Matière et Révolution

Marxisme et mathématiques : que sont un théorème, une vérité mathématiques ?

Alex — 2024-03-25T23:40:00Z

Cet article est un élément de réponse aux camarade de Robin Goddfellow qui posaient la question : la dialectique est-elle présente en mathématiques. De manière plus générale, beaucoup d'adversaires du marxisme qui n'osent s'attaquer directement à Marx prennent Engels et sa Dialectique de Nature pour cible.

Une révolution, réponse à une crise, eut lieu en 1879 dans le domaine de la « théorie de la connaissance » mathématique, avec la publication de la brochure intitulée Idéographie, écrite par le mathématicien allemand Gotlob Frege.

Le Rubicon était franchi, cette théorie fut développée par B. Russel, D. Hilbert, K. Gödel et tant d'autres. Elle aboutit à un résultat mathématique très concret, démontré par P. Cohen. Chacun de ces développements mériterait un article à lui seul, mais en gros, disons que les mathématiciens qui prétendent que la philosophie est inutile en mathématiques, ont été assommés par le résultat de Cohen.

Qu'est-ce que la dialectique ? C'est pour les marxistes (qui le sont restés) celle mise au point par Hegel dans sa vision idéaliste, remise sur ses pieds grâce au matérialisme de Marx et Engels.

Lénine donne dans ses cahiers philosophique une résumé qui correspond exactement à notre cas :

Le dédoublement de l'un et la connaissance de ses parties contradictoires (v. la citation de Philon sur Héraclite au début de la IIIe partie (« De la connaissance ») de l'Héraclite de Lassalle1) est le fond (une des « essences », une des particularités ou marques fondamentales, sinon la fondamentale) de la dialectique. C'est ainsi que Hegel également pose la question (dans sa « Métaphysique », Aristote se débat constamment à ce propos et se bat contre Héraclite et contre les idées héraclitéennes).

La justesse de cet aspect du contenu de la dialectique doit être vérifiée par l'histoire de la science.

C'est effectivement par un épisode de l'histoire des mathématiques (l'ouvrage de Frege, 1879) que nous pouvons illustrer ce dédoublement de l'un.

A l'école on nous apprend qu'un théorème mathématique est un résultat qui est vrai. Un théorème c'est ce qu'en général on a obtenu par un raisonnement mathématique rigoureux, à partir de résultats déjà connus comme vrais (des théorèmes ou des axiomes, c'est-à-dire des propriétés prises au départ comme vraies).

Donc un théorème mathématique est vrai, et une vérité mathématique est un théorème. Bien sûr on ne va pas appeler "7+6=13" un théorème mathématique car c'est un résultat évident. On réserve en génaral le nom de théorème à des résultats qui le méritent. Mais dans la théorie de la connaissance mathématique, que pour faire court on peut appeler la métamathématique", un theorème et une vérité sont la même chose : toute ce qui est vrai peut être démontré, et tout ce qui est démontré est vrai.

L'« un » mentionné par Lénine est donc ce couple Théorème-vérité. On voit déjà que le ver de la dialectique est dans le fruit, car ce qui est considéré comme unique a reçu une double appelation dans le langage, double appellation qui correspond à ces deux activités distinctes dans la pratique des mathématiques.

Par exemple, si l'on dessine un carré et trace ses deux diagonales, il est clairement vrai que ces deux diagnonales se croisent. C'est une vérité. Mais si l'on essaye de le prouver, on aura du mal. ce résultat mathématique a été connu comme une vérité bien avant d'avoir été un théorème démontré. Réciproquement parfois des mathématiciens démontrent des théorèmes bizarres qui semblent ne pas pouvoir être vrais, mais qui longtemps après sont bien compris et acquièrent le statut de vérité.

La révolution de Frege et de ses successeurs qui ont développé la logique moderne a donc été de dissocier complètement cette unité : un théorème est un résultat obtenu par un raisonnement rigoureux, une vérité est ... quelquechose qui est vrai.

On comprend la difficulté de cette révolution : les mathématiques qui depuisi Descartes et Gallilée sont vus comme LE langage rigoureux par excellence, avouent ne pas être capable de décrire précisément ce qu'est une vérité.

Qu'est-ce qu'un théorème mathématique dans le sens moderne ? Nous allons doner un exemple.

Les mathématiciens voudraient que les mathématiques soient un langage formel : alors que le langage de tous les jours est ambigu, ils veulent un langage totalement rigoureux.

Alors on part d'un alphabet, qui est un ensemble de signes. Par exemple les lettres a, b et c. Avec cet alphabet on fabrique des formules qui sont comme des mots formés avec ces signes. Par exemple on peut décider que toute suite (finie) des lettes a,b, et c est une formule : a, b, c, ab,aa, aba,abbbccaa sont des formules. Le lecteur peut en former des dizaines à sa convenance. Il aura commencé à former des formules mathématiques.

On se donne ensuite des axiomes. Ici le lecteur va peut-être se fâcher, on utilise un langage technique qui suppose plein de connaissances mathématiques. Pas du tout ! Le but de Frege a été de commencer les mathématiques, comme Descartes, en faisant table rase de tous les sous entendus. On sait qu'en général un axiome est une vérité de base (par exemple étant donné deux points on peut les relier par un segment de droite).
Si le mot axiome est trop compliqué, on peut appeler ces axiomes Théorèmes.

Dans notre exemple, chosissons pour unique axiome : abcacb

Nous avons, dans le langage formel que nous avons créé, un premier théorème, c'est cet axiome bcaacb. Le lecteur qui n'a jamais aimé les mathématiques, peut-être parce que ses professeurs lui ont caché cet aspect des mathématiques peut ainsi créer ses propres théorèmes en choisissant un axiome arbitraire, une formule composée des lettes a, b, et c. Rien n'empêche de choisir plusieurs axiomes en même temps. C'est trop facile ? Cela s'appelle une révolution. Il suffit de ne plus accepter le système précédent et ce qui paraissait inaccessible devient simple.

Nous avons donc l'axiome bcacb, mais nous n'avons pas résonné mathématiquement jusqu'ici. Pour le faire il faut adopter une régle de déduction. Nous n'en n'aurons qu'une :

Règle de déduction : si une formule commençant par a est un Théorème, alors ajouter ab à la fin, puis enlever les trois première lettres. La formule obtenue est un théorème

Avec cette règle nous pouvons fabriquer TOUS les théorèmes de notre langage. Nous avons un seul théorème, l'axiome que nous notons

Théorème 1 : abcacb

Notre Règle de déduction s'applique car notre Théorème 1 commence par a. On ajoute ab à la fin ce qui donne abcacbab puis on enlève les trois premières lettres pour obtenir

Théorème 2 : acbab

On peut à nouveau appliquer notre règle à ce Théorème ce qui donne

Theorème 3 : abab

On peut à nouveau appliquer notre règle à ce Théorème ce qui donne

Théorème 4 : bab

On ne peut plus rien faire.

