servir directement pour décrire les états d’un système à plusieurs particules. on est contraint de faire des hypothèses considérées comme des approximations, notamment du fait des nombreuses interactions entre particules (par exemple les électrons de l’atome).

Mais, pour les atomes lourds, on ne dispose même pas d’approximations.

Mais elle n’englobe plus l’ensemble des phénomènes quantiques, notamment ceux qui concernent le spin et la relativité, n’englobe pas les propriétés d’indiscernabilité et de symétrie.

Mais elle est linéaire et ne peut expliquer les transitions de phase.

Elle n’explique pas non plus la réduction du paquet d’onde et le problème de la mesure. Si l’on applique l’équation à un processus de mesure, on obtient une description dans laquelle tous les états de tous les systèmes concernés y compris l’appareil de mesure sont inséparables (intriqués).

L’équation ne résout pas le problème de l’intrication, celui de l’irréversibilité, celui de la non-linéarité des sauts d’états, ....

Elle pose surtout un immense problème philosophique dont elle ne donne pas la solution. la matière n’est-elle qu’une probabilité de présence d’états possibles ?

Qu’est-ce que l’équation de Schrödinger ?

Extraits de « L’objet quantique » de Lochak, Diner et Farge

L’équation de Schrödinger est l’équation fondamentale de la mécanique quantique non relativiste. Elle joue en mécanique quantique le même rôle fondateur que l’équation de Newton en mécanique classique ou les équations de Maxwell en électromagnétisme. Elle décrit l’évolution temporelle de l’état d’un objet quantique (objet dont la dimension en termes d’action est proche d’un ou d’un petit nombre de fois la constante de Planck h) représenté par une fonction d’onde. Les états stationnaires des objets quantiques sont décrits par une équation, cas particulier de la précédente, dite équation de Schrödinger stationnaire.

Le succès immédiat de la « mécanique ondulatoire » de Schrödinger vient de ce qu’il a su trouver les solutions exactes de son équation, dans le cas de l’atome d’hydrogène, c’est-à-dire exprimer la grandeur inconnue figurant dans l’équation en fonction des variables dont dépend le problème. On obtient ainsi le comportement global du phénomène étudié. On dit que l’on « intégré l’équation différentielle ».

Pour l’atome d’hydrogène, seuls certains comportements globaux s’avèrent possibles. A chacun de ces comportements est attachée une énergie constante. Le miracle de l’équation de Schrödinger de l’atome d’hydrogène est dans l’apparition de tout un ensemble d’énergies privilégiées qui, par application de la relation de Bohr, redonnent les raies du spectre de l’atome selon la loi de Rydberg. Une équation a rarement contenu en son sein la prédiction aussi précise d’un phénomène aussi complexe et aussi bien défini. Il n’en est que plus étonnant que le sens physique de cette équation et, partant, de toute la théorie qu’elle inaugure et fonde reste jusqu’à ce jour encore très mystérieuse.

Schrödinger a trouvé cette équation par une méthode qu’il a lui-même qualifiée de « complètement incompréhensible ». Initialement il pensait que cette équation concernait une onde stationnaire à sens physique simple. Une onde stationnaire résulte de l’interférence d’une onde avec elle-même par réflexion sur un obstacle. (…)

Il a été longuement montré que l’existence de l’onde de De Broglie associée aux particules microphysiques se manifeste par des phénomènes d’interférence caractéristiques tout à fait analogues à ceux que l’on observe avec la lumière. L’idée nouvelle introduite par Schrödinger est en quelque sorte de considérer que pour une particule soumise à une force extérieure (l’attraction du proton sur l’électron dans l’atome d’hydrogène), qui conditionne et limite ses mouvements, les limitations agissent précisément comme des cloisons ou des obstacles sur lesquels se réfléchissent les ondes de De Broglie associées. Ces réflexions conduisent par interférence à des ondes stationnaires associées à la particule. L’équation de Schrödinger permet le calcul des ondes stationnaires possibles selon les différentes formes des obstacles.

Cette image de l’onde stationnaire permet de comprendre la stabilité de l’atome de l’hydrogène dans la mécanique ondulatoire. Dans le champs électrique du noyau, l’électron se trouve comme dans un puits qui devient de plus en plus étroit lorsqu’on s’y enfonce, un puits conique.

