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Que dit vraiment le "Théorème d'incomplétude dans les systèmes formels" du logicien Kurt Gödel (1931) - Matière et Révolution
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Que dit vraiment le "Théorème d’incomplétude dans les systèmes formels" du logicien Kurt Gödel (1931)

mercredi 29 août 2012, par Alex

Le théorème d’ « incomplétude » de Godel de 1931 dans son article Sur les propositions indécidables des PM et sytèmes apparentés fit l’effet d’une bombe dans le monde des mathématiques puis de la philosophie. Il est souvent invoqué par des philosophes, des sociologues, des scientifiques, des anti-marxistes comme servant de base au scepticisme. Car on peut croire que Godel a prouvé la limite des mathématiques, de la science en général. Or le résultat de Godel de 1931 ne justifie en rien le scepticisme philosophique. Techniquement il est illisible, mais il est possible au non-spécialiste de comprendre le fonds.

Godel est expliqué dans ce qui suit à travers un exemple de la vie quotidienne, que beaucoup de camarades on pu voir en vacances. Tout travailleur le comprendra facilement, car il est Godelien chaque jour sans le savoir. Les camarades matérialistes mécanistes, surtout ceux qui ont étudié les mathématiques en France où l’idéologie dominante en mathématiques (le Bourbakisme) est plutôt anti-Gödel auront un peu plus de mal. Qu’ils n’hésitent pas à se faire aider par un camarade sans-papier.

Un gendarme de Saint-Tropez, Pedro Gocalves, arrête un agent de nettoyage qui sort du Golf à Saint-Tropez.

- Tes papiers !.

- Monsieur l’agent, je ne les ai pas, je les ai perdus. Mais je m’appelle Mohamed Youssouf, je vous le jure !.

- Tu n’as rien pour le prouver, tu es dans l’incapacité de justifier ton identité, je t’embarque au poste !

Le sans-papier n’a pas menti, son affirmation est vraie. Pourtant, formellement, il n’a pas pu le prouver. Le policier sais que l’affirmation « Je m’appelle Mohamed Youssouf, » est vraie, car Mohamed qui travaille dans le bâtiment a restauré récemment la gendarmerie où il travaille, et il connait Mohamed qui est sans-papiers à Saint-Tropez depuis plus de 20 ans. Mais formellement Mohamed ne peut prouver son identité, et le policier applique simplement la procédure, il a entièrement raison, le formalisme légal est de son côté. En mathématiques c’est la même chose : il existe des affirmations qui sont vraies, mais qui ne sont formellement pas prouvables. C’est un premier résultat de Godel en 1931. Certaines affirmations mathématiques sont sans-papiers : vraies mais improuvables.

Mais le gendarme a volontairement limité son raisonnement. Il sait très bien que dans son i-phone dont vient d’être équipé chaque agent, le fichier « Les subversifs » contient des milliers de fiches avec photos et empreintes digitales de suspects. Or Mohamed a toujours depuis des années participé aux collectifs des sans-papiers, il est fiché comme subversif, et si le gendarme entrait le nom que lui a donné Mohamed Youssouf, le gendarme tomberait tout de suite sur la fiche. C’est même Pedro qui a fait la fiche de Mohamed.

L’affirmation « Je m’appelle Mohamed Youssouf » qui est vraie deviendrait formellement prouvée. Deuxième conclusion : on choisit toujours un formalisme, l’ensemble des principes formels sur lesquels on s’appuie pour démontrer une affirmation. Dans le premier formalisme (demande de papiers), l’affirmation « je m’appelle Mohamed Youssouf » est vraie mais non-prouvable, indécidable ; dans le deuxième formalisme, (demande de papiers+ utilisation du fichier des « subversifs »), l’affirmation « je m’appelle Mohamed Youssouf » est vraie et prouvable, décidable. C’est un choix Il en va de même des affirmations mathématiques.

Donc deuxième conclusion : quand Godel a construit des affirmations mathématiques non-prouvables, il n’a jamais prétendu qu’elles le seraient éternellement : dans un cadre elles sont prouvables, dans un autre cadre non-prouvable. Il n’y a pas de vérité mathématique prouvable ou non-prouvable en soi, tout dépend des principes qu’on s’autorise à appliquer. Tout travailleur sait que la Justice de classe mettra difficilement en cause son patron, alors que si elle le voulait elle pourrait le faire. La Justice eu du mal à prouver que l’amiante a tué des travailleurs, cela ne prouve en rien les limites de la science judiciaire, simplement les principes d’une justice qui respecte non "LA justice en général" mais "la justice dans un cadre imposé par la bourgeoise, respecté par les juges".