On a donc obtenu tous les théorèmes possibles de notre langage formel : il y en a quatre.

Matérialisme dialectique et mathématiques : 2021 est-il un nombre favorable ?

Alex — 2021-01-07T23:05:00Z

Matérialisme dialectique et mathématiques : 2021 est-il un nombre favorable ?

Pour ceux qui s'intéressent aux applications des mathématiques aux problèmes les plus concrets, le nombre 2021 apparaît tout de suite familier, en tant qu'un des membres de la famille des nombres notés N=pq, qui peuvent servir de clé publique en cryptographie (la science des codes secrets). Certains en déduiront que 2021 pourrait être une très bonne année, et ils n'auront pas entièrement tort.

Les camarades qui souhaitent transmettre des messages qui ne peuvent être décodés par aucun des ordinateurs les plus puissants devraient se familiariser avec ces méthodes de la cryptographie moderne, en particulier le système RSA

Les marxistes qui se posent la question de l'existence de la dialectique dans la nature en général, dans les mathématiques en particulier, peuvent trouver dans ce chapitre des mathématiques un matériel que Engels aurait sans doute inclus dans une nouvelle édition de sa Dialectique de la nature.

Précisons donc le lien entre 2021 et la cryptographie moderne. Si l'on multiplie 43 par 47 on obtient 2021 : 2021=43x47. C'est un cas particulier de la formule N=pq, dans laquelle p et q doivent être des nombres premiers. 43 et 47 sont des nombres premiers, car ils ne sont divisibles par aucun autre nombre, à part eux-mêmes et 1. L'an dernier on pouvait écrire 2020=10x202, mais 10 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 2 et 5 ; 202 non plus. L'année 2021 est donc, à ce titre, remarquable.

La liste des nombres premiers est 2,3,5,7,11,13 etc. Les clés publiques les plus petites sont donc 15=3x5, 21=3x7, 35=5x7 etc.

Les nombres premiers jouent un rôle fondamental en arithmétique. Mais jusqu'en 1975, on n'imaginait pas que les nombres qui sont le produit de deux entiers premiers (comme 2021 est le produit de 43 et 47) peuvent avoir des applications à la science des messages secrets, la cryptographie. Tout nouveau théorème sur les nombres premiers peut donc poser un problème pour la « défense nationale » !

Quel lien avec le matérialisme et la dialectique ?

Premièrement, côté matérialisme, l'épisode de la découverte de la théorie de la cryptographie à clé publique donne un argument matérialiste contre ceux qui, en partisans de Platon, conscients ou non, pensent que les théories mathématiques en elles-mêmes sont déjà écrites quelque part et que les mathématiciens ne font que les « découvrir ». Or c'est seulement parce qu'une nouvelle activité humaine, liée étroitement aux transactions bancaires, donc au développement des forces productives, que des mathématiciens ont créé, plus que découvert, un nouveau procédé de cryptographie, un nouveau domaine des mathématiques.

Deuxièmement, côté dialectique, l'outil mathématique au coeur de ces nouvelles méthodes sont les « fonctions asymétriques ». Ces fonctions sont faciles à calculer dans un sens, impossible ou presque à calculer dans le sens inverse. Un même objet mathématique a donc des propriétés contraires l'une de l'autre.

Le livre de Simon Singh Histoire des codes secrets est une bonne introduction à l'histoire des codes secrets et aux termes techniques utilisés précédemment. L'extrait suivant de son livre décrit la révolution scientifique qu'a constitué la naissance de la cryptographie à clé publique, opposée à la cryptographie à clé secrète, qu'utilisait déjà Jules César.

Ce problème de distribution de la clef a été le fléau
constant des cryptographes au cours de l'histoire. Pendant la Seconde Guerre mondiale, le haut commandement allemand devait ainsi distribuer le registre
mensuel des clefs quotidiennes à tous les opérateurs
d'Enigma, ce qui constituait un problème de logistique
considérable. Les sous-marins allemands, de même, en
raison de longues périodes passées loin de leurs bases,
devaient d'une façon ou d'une autre être alimentés en
clefs. Plus loin de nous, les utilisateurs du chiffre de
Vigenère devaient trouver un moyen pour transmettre
le mot-clef de l'expéditeur au destinataire. Aussi sûr
que soit un chiffrement en théorie, il est fragilisé en
pratique par le problème de distribution de la clef.

Dans une certaine mesure, les gouvernements et les
armées ont pu résoudre ce problème en y consacrant
beaucoup d'efforts et en ne ménageant pas les investissements. Leurs messages sont d'une telle importance
qu'ils iront aussi loin que nécessaire pour assurer une
distribution sûre de la clef. Les clefs du gouvernement
américain sont gérées et distribuées par la COMSEC,
abrégé de Communications Security. Dans les
années 70, la COMSEC acheminait des tonnes de clefs
chaque jour. Quand des bateaux transportant du maté-
riel de la COMSEC arrivaient à quai, des crypto-gardes
montaient à bord, récupéraient des tas de cartes, des
rouleaux de papier, des disques souples, ou n'importe
quel autre support sur lequel les clefs avaient été stockées, et les portaient à leurs destinataires.

La distribution des clefs peut sembler une question
annexe, mais elle constitua le problème primordial
pour les cryptographes de l'après-guerre. Si deux per-
sonnes voulaient communiquer en toute sûreté, elles
devaient s'en remettre à une troisième pour acheminer
la clef, et ce maillon était le plus faible de la chaîne.
Pour les transactions commerciales, le dilemme se
posait clairement : si les gouvernements, avec tout leur
argent, avaient peine à garantir la sécurité de leurs
clefs, comment des entreprises civiles pourraient-elles
jamais espérer jouir d'une distribution de clefs sûre et
non ruineuse ?

Vers 1975, enfin, une bande de francs-tireurs trouva
la solution de ce problème réputé insoluble. Ils mirent
au point un système de chiffrement qui semblait défier
toute logique. Si les ordinateurs ont transformé l' application du chiffrement, la plus grande révolution du
xx e siècle a été le développement des techniques pour
résoudre le problème de distribution des clefs. Aussi
cette découverte est-elle considérée comme la plus
grande réussite en cryptologie depuis l'invention
du chiffre monoalphabétique, il y a plus de deux
mille ans.