Le noyau attire l’électron au fond du puits. L’onde associée devient stationnaire par réflexion sur les parois du puits. Lorsque l’électron s’enfonce, l’onde stationnaire se réduit, comme un ressort que l’on chercherait à enfoncer dans un tuyau conique. Il y a une limite à cette réduction liée à l’existence même de l’électron ; on ne peut complètement supprimer l’onde, de même que le ressort ne peut se comprimer indéfiniment. Cet état maximal de réduction de l’onde stationnaire dans le puits est l’état stable le plus bas en énergie de l’atome d’hydrogène, l’état fondamental, l’état de repos de l’atome.

On voit donc que, contrairement à ce qui se passe en mécanique classique où l’état stable de repos correspond à l’absence de mouvement, en mécanique ondulatoire l’état stable de l’atome correspond à un mouvement défini et irréductible. C’est vrai pour tous les objets quantiques. (…)

Malheureusement, toute cette interprétation physique imagée de l’équation de Schrödinger s’est rapidement avérée délicate, prise ainsi littéralement, et l’on a donné de la « fonction d’onde » qui figure dans l’équation une tout autre interprétation, justifiant par là le changement de dénomination de la théorie, qui de « mécanique ondulatoire » est devenue « mécanique quantique ».

En mécanique quantique, la fonction d’onde, qui est la solution de l’équation de Schrödinger, reçoit une interprétation probabiliste.

Le carré de la fonction d’onde définit la probabilité de trouver l’objet quantique au temps voulu en un endroit donné.

Ainsi, dans l’atome d’hydrogène, calculera-t-on la probabilité de trouver l’électron dans les différentes positions de l’espace autour du noyau. Pour un atome à plusieurs électrons on obtiendra la probabilité d’avoir simultanément les électrons en différents points donnés de l’espace. (…) Parler des objets quantiques signifie non pas donner de ces objets une description visant à faire comprendre ce qu’ils sont, mais à décrire les phénomènes auxquels ils donnent naissance.

Ces phénomènes sont de deux types : des phénomènes d’ordre et de régularité, des phénomènes de désordre et d’imprévisibilité. (…) Il n’y a pourtant pas entre ordre et désordre l’antinomie que le bon sens suggère. Songeons déjà que la notion même de probabilité introduit une régularité dans les phénomènes de hasard. (…) Tout se passe comme si la mécanique quantique exprimait les figures d’ordre d’un désordre microphysique. (…) Mais la mécanique quantique se borne à enregistrer et formaliser le caractère aléatoire des résultats de certaines expériences, sans pouvoir se prononcer sur l’origine physique de ce comportement. (…)

L’équation de Schrödinger de l’atome d’hydrogène peut être résolue exactement. Ses solutions ne sont pas quelconques et constituent les états possibles de l’électron dans l’atome. Ce sont les états quantiques de l’atome. Ils sont associés à trois paramètres qui ne peuvent prendre pour valeurs que des nombres entiers. Ce sont ces paramètres que l’on appelle les nombres quantiques.

Ces nombres quantiques permettent de distinguer les différentes fonctions d’onde qui représentent mathématiquement les états quantiques. (…) En accolant les valeurs des trois nombres quantiques, vous avez par là même sélectionné une fonction d’onde déterminée (…)

Dans ses différents états quantiques, l’électron de l’atome d’hydrogène est totalement caractérisé par la donnée de la valeur de trois grandeurs physiques :
- l’énergie
- la longueur du moment de la quantité de mouvement
- la projection du moment de la quantité de mouvement sur une droite.

Le moment de la quantité de mouvement est aussi appelé moment cinétique orbital ou moment orbital.

N’oubliez pas que la quantité de mouvement, produit de la masse par la vitesse, est une quantité orientée, comme la vitesse. Il en est de même pour le moment, produit de la quantité de mouvement par la distance au centre (le noyau de l’atome).

Les nombres quantiques sont appelés :

- nombre quantique principal n qui détermine les niveaux d’énergie,

- nombre quantique orbital l qui détermine le carré de la longueur du moment orbital,

- nombre quantique magnétique m qui détermine la longueur de la projection du moment orbital sur une droite arbitraire. (…)

La chance de Schrödinger fut de pouvoir résoudre exactement son équation pour l’atome d’hydrogène. On peut paradoxalement prétendre sa seconde chance fut l’impossibilité d’obtenir une solution exacte de l’équation pour les atomes plus lourds, comme l’hélium, le lithium, etc. Aujourd’hui encore ces solutions ne sont pas connues sous une forme analytique, quoique l’on sache les obtenir sous forme de tables de nombres à l’aide d’ordinateurs puissants, pour les atomes légers tout au moins. (…)

