Matière et Révolution

La discontinuité dans la conception de Friedrich Hegel

Robert Paris — 2024-03-28T23:24:00Z

La discontinuité dans la conception de Friedrich Hegel

« On dit que la nature ignore les bonds (...) or le changement n'est pas seulement quantitatif mais aussi qualitatif et consiste dans quelque chose de nouveau, d'autre, dans la rupture de la forme ancienne de l'être. »

Hegel dans « Science de la Logique »

« D'une part, la disparition apparaît comme inattendue quand on peut changer la quantité sans toucher à la qualité et à la mesure, - d'autre part, on croit la rendre intelligible par l'idée de gradualité. On se rabat avec tant de facilité sur cette catégorie pour représenter ou pour expliquer la disparition d'une qualité ou de quelque chose, parce que de cette façon la disparition semble s'accomplir devant vos yeux ; en effet, la quantité étant déterminée comme limite extérieure, la transformation purement quantitative se comprend d'elle-même. Mais en fait on n'explique rien ; la transformation est essentiellement le passage d'une qualité en une autre. (...) Ce qui est faux, c'est le comportement ... de notre conscience ordinaire qui considère une quantité comme une limite indifférente seulement... La ruse du concept consiste à saisir un être déterminé par le côté où sa qualité ne semble pas entrer en jeu. »

Hegel dans « La Grande Logique »

« Expliquer une naissance ou une disparition par la gradualité du changement entraîne l'ennui d'une tautologie ; une telle explication présuppose que le naissant ou le disparaissant sont prêts d'avance, le changement devient un simple déplacement d'une différence. »

Hegel dans « Phénoménologie de l'Esprit »

Les philosophes avaient, de longue date, remarqué les paradoxes logiques du grain et du tas de grains et autres paradoxes du continu/discontinu, qui ont fait partie des grandes découvertes philosophiques et scientifiques de Zénon d'Elée comme de celles de Friedrich Hegel.

Zénon comme Hegel ne renvoyaient pas dos à dos discontinuité et continuum et tous deux reconnaissaient le caractère fondamental et universel de la discontinuité, du saut, du changement radical et brutal comme de la quantification de l'univers.

En employant la rupture en deux parties de la dichotomie, Zénon rompait sans cesse tous les continuums apparents.

Si Hegel soulignait que continu et discontinu étaient deux parties inséparables de la contradiction, il retenait que l'univers fonctionnait pas des sauts et donnait à la discontinuité, celle de la réalité comme de son changement, du domaine matériel comme de celui de la pensée, son caractère universel.

C'est le philosophe G.W.F Hegel qui a incontestablement été le fondateur de la plus importante philosophie du discontinu, la dialectique. Hegel écrit dans « Science de la Logique » : « La nature ne fait pas de bond », dit-on ; et l'opinion ordinaire, quand il s'agit de comprendre l'avènement ou la disparition, s'imagine (...) les comprendre en se les représentant comme avènement ou disparition graduels. Mais il s'est déjà manifesté que les changements de l'être ne sont pas le passage d'une quantité en une autre quantité, mais le passage du qualitatif au quantitatif, et inversement, la transition en un autre qui est une interruption du graduel et un changement qualitatif par rapport à l'être déterminé antérieur. L'eau refroidie ne devient pas peu à peu dure (...) L'Etat a une mesure de sa grandeur quantitative au-delà de laquelle il s'écroule intérieurement sous la même constitution qui, avant son extension, faisait son bonheur et sa force. »

La philosophie d'Hegel montre que le mouvement et le changement ne peuvent s'interpréter que comme l'action des contradictions internes préexistantes et menant à une rupture avec changement qualitatif, le système pouvant sauter d'un ordre à un autre parce que ses contradictions internes basculent brutalement d'une forme à une autre.
Hegel écrit dans sa « Logique » que « Quand on veut se représenter l'apparition ou la disparition de quelque chose, on se les représente ordinairement comme une apparition ou une disparition graduelles. Pourtant, les transformations de l'être sont non seulement le passage d'une quantité à une autre, mais aussi le passage de la quantité à la qualité et inversement, passage qui entraîne la substitution d'un phénomène à un autre, est une rupture de progressivité. » Il remarque que cette constatation a un caractère universel, allant de la nature à la société. Dans tous ces domaines, il démontre la nécessité de philosopher sur la transformation qualitative et de ne pas se contenter d'une philosophie de l'observation d'objets fixes en déplacement. Le lien entre changement qualitatif et quantitatif, dans les deux sens, signifie reconnaître l'interaction d'échelle. Le mouvement est inséparable du changement, car il est impossible qu'il y ait un déplacement s'il n'y a pas un changement d'état. Le changement et le mouvement nécessitent d'être étudiés à l'aide de concepts intégrant cette capacité de transformation, donc des concepts qui ne soient ni absolus ni éternels.

Etudier les sciences, ce n'est pas seulement mesurer et trouver des transformations numériques. C'est dévoiler la source de cette capacité de la nature de produire du neuf, spontanément et sans action extérieure. La mutation de philosophie est considérable. Hegel rompt avec les notions métaphysiques. L'interaction remplace la notion ancienne de « force », dans laquelle l'action était forcément extérieure. Le mouvement n'est pas le produit d'un énergétisme ni la vie d'un vitalisme. La constance est conçue comme le produit de la transformation et elle a pour produit une transformation. L'adaptation est guidée par le mécanisme de conservation et non par un but de transformation. C'est également la conservation qui contraint aux transformations brutales en ayant accumulé des contradictions. Le négatif est au sein du positif et le positif au sein du négatif. La négation est indispensable à la construction. Ce qui existe mérite de périr parce qu'il contient déjà les contradictions qui causeront sa perte. Hegel écrit dans « Histoire de la philosophie » : « Il faut rendre justice à l'aspect négatif ... On doit reconnaître la contradiction présente dans l'existence (...). »

Hegel, lui-même, a parfaitement conscience que dire cela c'est faire l'éloge de la révolution puisqu'il enchaîne sur la révolution française de 1789 de la manière suivante : « Les vieilles institutions n'avaient plus de place dans le sentiment développé de la liberté consciente (...). On se comporta destructivement contre ce qui était déjà détruit intérieurement. » A l'image de la révolution française, le processus décrit par Hegel est un développement des contradictions internes du système qui, atteignant un seuil, abolissent brutalement l'ancien ordre. Hegel ne cesse de l'affirmer : l'ordre social, lui-même, contient ses propres contradictions comme toute autre structure. Karl Marx soulignait ce caractère révolutionnaire de la philosophie d'Hegel : « Sous sa forme rationnelle, la dialectique n'est, aux yeux de la bourgeoisie et de ses théoriciens, que scandale et horreur, parce que, outre la compréhension positive de ce qui existe, elle englobe également la compréhension de la négation, de la disparition inévitable de l'état des choses existant ; parce qu'elle considère toute forme sous l'aspect du mouvement, par conséquent aussi sous son aspect transitoire ; parce qu'elle ne s'incline devant rien et qu'elle est, par son essence, critique et révolutionnaire. »

Devons nous interroger un philosophe comme Hegel pour réfléchir aux propriétés de la nature comme la continuité ou la discontinuité ? Ne suffit-il pas d'observer scientifiquement les phénomènes physiques ? L'univers est-il un phénomène rationnel ou irrationnel, déterministe ou indéterministe, réversible ou irréversible, fini ou infini, linéaire ou non-linéaire, moniste ou dualiste, réductionniste ou holiste, agissant par action positive ou par négation ? La réponse nécessite une étude scientifique mais aussi une réflexion philosophique. Les concepts qu'utilise la science n'ont pas été cueillis dans la nature mais dans la philosophie. Les paramètres que l'on mesure lors des expériences ont été conçus par les scientifiques et ne sont pas imposés directement par la nature. Les raisonnements sur la nature n'ont pas été écrits sous la dictée des conditions naturelles mais dans celles de la pensée humaine.

La science examine le monde, mais elle est obligée de supputer, de raisonner, de bâtir des mécanismes de pensée que la nature n'a pas directement dictés. Certains auteurs continuent à prétendre que la science de la nature, ou que la mathématique, est fondée sur des propositions indiscutables. C'est faux. La science de la nature n'est pas nécessairement plus objective que les autres domaines de la pensée et de la société humaine. Même les éléments de sciences apparemment les plus indépendants de la pensée et les sciences apparemment indépendantes des objets de la nature, comme les mathématiques, ne le sont pas. Beaucoup affirment qu'Hegel lui-même ne pourrait pas contredire que « un plus un égale deux ». Et pourtant, le nombre « un » est déjà un concept philosophique et non une simple observation de la nature. Et dans la nature, un plus un peut faire plus que deux ! Les sciences s'appuient sur un grand nombre d'a priori philosophiques, sans nécessairement en avoir conscience, ni les remettre régulièrement en question. Même si les sciences sont réputées objectives, nous avons absolument besoin de concepts philosophiques pour raisonner.

Continu ou discontinu, gradualiste ou saltationniste, voilà deux autres questions philosophiques que nous posons à l'univers. Prétendre que le gradualisme et le continuisme, selon lesquels le monde évolue doucement et régulièrement, seraient des constatations issues directement de l'observation est aussi faux que d'affirmer que ce serait la discontinuité qui fonderait l'univers de façon évidente. Au fait, pourquoi le monde ne serait-il pas parfois continu et, à d'autres moments, discontinu ? C'est un problème que nous allons également examiner et nous constaterons que les deux conceptions sont antithétiques : l'univers est continu ou discontinu mais pas l'un des deux suivant les circonstances. Le préjugé selon lequel « la nature ne fait pas de bonds » a été considéré longtemps comme une évidence sans même qu'il y ait des preuves scientifiques et a été ouvertement présenté par les scientifiques eux-mêmes comme un choix philosophique. Un des arguments de Lyell, en faveur du graduel et de la continu, dans ses « Principes de géologie » est justement le manque de connaissance : « Dans notre ignorance de l'origine et de la nature du feu volcanique, il semble plus conforme à la prudence philosophique de croire qu'il n'y a point d'instabilité dans cette partie du système terrestre. »

L'unité des contradictions du continu et du discontinu pour Hegel :

https://www.google.fr/books/edition/La_science_universelle/a_PvDwAAQBAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Hegel+discontinu&pg=PT95&printsec=frontcover

La théorie des catastrophes

Robert Paris — 2022-09-30T22:05:00Z

La théorie des catastrophes

La matière, la lumière et la discontinuité selon le physicien Paul Langevin

Robert Paris — 2020-08-31T22:05:00Z

La matière, la lumière et la discontinuité selon le physicien Paul Langevin

« (…) L'expérience et la théorie sont d'accord pour voir dans le rayonnement et dans la matière les deux constituants essentiels de l'univers physique, et pour les opposer l'une à l'autre sous une forme qui s'est singulièrement modifiée depuis trente ans. L'examen de cette évolution me permettra de souligner certains traits essentiels dans l'orientation de la physique moderne.

On croyait autrefois que la propriété la plus fondamentale et la plus caractéristique de la matière était d'être à la fois pesante et inerte, de manière invariable pour chaque portion de matière à travers tous les changements physique ou chimique qu'elle pouvait subir. Cette double propriété de pesanteur et d'inertie était caractérisée par une seule et même grandeur appelée la masse. Cette masse mesurait également la capacité de la matière comme véhicule d'énergie cinétique, proportionnelle au carré de la vitesse, et de quantité de mouvement, proportionnelle à la vitesse. Le rayonnement, au contraire, était considéré comme impondérable, et comme transportant uniquement de l'énergie à l'exclusion de quantité de mouvement.

Le développement de la théorie électromagnétique en prévoyant l'existence, confirmée par l'expérience, d'une pression exercée par le rayonnement sur les obstacles matériels qu'il rencontre, a fait considérer celui-ci comme véhicule de quantité de mouvement aussi bien que d'énergie. Nous savons aussi, depuis la relativité généralisée, que le rayonnement est pesant, que la lumière est déviée, comme le serait un projectile matériel, au voisinage d'une masse importante, celle du soleil par exemple. Nous savons aussi qu'un corps change de poids en même temps que d'inertie lorsqu'il absorbe ou émet du rayonnement.

Un rapprochement s'est donc effectué, à ce point de vue déjà, entre la matière et le rayonnement qui sont tous deux pesants, tous deux véhicules d'énergie et de quantité de mouvement. Indépendamment de toute question de structure, une seule différence, profonde il est vrai, subsiste entre eux au point de vue mécanique : la matière peut prendre, par rapport à nous, des vitesses variables de manière continue, depuis la valeur nulle correspondant au repos, jusqu'à une limite supérieure que nous savons aujourd'hui être égale à la vitesse de la lumière dans le vide. Le rayonnement, au contraire, ne se propage dans le vide qu'avec une seule et même vitesse pour toutes les fréquences, la vitesse de la lumière. Cette limite, impossible à atteindre pour la matière sans une dépense infinie d'énergie, est sensiblement égale à trois cent mille kilomètres par seconde, c'est-à-dire considérable par rapport aux vitesses avec lesquelles la matière, même en astronomie, se présente d'ordinaire à nous.

Au point de vue de l'idée que nous nous faisons de leur structure, l'opposition entre la lumière et la matière se rattache à celle qui existe entre les notions théoriques du continu et du discontinu.

Cette dernière opposition est vieille comme le monde ou plutôt comme l'esprit ; l'histoire des mathématiques est dominée par les efforts faits pour la préciser et pour la résoudre, et elle joue dans le développement des théories physiques un rôle non moins important.

L'idée du continu et de l'infiniment divisible est à la base de notre représentation spatio-temporelle. La permanence d'un individu ou d'un objet ne ce conçoit qu'à travers une succession continue d'états au cours du temps, et le mouvement d'un objet dont l'individualité se conserve nous apparaît comme lié à une série continue de positions dans l'espace. Le calcul différentiel, en précisant la notion d'infiniment petit, a donné son expression complète à l'idée de continuité.

Le discontinu, qui prend également son origine dans la notion d'individu ou d'objet s'opposant au milieu qui l'entoure ou aux autres objets, trouve son expression abstraite dans les notions de l'un et du nombre ; son domaine le plus pur est l'arithmétique ; l'effort des mathématiciens pour arithmétiser la géométrie et l'analyse, pour construire, grâce à la notion d'incommensurable, le continu à partir du discontinu, ne peut être encore considéré comme ayant complètement abouti. Il est remarquable que les physiciens se trouvent confrontés aujourd'hui avec la nécessité d'une synthèse analogue.

Nous avons cru, il y a trente ans, pouvoir éviter le conflit en réservant à chacun des deux termes de cette opposition son domaine en physique : au continu celui du rayonnement et au discontinu celui de la matière. Nous pensions ainsi pouvoir interpréter la nature profonde des deux oppositions, rayonnement et matière, continu et discontinu, en les ramenant à une seule, et en les interprétant l'une par l'autre.

Le XIXe siècle s'achevait en effet par le triomphe de la théorie électromagnétique et ondulatoire du rayonnement, d'une part, de la théorie atomique, d'autre part, où la matière apparaissait comme construite à partir de grains d'électricité.