Ils passèrent des mois à chercher une solution. Chaque
idée aboutissait à un échec, mais ils agissaient en bons
fous, et persévéraient. Ils concentrèrent leur recherche
sur diverses fonctions mathématiques. Une fonction est
n'importe quelle opération qui transforme un nombre
en un autre nombre. Par exemple doubler est une fonction, puisque cette opération transforme le 3 en 6, ou
le 9 en 18. De plus, nous pouvons envisager toutes les
formes de chiffrement informatique comme des fonctions, puisqu'elles transforment un nombre - le texte
clair - en un autre nombre, le texte chiffré.
La plupart des fonctions mathématiques sont réversibles, puisqu'elles sont aussi simples à défaire qu'à
faire. Doubler est ainsi réversible puisqu'il est facile
de retrouver le nombre d'origine à partir de son double.
Si nous savons que le résultat du doublement est 26, il
est enfantin de déduire que le nombre d'origine est 13.

Diffie et Hellman n'étaient pas intéressés par ces
fonctions réversibles. Leur centre d'intérêt était les
fonctions à sens unique. Comme leur nom le suggère,
ces fonctions sont faciles à appliquer, mais très difficiles à inverser : elles sont virtuellement non-irréversibles. Voyons à nouveau un exemple du quotidien.
Mélanger de la peinture jaune et de la peinture bleue
pour obtenir du vert est une fonction à sens unique,
puisqu'il est facile le de mélanger les peintures et impossible de retrouver les couleurs d'origine. Une autre
fonction à sens unique est de casser un œuf, car il vous
est impossible ensuite de le reconstituer.

L'arithmétique modulo, parfois appelée à l'école
arithmétique de l'horloge, est un domaine des mathématiques riche en fonctions à sens unique. Dans l'arithmétique modulo, les mathématiciens considèrent un
ensemble fini de nombres arrangés en boucle, un peu
comme les nombres sur une horloge. La figure 46
montre une horloge pour un modulo 7 (ou mod 7) qui
a seulement 7 nombres de 0 à 6. Pour effectuer 2 + 3,
nous partons de 2 et nous avançons de 3 places pour
arriver à 5, ce qui donne la même réponse que l'arithmétique normale. Pour faire 2 + 6, nous partons de 2
et avançons de 6 places, mais cette fois nous avons
effectué un tour complet sur la boucle et nous atteignons le l, qui n'est pas le résultat habituel en arithmétique.

Ces résultats peuvent s'exprimer ainsi :

2 + 3 = 5 (mod 7) et 2 + 6 = 1 (mod 7)

L'arithmétique modulo est relativement simple, et
nous l'utilisons tous les jours lorsque nous parlons de
l'heure. S'il est 9 heures maintenant, et que nous avons
un rendez-vous dans 8 heures d'ici, nous pouvons dire
que notre rencontre aura lieu à 5 heures de l' après-
midi, plutôt qu'à 17 heures. Nous avons calculé mentalement 9 + 8 (mod 12).

Imaginons le cadran de l'horloge, regardons le 9, puis tournons de 8 places, et nous arrivons à 5 :

9 + 8 = 5 (mod 12)

Plutôt que de visualiser des horloges, les mathématiciens appliquent souvent la recette suivante pour abréger les calculs de modulo. Effectuons d'abord le calcul en arithmétique normale. Ensuite, pour connaître le
résultat en (mod x), divisons la réponse normale par x
et notons le reste. Ce reste constitue la réponse en
(mod x). Pour trouver la réponse à 11 x 9 (mod 13),
nous procédons comme suit :

I1 x 9 = 99

99 : 13 = 7, reste 8

11 x 9 = 8 (mod 13)

Les fonctions effectuées en arithmétique modulo
tendent à se comporter de manière erratique, ce qui
les transforme parfois en fonction à sens unique. Cela
devient évident lorsqu'une fonction simple en arithmétique normale est comparée à la n1ême fonction en
arithmétique modulo. Dans la première, la fonction
sera à double sens et aisément inversible. Dans la
seconde, elle sera à sens unique et difficilement inversible. Prenons par exemple la fonction 3x. Cela veut
dire : prendre un nombre (x), puis multiplier 3 par lui-
même x fois pour trouver le nouveau nombre. Si x = 2,
effectuons cette opération :

3 ^2 = 3 x 3 = 9

Autrement dit, la fonction transforme 2 en 9. En
arithmétique ordinaire, plus la valeur de x croît, plus
le résultat croît. Si l'on nous donnait le résultat de
l'opération, il nous serait assez facile de revenir en
arrière et de déduire le nombre d'origine. Si le résultat
est 81, on peut en déduire que x = 4, puisque 3^ 4 = 81.

Si nous nous trompons et croyons que x = 5, nous
trouverons que 3 5 = 243, ce qui nous prouve que notre
valeur attribuée à x était trop grande. Bref, même si
nous nous trompons, nous pouvons retrouver l'exacte
valeur de x et effectuer à l'envers la fonction.

En arithmétique modulo, cette même fonction ne se
comporte pas si raisonnablement. Imaginons que l'on
nous dise que 3 x en modulo 7 = 1, et que l'on nous
demande de trouver la valeur de x. Aucune valeur ne
nous vient à l'esprit, car nous sommes peu familiers,
pour la plupart, avec l'arithmétique modulo. Nous pouvons supposer que x = 5 et chercher le résultat de 3^5
(mod 7). Le résultat donnera 5, ce qui est trop élevé
puisque nous cherchons un résultat égal à 1. Nous pouvons être tentés de réduire la valeur de x et d'essayer
à nouveau. Mais nous irons dans la mauvaise direction
puisque la réponse exacte est x = 6.

En arithmétique normale, nous pouvons essayer des
nombres et sentir si nous brûlons ou si nous gelons. Le
contexte de l'arithmétique modulo n'offre pas de prises
utiles, et inverser les fonctions est bien difficile. Sou-
vent, le seul moyen pour inverser une fonction en
modulo est de constituer une table en calculant la fonction avec diverses valeurs attribuées à x, jusqu'à ce que
l'on tombe sur la bonne solution. Le tableau 25 montre
les résultats obtenus en appliquant plusieurs valeurs à
la fonction, à la fois en arithmétique normale et en
arithmétique modulo. Si établir une telle table est un
peu fastidieux lorsqu'on travaille sur d'assez petits
nombres, cela devient extrêmement pénible avec une
fonction comme 453 x (mod 21 997). C'est un exemple
classique de fonction à sens unique, car je peux attribuer une valeur à x et calculer le résultat de la fonction,
mais si je vous donne un résultat, disons 5 787, vous
aurez une. immense difficulté à inverser la fonction et
à trouver quel x j'avais déterminé. Il ne m'a fallu que
quelques secondes pour effectuer mon calcul, mais il
vous en coûtera des heures pour établir une table et
trouver l'x que j'avais choisi.