Mais à défaut de pouvoir calculer ces solutions exactes, on sait aujourd’hui beaucoup de choses sur elles. Tout d’abord, elles existent ! Car n’oubliez pas qu’une équation n’a pas forcément de solutions. (…) On a démontré dans les années 1950-1960 l’existence de solutions de l’équation de Schrödinger pour tous les atomes et les molécules. On a même pu préciser certains caractères de ces solutions. Il a en particulier été démontré que la fonction d’onde de la plus basse énergie ne change jamais de signe. (…)

Si l’équation de Schrödinger contient, pour les atomes lourds, tout comme pour l’atome d’hydrogène, un ensemble d’états quantiques possibles, il s’avère que ces états ne sont pas tous réalisés physiquement. En particulier, pour les atomes au-delà de l’hélium, l’état quantique de la plus basse énergie n’existe pas physiquement, il n’a qu’un sens mathématique et beaucoup d’états sont dans ce cas là. (…)

Comment séparer le bon grain de l’ivraie ? A l’aide de principes liés à des propriétés particulières de symétrie des atomes polyélectroniques. (…)

Lorsque nous considérons un atome possédant plusieurs électrons, une nouvelle propriété de symétrie apparaît, qui n’existait pas pour l’atome d’hydrogène. Une symétrie par permutation. Pour un système à deux électrons et plus, particules identiques que leur propriétés quantiques rendent indiscernables, aux symétries géométriques s’ajoute la symétrie par rapport à la permutation du rôle des électrons.

Les particules étant indiscernables, les propriétés physiques du système ne peuvent pas dépendre de rôles particuliers joués par les électrons. Les états quantiques doivent avoir un aspect totalement symétrique par rapport à tous les électrons. Les fonctions d’onde correspondantes sont donc nécessairement soit symétriques soit antisymétriques par rapport aux permutations des électrons, c’est-à-dire soit invariante, soit invariante en grandeur mais avec changement de signe. L’antisymétrie est comme la symétrie de l’image dans un miroir : l’objet n’est pas modifié mais il est renversé. L’intervention de l’antisymétrie s’explique par le fait que seul le carré de la fonction d’onde a un sens physique. (…)

Devant l’impossibilité de calculer exactement les solutions de l’équation de Schrödinger pour les atomes et les molécules, on a été amené très tôt à élaborer des modèles permettant d’obtenir des solutions approchées. (…) Comme il n’y a pas d’électrons indépendants à cause de l’interaction électromagnétique entre eux, on introduit un modèle fictif où des objets, en fait abstraits, ressemblant étrangement à des électrons, portant la même charge et affublés du même spin (moment cinétique quantifié ou moment magnétique de rotation), participant de la nature ondulatoire de l’électron, se comportent en fait comme des électrons qui auraient rassemblé sur chacun d’eux l’existence et les propriétés de tous les autres. C’est là une démarche très analogue à celle par laquelle on représente le mouvement d’une planète par le mouvement d’une particule fictive rassemblant toute la masse de la planète en son centre de gravité. Pour bien marquer le caractère modélisateur de cette pratique, nous parlerons dorénavant de quasi-électrons et non pas d’électrons. (…) Plus précisément, on utilise pour représenter la fonction d’onde totale un ensemble de fonctions d’ondes élémentaires, une par quasi-électron, analogues aux fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène. On doit satisfaire en plus à deux principes fondamentaux : l’indiscernabilité des quasi-électrons et l’anti-symétrie de la fonction d’onde totale.

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Une présentation pour non-physiciens

Pour ceux qui étudient la physique, le cours de Cohen-Tannoudji

La présentation classique pour étudiants

Cours sur l’équation de Schrödinger

Peut-on réfléchir aujourd’hui sur ces questions à partir du vide quantique ?

Questions philosophiques que posent cette physique

En anglais

Quelques problèmes que pose l’équation de Schrödinger

Nous pouvons dire, sans nécessairement y souscrire, que puisque les instruments d’analyse sont constitués de particules qui obéissent aux lois quantiques, l’équation de Schrödinger s’applique également aux dispositifs de mesures, du photomultiplicateur au spectroscope, et peut-être même à l’expérimentateur qui observe l’événement. Cette théorie implique que tout l’univers peut-être, interagit avec la matière. Ou plus exactement, il faut tenir compte d’une infinité de particules pour préciser l’état quantique de l’une d’elle.

