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Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombres sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?
dimanche 12 avril 2015, par
Nombres et réalité - la théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombres sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?
Quand on voit à quel point il a été difficile d’introduire les nombres négatifs, les nombres irrationnels ou les nombres complexes, on se persuade que les nombres n’ont rien de naturel, qu’ils sont une construction très difficile de l’esprit humain.
Cependant, y a-t-il des nombres qui correspondent mieux que d’autres à la réalité du monde physique ?
Les physiciens utilisent systématiquement les nombres complexes et ramènent leurs résultats à des nombres réels pour tout ce qui doit être mesuré.
Ces nombres dits réels sont infiniment plus nombreux que les nombres décimaux qui sont eux mêmes infiniment plus nombreux que les décimaux avec un nombre fini de chiffres après la virgule alors que les mesures physiques concrètes ne peuvent donner que des nombres décimaux avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Mieux, la théorie elle-même des forces renormalisables nécessite des quantités avec un nombre limité de chiffres après la virgule ce qui correspond à la nécessité de discontinuités (sans laquelle des quantités calculées deviennent infinies).
Les nombres décimaux avec une infinité de chiffres après la virgule supposent des infinis (grand et petit) qui n’ont pas de réalité physique
– pas plus que la continuité.
Ce n’est qu’un des aspects du problème.
La négativité, elle aussi, a mis du temps à s’exprimer mathématiquement. (Voir ici)
Et elle pose encore plus de problème si l’on comprend le caractère dialectique des lois physiques.
Il serait nécessaire d’obtenir des ombre ayant la capacité de se changer sous certaines conditions en leur contraire... On ne est encore loin.
Les mathématiques sont, au contraire, conçues dans une philosophie non dialectique : celle de la logique formelle que l’on a tenté de faire évoluer progressivement alors qu’elle aurait besoin d’un changement révolutionnaire plutôt que d’un toilettage comme nous allons le montrer...
Messages
1. Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombre sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?, 13 avril 2015, 15:52, par Éphraïm
« Quand on voit à quel point il a été difficile d’introduire les nombres négatifs »
Cette affirmation nécessiterait un peu d’explications ou d’exemples pour le novice que je suis... Les nombres négatifs sont enseignés au collège mais pas l’histoire de leur invention, ou de leur introduction...
Merci
2. Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombre sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?, 13 avril 2015, 16:01, par Robert Paris
Un très bon philosophe a discuté cette question : Kant !!!
Lire ici son « Essai sur l’introduction en philosophie de la notion des quantités négatives »
3. Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombre sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?, 13 avril 2015, 16:07, par Robert Paris
Le mathématicien et ingénieur Lazare Carnot (1753 ; 1823) :
« Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ? »
« L’usage des nombres négatifs conduit à des conclusions erronées. »
"Géométrie de la position", 1803.
Maclaurin qui exprime en 1742 dans son "Traité des Fluxions" ce doute planant encore sur l’adhésion par les mathématiciens pour les quantités négatives :
« L’usage du signe négatif en algèbre donne lieu à plusieurs conséquences qu’on a d’abord peine à admettre et ont donné l’occasion à des idées qui paraissent n’avoir aucun fondement réel. »
Il faut dire qu’à cette époque les besoins pour les sciences des quantités négatives sont plutôt rares.
En 1746 dans "Eléments d’algèbre", le mathématicien et astronome français Alexis Clairaut (1713 ; 1765) donne quelques-unes de ces règles et exprime la nuance entre le signe d’un nombre et celui de l’opération :
« On demandera peut-être si on peut ajouter du négatif avec du positif, ou plutôt si on peut dire qu’on ajoute du négatif. A quoi je réponds que cette expression est exacte quand on ne confond point ajouter avec augmenter. Que deux personnes par exemple joignent leurs fortunes, quelles qu’elles soient, je dirai que c’est là ajouter leurs biens, que l’un ait des dettes et des effets réels, si les dettes surpassent les effets, il ne possédera que du négatif, et la jonction de la fortune à celle du premier diminuera le bien de celui-ci, en sorte que la somme se trouvera, ou moindre que ce que possédait le premier, ou même entièrement négative. »
Au début du XIXème siècle encore, les négatifs n’ont pas acquis le statut de « nombre ». Un nombre est nécessairement positif. Une quantité, telle une dette, peut prendre une valeur négative en la définissant par opposition à une quantité positive. Mais cette quantité n’est pas considérée comme un nombre en tant que tel.
En 1821, Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) dans son "Cours d’analyse de l’Ecole royale polytechnique" définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe + ou -.
« Le signe + ou – placé devant un nombre en modifiera la signification, à-peu-près comme un adjectif modifie celle du substantif. »
Comme on le voit, il n’y a pas bien longtemps, cela n’apparaissait pas du tout évident !!!
4. Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombre sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?, 13 avril 2015, 16:27
La première apparition connue des nombres négatifs est dans Les Neuf Chapitres sur l’art mathématique (Jiǔzhāng Suànshù), dont les versions qui nous sont parvenues datent du début de la dynastie Han (IIe siècle av. J.-C.), sans qu’on puisse dater les versions originales, sans doute plus anciennes1. Les Neuf Chapitres utilise des bâtons de numération rouges pour les nombres positifs et des noirs pour les négatifs. Cela permettait aux Chinois de résoudre un système d’équations linéaires à coefficients négatifs.
En Inde, on formule des règles cohérentes pour les travailler, et on comprend leur signification (en même temps que celui du zéro) dans des situations telle que les emprunts et dettes, ainsi qu’en atteste le Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta (VIIe siècle), mais ces concepts peuvent être antérieurs6. Brahmagupta utilise les nombres négatifs dans l’équation du second degré et sa solution ; son vocabulaire est celui du commerce (un nombre négatif est une dette, un nombre positif une richesse).
Les concepts indiens se diffusent lentement vers l’ouest ; vers l’an 1000, les mathématiciens arabo-musulmans comme Abu l-Wafa utilisent couramment le zéro et les nombres négatifs (pour représenter des dettes, encore), et l’Occident entre en contact avec ces concepts.
Cependant la notion de quantité négative reste longtemps choquante ; lorsque des nombres négatifs apparaissent on les considère comme « absurdes » ou faux. Par exemple Diophante (IIIe siècle), à propos de l’équation 4x + 20 = 0, dont la solution est −5, dit qu’elle est « absurde ». En Inde, Bhāskara II (XIIe siècle) utilise les nombres négatifs mais rejette les solutions négatives de l’équation quadratique ; il les considère comme inadéquates et impossibles à interpréter. On fera de même en Occident au moins jusqu’au XVIIIe siècle. On s’autorise néanmoins à s’en servir, quitte à les appeler « absurdes » comme Nicolas Chuquet (XVe siècle) qui s’en sert comme exposant.
Les mathématiciens occidentaux résistent au concept, sauf dans le contexte commercial (toujours) où on peut les interpréter comme des dettes (Fibonacci, chapitre 13 de Liber Abaci, 1202) ou des pertes (Fibonacci, Floss, 1225).
Les nombre négatifs acquièrent progressivement droit de cité au cours du XIXe siècle, pour n’être véritablement acceptés qu’au XXe siècle.
5. Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombre sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?, 13 avril 2015, 16:32, par Robert Paris
Francis Maseres, mathématicien anglais, écrit dans sa « Dissertation sur l’utilisation du signe négatif en algèbre » (1759) :
« Elles (les quantités négatives) servent seulement pour autant que je sois capable d’ne juger, à obscurcir la doctrine tout entière des équations et à rendre ténébreuses des choses qui sont dans leur nature excessivement évidentes et simples. Il eût été souhaitable en conséquence que les racines négatives n’aient jamais été admises dans l’algèbre ou qu’elles en aient été écartées. »
6. Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombre sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?, 14 avril 2015, 08:39, par alain
et qui a « inventé » les nombres complexes ?
7. Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombre sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?, 14 avril 2015, 08:40, par Robert Paris
C’est Girolamo Cardano et Rafaele Bombelli et ils appelleront « nombres impossibles » ce que nous appelons les « nombres imaginaires » (par exemple x tel que x² = -1), par opposition aux « nombres réels » ! Ces nombres sont très contestés. Ainsi, François Viète et Thomas Harriot refusent toute existence aux quantités tant négatives qu’imaginaires… Simon Stevin, quant à lui, les juge inutiles !
Quant à René Descartes, s’il n’apporte pas de contribution significative à cette nouvelle théorie qu’il n’accepte qu’avec réticence, en les citant dans ses écrits, il leur confère un statut officiel à tel point que le qualificatif d’imaginaire dont il les baptise dès 1637 devient leur nom officiel jusqu’en 1831.
8. Nombres et réalité - Les nombres peuvent-ils être "naturels", "réels", complexes" au sens de la nature, de la réalité et de sa complexité ? La théorie des nombres reflète-t-elle les propriétés observées de la matière ? Et quels nombres sont-ils réels ? Les entiers ? Les décimaux ? Les nombres dits réels ? Les nombres complexes ? Ou d’autres ? Quelle est cette fameuse réalité de la matière qui serait ou pas descriptible par les mathématiques ?, 23 mars 2016, 07:14
On peut citer de multiples sortes de nombres particuliers : nombres parfaits, excessifs, imparfaits, abondants, déficients, amicaux, triangulaires, magiques, narcissiques, linéaires, jumeaux, figurés, ordinaux, ondulants, polyédraux, vampires et on en passe….
La réalité aussi est diverse mais elle ne suit pas la diversité des nombres...