Après deux années consacrées à l'arithmétique
modulo et aux fonctions à sens unique, la fantaisie de

Hellman commença à se révéler payante. Au printemps
1976, il eut l'idée d'une stratégie résolvant le problème
de l'échange de clefs. En une demi-heure de gribouillage frénétique, il prouva qu'Alice et Bernard poùvaient convenir d'une clef sans se rencontrer, Hellmàn
rendait ainsi caduc un axiome qui avait fait la loi pendant des siècles. Son idée reposait sur une fonction à
sens unique de forme y^x (mod P). D'abord, Alice et
Bernard se concertaient sur les valeurs attribuées à Y ,
et P. A peu près toutes les valeurs sont possibles, avec
cependant quelques restrictions, telles que : P doit être
premier et Y inférieur à P. Ces valeurs ne sont pas
secrètes, aussi Alice peut-elle téléphoner à Bernard et
suggérer, disons, que Y = 7 et P = Il. Même si la ligne
téléphonique n'est pas sûre et que la malveillante Eve
écoute la conversation, c'est sans importance, comme
nous allons le voir. Alice et Bernard sont maintenant
convenus de la fonction à sens unique 7^X (mod 11). À
cet instant, ils peuvent entamer le processus visant à
établir une clef secrète sans se rencontrer.

Alice et Bernard ont défini la
même clef, qu'ils peuvent utiliser pour chiffrer un mes-
sage. Par exemple, ils peuvent utiliser leur nombre, 9,
comme clef pour un chiffrement en DES.

Hellman avait renversé un des piliers de la cryptographie et prouvé qu'Alice et Bernard n'avaient pas
besoin de se rencontrer pour convenir d'une clef
secrète. Ensuite, quelqu'un devrait simplement arriver
avec un schéma plus efficace pour que le problème de
la distribution des clefs soit tout à fait surmonté.

(...)
Au cœur du chiffre asymétrique de Rivest se trouve
une fonction à sens unique basée sur le type des fonctions modulo décrites plus haut. La fonction à sens
unique de Rivest peut être utilisée pour crypter le message. On introduit dans la fonction ce message qui, en
fait, est un nombre, et le résultat est le texte chiffré, un
autre nombre. Je ne décrirai pas en détail la fonction
de Rivest (voir Annexe J), mais j'expliquerai un des
aspects qui lui sont propres, appelé simplement N parce
que c'est ce N qui rend la fonction réversible sous certaines conditions, et donc idéale pour être appliquée à
un chiffre asymétrique.

N est important parce qu'il est le composant variable
de la fonction à sens unique, ce qui entraîne que
chaque personne peut choisir pour N une valeur différente, et personnaliser la fonction. Pour choisir sa
valeur personnelle de N, Alice prend deux nombres
premiers, p et q et les multiplie l'un par l'autre. Un
nombre premier n'a pas de diviseur, hors lui-même et
1. Par exemple 7 est un nombre premier parce qu'aucun chiffre ne le divise sans qu'il Y ait un reste. De
même 13 est un nombre premier parce que seuls 1 et
13 le divisent sans laisser de reste. En revanche, 8 n'est
pas un nombre premier, puisqu'on peut le diviser par
2 et par 4.
Alice pourrait ainsi choisir comme nombres premiers p = 17 159 et q = 10 247. Multiplier ces nombres
l'un par l'autre donne :

N = 17 159 x 10247 = 175828273.

Le choix d'Alice pour N devient sa clef publique,
elle peut l'imprimer sur sa carte de visite, la mettre sur
Internet ou la publier dans un annuaire de clefs
publiques avec toutes les autres valeurs de N appartenant à d'autres personnes. Si Bernard veut crypter un
message pour Alice, il se, procure la valeur du N
d'Alice (175 828 273) et l'insère dans la formule générale de la fonction à sens unique, elle aussi de notoriété
publique. Bernard dispose maintenant d'une fonction à -
sens unique taillée sur mesure avec la clef d'Alice,
qu'on peut appeler la fonction à sens unique d'Alice.
Pour crypter un message pour Alice, il prend la fonction d'Alice, y insère le message, en note le résultat et
l'envoie à Alice.

Jusque-là, le message crypté est en sécurité puisque
personne ne peut le déchiffrer. Le message a été chiffré
par une fonction à sens unique ; inverser cette fonction
et décrypter le message sont, par définition, virtuelle-
ment impossibles. Pourtant, une question demeure :
comment Alice peut-elle décrypter le message ? Pour
lire les messages qu'on lui adresse, Alice doit avoir un
moyen d'inverser la fonction à sens unique. Un élément doit lui permettre de décrypter le message. Heureusement pour Alice, Rivest a élaboré une fonction à
sens unique qui peut être inversée par quelqu'un
connaissant la valeur de p et de q, les deux nombres
premiers qui ont été multipliés pour donner N. Bien
qu'Alice ait dit à tout le monde que sa valeur pour N
était 175 828 273, elle n'a pas révélé les valeurs de p
et de q ; elle seule dispose donc de cette information
nécessaire pour décrypter les messages.

Nous pouvons voir en N la clef publique, une information disponible pour n'importe qui, une information
nécessaire pour crypter les messages destinés à Alice.
Alors que p et q sont la clef privée, utilisable par Alice
seulement, l'information indispensable pour décrypter
ces messages.

Les modalités précises de l'utilisation de p et de q
pour inverser la fonction à sens unique sont décrites
dans l'Annexe J. Pourtant, il y a une question qui se
pose immédiatement. Si tout le monde connaît N, la
clef publique, alors n'est-il pas facile d'en déduire p et
q, la clef privée, et de lire les messages d'Alice ? Après
tout, N a été créé en partant de p et de q. En fait il se
trouve que si N est assez grand, il est pratiquement
impossible d'en déduire p et q, et c'est peut-être l'aspect le plus intéressant et le plus élégant du chiffre
asymétrique RSA.