A la théorie de l'émission de Newton qui attribuait à la lumière une structure discontinue, s'était victorieusement opposée la conception d'Huyghens, reprise par Fresnel, Maxwell et Herz, selon laquelle le rayonnement résulte de la propagation, avec une vitesse, définie dans le milieu, d'une perturbation de structure continue, décomposable en une infinité continue d'ondes périodiques simples de diverses fréquences. La perturbation y est caractérisée en chaque point de l'espace et à chaque instant par les deux vecteurs champ électrique et champ magnétique qui déterminent l'état du milieu ainsi que la distribution, continue dans l'espace, de l'énergie et de la quantité de mouvement transportés par le rayonnement…

A la même époque, début du siècle actuel, comme conséquence des succès de la théorie cinétique et de la découverte de l'électron, nous étions conduits à attribuer à la matière une structure essentiellement granulaire et discontinue. L'étude expérimentale des relations entre la matière et l'électricité avait montré que les charges électriques s'y comportent toujours comme composées de grains, tous identiques entre eux pour chaque signe des charges, électrons pour les négatives et protons pour les positives, chacun de ces grains possédant, outre son électrisation, les attributs fondamentaux de la matière, inertie et pesanteur…

Ces deux éléments fondamentaux nous paraissaient suffisants pour construire la matière sous ses formes infiniment diverses, constituées les unes et les autres par des agrégats de protons et d'électrons, chaque particule électriquement, atome, molécule ou ensemble plus complexe contenant des nombres égaux d'électrons et de protons…

Cette conception d'un rayonnement composé d'ondes électromagnétiques continues et d'une matière formée de grains électrisés discontinus, semblait ainsi pouvoir rendre compte, non seulement des caractères opposés de l'un et de l'autre, mais encore de leurs actions réciproques, de l'absorption et de l'émission du rayonnement par la matière…

Il a fallu très vite renoncer l'espoir que je viens d'évoquer : deux crises successives qui compteront parmi les plus importantes dans l'histoire de la physique, la crise de la relativité et surtout celle des quanta, sont venues nous montrer combien nous étions encore loin d'une représentation satisfaisante des faits.

Ce sont des expériences concernant à la fois la matière et le rayonnement qui se trouvent à l'origine de chacune de ces crises…

Loin d'être plus complexe, la nouvelle mécanique (relativiste) s'est montrée plus simple que l'ancienne. Elle comporte en effet, comme conséquence essentielle, l'identification de la notion de masse avec celle d'énergie. Alors que l'ancienne mécanique devait, pour être conséquente avec elle-même, introduire une masse invariable lorsque l'état du corps et par conséquent son énergie interne varie, la nouvelle mécanique affirme l'inertie de l'énergie, c'est-à-dire la variation de la masse d'un corps proportionnellement à l'énergie interne de celui-ci, unissant en une seule les deux notions de masse et d'énergie, qui étaient autrefois distinctes et faisaient l'objet de deux principes de conservation entièrement indépendants. On sait combien cette découverte de l'inertie de l'énergie s'est montrée féconde puisqu'elle a permis, en particulier, de comprendre l'origine des petits écarts entre les poids atomiques rapportés à celui de l'hydrogène et les nombre entiers, de faire triompher la doctrine de l'unité de la matière, et de connaître, précisément par l'intermédiaire de ces petits écarts, l'énergie libérée quand l'hydrogène se condense pour donner naissance aux autres éléments chimiques…

La liaison entre l'inertie et la pesanteur que révèle l'identité de la masse inerte et de la masse pesante devait faire prévaloir, à partir de l'inertie de l'énergie, la pesanteur de l'énergie, la pesanteur de la lumière à partir de l'inertie de la lumière. C'est tout d'abord par cette voie qu'Einstein a été conduit à passer de la relativité restreinte à la relativité généralisée…

La crise des quanta, en pleine évolution, est plus grave encore que celle de la relativité et présente, au point de vue philosophique, une signification également profonde.

Elle aussi est issue de l'expérience optique, qui concerne à la fois la matière et le rayonnement ; mais au lieu d'exiger, comme la confrontation de la cinématique ancienne avec les faits, toute la précision des méthodes interférentielles de mesure comme dans l'expérience de Michelson, l'opposition de la théorie avec l'expérience se présente ici sous une forme aigüe, violente, que permet de constater l'expérience la plus immédiate dans le domaine du rayonnement thermique ou de la photoélectricité.

Il s'agit ici de phénomènes qui concernent plus particulièrement les échanges d'énergie entre la matière et le rayonnement, échanges que comme je l'ai dit tout à l'heure, la théorie électromagnétique se représentait sous l'aspect de processus continus…

La contradiction flagrante dont il s'agit ici (émission du corps noir) entre l'expérience et la théorie qui admet des échanges continus entre la matière et le rayonnement, s'est imposée de manière aigüe à l'attention des physiciens depuis plus de trente ans, et surtout depuis que Max Planck a montré, en 1900, que les raisonnements statistiques donnent au contraire un résultat conforme à l'expérience si l'on suppose, en contradiction avec la théorie électromagnétique, que les échanges d'énergie, l'absorption et l'émission du rayonnement par la matière, se font de manière discontinue, par quantités finies ou quanta, de grandeur proportionnelle à la fréquence du rayonnement émis ou absorbé, avec un coefficient de proportionnalité connu depuis sous les nom de constante de h de Planck…

Einstein a montré, quelques années plus tard, qu'il fallait, pour comprendre les lois des péhnomènes photoélectriques, découverts par herts il y a un epue plus de quarante ans, non seulement introduire cette discontinuité dans les échanges entre la matière et le rayonnement, mais encore renoncer à la structure continue du rayonnement lui-même.

Ces phénomènes consistent en une émission d'électricité négative par la matière sous l'action du rayonnement, en une émission d'électrons, par toute matière lorsqu'elle est soumise à l'action d'un rayonnement de fréquence suffisamment élevée. L'expérience montre que chaque électron ainsi arraché par une radiation de fréquence déterminée, reçoit du rayonnement, une énergie précisément égale au quantum de Planck, proportionnelle à la fréquence avec le même coefficient h nécessaire pour interpréter les lois du rayonnement thermique.

Le fait remarquable est que l'énergie prise ainsi par un seul électron pour une fréquence donnée du rayonnement est toujours la même quelle que sit l'intensité, forte ou faible, de ce rayonnement, quelle que soit aussi la matière dont l'électron est arraché. Cette énergie ne dépend absolument que de la fréquence incidente. Ce résultat est inconciliable avec l'idée que l'énergie du rayonnement est distribuée de manière continue dans l'espace avec une densité proportionnelle à l'intensité du rayonnement.

Il faut, au contraire, comme l'a montré Einstein, la supposer concentrée en grains discontinus ou photons, transportant chacun avec la vitesse de la lumière une énergie égale au quantum de Planck et une quantité de mouvement égale au quotient de ce quantum par la vitesse de la lumière.

C'est par photons entiers que se fait l'absorption et l'émission du rayonnement par la matière et c'est la rencontre d'un photon avec un électron qui, transmettant à celui-ci l'énergie du photon, donne lieu à l'effet photoélectrique.

L'introduction, par le photon, d'une structire discontinue du rayonnement, est venue interpréter un nombre considérable de phénomènes nouveaux, concernant toujours les échanges entre la matière et la lumière, en particulier ceux qui sont connus sous les noms d'effet Compton et d'effet Raman…

Le double aspect, ondulatoire et corpusculaire, de l'expérience optique semble imposer à la fois une conception continue et une conception discontinue de la structure du rayonnement…

Le fait remarquable est que le rayonnement se présente à nous sous ce double aspect ondulatoire et corpusculaire et qu'une synthèse est nécessaire entre les deux conceptions continue et discontinue autrefois opposées l'une à l'autre…

La même nécessité d'associer, dans la lumière, à l'élément ondulatoire et continu un élément corpusculaire et discontinu, aux ondes de Fresnel, des photons qu'elles pilotent, s'est imposée dans l'ordre inverse également à la matière. Il a fallu, en effet, au cours du développement récent de la crise des quanta, constituer une mécanique ondulatoire, associer aux grains de la conception ancienne, électrons, protons, atomes ou molécules, des ondes d'un type nouveau, les ondes de De Broglie et de Schrödinger. Comme les ondes lumineuses par rapport aux photons, les ondes nouvelles sont unies aux corpuscule matériels par un lien dont nous ne connaissons encore que l'aspect statistique : les ondes nouvelles, déterminant la probabilité de présence des grains de matière comme les ondes électromagnétiques déterminent la distribution des grains de lumière ou photons…

L'opposition entre rayonnement et matière cesse ainsi de se confondre avec l'opposition entre le continu et le discontinu. Du côté du rayonnement, comme du côté de la matière, il est nécessaire, au moins pour l'instant d'associer un élément continu, ondulatoire, à un élément discontinu, corpusculaire. (…) »

Conférence de Paul Langevin, « L'orientation actuelle de la physique » (1930)

« (…) Vous savez – Jean Perrin vous le rappelait tout à l'heure – que notre confiance n'a fait que croître dans la représentation atomique ou corpusculaire, qui a évolué depuis que les philosophes grecs ont imaginé la matière qui nous entoure comme composée de petits grains extrêmement durs et comparables aux objets individualisables dont nous avons l'habitude, mais infiniment plus ténus et représentant la limite de la divisibilité. Cette notion a pris, au cours des deux derniers siècles, une importance considérable, surtout à cause du développement de la Chimie. Perrin revendiquait tout à l'heure pour la Chimie le domaine de la discontinuité. Effectivement, c'est bien la Chimie qui a introduit dans nos connaissances le caractère de discontinuité que présentent ses combinaisons.

La nécessité s'est imposée ainsi de considérer les divers éléments isolés par les chimistes comme constitués par des atomes, tous identiques entre eux, ou plus exactement, depuis que les physiciens s'en sont occupés, chacun de ces éléments comme un mélange d'isotopes, chaque isotope représentant un groupe d'atomes, tous identiques entre eux. Ces atomes s'associent pour former des molécules suivant des lois discontinues, et sont eux-mêmes construits à partir de corpuscules électrisés, dont la découverte remonte aux trente et quelques dernières années…

A la même époque où J. J. Thomson identifiait le corpuscule cathodique ou électron négatif comme particule de masse connue, la théorie électromagnétique, entre les mains de Lorenz et de ses continuateurs, arrivait aux mêmes conceptions, à la nécessité d'une structure granulaire électrisée de la matière, et interprétait par là, en particulier, le phénomène de Zeeman… L'existence de l'électron dans tous les atomes se trouvait par là confirmée.

Vous savez que le développement admirable de la spectroscopie, depuis la découverte du phénomène de Zeeman, a montré que ce phénomène se présente sous une forme plus complexe que ne l'imaginait Lorentz et que, pour l'interpréter, il fallait attribuer à l'électron négatif non seulement une charge électrique, mais encore un moment magnétique – un spin, comme on dit aujourd'hui en utilisant un terme anglais…

La découverte du spin a introduit l'idée que cette petite sphère électrisée pivotait sur elle-même pour donner naissance au moment magnétique que nous devons attribuer à l'électron…

Et cette croyance, singulièrement féconde, dans l'existence de corpuscules individuels et individualisables, s'est trouvée encore confirmée par les admirables expériences de C.T. R. Wilson, expériences qu'on a appelées les plus belles du monde – je crois qu'elles le méritent. Elles nous ont permis, en utilisant la condensation de la vapeur d'eau rendue sursaturante par détente dans un gaz conducteur, de voir les ions dont, jusque là, nous avions parlé, que nous avions vus avec les yeux de l'esprit, et de voir aussi les trajectoires des corpuscules électrisés, de ces électrons que nous imaginions…

La photographie que nous examinions tout à l'heure semble bien suggérer cette conception de la structure granulaire du rayonnement, de l'existence du photon, comme nous le disons, parce que là où apparaît un électron photoélectrique, une molécule que rien, a priori, ne différenciait des autres molécules du gaz, est l'objet de la part du rayonnement, d'une action tout à fait exceptionnelle. Vous avez vu le très petit nombre de ces effets d'énergie, alors que les voisines ne s'aperçoivent de rien.

Cela suggère l'idée que le rayonnement se comporte comme s'il était composé de grains d'énergie qui, par un phénomène analogue à un choc, rencontrent certaines molécules et sont captées par celles-ci, leur énergie étant utilisée d'abord pour arracher l'électron, et ensuite pour communiquer à celui-ci l'énergie cinétique avec laquelle il est lancé et grâce à laquelle il ionise le gaz sur son parcours.

L'idée du corpuscule se généralise ainsi et passe de la matière à la lumière. Cette conception corpusculaire de la lumière s'est trouvée encore confirmée par la découverte de ce que nous appelons l'effet Compton… Cet effet Compton apporte une confirmation expérimentale très précise à la structure corpusculaire non seulement de la matière par les électrons, mais aussi de la lumière par les photons qui peuvent rencontrer les électrons, en observant toutes les lois habituelles de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement dans le choc. »

Conférence de Paul Langevin, « La Notion de corpuscules et d'atomes » (16 octobre 1933)