On peut lire ainsi sous la plume de Luxorion :

Les physiciens en viennent ainsi à établir une équation d’onde pour l’ensemble formé par les particules à analyser et l’outil de détection. Ils aboutissent à une fonction d’onde extrêmement complexe qui inclut une superposition d’états quantiques, en fait tous les événements qui peuvent statistiquement se produire pour l’ensemble du système (particule émise ou non et simultanément dispositif de mesure enclenché on non).

En 1970, le physicien Bryce DeWitt émit l’hypothèse que dans ce cas il fallait bien à un moment ou un autre “réduire” le paquet d’ondes de manière à ce qu’un seul état subsiste, celui confirmé par la réalité. A cet instant du calcul, l’équation de Schrödinger s’effondre, le système décohère et chacun de ses composants reprend son libre arbitre. Car si la réalité quantique n’est plus mise en doute, il faut bien expliquer le comportement, a priori déterministe, de la réalité macroscopique qui nous entoure...

Mais compte-tenu de ce que nous savons des concepts de la physique quantique, est-il seulement possible d’expliquer la réalité ou tout le moins d’interpréter correctement les expériences de laboratoire où nous rencontrons tout le temps des paradoxes ?

Le physicien en a l’habitude et les considère comme faisant partie des conditions de l’expérience. Mais pour l’observateur extérieur, peu familier avec les principes paradoxaux de la mécanique quantique (par rapport à la mécanique classique), cela n’a rien d’évident.

Equation de Schrödinger et connaissance du réel

Une autre discussion sur les implications de l’équation de Schrödinger

5 Messages de forum

  • On dispose donc d’une équation qui retrouve les résultats étonnants de la physique quantique et, avec elle, il reste de nombreux "mais".

    Mais ... cette équation semble tombée du ciel.

    Mais, la plupart du temps, on ne peut résoudre cette équation même si on démontre que ses solutions existent.

    Mais elle a plusieurs solutions et ne livre donc que des possibles.

    Mais elle ne décrit pas la particule en prédisant ses états et se contente de donner une probabilité de présence de la particule et de ses états.

    Mais on ne peut pas s’en servir directement pour décrire les états d’un système à plusieurs particules. on est contraint de faire des hypothèses considérées comme des approximations, notamment du fait des nombreuses interactions entre particules (par exemple les électrons de l’atome).

    Mais, pour les atomes lourds, on ne dispose même pas d’approximations.

    Mais elle n’englobe plus l’ensemble des phénomènes quantiques, notamment ceux qui concernent le spin et la relativité, n’englobe pas les propriétés d’indiscernabilité et de symétrie.

    Mais elle est linéaire et ne peut expliquer les transitions de phase.

    Elle n’explique pas non plus la réduction du paquet d’onde et le problème de la mesure.

    Elle pose surtout un immense problème philosophique dont elle ne donne pas la solution. la matière n’est-elle qu’une probabilité de présence d’états possibles ?

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  • Qu’est-ce que l’équation de Schrödinger ? 3 mai 2012 08:25, par Casimir

    Les ondes qui se propagent - soit. Mais à travers l’espace il y a du vide entre les structures des ondes et les ondes elles memes. De quoi est fait ce ’vide’ ? Car, le ’néant’ est un ’vide de sens’ par excellence !

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  • Qu’est-ce que l’équation de Schrödinger ? 3 mai 2012 08:25, par Robert Paris

    Le vide n’est pas seulement le milieu où la matière se déplace ou le milieu où baigne la matière, il est la source même de la matière.

    Lire Le vide destructeur/constructeur de la matière

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  • Qu’est-ce que l’équation de Schrödinger ? 8 janvier 2017 11:32, par zinet djamila

    Est ce que vous pouvez m’expliquer l’utilisation de l’équation de schrodinger dans les fibres optiques, et c’est quoi un trou lourd et trou léger ?

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    • Qu’est-ce que l’équation de Schrödinger ? 8 janvier 2017 16:22, par Robert Paris

      En fait, ce n’est pas l’équation de Schrödinger qui s’applique puisque celle-ci décrit l’évolution dans le temps d’une particule massive non relativiste et que les photons de lumière sont relativistes et sans masse.
      Vous pouvez trouver l’équation de Schrödinger non linéaire appliquée à de fibres optiques en lisant ici

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