Alice a créé N en choisissant p et q et en multipliant
l'un par l'autre. Le point fondamental est que cette
action est en elle-même une fonction à sens unique.
Pour démontrer l'irréversibilité de la multiplication de
nombres premiers, prenons deux nombres premiers
9 419 et 1933, et multiplions-les. Une machine à calculer fournit la réponse, en quelques secondes :
18 206 927. Si, au contraire, on nous donne 18 206 927
en nous demandant de trouver les facteurs premiers
(les deux nombres qui, multipliés l'un par l'autre, ont
donné 18 206 927), cela prendra beaucoup plus de
temps. Si vous en doutez, réfléchissez à ceci : cela m'a
pris dix secondes pour générer le nombre 1 709 023,
mais il vous faudra, avec votre machine à calculer,
presque tout un après-midi pour en sortir les facteurs
premiers.

Ce cryptosystème, le RSA, est une forme de
la cryptographie à clef publique. Pour vérifier sa sécu-
rité, mettons-nous à la place d'Ève, et essayons de saisir un message d'Alice à Bernard. Pour crypter son
message, Alice consulte la clef publique de Bernard.

Pour constituer sa clef publique, Bernard a choisi ses
propres nombres premiers, PB et qB et les a multipliés
l'un par l'autre pour obtenir NB. Il a gardé secret PB et
qB, qui forment sa clef privée, mais a rendu publique
NB qui est 408 508 091. Alice insère donc la clef
publique de Bernard dans la fonction générale à sens
unique de chiffrement, et crypte son message. Lorsque
le message lui parvient, Bernard peut inverser la fonction et le décrypter, en utilisant les valeurs de PB et
qB qui constituent sa clef privée. Entre-temps, Eve a
intercepté le message. Sa seule chance de le décrypter
est d'inverser la fonction à sens unique, ce qu'elle ne
peut faire sans connaître PB et qB. Bernard a tenu
secrets PB et qB mais Ève, comme tout le monde, sait
que NB est 408 508 091. Ève tente donc de déduire les
valeurs de PB et qB en sortant les nombres qui, multi-
pliés l'un par l'autre, peuvent donner 408 508 091, pro-
cédé appelé factorisation.

Combien de temps exactement faudra-t-il à Ève pour
trouver les facteurs diviseurs de 408 508 091 ? Il Y a
plusieurs recettes pour essayer de factoriser NB. Certaines sont plus rapides que d'autres, mais toutes exigent de vérifier si chaque nombre premier peut ou non
diviser NB sans laisser de reste. Par exemple, 3 est un
nombre premier mais n'est pas un diviseur de
408 508 091 puisque 3 ne divise pas parfaitement
408 508 091. Eve passe donc au nombre premier suivant, le 5. Le 5 ne convient pas non plus, Ève passe
au suivant, et ainsi de suite.

Enfin elle arrive à 18 313,
le 2 OOOe nombre premier, qui est un facteur de
408 508 091. Ayant trouvé l'un des facteurs, il devient
facile d'avoir l'autre, qui se révèle être 22 307 . Avec
une machine à calculer pouvant tester quatre nombres
premiers à la minute, Ève aurait mis 500 minutes, soit
plus de huit heures, pour identifier PB et qB. Autrement
dit, Ève trouverait la clef secrète de Bernard et pourrait
ainsi déchiffrer le message en moins d'un jour.

Ceci ne peut être considéré comme une sécurité de
haut niveau, mais Bernard aurait pu choisir des
nombres premiers beaucoup plus grands et augmenter
ainsi la défense de sa clef privée. S'il avait choisi des
nombres premiers aussi élevés que 10 65 (ce qui veut
dire 1 suivi de 65 zéros, ou cent mille millions de mil-
lions de millions de millions de millions de millions
de millions de millions de millions de millions), cela
aurait donné une valeur à N d'environ 10^ 65 x 10^65 =
10^ 13 0. Un ordinateur peut multiplier les deux nombres
premiers et générer N en une seule seconde, mais si
Eve tentait d'inverser le procédé et de trouver p et q,
cela lui prendrait un temps démesuré. Combien de
temps exactement ? cela dépend de la rapidité de son
ordinateur. L'expert en sécurité Simon Garfinkel estimait qu'un ordinateur à 100 MHz d'Intel Pentium avec
une RAM de 8 mégabits mettrait à peu près cinquante
ans à factoriser un nombre aussi élevé que 10 ^130. Les
cryptographes ont une certaine tendance à la paranoïa
et envisagent les pires circonstances, comme une
conspiration mondiale pour faire céder leurs chiffres.
Aussi Garfinkel étudia-t-il ce qui se passerait si cent
millions d'ordinateurs personnels (le nombre d'ordinateurs vendus en 1995) se liguaient. Le résultat serait
qu'un nombre tel que 10^130 pourrait être factorisé en
15 secondes environ. On a donc considéré que pour
assurer une réelle sécurité, il fallait utiliser des
nombres premiers vraiment géants. Pour des transactions bancaires importantes, N tend à être au moins de
10 308 , ce qui est dix millions de milliards de milliards
de milliards de milliards de milliards de milliards de
milliards de milliards de milliards de milliards de mil-
liards de milliards de milliards de milliards de milliards
de milliards de milliards de milliards de milliards de
fois plus élevé que 10 130 ! Les efforts combinés de cent
millions de personnes avec leurs ordinateurs prendraient plus de mille ans pour faire céder un tel chiffre.

Avec des valeurs suffisantes attribuées à p et q, RSA
était imprenable.

Le seul risque pour la sécurité du cryptosystème
RSA à clef publique serait que, dans le futur, quel-
qu'un trouve un moyen rapide pour factoriser N. On
peut imaginer que dans dix ans, ou pourquoi pas
demain, quelqu'un découvrira une méthode de factorisation rapide, et RSA deviendra immédiatement
périmé. Toutefois, depuis plus de deux mille ans les
mathématiciens ont essayé de trouver une voie rapide
sans y parvenir et, à l'heure actuelle, factoriser réclame
toujours un temps de calcul considérable. La plupart
des mathématiciens pensent que ces difficultés sont
inhérentes à la factorisation, et que certaines lois
mathématiques interdisent tout raccourci. S'ils ont rai-
son, le RSA semble sûr pour l'avenir immédiat.
Le grand avantage de la cryptographie à clef
publique RSA est qu'elle en finit avec tous les problèmes associés aux chiffres traditionnels et à
l'échange de clefs. Alice n'a plus à se soucier du trans-
port de la clef pour Bernard, ni à s'inquiéter d'une
interception d'Ève. En fait, peu importe à Alice que
quelqu'un d'autre voie la clef publique - plus on est
de fous, plus on rit - puisque cette clef ne sert qu'au
chiffrement et non au déchiffrement, et qu'Alice peut
la garder toujours sur elle.