LA PHYSIQUE DU DISCONTINU
Le changement profond qui s'est produit récemment en Physique est caractérisé surtout par la pénétration, dans tous les domaines de notre science, de la notion fondamentale de discontinuité. Nous devons aujourd'hui fonder notre conception du monde et notre prévision des phénomènes sur l'existence des molécules, des atomes et des électrons. Il semble bien aussi nécessaire d'admettre que les moments magnétiques sont tous des multiples entiers d'un élément commun, le magnéton, et que la matière ne peut émettre de rayonnement électromagnétique que de manière discontinue, par quanta d'énergie de grandeur proportionnelle à la fréquence. Nous ne connaissons encore que très imparfaitement les lois exactes, individuelles, qui régissent tous ces éléments ainsi que leurs relations les uns avec les autres. Il est probable même que la plupart de ces lois ne pourront pas s'exprimer dans le langage du calcul différentiel et intégral, créé pour traduire analytiquement la notion de continuité. Cet admirable instrument ne convient qu'à l'étude des systèmes accessibles à nos sens et qui sont en général composés d'un nombre énorme d'éléments. Les grandeurs qu'atteignent nos moyens de mesure intéressent d'ordinaire tant d'éléments à la fois par somme ou par moyenne des grandeurs individuelles, que nous pouvons, sans erreur sensible, les traiter comme continues. Mais les propriétés de pareils ensembles sont nécessairement déterminées par les lois élémentaires sous-jacentes et nous ne pouvons espérer comprendre l'aspect superficiel des choses qu'à condition de le raccorder avec l'aspect profond que l'expérience vient de nous révéler. C'est la tâche qui s'impose actuellement à nous : établir la liaison entre le fond et la surface, entre les propriétés du grain et celles de l'agrégat, pour expliquer les faits d'ensemble quand les lois élémentaires sont connues ou plus souvent encore pour essayer d'atteindre ces dernières à partir des échos lointains qui seuls nous sont perceptibles. Nous ne pouvons éluder cette nécessité : l'existence des éléments est certaine, un monde nouveau nous est révélé dont les lois dominent toute la Physique. Nous devons tenter de remonter jusqu'à elles et pouvons espérer les trouver plus simples que leurs conséquences lointaines, que les résultats moyens ou statistiques auxquels nous sommes habitués. Il arrive souvent aussi que la forme particulière des lois individuelles s'élimine, disparaît, quand on passe aux propriétés de l'ensemble dont certaines résultent uniquement du très grand nombre des éléments présents, ont le caractère de lois purement statistiques. Il semble bien, par exemple, que le principe de Carnot, la loi de destruction spontanée des substances radioactives, la loi d'action de masse et bien d'autres appartiennent à cette catégorie et soient uniquement des lois de grands nombres. Nul ne contestera que dans ce cas nous atteignons d'emblée l'explication complète de ces lois, la compréhension profonde de leur signification. Bien plus, nous prévoyons par là qu'elles doivent, comme toutes les lois de grands nombres, donner lieu à des écarts, à des fluctuations d'autant plus importantes qu'on les applique à des systèmes plus simples, comprenant un moindre nombre d'éléments. Vous savez tous que l'observation de ces écarts, dans des directions très variées, est venue apporter des arguments décisifs en faveur de l'existence des éléments discontinus, ainsi qu'une méthode générale et précise pour atteindre le nombre et la grandeur de ces éléments. Pour constituer cette Physique du discontinu qui s'impose aujourd'hui, nous devons nécessairement faire usage de raisonnements statistiques, nous servir constamment du calcul des probabilités qui est le seul lien possible entre le monde des atomes et nous, entre les lois élémentaires et nos observations. L'introduction du calcul des probabilités en Physique fut réalisée pour la première fois de manière explicite par Maxwell à propos de la théorie cinétique des gaz. Comme on l'imagine aisément, l'adaptation à un domaine nouveau d'un mode de raisonnement souvent fort délicat ne fut pas immédiate : il reste même : encore beaucoup à faire dans ce sens. Les premiers raisonnements de Maxwell manquaient de rigueur et soulevèrent des objections qui, autant que la difficulté des calculs, empêchèrent la majorité des physiciens d'accorder à la théorie cinétique l'attention qu'elle méritait et de reconnaître la beauté des résultats obtenus. Ce fut Boltzmann qui compléta l'œuvre de Maxwell, et vit pleinement l'importance que devaient prendre en Physique moléculaire les considérations de probabilités. En même temps que Gibbs et avec plus de précision, je crois, il réussit à fonder une mécanique statistique en montrant comment il faut définir la probabilité, pour un système dynamique, de se trouver dans un état donné compatible avec les conditions qui lui sont imposées. Dans toutes ces questions, la difficulté principale est, comme nous le verrons, de donner une définition correcte et claire : de la probabilité. Le reste est surtout affaire de calcul. Ce pas décisif franchi, Boltzmann put atteindre l'interprétation statistique du principe de Carnot et le sens caché de la notion fondamentale d'entropie. Grâce à l'impulsion donnée par Boltzmann et aux efforts de ses continuateurs les raisonnements statistiques ont pénétré maintenant dans tous les domaines de la Physique et y joueront bientôt, pour les raisons que j'ai dites, un rôle prépondérant. Malgré l'extrême diversité de leurs applications, les raisonnements sont en général très simples et je voudrais essayer de montrer sur des exemples que la plupart d'entre eux se ramènent à deux types principaux bien connus des mathématiciens et qui se sont introduits tout naturellement dès la création du calcul des probabilités. Dans un premier groupe de questions, il s'agit de chercher la distribution ou la configuration la plus probable que peut prendre un système de particules ou d'éléments soumis à des conditions données. C'est essentiellement le problème des états d'équilibre et des régimes permanents (équations des fluides, statique des gaz, théories du magnétisme et des phénomènes électro— et magnéto-optiques, théorie du rayonnement et des chaleurs spécifiques, interprétation statistique des lois de la Thermodynamique). Je montrerai que certaines questions comme celles de l'équation d'état des fluides ou de la pression osmotique n'attendent pour être complètement élucidées que la solution d'un problème bien défini de probabilités géométriques et de distribution probable. Dans un second groupe de questions, on cherche à prévoir l'importance des fluctuations spontanées du système autour de cette distribution ou de cette configuration qui est la plus probable mais non la seule possible et ne s'observe qu'en moyenne. Ce frémissement universel autour des configurations rigides prévues par la thermodynamique est intimement lié à la discontinuité de structure, au fait que nos systèmes sont composés d'un nombre fini, quoique très grand, d'éléments et son observation a pris une importance particulière parce qu'elle nous apporte une méthode générale pour atteindre ces éléments et les soumettre à la mesure. Pour mieux faire comprendre comment les raisonnements, toujours les mêmes, du calcul des probabilités, peuvent s'appliquer à des problèmes de Physique si nombreux et si variés, je commencerai par examiner le mécanisme de ces raisonnements sur des cas particulièrement simples où leur emploi est familier à tous, sur des exemples tirés des jeux de hasard tels que celui de pile ou face ou de la roulette. Il paraîtra moins singulier qu'on puisse, pour ainsi dire, jouer à pile ou face la solution des questions de Physique, quand on aura bien vu que toute théorie de probabilité, si simple soit-elle, a en réalité la même structure que toutes nos théories et qu'on fait déjà de la Physique en étudiant les problèmes posés par les jeux de hasard. On a dit, par boutade, que tout le monde croit aux lois du hasard, les mathématiciens parce qu'ils y voient un résultat de physique et les physiciens parce qu'ils les prennent pour des théorèmes de mathématiques. En réalité ces lois sont déduites, par des raisonnements parfaitement rigoureux, de postulats très simples introduits à priori dans la définition des probabilités et affirmant en général l'équivalence de diverses circonstances possibles, l'absence de cause qui favorise les unes à l'exception des autres, l'égale probabilité que la roulette s'arrête sur la rouge ou la noire et que la pièce lancée retombe pile ou face. Ces postulats jouent ici exactement le même rôle que nos hypothèses, placées à la base des théories physiques, et dont nous essayons, par une analyse aussi rigoureuse que possible, de déduire des conséquences dont la comparaison avec l'expérience nous permettra de savoir si ces hypothèses sont justifiées ou non, si nous pouvons continuer à nous en servir pour édifier notre représentation du monde. De même la comparaison avec les faits des lois de grands nombres liées rigoureusement à nos postulats nous permettra de savoir si ceux-ci sont exacts, si la roulette n'est pas truquée ou la pièce plombée d'un côté. Tout raisonnement de probabilités est destiné à permettre la confrontation des postulats avec les faits, comme nos théories physiques permettent la confrontation des hypothèses avec l'expérience. Dans un cas comme dans l'autre, la rigueur n'existe qu'entre les postulats ou hypothèses et les lois qui s'en déduisent. L'accord des lois prévues avec les faits ne se produit pas nécessairement et la comparaison seule nous permet de'décider dans quelle mesure nos points de départ peuvent être conservés. On fait de la Physique en déduisant d'une expérience de pile ou face dans laquelle les coups pile prédominent de manière exagérée, que la pièce est dissymétrique et doit avoir été plombée du côté face. Il vaudra mieux même, comme en Physique, recommencer plusieurs fois l'expérience si l'on veut pouvoir remonter des faits aux causes avec quelque sécurité. Et tout se termine, en Physique comme au jeu, par une question de probabilité des causes du genre de celle que posait Henri Poincaré : je joue à l'écarté avec un monsieur que je ne connais pas, et il retourne trois fois de suite le roi ; quelle est la probabilité pour que ce soit un tricheur ? Le désaccord entre l'expérience et les conséquences déduites par le calcul des probabilités du postulat que le jeu est honnête indiquera dans quelle mesure ce postulat est légitime, et la certitude viendra si l'expérience donne toujours le même résultat. Notre certitude en Physique est tout à fait de même nature : nous avons confiance dans nos représentations et dans nos hypothèses en raison de l'accord constant de leurs conséquences mathématiques avec l'expérience. Dans les raisonnements de probabilités, on fait des mathématiques entre les postulats et les lois du hasard et de la Physique quand on compare celles-ci aux faits pour en déduire des conclusions relatives aux postulats. Outre la plus grande clarté tenant à ce que les postulats de définition des probabilités y sont intuitifs et simples, nous trouverons un autre avantage à étudier d'abord les questions posées par les jeux de hasard. Elles font intervenir des considérations de probabilités discontinues, où les divers cas possibles sont en nombre limité sans qu'on puisse passer de l'un à l'autre de manière continue. Par exemple, sur un nombre total donné de coups joués à la roulette, le nombre des fois qu'elle tombe dans une case noire ne peut varier que de manière discontinue puisqu'il est nécessairement entier. Il semble au contraire, au premier abord, que la Physique nous pose uniquement des problèmes de probabilités continues, où le nombre des cas possibles est infini et forme une série continue. Il en est ainsi, par exemple, de la position dans un intervalle de temps donné d'un événement tel que la destruction spontanée d'un atome radioactif : les instants où l'explosion peut se produire sont en nombre infini ou plutôt transfini puisque leur ensemble est continu. Il en est de même, au moins en apparence, pour l'ensemble des configurations que peut prendre un : système dynamique. Les lois relatives aux probabilités continues se présenteront à nous tomme les formes limites vers lesquelles tendent les résultats des problèmes discontinus quand on y suppose que le nombre des cas possibles augmente indéfiniment. On pourrait obtenir de manière plus simple, et par des raisonnements directs, les formules applicables aux problèmes continus ; mais il nous sera utile d'avoir à notre disposition les formes plus générales relatives au cas de la discontinuité entre les cas possibles. En effet, un des résultats les plus surprenants, et les plus énigmatiques d'ailleurs, que la comparaison avec l'expérience nous ait révélés, c'est que, dans un grand nombre de problèmes tels que ceux du rayonnement thermique d'équilibre ou des chaleurs spécifiques, les lois expérimentales s'accordent avec l'hypothèse de la probabilité discontinue et pas du tout avec les.conséquences déduites, en toute rigueur du postulat de continuité. C'est là un aspect nouveau et singulier de la Physique du discontinu, celui des quanta, d'après lequel non seulement nous devons pour comprendre les faits appliquer des raisonnements de probabilités aux éléments multiples et discrets dont la matière est composée, mais encore ces raisonnements eux-mêmes doivent tenir compte de discontinuités d'un autre ordre et procéder comme si les configurations que ces systèmes d'éléments peuvent prendre ne variaient elles aussi que de manière discontinue.
PREMIER PROBLÈME.
La probabilité d'une distribution. — Une des premières questions qui se posent à propos d'un jeu comme la roulette est celui de la distribution des coups où sort une certaine couleur, la noire par exemple, entre des intervalles successifs pendant chacun desquels un même nombre total de coups est joué. Nous prendrons le problème tout d'abord sous la forme suivante : étant donné que, dans l'ensemble de m intervalles de ce genre, la noire est sortie au total N fois, quelle est la probabilité pour que, dans un intervalle particulier, elle soit sortie un nombre donné de fois, n ? Pour trouver cette probabilité, définie comme à l'ordinaire par le rapport du nombre des cas favorables au nombre total des cas possibles, il faut calculer chacun de ces deux nombres à partir des postulats. Nous remarquerons que chaque coup de roulette possède une individualité caractérisée par les circonstances, variables d'un coup à l'autre, qui l'ont accompagné et ont déterminé la couleur sortie. Nous désignerons par les symboles alpha, beta, gamma,…, zeta, en nombre égal à N, les groupes de circonstances qui ont déterminé les N coups pour lesquels la noire est sortie. Nous ignorons le détail de ces circonstances sans quoi nous aurions pu dans chaque cas prévoir ce qui allait se passer, mais nous introduirons comme postulat fonda-mental que chacun de ces groupes de circonstances peut se produire indifféremment dans l'un quelconque des m intervalles. et nous admettons aussi, naturellement, comme second postulat, que ces groupes sont complètement indépendants les uns des autres que les coups de roulette se succèdent sans exercer aucune influence mutuelle, que l'apparition d'un groupe particulier de circonstances dans un intervalle déterminé n'a aucune répercussion sur la position des autres groupes parmi les intervalles.. Chacun de ceux-ci, qui comporte toujours un même nombre total de coups,.est considéré comme équivalent aux autres au point de vue de la possibilité de production à son intérieur d'un groupe déterminé de circonstances, alpha par exemple. En langage ordinaire, ces groupes sont supposés distribués au hasard entre les intervalles. Toutes les distributions possibles de ces N groupes entre les m intervalles sont considérées comme équivalentes, comme également probables par définition. Le nombre de ces distributions ou nombre des cas possibles est facile à évaluer. Si le groupe alpha se produit dans un intervalle déterminé, nous affecterons alpha d'un indice égal au rang de cet intervalle, cet indice pouvant être Indifféremment 1, 2, 3,… jusqu'à m. Le nombre des manières différentes de distribuer les m indices entre les N groupes, ou les groupes entre les intervalles est évidemment m^N. C'est là le nombre des cas possibles. Si nous voulons la probabilité pour que, sur les N, n coups se produisent dans le premier intervalle, nous devons chercher le nombre des distributions dans lesquelles n des symboles alpha, beta,… porteront l'indice 1, les autres indices étant différents de 1 et d'ailleurs quelconques. Ceci nous donnera le nombre des cas favorables. Les n symboles portant l'indice 1 dans une distribution formeront une des combinaisons n à n des N symboles différents. A cette combinaison particulière peuvent être associées toutes les distributions des m-1 indices restants entre les N-n autres symboles ; elles sont en nombre (m-1)^(N-n), et comme il y a N ! /[(n !)*(N-n) ! ] combinaisons différentes, cela fait au total :
[N ! /[(n !)*(N-n) ! ]]*[(m-1)^(N-n)]
pour le nombre des cas favorables ; d'où pour la probabilité cherchée
(1) P(n)=N ! /[(n !)*(N-n) ! ]*[(1/m)^(n)]*[1-1/m]^(N-n)
On vérifierait aisément que, comme cela doit être, la somme des probabilités obtenues pour les diverses valeurs possibles de n, depuis zéro jusqu'à N, est bien égale à 1, puisque la somme des P(n) n'est autre chose que le développement suivant la formule du binome de
((1/m)+1-(1/m))^(N)
c'est-à-dire identiquement l'unité. On vérifierait aisément aussi que P(n) est maximum pour une valeur de n égale au plus grand entier contenu dans (N+1)/m, c'est-à-dire précisément égale au nombre moyen nu=N/m de coups par intervalle si ce nombre est entier. Ce résultat pouvait être aisément prévu puisque la distribution la plus probable des N coups entre m intervalles équivalents par définition est évidemment la distribution uniforme à raison de nu par intervalle. Ce qui intéresse le joueur, ce sont précisément les variations autour de cette moyenne, variations dont la formule (1) nous donne la probabilité. C'est de ces variations que dépend son bénéfice ou sa perte. La formule peut se mettre sous une forme plus simple quand on suppose que la moyenne nu correspond à un nombre m très grand d'intervalles. On trouve aisément comme forme limite de (1) pour m très grand :
(2) P(n)=exp(-nu)*((nu^n)/(n !))