Cependant Godel montre que l’indécidabilité est intrinsèque à tout système de procédure. Certes si le gendarme par acquis de conscience, outre la demande des papiers, consulte son fichier des « subversifs », une catégorie des sans-papiers, dont Mohamed Youssouf aura une identité vérifiable. Mais le policier sait que beaucoup de Maliens ne sont pas dans le fichier, car les grands groupes du BTP veulent que les Maliens ne soient pas fichés, car il faut cacher les chiffres : leurs chantiers sont souvent peuplés à 100% de « Subversifs ». Donc certains cas resteront indécidables. Si quelqu’un dit s’appeler Traoré alors qu’il n’a pas ses papiers, le policier n’en saura pas plus avec son fichier des « subversifs ». Le policier le sait bien : la loi est une machine à fabriquer des sans-papiers, il y en a toujours. En mathématiques c’est la même chose : tout nouvel axiome créera de nouvelles propositions indécidables.

Troisième conclusion : On peut rajouter autant de « vérités admises » (des axiomes) que l’on veut, certaines affirmations resteront vraie mais improuvables. Intrinsèquement, toute théorie mathématiques qui dépasse un certain niveau contient des affirmations improuvables bien que vraies.

Pedro Goncalves est content. La bande de Charles-Edouard, assise en terrasse au "Lounge-bar du Golf de Saint-Tropez" applaudi :"bravo les gendarmes, il faut expulser les sans-papiers qui volent le travail de nos domestiques français". Mais surtout Pedro touchera une prime. Torturé par ses scrupules, car son père a fuit le Portugal au temps de la Pide, rentra en France sans-papiers, et est aujourd’hui dans le même syndicat que Mohamed. Il reproche à son fils de faire un sale travail, sous les ordre d’un nouveau ministre ex-espagnol qui méprise les portugais. Pedro appellera Mohamed pour lui dire : « on partage la prime, comme d’habitude ?, et donnes-la à ton comité de sans-papiers. » Car Pedro connait bien Mohamed, il habitent dans la même cité, leurs enfant sont au même club de foot. Donc Mohamed et Pedro sont tous les deux gagnants. En math il en va de même : certains cadres formels sont moins puissants que d’autres, laissent plus d’incertitude, mais l’obsession de montrer intégralement LA vérité est une utopie stérile, on en n’est plus là en maths !

En conclusion le travail de Godel va dans le sens de la dialectique : un concept unique confusément entremêlé « Vérité=ce qui peut être prouvé » se différencia définitivement en deux concepts séparés en 1931 : le vrai d’un côté, le prouvable de l’autre. Godel montre comment s’articulent ces deux concepts : fondamentalement liés, fondamentalement séparés. C’est plutôt un tour de force de l’entendement humain, donc un coup dur contre les sceptiques.

2 Messages de forum

    • Cher Edgar, l’article de Badiou que tu mentionnes est pour moi du jargon, absolument vide, ni des maths ni de la littérature. L’article de Godel de 1931 est plus facilement lisible, son introduction est en langage de tous les jours, compréhensible par les non-spécialistes !

      Badiou rend compliqué des choses simples. Il emploie des termes qu’il ne définit nulle part. Il a bien mentionné quelque part ailleurs à juste titre que Bourbaki a tort de voir dans la Théorie des ensembles la structure sur laquelle on peut fonder les maths, alors que c’est plutôt sur la théorie des catégories. Il est donc au courant des maths. Mais avec un tel article, Badiou verse de l’eau au moulin de Bourbaki, qui répète que la logique ce sont des résultats fumeux, qui n’ont rien à voir avec les Vraies mathématiques du praticien.

      Conclusion :

      1) si on veut se prendre la tête, lisons les maitres dans le texte : Godel 1931. Crayon en main, un familier des maths peut le comprendre.

      2) Si on est sur la plage, prendre le livre de Raymond Smullyan : « Quel est le titre de ce livre ? » qui est un chef-d’oeuvre de vulgarisation, dont le chapitre sur les Iles Godeliennes, à travers une série d’énigmes amusantes, de situations concrètes, permet au non-mathématicien de comprendre le principe de la démonstration de Godel.

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