RSA fut présenté pour la première fois en août 1977
dans un article signé par Martin Gardner et intitulé A
New Kind of Cipher that Would Take Millions of Years
to Break, dans sa rubrique de jeux mathématiques du
Scientific American. Après avoir expliqué comment
fonctionne la cryptographie à clef publique, Gardner
proposait un concours à ses lecteurs. Il publiait un texte
chiffré et donnait la clef publique utilisée pour son
chiffrement :

N = 114 381 625 757 888 867 669 235 779 976 146 612
010218296721 242362 562 561 842 935 70'6935
245 733 897 830 597 123 563 958 705 058 989 075
147 599290026 879 543 541.

Le jeu consistait à factoriser N en p et q, et à utiliser
ensuite ces nombres pour déchiffrer le message. Le
prix était de cent dollars. Gardner n'avait pas la place
pour expliquer en détail le RSA, il demandait donc
aux lecteurs d'écrire au Laboratoire du MIT qui leur
enverrait une note technique. Rivest, Shamir et Adleman furent étonnés de recevoir mille demandes. Ils n'y
répondirent d'ailleurs pas immédiatement, craignant
que la diffusion de leur idée ne compromette leurs
chances d'obtenir un brevet. Lorsque cela fut fait, le
trio organisa une réunion pour fêter l'événement. Pro-
fesseurs et étudiants eurent droit à des pizzas et à de
la bière, et furent invités aussi à mettre la note tech-
nique' sous enveloppe pour les lecteurs du Scientific
American.

Quant au concours de Gardner, il a fallu dix-sept ans
pour que le chiffre soit brisé. En avril 1994, une équipe
de six cents volontaires révéla les facteurs de N.
q = 3490529510847650949 147 849619903 898
133 417 764638 493 387 843 990 820 577.
p = 32 769 132 993 266 709 549 961 988 190 834461
413 177 642 967 992 942 539 798 288 533.

En utilisant ces valeurs comme clef privée, ils furent
capables de déchiffrer le message. Celui-ci était une
série de nombres, qui convertis en lettre donnèrent :
The magic words are squeamish ossifrage. La factorisation avait été confiée à des volontaires appartenant à
des pays aussi éloignés que l'Australie, l'Angleterre,
les Etats-Unis et le Venezuela. Ils consacrèrent leurs
loisirs à travailler sur des ordinateurs, chacun étant
chargé d'une fraction du problème. Même en tenant
compte de l'organisation considérable nécessitée par
ces calculs en parallèle, certains lecteurs seront surpris
que le système RSA ait été brisé en un temps si court,
mais il faut noter que le concours portait sur une valeur
de N relativement petite, de l'ordre de 10 129 . Aujourd'hui, les utilisateurs de RSA prendraient une valeur
beaucoup plus élevée pour protéger une information
importante. Il est maintenant courant de crypter un
message avec une valeur de N telle que tous les ordinateurs de la planète auraient besoin d'un temps plus long
que l'âge de l'univers pour briser le chiffre.

Dialectique de la nature : l'exemple des virus

Alex — 2020-12-14T23:10:00Z

L'actualité rend les virus, au moins l'un d'entre eux, le sujet permanent des grands media. La pandémie pourrait être l'occasion d'une grande campagne de vulgarisation scientifique. L'ADN et l'ARN sont un des signes tangibles de l'unité du vivant, donc de la théorie de l'évolution de Darwin. Mais cette pandémie étant utilisée par les Etats comme un outil de réaction politique, des millions de gens ne savent sans doute toujours pas ce qu'est un virus, malgré les centaines d'heures de palabres de « scientifiques » servant de porte-parole au pouvoir.

Or au delà des questions techniques, et de la politique sanitaire qui devrait être mise en oeuvre, les virus devraient intéresser les militants du mouvement ouvrier car ils illustrent une des lois fondamentales de la dialectique : l'unité des contraires. L'importance ce cette loi, en biologie comme en politique, est soulignée par Lénine dans son texte Sur la question de la dialectique :

Le dédoublement de l'un et la connaissance de ses parties contradictoires est le fond (une des « essences », une des particularités ou marques fondamentales, sinon la fondamentale) de la dialectique. C'est ainsi que Hegel également pose la question (...)

La justesse de cet aspect du contenu de la dialectique doit être vérifiée par l'histoire de la science. Habituellement (par exemple chez Plékhanov) on ne prête pas assez attention à cet aspect de la dialectique : l'identité des contraires est prise comme somme d'exemples [« par exemple, le grain » ; « par exemple, le communisme primitif ». Chez Engels aussi. Mais c'est « pour la vulgarisation »...] , et non comme loi de la connaissance (et loi du monde objectif). (...)

L'identité des contraires (leur « unité », dirait-on peut-être plus exactement, bien que la distinction des termes identité et unité ne soit pas ici particulièrement essentielle. En un certain sens, les deux sont justes) est la reconnaissance (la découverte) des tendances contradictoires, s'excluant mutuellement, opposées, dans tous les phénomènes et processus de la nature (dont ceux de l'esprit et de la société). La condition pour connaître tous les processus de l'univers dans leur « automouvement », dans leur développement spontané, dans leur vie vivante, est de les connaître comme unité de contraires. Le développement est « lutte » des contraires.

Les virus illustrent cette unité des contraires, sous la forme de la question : sont-ils vivants ou non ? Les deux ! répond le spécialiste Pierre Lépine, scientifique qui ne se réclame pas ouvertement de la dialectique, mais la justifie de fait en répondant : les virus sont une matière à la fois vivante et inerte.

Les quelques difficultés techniques de son texte que nous allons citer ne doivent pas empêcher de comprendre la conclusion de ce scientifique. Elles témoignent juste du fait que comme le remarque Lénine, c'est du développement de la science elle-même que résulte l'apparition de figures de la dialectique, pas d'un ajout artificiel venant de l'extérieur.

Les virus sont-ils vivants ?

Nous en savons assez maintenant sur les virus pour aborder la question de la nature intime des virus : sont-ils vivants ? Sont-ils inanimés ?

Il s'agit là d'un problème qui s'est posé dès l'origine même des travaux sur les virus. Lorsque Pasteur renonçait, après de nombreux essais, à voir le microbe de la rage, il pensait simplement qu'il avait affaire à un germe plus petit que les germes visibles au microscope. Au contraire, lorsque Beijerinck faisait franchir une paroi de porcelaine au virus infectieux de la mosaïque du tabac, il en concluait qu'il s'agissait d'un contage fluide d'une nature différente des agents infectieux jusque là reconnus.