Les probabilités correspondantes aux diverses valeurs de n s'obtiennent en multipliant exp(-nu) par les termes successifs du développement en série de exp(nu). La somme est bien encore égale à 1 et le maximum a lieu pour n = nu si nu est entier ou sinon pour le plus grand entier que contient nu. Au jeu de roulette, si la rouge et la noire sont également probables, ce qui est un postulat indépendant de ceux que nous avons faits, la moyenne nu des noires portant sur un grand nombre d'intervalles est évidemment égale à la moitié du nombre des coups joués dans chacun de ces intervalles.
La loi des écarts. —Si nous introduisons dans la formule, au lieu du nombre n, l'écart delta = n-nu à partir de la moyenne, et si nous supposons n assez grand pour qu'on puisse remplacer n ! par la formule bien connue de Stirling, la probabilité d'un écart delta prend la forme
(3) P = [1/sqrt(2*Pi*nu)]*exp(-(delta^2)/(2*nu))
qui rappelle exactement la loi des erreurs de Gauss. Si au lieu de l'écart absolu, nous introduisons l'écart relatif epsilon = delta/nu, il vient :
(4) P = [1/sqrt(2*Pi*nu)]*exp(-nu*(epsilon^2)/2)
Cette dernière forme met en évidence un fait fondamental sur lequel je reviendrai tout à l'heure à propos de la théorie des fluctuations : c'est que la probabilité d'un écart relatif donné epsilon est d'autant plus faible que nu est plus grand, qu'il y a en moyenne un plus grand nombre de coups dans chaque intervalle. D'où la possibilité de déduire ce nombre de coups de l'observation des écarts. Nous allons retrouver ce même fait sous une autre forme en calculant sur la formule générale (1) la valeur probable du carré moyen de l'écart relatif epsilon, en posant toujours :
epsilon = delta/nu = (n-nu)/nu.
La probabilité de l'écart epsilon étant P(n), il en résulte pour la valeur probable du carré moyen :
(epsilon^2)(moyen) = sum (1…infini) (P(n)*(epsilon^2))
Un calcul simple donne, si l'on remplace P(n) par la valeur (1) :
(5) (epsilon^2)(moyen) = 1/nu — 1/N
Si l'on introduit, au lieu du carré moyen, la somme Sigma(epsilon^2) des carrés des écarts dans les m intervalles à partir de la moyenne, la valeur probable de cette somme est m*(epsilon^2)(moyen) et satisfait à la relation
(6) Sigma(epsilon^2)/(m-1) = (1/nu)
On voit que les écarts relatifs, les fluctuations de n autour de sa moyenne, doivent diminuer d'importance à mesure que cette valeur moyenne augmente. Ainsi que je l'ai dit tout à l'heure, la véritable signification de ces résultats est la suivante : ils représentent l'aboutissement d'une théorie basée sur des hypothèses et nous permettront, par comparaison avec l'expérience, de savoir si ces hypothèses peuvent être conservées. Le joueur qui voudra s'assurer de la sincérité du jeu se servira d'eux comme nous nous servons de nos théories physiques pour contrôler, par comparaison de leurs résultats avec l'expérience, la légitimité de nos représentations. La constance de l'accord nous donnera la seule certitude que nous puissions atteindre, au jeu comme en Physique, relativement aux causes.
Autre méthode. — Nous pouvons retrouver les formules fondamentales (5) et (6) en nous plaçant à un autre point de vue et en cherchant, non plus la probabilité pour que, sur les N coups, il y ait un nombre déterminé n dans l'un des m intervalles équivalents, mais la probabilité pour que les N coups se distribuent d'une manière déterminée n(1), n(2),…, n(m) entre les intervalles, pour qu'il y ait en même temps n(1) coups dans le premier intervalle, n(2) dans le second, etc. Nous ne pouvons appliquer ici le théorème des probabilités composées et nous servir de la formule (1) en calculant P(n(1)), P(n(2)),… et multipliant ces probabilités. En effet, les n(1), n(2),… ne sont pas indépendants puisque leur somme doit être égale à N. Nous pouvons cependant utiliser la formule (1) en procédant de la manière suivante : la probabilité pour qu'il y ait n(1) coups dans le premier intervalle est bien :
N ! /[n(1) ! *(N-n(1)) ! ]*[(1/m)^(n(1))]*[(1-(1/m))^(N-n(1)]
Les m-1 autres intervalles ne peuvent contenir que N-n coups, et la probabilité pour que le premier d'entre eux contienne n(2), est de la même manière :
[(N-n(1)) ! /[(n(2) !)*(N-n(1)-n(2)) !)]]*[(1/(m-1))^(n(2))]*[(1-1/(m-1))^(N-n(1)-n(2))]
et ainsi de suite. Si l'on fait maintenant, comme il est correct, le produit de toutes les probabilités composantes, on obtient pour la probabilité cherchée :
(1/(m^N))*[N ! /(n(1)) ! *(n(2)) ! *…*(n(m)) ! ]
Autrement dit, puisque le nombre total des distributions possibles est (m^N), le nombre de manières dont on peut obtenir dans les différents intervalles les nombres de coups assignés est :
(7) W = N ! /[(n(1)) ! *(n(2)) ! *…*(n(m)) ! ]