La découverte du bactériophage divisait de même les bactériologistes entre ceux qui y voyaient, avec d'Hérelle, un germe animé, un « microbe des microbes », et ceux qui au contraire, avec Bordet et Ciuca, en faisaient un facteur inanimé de lyse [destruction] héréditairement transmissible.

Enfin la cristallisation des virus à la suite des travaux de Stanley, en raison de l'idée de matière inanimée qui, pour nous, est associée à la notion de cristallisation, apportait un fort argument aux tenants de la nature non vivante des virus et de leur origine endogène. Il a trouvé son expression dans le terme « virus protéine » qui a été à l'époque employé pour désigner les virus considérés comme des macromolécules douées du pouvoir de reproduction autocatalytique aux dépens des protéines de l'organisme hôte.

Il est indiscutable, d'autre part, qu'une tendance naturelle des microbiologistes les conduit à envisager les virus comme des organismes doués d'une spécificité autonome, et à les intégrer à ce titre dans l'échelle des êtres vivants. C'est méconnaître l'absence d'homogénéité qui existe dans l'ensemble des virus. A l'extrémité supérieure de leur échelle, nous trouvons des organismes de structure et de morphologie complexes, doués d'une apparence de noyau (nucléoïde), de protoplasme (viroplasme) et de membrane, et dont la composition chimique est très proche de celle des bactéries. A l'autre extrémité se trouvent des particules très simples, de structure relativement homogène, réductibles à des acides nucléiques qui peuvent être obtenus à l'état de grande pureté chimique sous forme cristalline sans rien perdre de leur pouvoir infectant. Comment, de ces faits en apparence contradictoires, nous faire de la nature des virus une opinion cohérente ?

En réalité, la question qui surgit lorsque l'on aborde le problème de la nature des virus est la suivante : les virus sont-ils représentatifs d'un état précellulaire, d'une ascension vers une autonomie complète d'éléments progressivement individualisés de la cellule, ou sont-ils au contraire les formes dégénérées d'organismes adaptés à une vie parasitaire, progressivement dépouillés des possibilités d'un métabolisme indépendant de celui de leur hôte ? En d'autres termes, les virus ont-ils une origine interne ou au contraire externe à la cellule ?

Dans l'hypothèse endogène, les virus sont des éléments devenus anormaux, dérivés aberrants de constituants normaux de la cellule comme les chromosomes et les mitochondries. Ils peuvent théoriquement apparaitre sans que rien les ait précédés et nous devons nécessairement admettre la possibilité de leur génération spontanée. Dans l'hypothèse exogène, ce sont des agents infectieux qui pénètrent dans les cellules par effraction et qui, si leur taille et leurs propriétés les distinguent des microbes visibles, représentent la descendance de germes semblables entre eux, reproduits au sein d'autres cellules sensibles et dont rien n'autorise à supposer la génération spontanée.

Au vrai, à l'échelle des structures polymoléculaires qui est celle des virus, la question de la vie perd la plus grande partie de son sens. Si même les virus de petite taille se comportent indiscutablement comme des agents des maladies infectieuses, notion que depuis Pasteur nous associons à celle d'être animé, leur structure rudimentaire, leur équipement enzymatique réduit, leur composition relativement simple les rapprochent des composés courants de la chimie organique. D'autre part, le concept de vie est communément confondu dans notre esprit avec celui d'êtres vivants, d'individus appartenant à une espèce zoologique ou botanique définie. En pensant à la vie, nous évoquons, consciemment ou non, un ensemble de fonctions distinctes et apparemment indissociables : activité, motricité, assimilation, respiration, croissance, reproduction, etc. Il est pourtant évident que certaines de ces fonctions ne résistent pas à l'analyse, en ce sens que la vie peut exister sans elle, telle la motricité qui manque chez la plupart des végétaux, la respiration, l'assimilation qui peuvent chez les êtres inférieurs être complètement suspendues pendant de longs mois.

Si l'on descend l'échelle des êtres organisés, on voit se réduire progressivement le nombre des fonctions indispensables à la vie, finalement limitée aux propriétés essentielles de la matière organique, doués de continuité génétique, dont se compose chaque être à l'état vivant. la frontière entre la vie et la mort devient ainsi fixée non aux limites de l'individu, ni même à celle de la cellule, mais au fossé qui doit logiquement séparer la matière organique vivante autoreproductible de la matière organique inanimée. C'est ici qu'est le noeud du problème en ce qui concerne les virus, celui par lequel ces agents infectieux se montrent parfois si proche des gènes, support matériel de l'hérédité groupés dans les chromosomes et qui comme les virus sont liés étroitement au fonctionnement de la cellule et à sa reproduction.

Vivants ou inanimés, les virus seraient donc à la fois l'un et l'autre, ou plus exactement ils seraient successivement l'un et l'autre, car il importe de souligner que leur autoreproduction avec continuité génétique ne se manifeste qu'au sein des cellules vivantes. Hors de la cellule le virus ne se distingue en rien d'un quelconque composé organique ; il ne se reproduit jamais. Dans la cellule, il ne se reproduit qu'autant que celle-ci est encore capable de synthèses. Nous avons vu que la multiplication des virus exige leur intégration au métabolisme de la cellule, cette dernière reproduisant le virus plus que le virus ne se reproduit lui-même. De telle sorte que le processus pathologique, qui dans la cellule aboutira à la réplication du virus, autant que l'oeuvre du virus l'oeuvre de la cellule elle-même. Car la différence essentielle entre le virus et la cellule repose sur le fait que cette dernière, possédant à la fois les deux acides nucléiques, ADN et ARN, indispensables au cycle de Lipmann qui permet la synthèse de la matière organique à partir des éléments et des composés inorganiques, peut assurer elle-même sa croissance et sa reproduction, alors que le virus, ne possédant qu'un seul acide nucléique, en est incapable et qu'il est par là condamné à dépendre de l'équipement enzymatique et du potentiel de synthèse d'une cellule vivante.

Mais ce faisant, rien ne prouve et rien n'indique que les virus ne soient pas d'origine exogène, c'est-à-dire que tout en perdant hors de la cellule les attributs de la matière animée, ils ne cessent pas d'être des agents infectieux bien que ne possédant pas, par eux-mêmes et de façon autonome, les fonctions de la vie.

Différents, enfin, par leur spécificité antigénique, des organites de la cellule, les virus constituent de fait une classe à part.

Résumons-nous : les virus ne sont pas des organismes complets, ils ne sont pas davantage de simples macromolécules autoreproductibles ; les virus ne sont pas des organites aberrants ni des constituants dégénérés de la cellule. Ils ont une complexité de structure, une spécificité antigénique qui leur est propre, une continuité génétique : ils se reproduisent, mais ne peuvent le faire de façon autonome sans l'intervention d'une cellule vivante. Les virus ne peuvent être rattachés à aucun autre système biologique : ils sont virus et c'est tout.

Introduction à la dialectique de la nature

Robert Paris — 2010-08-15T07:43:44Z

Engels écrivait dans l'« Anti-Dühring » : « La nature est le banc d'essai de la dialectique et nous devons dire à l'honneur de la science moderne de la nature qu'elle a fourni pour ce banc d'essai une riche moisson de faits qui s'accroît tous les jours. » C'est ce mouvement sans cesse renouvelé, ce dialogue contradictoire permanent entre nature et philosophie, qui permet que la pensée sur le monde, à la fois matérialiste et dialectique, reste dynamique et proche de la réalité sans s'enliser dans une espèce de métaphysique. Lorsqu'à nouveau, la science fournit cette « riche moisson », il est nécessaire de recommencer à y plonger notre philosophie, c'est-à-dire d'enrichir la conception dialectique et matérialiste d'exemples tirés des sciences contemporaines pour en tirer de nouvelles analyses. Qu'y a-t-il de fondamentalement nouveau en sciences, peut se demander le lecteur assidu des revues scientifiques qui constate bien des progrès mais peu d'idées vraiment nouvelles par leur contenu fondamental, peu de nouvelles conceptions philosophiques. Nous allons tenter de montrer que les représentations novatrices sont bel et bien là, même si les revues donnent plus volontiers la place au caractère technique des découvertes qu'au changement conceptuel qu'elles représentent.

La littérature spécialisée en philo/sciences a surtout choisi de retenir au plan philosophique que la physique quantique et la relativité semblaient indiquer une limite à l'Homme dans sa capacité de connaître le monde. On a même parlé d'indéterminisme à ce propos. Avec le quanta, la connaissance sur la matière/lumière avait soi-disant atteint une frontière. On ne pouvait descendre en dessous de cette limite dans notre connaissance. Mais ce n'est pas ainsi que la physique quantique parle : elle affirme que la nature ne descend pas en dessous du quanta en termes d'objet, de mouvement, d'interaction, de précision. Et aussi que les quantités ne peuvent être que des multiples d'un quanta, donc des nombres entiers. Ce n'est pas la même chose du tout. Mais ceci ne concerne que la matière/lumière. Reste la question : le vide contient-il des éléments qui descendent en dessous du quanta ? En effet, on a découvert la structure du vide et cela change fondamentalement nos idées en la … matière. Le vide n'est plus l'opposé de la matière et de la lumière mais une matière fugitive, dite virtuelle, qui fait le lien entre matière et lumière, qui explique l'existence même de la matière, de sa durabilité. C'est le vide qui produit la lumière et la matière, sous leurs diverses formes. Du coup, le monde de la matière n'est plus limité par les inégalités d'Heisenberg, ces fameuses limitations dues aux quanta. Dans le vide, il existe une « matière » qui descend d'un niveau d'organisation en dessous, et même plusieurs sortes de matière qui descendent de plusieurs niveaux d'organisation, puisque qu'existe le virtuel de virtuel, etc… Le vide se matérialise donc. Et nous verrons, inversement, que la matière se bâtit à partir du vide. Enfin, le passé pénètre le présent. On savait qu'on allait vers le passé en portant notre regard dans les étoiles et galaxies lointaines. On sait maintenant qu'en entrant dans les échelles inférieures, on va également vers le passé. Dans le vide, en l'absence de matière, il n'y a même plus de directivité du temps. Passé et présent, matière et vide sont donc interpénétrés à l'infini. La flèche du temps est bien un phénomène émergent issu d'un grand nombre d'interactions de la matière et du vide. La matière est issue du vide mais, en même temps, elle en est la négation. De même que le vide est la négation du virtuel de virtuel.

Cette interpénétration des contraires et cette émergence des structures issues de leurs interactions, on les retrouve ici comme on les a trouvés dans l'étude de la vie et de la mort, dans le combat permanent des gènes et des protéines de la vie et de celles de la mort. Nos images de la matière et de la vie, et même de l'homme, sont profondément changées. Notre philosophie aurait également besoin de l'être, mais ce n'est pas dans ce domaine que les idées avancent le plus vite, la société restant, à juste titre, craintive des effets qu'une philosophie du changement pourrait produire. En ce sens, il ne faut pas attendre des seuls progrès des sciences un changement des mentalités. A ce niveau aussi, ce sont les contradictions qui progressent et non le progrès qui augmente harmonieusement dans tous les domaines (science, technique, société, idéologie). L'ordre social dominant a besoin d'une philosophie de l'ordre. Ce n'est pas pour satisfaire à un point de vue sur les sciences et la nature mais pour défendre sa position dirigeante menacée par d'autres contradictions. Le maintien de l'oppression sur des milliards d'individus sur la planète nécessite une idéologie de la fatalité, de la passivité, le mythe d'un pouvoir supérieur s'imposant aux hommes et justifiant les souffrances de ceux-ci. Si l'étude des sciences est une arme pour ceux qui veulent construire une pensée révolutionnaire, elle ne peut suppléer aux idées révolutionnaires ni à la révolution sociale elle-même. Il ne s'agir pas de demander aux scientifiques, aux économistes, aux historiens, ni aux philosophes de devenir des révolutionnaires. La plupart ne le veulent pas et ce n'est pas étonnant. Par contre, nous réaffirmons la nécessité, pour ceux qui veulent comprendre le monde afin de le changer, d'appréhender la philosophie du changement, la dialectique. Les résultats récents des sciences peuvent, pour cela, être d'une aide fondamentale. Un rapide tour d'horizon de ces changements conceptuels réalisé dans ce chapitre sera suivi d'un examen domaine par domaine.

On a bien remarqué un progrès régulier des sciences et plus encore des techniques mais de là à parler de nouvelles découvertes fondamentales. Quelles sont ces innovations conceptuelles de la deuxième moitié du 20e siècle qui auraient marqué le développement des sciences, au point de mériter le terme de révolution scientifique et de nous amener à devoir modifier notre pensée sur le monde ?

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