Nous aurions pu obtenir ce résultat plus directement en cherchant de combien de manières il est possible de distribuer entre les N symboles de groupes alpha, beta,… zeta, des nombres déterminés d'indices de chaque sorte, n(1) indices 1, n(2) indices 2,…., n(m) indices égaux à m. Chaque distribution correspond à un des ordres dans lesquels on peut ranger ces N indices qui ne sont pas tous différents, à une des permutations de ces indices. Le nombre cherché est celui des permutations complètes de N objets dont n(1) d'une même espèce, n(2) d'une autre, etc. Il est bien donné par la formule (7). Ce nombre W de manières dont on peut réaliser une distribution donnée (n(1), n(2),…, n(m)) des N symboles entre m intervalles équivalents, au point de vue de la présence possible de chacun d'eux, est proportionnel avec le coefficient 1/(m^N) à la probabilité de cette distribution. Nous pourrons souvent prendre W comme mesure de cette probabilité.
On voit aisément que, pour une valeur donnée de N, W est maximum quand les n sont tous égaux. Nous voyons ainsi d'une autre manière que la distribution la plus probable est celle qui se fait également entre les divers intervalles, du moins lorsque aucune condition supplémentaire n'est imposée qui pourrait venir exclure certaines distributions. Nous allons traiter dans un instant un problème où s'introduiront de semblables exclusions. Les m-1 autres intervalles ne peuvent contenir que N-n coups, et la probabilité pour que le premier d'entre eux contienne n(2), est de la même manière :
[(N-n(1)) ! /[(n(2) !)*(N-n(1)-n(2)) !)]]*[(1/(m-1))^(n(2))]*[(1-1/(m-1))^(N-n(1)-n(2))]
et ainsi de suite. Si l'on fait maintenant, comme il est correct, le produit de toutes les probabilités composantes, on obtient pour la probabilité cherchée :
(1/(m^N))*[N ! /(n(1)) ! *(n(2)) ! *…*(n(m)) ! ]
Autrement dit, puisque le nombre total des distributions possibles est (m^N), le nombre de manières dont on peut obtenir dans les différents intervalles les nombres de coups assignés est :
(7) W = N ! /[(n(1)) ! *(n(2)) ! *…*(n(m)) ! ]
Nous aurions pu obtenir ce résultat plus directement en cherchant de combien de manières il est possible de distribuer entre les N symboles de groupes alpha, beta,… zeta, des nombres déterminés d'indices de chaque sorte, n(1) indices 1, n(2) indices 2,…., n(m) indices égaux à m. Chaque distribution correspond à un des ordres dans lesquels on peut ranger ces N indices qui ne sont pas tous différents, à une des permutations de ces indices. Le nombre cherché est celui des permutations complètes de N objets dont n(1) d'une même espèce, n(2) d'une autre, etc. Il est bien donné par la formule (7). Ce nombre W de manières dont on peut réaliser une distribution donnée (n(1), n(2),…, n(m)) des N symboles entre m intervalles équivalents, au point de vue de la présence possible de chacun d'eux, est proportionnel avec le coefficient 1/(m^N) à la probabilité de cette distribution. Nous pourrons souvent prendre W comme mesure de cette probabilité. On voit aisément que, pour une valeur donnée de N, W est maximum quand les n sont tous égaux. Nous voyons ainsi d'une autre manière que la distribution la plus probable est celle qui se fait également entre les divers intervalles, du moins lorsque aucune condition supplémentaire n'est imposée qui pourrait venir exclure certaines distributions. Nous allons traiter dans un instant un problème où s'introduiront de semblables exclusions.
La formule (7) donne également le moyen de calculer les écarts à forum partir de la distribution uniforme de probabilité maximum. Soit en effet nu la valeur moyenne N/m du nombre des coups par intervalle, et soient epsilon(1), epsilon(2),… epsilon(m) les écarts relatifs à partir de cette valeur dans une distribution quelconque :
n(1) = nu*(1+epsilon(1)), n(2) = nu*(1+epsilon(2)),…, n(m) = nu*(1+epsilon(m)).
Les epsilon sont nuls dans la distribution la plus probable et sont dans tous les cas, puisque le nombre total N est donné, soumis à la condition Sigma(epsilon) = 0. En prenant le logarithme des deux membres de (7), remplaçant chaque factorielle par la formule asymptotique de Stirling,
n ! = (sqrt(2*Pi*n))*((n/e)^n)
et négligeant le logarithme de chaque grand nombre tel que n par rapport à celui-ci, on obtient, C étant une constante qui dépend seulement de N :
(8) log W = C — sum(1…n) (n*log(n))
Remplaçant n par nu(1+epsilon) et développant log(1+epsilon) suivant les puissances de epsilon, il vient, si l'on tient compte de la condition Sigma(epsilon) = 0, et si on limite le développement aux termes du second ordre :
log W = log (W(0)) — nu*(Sigma(epsilon^2))/2
ou
W = W(0)*exp(-nu*Sigma(epsilon^2)/2),
W(0) étant la probabilité maximum, celle qui correspond à la distribution uniforme. Ayant ainsi la probabilité qui correspond à chaque système de valeurs des epsilon, on calcule aisément la valeur moyenne d'une expression quelconque x telle que Sigma(epsilon^2) par :
Sigma(W*x)/Sigma(W).
En remplaçant chacune des deux sommes par une intégrale et en tenant compte de la condition Sigma(epsilon) = 0, on retrouve aisément la formule (6) :
Sigma(epsilon^2)/(m-1) = 1/nu,
en moyenne. Bien que ce second mode de raisonnement soit moins direct que le premier et ne s'applique qu'au cas des grands nombres, il était important de le rappeler parce qu'il envisage les choses sous un nouvel aspect et prépare la voie pour la solution des autres problèmes dont nous aurons à nous occuper.
Applications. — On peut faire, au jeu comme en Physique, deux sortes d'applications de la relation (6). Tout d'abord, comme je l'ai déjà dit, on peut l'utiliser pour vérifier, par sa concordance avec les faits, si les postulats d'indépendance et d'indifférence placés à la base de nos raisonnements sont légitimes. Le joueur qui voudra se rendre compte de la sincérité du jeu observera les nombres de coups sortis dans m intervalles équivalents, calculera la moyenne nu et les écarts relatifs individuels epsilon, et verra dans quelle mesure la relation (6) est vérifiée. Cette vérification doit être d'autant plus exacte que le nombre m d'intervalles considérés est plus grand. On peut également s'en servir pour déterminer le nombre moyen nu et par conséquent N quand on connaît seulement les écarts relatifs epsilon. Par exemple on se donne, pour chacun de m jours consécutifs équivalents, la somme totale gagnée par un joueur sans en retrancher les pertes. Quel est le nombre des coups joués chaque jour et quelle est la mise ? La connaissance des gains quotidiens entraîne celle des écarts relatifs et celle-ci suffit à connaître le nombre des coups joués à l'aide de la formule (6). Celle-ci traduit quantitativement le fait que les écarts relatifs entre les gains quotidiens sont d'autant plus faibles que le nombre des coups joués chaque jour est plus grand.
Cette question est tout à fait comparable à celles qu'on se pose en Physique quand on cherche à déduire le nombre des molécules et les grandeurs moléculaires de l'observation des écarts relatifs sur les grandeurs mesurables, de la mesure des fluctuations ou de leurs conséquences.
Fluctuations radioactives et fluctuations de concentration. — Donnons d'abord quelques exemples de questions de Physique où les résultats qui précèdent trouvent une application immédiate. Prenons une substance radioactive de vie assez longue pour que nous puissions considérer son activité comme constante pendant toute la durée de nos expériences et comptons, parmi les particules alpha qu'elle émet, celles qui tombent sur un écran ou traversent un appareil de numération pendant des intervalles de temps successifs égaux entre eux. Nos postulats fondamentaux, parallèles aux précédents, seront que les circonstances, tant intérieures qu'extérieures à l'atome radioactif, qui permettent l'arrivée d'une particule a, peuvent se produire indifféremment à un instant quelconque, dans l'un quelconque de nos intervalles de temps égaux, et de plus qu'il y a indépendance complète entre les groupes de circonstances qui correspondent à deux particules différentes, que les circonstances déterminant l'explosion d'un atome dans des conditions favorables à l'arrivée d'une particule n'influent en rien sur celles qui détermineront ou accompagneront l'explosion d'un autre atome. La légitimation de ces postulats, par vérification de leurs conséquences, a une très grosse importance pour la théorie des phénomènes radioactifs. Le premier, pour ce qui concerne les circonstances intérieures à l'atome qui déterminent son explosion, signifie que ces circonstances peuvent se produire indifféremment à un instant ou à un autre, que les chances pour l'atome de continuer à vivre sont indépendantes du temps pendant lequel il a déjà vécu ; en d'autres termes qu'il ne vieillit pas, et qu'il meurt seulement par suite d'accidents dus à un hasard interne. Je dis interne parce qu'il semble bien qu'aucune circonstance externe, du moins parmi celles que nous pouvons modifier, n'influe sur la vitesse de transformation des substances radioactives. Si nos postulats sont exacts et si nous recevons au total N particules alpha pendant m intervalles de temps égaux, la probabilité pour qu'il arrive n particules pendant un de ces intervalles est donnée par la formule (1), les écarts à partir de la moyenne N/m = nu doivent satisfaire à la relation (6). Ce résultat a été vérifié de manière très exacte dans les expériences de M. Rutherford. Nous en rencontrerons plus loin un autre du même genre et de plus grande importance au point de vue de la numération des particules. Il y a bientôt quinze ans que M. Smoluchowski a prévu de la même manière les fluctuations spontanées qui doivent se produire dans la distribution des molécules d'un gaz entre les diverses portions du volume qu'il occupe, les fluctuations de concentration. Pour que nous puissions appliquer à ce problème les résultats obtenus, il nous faut partir des postulats suivants : la présence d'une molécule particulière est également possible dans des portions égales du volume total ; ceci est intuitif et nous conduit à remplacer nos m intervalles par m régions d'égal volume. et contenant chacune en moyenne nu molécules. De plus nous devons admettre que la présence d'une molécule dans une de ces régions n'influe en rien sur la présence possible d'une autre, ce qui nous oblige à négliger les actions mutuelles entre ces molécules ou le volume de chacune d'elles par rapport au volume total. Le gaz doit donc être supposé suffisamment rare. Quand le fluide est dense, les fluctuations peuvent être très différentes de ce que nous allons prévoir, ou beaucoup moindres si les molécules sont serrées au point d'occuper la plus grande partie du volume total, de façon à exercer entre elles surtout des actions répulsives, ou beau-coup plus importantes si les actions attractives l'emportent, comme c'est le cas pour les fluides au voisinage d'un état critique. Pour un gaz peu dense, tel que l'atmosphère, les formules (1), (2) et (3) s'appliquent à la probabilité pour qu'une portion du volume contienne n molécules si m portions égales en contiennent N au total. Ici encore les fluctuations spontanées seront d'autant plus importantes que le nombre moyen de molécules sera plus faible. Nous trouverons l'application de ces résultats dans la théorie du bleu céleste. M. Svedberg a pensé pouvoir mettre en évidence les fluctuations spontanées de concentration qui doivent se produire de la même manière dans une solution étendue en observant les fluctuations du nombre des particules alpha émises par une solution radioactive quand on s'arrange de manière à ne recevoir sur un écran que les particules émises par une petite fraction du volume total de la solution. Il pensait que, les hasards de distribution des atomes radioactifs dans le volume s'ajoutant aux hasards internes qui déterminent l'explosion, on devrait observer des fluctuations plus importantes qu'avec une matière radioactive solide, et a effectivement obtenu, pour le même nombre moyen de particules reçues dans chaque intervalle de temps, un carré moyen des écarts relatifs double environ de celui que prévoit la formule (5). Le raisonnement général par lequel nous avons obtenu cette formule montre que s'il y a bien, conformément au second postulat, indépendance entre toutes les circonstances qui déterminent les arrivées sur l'écran de deux particules alpha, le résultat de M. Svedberg ne peut pas être exact. En raisonnant sur les groupes de circonstances qui permettent l'arrivée d'une particule alpha sur l'écran comme nous l'avons fait pour les groupes de circonstances qui déterminent la sortie d'une noire à la roulette, on verra que la formule donnant l'écart relatif moyen en fonction du nombre moyen des coups reste applicable sous les deux postulats d'indifférence et d'indépendance. La superposition du hasard de distribution des atomes radioactifs dans le liquide au hasard interne qui détermine l'explosion augmente simplement la complexité des circonstances favorables, complexité dont la formule est indépendante. Si de nouvelles expériences confirment les observations faites par M. Svedberg, cela prouvera, ou bien que l'explosion d'un atome peut influer sur celle d'un atome voisin, et ceci est en contradiction avec le fait que la radioactivité globale d'une substance s'est montrée jusqu'ici tout à fait indépendante de sa concentration, ou bien que la présence dans une région d'un atome radioactif entraîne aussi celle d'autres atomes radioactifs dans cette même région ; autrement dit que les atomes dissous vont par groupes associés, que la solution de M. Svedberg était colloïdale. De toute. manière son résultat, s'il est exact, n'a rien à voir avec les fluctuations spontanées de concentration dont nous avons parlé.
Grandeurs moléculaires. — Voyons maintenant quelques exemples d'application de la formule (6) à la détermination des grandeurs moléculaires par l'intermédiaire des fluctuations auxquelles cette formule s'applique, comme celles des émissions radioactives ou de concentration dans les milieux dilués, cas où les postulats d'indifférence et d'indépendance se trouvent vérifiés. Avant qu'on sût faire les numérations de particules par la méthode des scintillations ou par l'élégant procédé de Rutherford, M. v. Schweidler avait observé que le courant d'ionisation produit par les rayons alpha était soumis à d'importantes fluctuations. Pendant des intervalles de temps égaux entre eux, les quantités d'électricité libérées dans une chambre d'ionisation par l'électromètre sont proportionnelles aux nombres de particules alpha émises pendant ces intervalles, de sorte que les écarts relatifs entre ces quantités et leur moyenne donnent les écarts relatifs entre les nombres de particules et leur moyenne ; d'où la possibilité de calculer cette dernière moyenne à partir des écarts relatifs observés à l'électromètre en appliquant la relation (6). De manière plus indirecte, on peut comprendre comment la diffusion de la lumière par l'atmosphère est due aux fluctuations spontanées de concentrations de l'air prévues par Smoluchowski et comment la mesure de l'éclat du ciel permet de remonter aux grandeurs moléculaires.
En raison de ces fluctuations, du frémissement continuel de l'atmosphère autour de la distribution uniforme de ses molécules en volume, l'air se comporte au point de vue optique comme un milieu trouble et diffuse la lumière solaire. De l'importance des fluctuations régie par les lois de probabilité, on peut déduire la proportion de lumière diffusée pour chaque longueur d'onde et par suite le rapport de l'éclat du ciel à celui du Soleil. On conçoit d'ailleurs que cette proportion augmente à mesure que la longueur d'onde diminue et que le ciel soit bleu ; en effet, pour une lumière de longueur d'onde donnée, la proportion d'énergie diffusée est déterminée par le degré d'hétérogénéité du milieu à l'échelle de la longueur d'onde, c'est-à-dire par les fluctuations relatives de concentration dans un cube ayant pour côté la longueur d'onde, et comme le nombre moyen des molécules présentes dans ce cube est proportionnel au cube de cette longueur d'onde, on conçoit que le milieu se comporte comme d'au-tant plus trouble et plus diffusant que la longueur d'onde est plus courte. Inversement, la comparaison expérimentale de l'éclat du ciel à celui du Soleil pour une longueur d'onde quelconque détermine l'importance relative des fluctuations, dans un cube de côté égal à cette longueur d'onde, et, par application de la formule (6), permet de remonter au nombre des molécules présentes en moyenne dans un tel volume. Quand le milieu est dense, les actions mutuelles interviennent et changent l'importance relative des fluctuations. Pour traiter le problème dans le cas général il va nous falloir aboutir à la mécanique statistique en analysant de nouveaux problèmes de probabilités au double point de vue de la distribution la plus probable et des fluctuations spontanées autour de celle-ci.
DEUXIÈME PROBLÈME.
Le problème des séries de coups. — Une des questions qui intéressent le plus les joueurs est celle de la distribution des coups d'une même couleur en séries. Nous allons voir que ce problème est étroitement lié à celui de la mécanique statistique, aux applications les plus importantes qui aient été faites du calcul des probabilités à la Physique. Posons-nous la question suivante : Étant donné que, sur un nombre total N + R de coups de roulette, la noire est sortie N fois et la rouge R fois, quelle est la probabilité pour que les coups rouges, par exemple, soient distribués d'une manière donnée en séries, qu'il y ait n, coups rouges isolés, n., séries de deux coups consécutifs, n, de trois coups, et ainsi de suite. Le nombre total des rouges étant R on a évidemment :
(8) n(1) + 2*n(2) + 3*n(3) +… = R.
Chaque série de rouges est située dans un des intervalles entre deux noires consécutives ou à chacune des deux extrémités de l'ensemble des coups, de sorte que, si nous désignons par no et appelons nombre des séries rouges d'ordre 0, le nombre des intervalles entre les noires où ne se trouve aucune rouge, nous devons avoir n(0) + n(1) + n(2) +…, égal à N + 1, d'où
(9) n(0) + n(1) + n(2) +… = N + 1.
Le postulat d'indépendance entre les coups nous permet d'affirmer que chaque intervalle entre deux noires peut indifféremment renfermer une série d'ordre 0, 1, 2, 3,…, puisque la couleur d'un coup n'est nullement conditionnée par la couleur du coup qui l'a précédé. Il y aura donc autant de manières de réaliser la distribution donnée des rouges en N + 1 séries qu'il y a de manières différentes de ranger ces séries, de distribuer entre elles n(0) indices 0, n(1) indices 1, n(2) indices 2, etc, l'indice attribué à une série indiquant l'ordre auquel elle appartient. C'est, comme tout à l'heure, le nombre des permutations complètes des N séries données :
(10) W = (N + 1) ! /[(n(0)) ! *(n(1)) !…]
La probabilité de la distribution donnée est proportionnelle à cette quantité, au nombre de cas favorables, c'est-à-dire au nombre de manières dont on peut la réaliser, mais contrairement à ce qui se passait dans le problème précédent, les nombres n ne sont pas seulement assujettis à la condition d'avoir une somme donnée égale ici à N + 1, mais doivent encore satisfaire à la relation (8). C'est elle qui limite maintenant le nombre des cas possibles comme, dans le problème précédent, ce nombre était limité par la condition, absente ici, qu'il y ait m indices différents. Un raisonnement simple montre que ce nombre total des cas possibles est égal au nombre des permutations complètes qu'on peut former avec les N noires et les R rouges, c'est-à-dire à
(N + R) ! /(N ! *R !)
d'où l'on déduit aisément, en divisant (10) par (11), l'expression cherchée pour la probabilité.
La distribution la plus probable. — Dans le problème précédent, la probabilité maximum correspondait à la distribution uniforme ; à cause de la liaison imposée par la relation (8), la distribution la plus probable des N séries entre les divers ordres ne sera pas uniforme. Pour l'obtenir il nous faut chercher les valeurs de n(0), n(1), n(2), satisfaisant à la fois aux relations (8) et (9) et donnant la plus grande valeur possible à l'expression (10) de W. Cette question peut être résolue de manière simple quand on suppose les nombres n assez grands pour que chaque factorielle puisse être remplacée par la formule de Stirling :
n ! = [sqrt(2*Pi*n)]*[(n/e)^(n)]
Prenant le logarithme de W et laissant de côté des termes négligeables dans l'hypothèse où les n sont grands, plus exactement en remarquant que le logarithme d'un grand nombre est négligeable devant celui-ci, on obtient :
(12) log W = C — (n(0)*log(n(0) + n(1)*log(n(1)) +…) = C — Sigma(n*ln(n))
C étant une constante qui a la même, valeur pour toutes les distributions dont on veut comparer'les probabilités. Puisque les n et par conséquent N sont très grands, nous pouvons négliger l'unité dans la condition (9) et chercher le maximum de (12) sous les conditions (8) et (9). On trouve immédiatement que ce maximum correspond à la distribution représentée par la loi
(13) n(i) = [(N^2)/(R+N)]*[R/R+N]^(i)
i pouvant prendre les valeurs entières 0, 1, 2,… On voit que la distribution la plus probable des rouges en séries correspond à des nombres de séries qui varient suivant une progression géométrique décroissante de raison R/(R+N) à mesure que l'ordre i de la série augmente. Quel que soit le nombre moyen des coups dans les séries, ce sont toujours les petites séries qui seront les plus fréquentes, mais la diminution de fréquence avec l'ordre i est d'autant plus lente que R/N, ordre moyen des séries, augmente, puisque la raison tend vers l'unité quand R/N augmente. Si le jeu de roulette est tel que sur un grand nombre de coups, il y ait autant de rouges que de noires, la raison de la progression est égale à 1/2 et l'on a, en faisant R = N,
n(0) = N/2, n(1) = N/4, n(2) = N/8,…, n(i) = N/(2^(i)).
Il est donc probable que les coups rouges isolés seront deux fois plus fréquents que les séries de deux coups, celles-ci deux fois plus fréquentes que les séries de trois coups, et ainsi de suite. La vérification de ce résultat pourra servir à ceux qui jouent la série à s'assurer que le jeu est honnête et conforme aux postulats que nous avons admis. Si le jeu est combiné de manière que R soit différent de N, si par exemple le nombre des cases rouges est différent de celui des noires, la distribution la plus probable des séries se fera avec une raison R/(R+N) différente de 1/2. Si nous avions eu uniquement en vue la recherche de la distribution la plus probable des séries entre les diverses valeurs possibles et non celle de la probabilité d'une distribution quelconque, nécessaire pour l'étude des fluctuations autour de la plus probable, nous aurions pu aboutir beaucoup plus rapidement en raisonnant de la manière suivante : Chaque fois qu'un nouveau coup est joué, les chances de sortie de la rouge et de la noire sont entre elles comme R est à N. Une série étant commencée, elle se prolonge si la rouge sort et se termine si c'est la noire. Les chances qu'a une série quelconque de se prolonger sont donc à celles qu'elle a de se terminer comme R est à N. Ceci se traduit par l'équation, valable quel que soit i dans la distribution la plus probable des séries :
(n(i))/(n(i+1)+n(i+2)+…) = N+R
ou
(n(i))/(n(i)+n(i+1)+…) = N/(R+N),
et comme
n(i-1)/(n(i)+n(i+1)+…) = N/R,
on obtient par division la relation de récurrence :
n(i)/(n(i-1)) = R/(R+N),
d'où la relation (13) si l'on tient compte de (9).
Probabilités continues et probabilités discontinues. — Nous pouvons mettre encore nos résultats sous une autre forme qui va nous permettre de passer au cas limite des probabilités continues. Supposons que les coups de roulette soient joués uniformément dans le temps ; l'intervalle de temps entre deux coups consécutifs étant constant et égal à epsilon. La durée d'une série d'ordre i sera t = i*(epsilon) e t la durée totale de nos séries est donnée égale à R*(epsilon), autrement dit la durée moyenne est donnée égale à
t(barre) = (R/N)*(epsilon).
Chaque série ne pouvant contenir qu'un nombre entier i de coups, sa durée t ne peut être qu'un multiple entier de epsilon. Nous avons bien affaire à un problème de probabilités discontinues avec un domaine élémentaire de probabilités epsilon fini. La relation (13) peut encore s'écrire
(14) n(i) = [(N^2)/(R+N)]*exp(-t/tau) = C*exp(-t/tau),
en posant
(15) exp(-epsilon/tau) = R/(R+N) = t(barre)/(t(barre)+epsilon),
Ceci revient à remarquer que les points obtenus en portant en abscisses les valeurs de i et en ordonnées les valeurs correspondantes de n dans la distribution la plus probable se trouvent sur une courbe exponentielle dont l'équation est donnée par (14). La valeur du module tau est déterminée par la relation (15). Nous verrons que ce module joue dans la question actuelle le même rôle que joue la température dans les distributions les plus probables que prévoit la mécanique statistique et nous pourrions l'appeler la température de notre distribution probable des séries. Ceci va nous apparaître en examinant de plus près la relation entre ce module et la durée moyenne des séries. On peut en effet écrire la relation (15), en la résolvant par rapport à t(barre) :
(16) t(barre) = epsilon/(exp(epsilon/tau)-1),
Cette relation est représentée par la courbe I (fig. 1) qui part de l'origine avec une tangente horizontale et monte ensuite en tendant vers l'asymptote t = tau — epsilon/2. Cette courbe présente une analogie frappante avec celle qui représente la variation en fonction de la température de l'énergie thermique nécessaire pour porter un corps solide du zéro absolu à la température T, telle qu'elle résulte des recherches expérimentales de M. Nernst et de ses collaborateurs ; au lieu de l'énergie thermique totale on peut envisager aussi bien l'énergie moyenne epsilon(barre) d'une molécule en fonction de la température (courbe II, fig. 1). Plus exacte encore quantitativement est l'identité de notre courbe avec celle qui représente la distribution de l'énergie du rayonnement noir en fonction de la longueur d'onde et de la température. On sait que l'énergie contenue dans l'unité de volume d'une cavité en équilibre thermique est représentée, d'après les lois de Boltzmann et de Wien, pour la partie comprise entre les longueurs d'onde lambda et lambda + d(lambda), par
(1/(lambda^5))*F(lambda*T)*d(lambda).
Les mesures les plus précises faites dans un intervalle considérable de longueurs d'onde ont conduit pour la fonction F à la forme :
F (lambda*T) = C/(exp(c/lambda*T)-1)
C et c étant des constantes. Si nous portons en abscisses la variable (lambda*T) et en ordonnées la fonction F (lambda*T) telle que l'expérience la fournit, nous obtenons une courbe qui, pour un choix convenable d'échelle, coïncide exactement avec la nôtre (courbe III, fig. 1). L'analogie devient encore plus frappante quand on passe au cas limite des probabilités continues. Si nous supposons que les coups de roulette se précipitent de plus en plus, se succèdent à des intervalles epsilon de plus en plus petits, les séries de durée observable contiendront un très grand nombre de coups et n'existeront que si R est très grand par rapport à N, c'est-à-dire t(barre) et par conséquent tau par rapport à epsilon. Notre problème devient celui de la distribution la plus probable des intervalles de temps t entre N événements consécutifs (les coups noirs) qui se produisent au hasard, la valeur de l'intervalle moyen entre eux étant donnée. Si dans la formule (16), nous faisons tendre epsilon vers 0, nous obtenons
t(barre) = tau,
et (14) devient
(17) dn = (N/tau)*exp(-t/tau)*dt,
dn étant le nombre des intervalles dont la longueur est comprise entre t et t+dt.
La loi exponentielle subsiste ainsi dans le cas des probabilités continues ; ce sont toujours les intervalles les plus courts qui sont les plus fréquents, mais nous avons ce caractère particulier que la durée moyenne devient égale au module et que la courbe I est remplacée par la droite t(barre) = tau, parallèle à l'asymptote précédente. Or nous verrons que l'application des probabilités continues à la Thermodynamique conduit à prévoir, pour l'énergie moyenne d'une molécule dans un solide, une valeur proportionnelle à la température, conforme à la loi de Dulong et Petit, et représentée par une droite analogue à la précédente, parallèle à l'asymptote de la courbe expérimentale. De même, l'application des probabilités continues à la théorie du rayonnement conduit à une loi, donnée par Lord Rayleigh, d'après laquelle la fonction F(lambda*T) est proportionnelle à (lambda*T) et l'expérience confirme cette loi pour les grandes valeurs de (lambda*T), c'est-à-dire que la droite passant par l'origine que prévoit la probabilité continue est encore parallèle à l'asymptote de la courbe expérimentale. La conclusion qui s'impose, et dont M. Planck a eu la gloire de montrer la nécessité en créant sa théorie des quanta, c'est que nous ne pouvons espérer représenter les faits relatifs au rayonnement noir ou aux chaleurs spécifiques des solides qu'en introduisant la discontinuité jusque dans l'application des probabilités à la Physique, en tenant compte de l'étendue finie que doivent avoir les domaines élémentaires de probabilité. Bien d'autres faits sont venus depuis confirmer cette conclusion. Nous verrons tout à l'heure quelles doivent être la nature et la grandeur de ces domaines élémentaires.
La distribution des libres parcours. — Faisons de suite quelques applications à la Physique de la loi de distribution (17) relative aux probabilités continues. Nous aurions pu obtenir cette loi de manière plus directe et plus rapide si je n'avais eu le souci, pour les raisons qui précèdent, de la raccorder avec la loi plus générale des probabilités discontinues. Si N+1 points sont distribués au hasard sur une droite, sous la condition que leur intervalle moyen soit égal à lambda, le nombre d'intervalles entre deux points consécutifs dont la longueur est comprise entre l et l + dl devra être, dans la distribution la plus probable donnée par (17) :
dn = (N/lambda)*exp(-t/lambda)*dl.
Le hasard correspond ici aux postulats que la position d'un point quelconque peut se trouver indifféremment dans l'un quelconque des intervalles égaux, si petits qu'ils soient, dans lesquels on peut décomposer la droite, et que les positions des divers points sont considérées comme absolument indépendantes les unes des autres. Des écarts pourront se produire autour de cette distribution la plus probable, mais, comme toujours, leur importance relative diminuera à mesure que le nombre des points considérés sera plus grand. La même formule nous donnera la distribution des libres parcours d'une molécule gazeuse entre les diverses valeurs possibles l lorsque le libre parcours moyen est égal à lambda. Les postulats qui la rendent applicable sont ici que chaque choc contre une molécule particulière peut se produire indifféremment en un point quelconque du parcours total et qu'un choc n'influe en rien sur le temps qui peut s'écouler avant qu'un autre se produise.
Les intervalles d'émission des particules alpha. — Une application importante de cette même formule est relative à la distribution des intervalles de temps entre les émissions radioactives lorsque l'intervalle moyen est égal à tau, c'est-à-dire lorsque N+1 émissions se distribuent sur un temps total donné N*tau. Le moyen le plus simple pour vérifier l'exactitude de la loi est d'enregistrer au moyen d'un électromètre, comme l'a fait Mme Curie, les arrivées des particules individuelles sur une bande photographique déroulée à vitesse constante. On compte le nombre de ceux des intervalles d'une série dont la longueur est supérieure à l. Si la formule est exacte, c'est-à-dire si le hasard seul, interne ou externe, détermine l'explosion radioactive, on doit avoir pour ce nombre :
N(l) = (N/lambda)*sum(l…infini) exp(-l/lambda)*dl = N*exp(-t/tau),
dans la distribution la plus probable. L'expérience montre qu'il en est bien ainsi avec des écarts qui ne dépassent pas en, moyenne ce que peut, prévoir le calcul des probabilités. Si l'on porte l en abscisses et en ordonnées le logarithme de N(l), les points obtenus se rangent bien sur une droite dont l'inclinaison détermine lambda et l'ordonnée à l'origine le logarithme de N (fig. 2). Seuls ceux qui sont relatifs aux très petites valeurs de l restent quelquefois au-dessous de la droite et ceci s'explique par le fait que, les émissions consécutives devenant indiscernables quand les intervalles sont trop petits, il a été en réalité émis un peu plus de particules qu'on n'en a comptées. On peut corriger cette erreur et déterminer exactement le nombre total des particules émises en se servant de la loi précédente puisque l'ordonnée à l'origine doit donner la valeur exacte de log N. On peut ainsi vérifier l'importante et remarquable loi du hasard interne qui régit les explosions radioactives et apporter plus de précision dans les numérations de particules alpha qui fournissent actuellement la meilleure méthode pour la détermination des grandeurs moléculaires. La série représentée par la figure 2 comprenait 10 000 intervalles. La loi des transformations radioactives. En réalité, les substances radioactives que nous avons supposées constantes, dans les applications faites jusqu'ici, se détruisent par les explosions atomiques et leur activité diminue au cours du temps suivant une loi exponentielle qui est celle des réactions chimiques monomoléculaires. Si N atomes radioactifs sont présents à l'origine du temps, le nombre de ceux qui se détruisent entre les instants t et t + dt est donné par :
dN = (N/tau)*exp(-t/tau)*dt,
tau étant la période de la transformation ou la vie moyenne d'un atome, ou, ce qui revient au même en raison de la forme particulière de la loi, sa durée moyenne comptée à partir d'un instant quelconque et non plus à partir de sa production par un atome générateur. Ce fait, qui semble paradoxal, tient précisément à l'intervention du hasard„ au fait que la durée ultérieure probable d'un atome est indépendante du temps pendant lequel il a déjà vécu. La concordance. de la loi expérimentale avec notre formule (17) montre que la destruction d'un nombre donné d'atomes, radioactifs se fait suivant la loi la plus probable qui soit compatible avec une vie moyenne donnée.
La formule du nivellement barométrique. — Considérons une colonne cylindrique de gaz que nous supposerons à température uniforme T. Si aucune condition n'est imposée à la distribution du gaz dans le volume qui lui est offert, celle qui s'établira sera la plus probable au sens de notre premier problème : elle sera uniforme aux fluctuations près dont nous avons parlé et qui seront sensibles seulement dans, de très petites portions du volume total en raison du nombre énorme des molécules. La densité du gaz sera la même partout et indépendante de l'altitude z au-dessus du fond. Mais, si le gaz est pesant, nous savons que la densité variera avec l'altitude suivant une loi bien connue qu'on obtient de la manière suivante : Si p est la pression en un point où la concentration est c en molécules-gramme par unité de volume, on a :
p = R*T*c,
R étant la constante des gaz parfaits. Si M est la masse moléculaire la densité au point considéré est M*c et la loi fondamentale de statique des fluides donne :
dp = — M*c*g*dz
d'où
c = c(0)*exp(-M*g*z/R*T).
Si N est le nombre d'Avogadro, nombre de molécules dans une molécule-gramme, et m la masse d'une molécule, on peut écrire, en posant
k = R/N,
la relation précédente :
(18) c = c(0)*exp(-m*g*z/k*T),
c(0) étant la concentration pour l'altitude zéro. Le nombre dn de molécules comprises en moyenne entre les altitudes z et z + dz sera de la forme
dn = C*exp(-m*g*z/k*T)*dz.
L'analogie de cette loi avec notre formule (17) nous montre que la distribution qui s'établit dans un gaz sous l'action de la pesanteur est la plus probable qui soit compatible avec une altitude moyenne donnée z = k*T/m*g (quand la colonne est supposée limitée en hauteur), c'est-à-dire avec une hauteur donnée du centre de gravité, si l'on introduit comme postulats de probabilité que la présence d'une molécule est indifféremment possible dans des couches d'égale épaisseur et que la présence d'une molécule à une certaine hauteur n'exerce aucune influence sur la possibilité de présence des autres, ce qui suppose le gaz assez rare, comme nous avons dû le faire d'ailleurs pour appliquer la loi des gaz parfaits. Si nous remarquons que m*g*z représente l'énergie potentielle Psi de pesanteur d'une molécule située à l'altitude z, la formule devient :
(18)' dn = C*exp(-Psi/k*T)*dz.
L'expérience nous montre, sur le cas particulier de la distribution d'un gaz pesant en hauteur, que celui-ci se distribue spontanément de la manière la plus probable qui soit compatible avec une énergie potentielle donnée.
LA MÉCANIQUE STATISTIQUE.
La loi de Boltzmann. — C'est l'œuvre essentielle de Boltzmann que d'avoir généralisé de manière complète le résultat précédent et montré que la configuration d'équilibre prévue par la Thermodynamique pour un système matériel quelconque est toujours la plus probable qui soit compatible avec son énergie totale, potentielle et ciné-tique. Pour donner un sens précis à cet énoncé, il faut indiquer nettement quels sont les postulats fondamentaux dans la définition des probabilités. On y parvient par la notion d'extension en phase qu'introduisirent Boltzmann et Gibbs et qui est à la base de la mécanique statistique. La configuration et la position d'un système matériel, qui peut d'ailleurs ne contenir qu'une seule molécule, sont déterminées par certaines coordonnées q(1), q(2),… q(r) en nombre égal à celui des degrés de liberté du système, et son état de mouvement par les moments ou quantités de mouvement correspondants, p(1), p(2),…, p(r). En prenant les coordonnées et les moments comme déterminant la position d'un point dans un espace généralisé à 2*r dimensions, ou extension en phase, on peut représenter chaque configuration dynamique d'un tel système par un point de cet espace et ses changements au cours du temps par une ligne ou trajectoire ; par chaque point passe d'ailleurs une trajectoire et une seule. Les diverses configurations possibles du système correspondent aux différents points de l'extension en phase comme les diverses positions possibles du centre d'une molécule dans un récipient correspondaient aux différents points du volume intérieur à ce récipient. Pour définir les probabilités dans le cas de la distribution en volume, nous avons considéré comme équivalentes des portions d'égale étendue du volume total. Nous pouvons aussi partager notre espace généralisé en éléments d'égale extension d(omega) et un théorème fondamental dû à Liouville montre que, si notre système est régi par des équations analogues à celles de la Dynamique et réductibles à la forme Hamiltonienne, ces éléments d'égale extension, comme tout à l'heure nos éléments égaux de volume, doivent être considérés comme équivalents au point de vue de la probabilité, au point de vue de la présence possible à leur intérieur du point représentatif de la configuration de notre système. En effet, le théorème de Liouville consiste en ceci que, si nous suivons au cours du temps des systèmes dont les points représentatifs sont situés initialement dans un élément donné de l'extension en phase, l'élément se déplace et se déforme dans l'espace généralisé, mais en conservant une étendue constante. Donc la présence initiale du point représentatif dans un élément est exactement aussi probable que sa présence ultérieure dans un élément d'égale étendue ; deux éléments d'égale étendue doivent être considérés comme équivalents au point de vue de la présence possible du point représentatif, au même titre que deux éléments égaux du volume ordinaire au point de vue de la présence possible des molécules. Ce sera là notre postulat fondamental de définition des probabilités et, comme toujours, il trouvera sa justification complète dans l'accord de ses conséquences avec les faits. Considérons un ensemble composé d'un grand nombre N de systèmes identiques au précédent, comme un gaz est composé d'un grand nombre de molécules semblables. A tout état dynamique de l'ensemble, à toute distribution des N systèmes qui le composent entre les diverses configurations possibles, correspond une distribution donnée des N points représentatifs dans l'extension en phase. Pour calculer la probabilité de cette distribution, découpons l'extension en phase en éléments équivalents delta(omega) d'égale étendue que nous supposerons pouvoir diminuer indéfiniment dans l'hypothèse des probabilités continues. Si delta(n(1)), delta(n(2)),… sont les nombres de points représentatifs présents dans ces éléments pour la distribution considérée, et si nous faisons de plus le postula analogue à celui de la rareté du gaz, de l'indépendance mutuelle des positions des divers points, nous obtenons pour le nombre W de manières dont la distribution considérée peut être réalisée, nombre proportionnel à sa probabilité :
(19) W = N ! /[(delta(n(1))) ! (delta(n(2))) !…]
Si maintenant nous supposons donnée l'énergie totale U de l'ensemble, somme des énergies individuelles E dont la valeur est déterminée pour chaque système par le point représentatif de sa configuration, les distributions possibles sont assujetties à la condition, comparable à (8) :
(20) E(1)*delta(n(1)) + E(2)*delta(n(2)) +… = U,
E1, E2,… étant les énergies qui correspondent à la position de points représentatifs dans les différents éléments équivalents d'extension. La distribution de probabilité maximum sera représentée, comme il résulte d'un calcul comparable à celui qui nous a donné la relation (14), par :
delta(n) = C*exp(-E/Thêta)*delta(omega).
La densité en phase rho = delta(n)/delta(omega) qui correspond à la distribution la plus probable de nos N systèmes est donc donnée par la loi des ensembles canoniques de Gibbs
(21) rho = C*exp(-E/Thêta).

Le module Thêta de la distribution et le coefficient C sont déterminés par les conditions équivalentes à (8) et (9) et que j'écris en notation différentielle pour passer au cas limite des probabilités continues
(22) C*sum(E*exp(-E/Thêta)*d(omega) = U et C*sum(exp(-E/Thêta)*d(omega) = N.
Nous allons montrer que cette distribution la plus probable compatible. avec les conditions imposées à notre ensemble de N systèmes est précisément celle qui correspond à la configuration d'équilibre prévue par la Thermodynamique. En même temps se dégagera la signification profonde au point de vue statistique des diverses notions fondamentales de la Thermodynamique : de même que l'énergie totale U représente l'énergie interne de notre ensemble. de N systèmes (de N molécules par exemple), nous allons être conduits à considérer la température absolue comme proportionnelle au module Thêta de la distribution ; l'entropie et l'énergie utilisable seront proportionnelles respectivement aux logarithmes de la probabilité W et de la constante C.
Cas d'un gaz pesant. — Appliquons tout d'abord notre loi générale de distribution la plus probable au cas d'un gaz pesant composé de molécules identiques les unes aux autres et de masse m. Chaque molécule représentera l'un de nos systèmes et le gaz tout entier représentera l'ensemble dont nous cherchons la distribution. Admettons de plus qu'il s'agisse d'un gaz monoatomique dans lequel nous n'aurons pas à introduire de rotations des molécules ; chacune de celles-ci sera assimilable à un point matériel avec seulement trois degrés de liberté de translation auxquels correspondront les coordonnées x, y, z et les composantes u, v, w de la vitesse. L'énergie E d'un système, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur d'une molécule, a pour expression
E = (1/2)*m*(u^2 + v^2 + w^2) + m*g*z.
L'espace généralisé ou extension en phase est ici à six dimensions, trois pour les coordonnées x, y, z et trois pour les moments ou quantités de mouvement correspondants, m*u, m*v, m*w, de sorte que chaque état possible d"une molécule, comme position et mouvement., est représenté par un point distinct, dans cet espace généralisé, dont l'élément d(omega) a pour valeur
d(omega) = (m^3)*dx*dy*dz*du*dv*dw.
La distribution des points qui dans cet espace représentent à un moment donné l'état des molécules de l'ensemble nous donne à la fois la répartition de ces molécules entre les diverses positions et les diverses vitesses possibles. Dans la distribution la plus probable, compatible avec une énergie totale donnée, la densité de ces points est donnée par
(23) rho = C*exp(-m/(2*Thêta))*(u^2 + v^2 + w^2) — m*g*z/Thêta.
On reconnaît, pour ce qui concerne les vitesses, la loi de distribution de Maxwell. On déduit immédiatement de cette formule que l'énergie cinétique correspondant à un degré de liberté, (1/2)*m*(u^2) par exemple, a pour valeur moyenne Thêta/2, quel que soit le degré de liberté considéré. Il en serait encore de même si nous avions supposé la molécule susceptible de rotations ou de déformations l'énergie cinétique d'une molécule étant mise sous forme d'une somme de carrés correspondant chacun à un degré de liberté, la valeur moyenne, dans la distribution la plus probable, est la même pour chacun de ces termes et a pour valeur Thêta/2. C'est le théorème bien connu d'équipartition, qu'on étendrait sans peine au cas d'un mélange de diverses espèces de molécules par des considérations de probabilités analogues aux précédentes. Il est à remarquer que l'énergie cinétique moyenne pour un degré de liberté reste la même Thêta/2 quand, au lieu de la calculer pour l'ensemble de toutes les molécules, on considère seulement celles qui sont contenues dans un élément de volume de l'espace ordinaire dx, dy, dz, ou dans une tranche dz de la colonne cylindrique dans laquelle nous pouvons supposer notre gaz renfermé. La distribution des vitesses entre les molécules d'un gaz pesant, et par conséquent l'énergie ciné-tique moyenne, est la même à toutes les altitudes. D'après la théorie cinétique, la pression d'un gaz est proportionnelle à l'énergie cinétique moyenne de ses molécules. Si c'est la concentration du gaz à l'altitude z, en molécules-gramme par unité de volume, et N le nombre d'Avogadro, la valeur Thêta/2 pour l'énergie moyenne d'un degré de liberté conduit pour la pression à
p = N*c*Thêta.
L'identification avec la loi des gaz p = R*c*T donne la relation
(24) Thêta = (R/N)*T = k*T.
Le module Thêta de la distribution la plus probable est donc proportionnel à la température absolue et donne la signification statistique de la notion de température. La distribution la plus probable d'un gaz, comme d'un ensemble quelconque d'ailleurs, est la distribution isotherme. Si nous cherchons maintenant la variation de densité du gaz avec l'altitude dans la distribution donnée par la formule (23), en tenant compte de la relation (24), après intégration de —rho*d(omega) par rapport à u, v, w, entre les limites —infini et +infini, nous retrouvons précisément la loi représentée par la formule (18), c'est-à-dire la loi du nivellement barométrique. C'est là une justification, sur cet exemple particulier, de la manière dont nous avons défini la probabilité d'une configuration de notre ensemble de systèmes, à partir du postulat d'équivalence des éléments égaux d'extension en phase.
Entropie et probabilité. — Pour obtenir l'interprétation statistique du principe de Carnot, examinons tout d'abord le cas des transformations réversibles. Pour réaliser une semblable transformation, nous supposerons qu'on fait varier les conditions imposées à notre ensemble de systèmes (grandeur de l'énergie totale U, forces extérieures exercées sur chaque système) assez lentement pour qu'à chaque instant l'ensemble ait le temps de prendre la distribution la plus probable qui soit compatible avec les conditions actuelles. Nous aurons donc à chaque instant une distribution de la forme (21) avec des constantes C et Thêta qui varieront d'un instant à l'autre. La quantité W, donnée par la formule (19) et que nous appellerons la probabilité, aura à chaque instant la plus grande valeur compatible avec les conditions imposées, et cette valeur variera au cours de la transformation. Cherchons de quelle manière. L'extension en phase étant partagée en éléments delta(omega) tous égaux entre eux, très petits mais cependant assez grands pour que chacun d'eux renferme un grand nombre delta(n) = rho*delta(omega) de points représentatifs, nous pouvons, en appliquant la formule de Stirling à chacune des factorielles qui entrent dans l'expression de W et en ne conservant que les termes importants, écrire
log(W) = N*(log(N) — Iog(delta(omega)) — Sigma(rho*log(rho))*delta(omega).
Le premier terme est constant au cours de la transformation, le second varie avec la distribution. En remplaçant par une intégrale la somme qui figure dans ce terme et qui est étendue à tous les éléments d'extension en phase, nous obtenons, en représentant le premier terme par une constante A :
log(W) = A — sum(rho*log(rho)*d(omega)).
Si nous admettons qu'à chaque instant soit réalisée la distribution la plus probable, nous pouvons remplacer p par l'expression (21) et il vient, en tenant compte des conditions (22) :
(25) log(W) = A + U/Thêta — N*log(C).
Différentions cette dernière relation
d(log(W)) = dU/Thêta — U/((Thêta)^2)*d(Thêta) — N*(dC/C).
Différentions également la seconde des conditions (22) ; elle donne
N*(dC/C) + (U/(Thêta^2))*d(Thêta) — (C/Thêta)*sum(exp(-E/Thêta))*dE*d(omega) = 0,
d'où
d(log(W)) = dU/Thêta — (1/Thêta)*sum(rho*d(omega)*dE).
Or l'intégrale sum(rho*d(omega)*dE) représente l'accroissement d'énergie potentielle de l'ensemble résultant du changement des conditions extérieures, c'est-à-dire le travail d(tau) fourni à l'ensemble pendant l'élément de transformation réversible. Donc
d(log(W)) = (dU — d(tau))/Thêta.
La différence dU — d(tau) entre l'accroissement d'énergie interne et le travail fourni est la quantité de chaleur dQ fournie à l'ensemble ; en tenant compte de la relation (24), il vient :
dQ/T = k*d*log(W) = d(k*log(W)).
Donc, pour une transformation consistant en une succession d'états de probabilité maximum, le quotient de la chaleur fournie dQ par la température absolue est une différentielle exacte. C'est un des énoncés du principe de Carnot appliqué aux transformations réversibles. Nous démontrons ainsi que les distributions moléculaires de probabilité maximum jouissent de toutes les propriétés imposées par la Thermodynamique aux configurations d'équilibre, et donnons, grâce à la définition dynamique des probabilités par l'introduction de l'extension en phase, un sens précis à la notion intuitive que la distribution moléculaire la plus probable, se réalisant par là même incomparablement plus souvent que toutes les autres en raison de la complexité de l'ensemble, doit représenter la configuration d'équilibre de celui-ci sous les conditions données. On déduit aussi la signification statistique de l'entropie des résultats précédents :
dS = d(k log W),
ou, à une constante près :
(26) S = k log W.
L'entropie, dans le cas où la Thermodynamique permet de la définir, c'est-à-dire dans le cas des transformations réversibles, se trouve donc proportionnelle au logarithme de la probabilité de la configuration d'équilibre, c'est-à-dire de la configuration la plus probable compatible avec les conditions imposées à l'ensemble considéré. Nous obtenons en même temps le moyen de généraliser la notion quantitative d'entropie et de l'étendre aux configurations qui ne peuvent faire partie d'une transformation réversible. Comme nous savons par (19) définir la probabilité W pour une configuration quelconque de notre ensemble, il suffit de considérer comme générale la relation (26) pour obtenir une définition générale de l'entropie et pour atteindre la signification profonde, purement statistique, de cette notion autrement si obscure. Le fait qu'un ensemble tend spontanément vers la configuration la plus probable compatible avec les conditions qui lui sont imposées généralise et éclaire profondément le théorème de Clausius d'après lequel l'entropie tend vers un maximum à énergie interne donnée. La conséquence la plus importante peut-être de ce résultat est que la configuration d'équilibre prévue par la Thermodynamique, la configuration d'entropie maximum, nous apparaît maintenant comme la plus probable, mais non la seule possible pour l'ensemble. Celui-ci prend au cours du temps toutes les configurations possibles dans la proportion de leurs probabilités. La plus probable est seulement la plus fréquente et prédomine d'autant plus que l'ensemble est plus complexe, que le nombre N des systèmes qui le composent est plus grand. Mais des fluctuations doivent se produire autour de cette configuration la plus probable ; nous verrons tout à l'heure comment la relation (26) généralisée permet d'en prévoir l'importance dans tous les cas et comment l'observation directe de ces fluctuations est venue confirmer de la manière la plus complète ces conséquences du point de vue statistique et apporter des moyens nouveaux, en nombre illimité, pour atteindre les grandeurs moléculaires par l'intermédiaire de ces fluctuations. Le principe de Carnot perd ainsi sa signification absolue : les configurations d'équilibre qu'il permet de prévoir et qu'il présente comme rigides ne correspondent en réalité qu'à un aspect moyen autour duquel la matière est en frémissement continuel et effectue des fluctuations d'autant plus importantes relativement que le nombre des molécules présentes est plus faible. En tenant compte des relations (24) et (26) et en choisissant convenablement la constante arbitraire dans l'expression de l'entropie, nous pouvons écrire l'équation (25) sous la forme
U-TS = N*Thêta*log(C) = R*T*log(C),
si R est la constante des gaz pour un nombre N de molécules égal au nombre des systèmes de notre ensemble. Nous obtenons ainsi l'expression de l'énergie utilisable et sa relation avec la constante C de la loi de distribution la plus probable
Psi = R*T*(log(C)),
Comme la température, l'énergie utilisable n'a de sens que pour une distribution d'équilibre, de probabilité maximum, puisque ces notions sont définies à partir des constantes Thêta et C caractéristiques d'une telle distribution. L'entropie au contraire est susceptible d'une définition plus générale puisqu'elle est reliée à la probabilité W dont la relation (19) donne l'expression pour une configuration quelconque de l'ensemble. Ceci montre l'importance particulière qui s'attache à cette notion d'entropie dont l'introduction s'est imposée longtemps avant qu'on en vît clairement les raisons profondes. Il est bien évident, d'ailleurs, que lorsqu'un ensemble complexe ne se trouve pas en équilibre thermodynamique, lorsque sa température n'est pas uniforme par exemple, on peut le décomposer en ensembles plus simples, en éléments de volume, au sens ordinaire du mot, pour chacun desquels l'équilibre est au moins approximative-ment réalisé, pour chacun desquels on peut définir une température et une énergie utilisable, et calculer l'entropie au sens thermodynamique de sa définition. Cette remarque trouve son application dans nombre de raisonnements relatifs aux fluctuations. Nous venons d'obtenir une interprétation statistique de la Thermodynamique en suivant la voie ouverte par Boltzmann ; on peut avec Gibbs se placer à un point de vile un peu différent, mais le fond des raisonnements reste le même et je n'insisterai pas sur les différences entre les deux méthodes. Celle de Boltzmann me paraît, du reste, la plus claire et la plus féconde.
Les lois d'actions moléculaires. — Nous venons de voir dans la Thermodynamique un aspect des résultats de la Mécanique statistique. Celle-ci est beaucoup plus riche de contenu et beaucoup plus profonde que celle-là, puisqu'elle en complète les énoncés en même temps qu'elle en donne la signification véritable. Non seulement elle permet de prévoir les fluctuations spontanées que la Thermodynamique ignore complètement ou plus exactement dont la Thermodynamique nie la possibilité, mais encore elle seule permet d'atteindre les propriétés des ensembles moléculaires où se reflètent les lois profondes d'actions individuelles exercées sur les molécules ou par les molécules les unes sur les autres. J'ai rappelé au début que certaines propriétés des ensembles sont indépendantes de ces lois individuelles et ne contiennent rien de plus que l'affirmation de la complexité de l'ensemble et du rôle qu'y joue la probabilité. Celles qu'on déduit de l'application du principe de Carnot, de la Thermodynamique, appartiennent à cette catégorie. Elles expriment uniquement ceci que la configuration d'équilibre ordinairement observée est la plus probable de toutes celles dont l'ensemble est susceptible, et la grossièreté habituelle de nos moyens d'observation fait que cette probabilité se change progressivement en certitude à mesure que l'ensemble devient plus complexe, ou plutôt parce que les ensembles observés sont généralement très complexes. Ces propriétés thermodynamiques, en retour, ne permettent pas d'atteindre les lois individuelles dont elles sont indépendantes. Au contraire, la'loi de distribution la plus probable donnée par la formule (in) fait intervenir ces lois individuelles par l'intermédiaire de l'énergie E relative à chaque système et permet d'obtenir par intégration des propriétés de la configuration d'équilibre, des lois accessibles à nos mesures où interviennent les lois d'actions moléculaires et dont l'observation doit nous permettre de remonter à celles-ci. De là résulte une puissance nouvelle d'investigation que nous commençons à peine à savoir mettre en valeur.
L'orientation moléculaire. — Je citerai, comme premier exemple, la théorie d'orientation moléculaire dont j'ai montré toute l'importance pour rendre compte des phénomènes de paramagnétisme et de biréfringence électrique et magnétique. Lorsque, sous l'action d'un champ extérieur, chaque molécule est soumise à un couple tendant à l'orienter, l'énergie E relative à une molécule contient un terme qui représente le travail effectué par ce couple et la formule (21) détermine la manière dont les molécules s'orientent, dont elles se distribuent entre les diverses orientations possibles dans la configuration la plus probable de l'ensemble. Cette formule traduit l'effet superposé de l'agitation thermique tendant à réaliser la distribution isotrope et de l'action directrice du champ qui tend à disposer parallèlement toutes les molécules dans l'orientation d'énergie minimum.
La distribution d'équilibre étant ainsi connue, une simple intégration donne la grandeur mesurable, moment magnétique résultant dans le cas du paramagnétisme ou indice de réfraction dans le cas de la biréfringence. On peut alors, ainsi que je l'ai montré, remonter de l'observation au moment magnétique moléculaire ou à la dissymétrie optique de chaque molécule. Le cas est beaucoup plus complexe où le couple directeur qui s'exerce sur une molécule dépend, non plus seulement du champ extérieur et de l'orientation par rapport à lui de la molécule considérée, comme pour les substances paramagnétiques diluées par exemple, mais résulte des actions mutuelles entre molécules. L'énergie U de l'ensemble fait alors intervenir des termes où figurent à la fois les orientations de deux ou plusieurs molécules, et le calcul de la con-figuration de probabilité maximum compatible avec une valeur donnée de U devient beaucoup plus difficile. C'est ainsi que la question se pose pour les substances ferromagnétiques ou pour les cristaux liquides où les actions directrices mutuelles jouent le rôle prépondérant. On sait quels progrès ont déjà été réalisés dans l'étude du ferromagnétisme, grâce à l'hypothèse du champ moléculaire par laquelle M. Pierre Weiss a proposé de traduire la résultante des actions mutuelles exercées sur une molécule. Les résultats donnés par cette simplification du problème font prévoir de quelle importance serait la solution complète.
Les équations d'état. — Les choses se présentent plus simplement lorsque au lieu d'actions mutuelles d'orientation on suppose seulement entre les molécules des forces centrales, s'exerçant suivant une loi donnée en fonction de leur distance. L'équation d'état d'un fluide composé de semblables molécules s'obtiendrait de manière complète par la voie statistique si l'on savait résoudre le problème suivant, de nature purement géométrique : N points étant distribués au hasard dans un volume donné, quelle est la probabilité pour que les à distances mutuelles entre ces points, en nombre égal à [N*(N-1)]/2, soient distribuées d'une manière donnée entre les diverses valeurs possibles ? Ce problème résolu, l'équation d'état s'obtient immédiatement et fait intervenir, naturellement, la loi d'action mutuelle entre deux molécules. Cette équation permettrait, inversement, de remonter à la loi d'action à partir des isothermes obtenues expérimentalement pour le fluide considéré. Il y a là une question fondamentale de cohésion et je signale, à l'attention des mathématiciens, le problème de probabilités purement géométrique dont dépend toute sa solution. Ce même problème domine également toute la théorie des mélanges de fluides et de la pression osmotique en particulier. De même que, par son intermédiaire, l'équation d'état d'un fluide pur donnerait la loi d'action entre molécules identiques, les propriétés bien connues des mélanges donneraient la loi d'action entre molécules d'espèces différentes. Ici encore, les progrès de la Physique dépendent de la solution d'un problème de probabilités. Il s'agit toujours de trouver la distribution la plus probable compatible avec des conditions données.
Le problème général des fluctuations. — Dans ces premiers exemples d'applications des raisonnements généraux de la Mécanique statistique, nous avons considéré seulement la distribution la plus probable autour de laquelle nos ensembles effectuent constamment des fluctuations, généralement insensibles à cause de la grande complexité des ensembles de molécules sur lesquels portent nos observations. Mais ces fluctuations peuvent devenir accessibles à l'expérience, lorsque le nombre des molécules contenues dans le système diminue (mouvement brownien de petites particules ou diffusion de la lumière, déterminée par les fluctuations de concentration dans des petits volumes de l'ordre du cube de la longueur d'onde). Nous avons vu comment on peut prévoir leur importance par des raisonnements très simples de probabilités dans le cas des fluctuations de concentration de gaz peu denses ou de solutions diluées où les positions des diverses molécules peuvent être considérées comme indépendantes les unes des autres. La question est alors purement géométrique. Si les actions mutuelles interviennent pour diminuer les fluctuations quand ces actions sont répulsives ou pour les augmenter quand elles sont attractives, il n'y a plus indépendance et la question, devenue dynamique, ne peut être résolue que par les considérations nouvelles de probabilités qu'introduit la Mécanique statistique. Dans le problème général des fluctuations, il s'agit d'étudier les variations spontanées d'une grandeur observable x caractéristique du système (altitude ou vitesse d'un granule brownien, densité du fluide dans un petit volume, intensité du courant dans un circuit, etc.) autour de la valeur x(0) qui correspond à l'état le plus probable (altitude du point le plus bas qu'il puisse occuper et vitesse nulle pour le granule, densité correspondante à la distribution uniforme d'un fluide, valeur nulle du courant si le circuit ne comporte pas de force électromotrice, etc.). La question revient en somme à chercher la probabilité W(x)*dx pour que la grandeur considérée soit comprise entre x et x+dx. Cette probabilité connue, on en déduira aisément la valeur moyenne d'une fonction quelconque de x-x(0) ou les effets produits par les fluctuations sur la propagation de la lumière par exemple, la fréquence avec laquelle se présente l'écart x-x(0) étant, comme dans tout ce qui précède, proportionnelle au coefficient de probabilité W(x). Deux procédés différents peuvent être employés pour atteindre cette probabilité. On peut tout d'abord supposer isolé le système complexe formé par notre ensemble de molécules, c'est-à-dire supposer son énergie interne constante et utiliser la formule (19) pour calculer la probabilité d'une configuration quelconque soumise à la condition d'énergie donnée. En ajoutant les probabilités ainsi obtenues pour toutes les configurations telles que la grandeur observable soit comprise entre x et x+dx, on aura précisément W(x)*dx. On obtient ainsi ce que nous pouvons appeler les fluctuations à énergie constante. Bien qu'il soulève des difficultés, le raisonnement suivant, dû à M. Einstein, permet d'arriver très vite au résultat. A chaque valeur de x correspond, au sens thermodynamique, une valeur de l'entropie S de notre système qui prend son maximum So pour x= xo. En généralisant la relation de Boltzmann (26) entre l'entropie et la probabilité, nous pouvons admettre, entre S et la valeur correspondante du coefficient W(x), la relation
S = k log W,
ou, ce qui élimine la constante arbitraire non écrite dans cette équation,
S-S(0) = k*log(W/W(0)),
ou encore
(27) W = W(0)*exp((S-S(0))/k).
On peut encore écrire cette formule autrement. Comme notre système est complexe et que la grandeur x est un seul des paramètres en nombre énorme nécessaires pour la description complète de l'état du système, la variation de x dans les limites que les fluctuations pourront atteindre ne modifiera pas appréciablement la température du système qui correspond à une énergie interne donnée. Autrement dit, la configuration la plus probable sous les conditions que U ait la valeur donnée et que x soit compris entre x et x+dx correspond à un module Thêta et par conséquent à une température T sensiblement indépendante de x. Dans ces conditions, si Psi et Psi(0) sont les valeurs de l'énergie utilisable qui correspondent à x et x(0) sous cette température, on a, l'énergie interne restant fixe :
S — S(0) = (Psi(0) — Psi)/T,
et l'on peut écrire la relation (27) sous la forme
(28) W = A*exp(-Psi/(k*T)),
A étant une constante. Nous pouvons retrouver ce même résultat par une autre voie, grâce à la remarque suivante : la très faible variation de température qui accompagne les fluctuations à énergie constante à cause de la complexité du système fait que ces fluctuations restent les mêmes quand ce système, au lieu d'être isolé, fait partie d'un ensemble de systèmes complexes analogues avec lesquels il peut échanger de l'énergie, c'est-à-dire quand on considère les fluctuations comme isothermes'au lieu de les considérer comme s'effectuant à énergie constante. On voit immédiatement que l'étude de ces fluctuations isothermes se ramène à celle de la distribution la plus probable des diverses configurations possibles dans un ensemble de systèmes complexes. C'est un problème tout à fait analogue à celui que résout la formule (21), à ceci près que, au lieu d'avoir une seule molécule pour chacun des systèmes dont est composé l'ensemble, chaque système est lui-même composé d'un grand nombre de molécules. De sorte que l'extension en phase doit avoir maintenant un nombre énorme de dimensions, puisque chaque système complexe contient N fois plus de paramètres que chacune des molécules dont il est composé. La distribution cherchée est déterminée par une formule analogue à (21), mais où E représente, non plus l'énergie d'une molécule, mais celle de notre ensemble de N molécules en fonction de tous les paramètres qui fixent la configuration de cet ensemble. Si d(Omega) est un élément de la nouvelle extension en phase, la probabilité pour que le point représentatif se trouve contenu dans cet élément sera
(29) C*exp(-E/Thêta)*d(Omega),
Si nous voulons étudier les fluctuations relatives à un certain paramètre x, accessible à nos mesures, c'est-à-dire chercher la probabilité pour que ce paramètre soit compris entre x et x+dx, nous devons chercher la portion de l'extension Omega qui contient les points représentatifs pour lesquels la grandeur x est comprise entre les limites indiquées. En intégrant dans cette portion l'expression (29) nous obtiendrons la probabilité cherchée sous la forme
W(x)*dx.
En se reportant à la définition statistique que nous avons obtenue pour l'énergie utilisable, on démontre que la probabilité précédente peut s'écrire :
W(x)*dx = A*exp(-Psi(x)/Thêta)*dx,
A dépendant de x, mais de façon à varier d'ordinaire très peu en valeur relative quand x varie autour de x(0). On peut alors considérer A comme une constante, et la connaissance de Psi(x) suffit, c'est-à-dire de l'énergie utilisable du système relative à la grandeur x, et à la température T, le module Thêta étant pris égal à k*T. Nous retrouvons bien la formule (28), obtenue en supposant les fluctuations adiabatiques.

On voit ainsi que l'étude des fluctuations isothermes d'un système complexe, comme notre ensemble primitif de N molécules, autour de sa configuration la plus probable, se ramène à l'étude de la distribution la plus probable d'un ensemble de systèmes complexes, identiques au premier, entre les diverses configurations possibles. C'est là un fait général en calcul des probabilités, les écarts à partir d'une distribution probable s'obtenant par la considération de la distribution la plus probable d'un ensemble plus complexe que le premier. Voyons maintenant quelques applications de la formule (28) à la Physique.
Mouvement Brownien et distribution de granules. — Si le système complexe est constitué par un granule et le fluide qui l'environne, nous pouvons prendre pour grandeur x soit la vitesse du mouvement d'ensemble du granule suivant une direction, soit son altitude.
Dans le premier cas Psi est égal à l'énergie cinétique correspondante à la direction considérée et proportionnelle au carré de la vitesse. L'application de (28) donne, pour valeur moyenne de cette énergie cinétique, Thêta/2 ou k*T/2. Nous retrouvons ainsi sous un nouvel aspect, applicable aux mouvements visibles, le théorème d'équipartition de l'énergie cinétique entre les degrés de liberté d'un système complexe. J'ai montré comment ce théorème permet de retrouver très simplement la formule célèbre donnée par M. Einstein pour les déplacements d'un granule par mouvement Brownien de translation ou de rotation. On retrouve cette équipartition sous une forme généralisée toutes les fois que l'énergie utilisable Psi est une fonction continue de la grandeur x. En effet Psi(0), valeur qui correspond à la configuration d'équilibre, devant être un minimum pour Psi, on peut écrire, en limitant le développement à cause de la faible amplitude des variations spontanées :
Psi — Psi(0) = alpha*((x-x(0))^2),
alpha étant une constante. L'application de (28) montre encore que la valeur moyenne de Psi — Psi(0) est égale à k*T/2, c'est-à-dire que les fluctuations correspondent, pour chaque paramètre tel que x, à un écart moyen d'énergie utilisable égal à l'énergie cinétique moyenne k*T/ 2 d'une molécule par degré de liberté à la même température ; c'est dire la petitesse de telles fluctuations. On conçoit la généralité des applications possibles de ce résultat aux déformations spontanées d'un corps élastique tel qu'un diapason, à la charge spontanée d'un condensateur dont les plateaux sont réunis par un fil et dont l'énergie électrostatique aura la valeur moyenne k*T/2 aux fluctuations de courant dans un circuit dont l'énergie de self-induction aura cette même valeur moyenne, etc. Dans tout système susceptible d'effectuer des vibrations périodiques comme le diapason ou le condensateur fermé, la valeur moyenne de l'énergie potentielle est égale à k*T/2 comme la valeur moyenne de l'énergie cinétique (ou magnétique). La valeur moyenne de l'énergie totale doit donc être égale à k*T pour chaque mode possible de vibration. Ce résultat cesse d'être exact quand l'énergie utilisable n'est pas une fonction continue de la variable x. Il en est ainsi par exemple dans le cas des fluctuations d'altitude d'un granule pesant. Si m est sa masse, Delta sa densité, delta celle du fluide dans lequel il est plongé et z son altitude au-dessus du fond du vase, on a
Psi = m*g*(1-delta/Delta)*z,
pour z > 0, et Psi pratiquement infini pour z négatif puisqu'il faudrait déformer le fond du vase pour faire descendre le granule au-dessous de z=0. Psi est donc bien minimum pour z=0, mais le développement n'a plus la même forme que précédemment. W est nul pour z négatif en vertu de (28) et pour z positif égal à
W = W(0)*exp(-(m*g/k*T)*(1-delta/Delta)*z),
on reconnaît la loi de distribution vérifiée expérimentalement par M. Perrin. La Thermodynamique prévoit la position d'équilibre z = 0 pour laquelle l'énergie utilisable est minimum et la présence des granules dans le liquide au-dessus du fond correspond à des fluctuations d'altitude régies par la loi de probabilité que nous venons d'obtenir. On reconnaît encore, sur cet exemple, qu'un même problème peut être envisagé soit comme un problème de distribution la plus probable, soit comme un problème de fluctuations. Si l'on calcule dans le cas actuel la valeur moyenne de ou des fluctuations d'énergie utilisable correspondant à la variable z, on trouve, à cause de la forme particulière de cette fonction, la valeur k*T au lieu de k*T/2.
Fluctuations de concentration. — Le cas des fluctuations de concentration, dans un fluide dont les molécules agissent les unes sur les autres, rentre dans le cas général. Pour un petit volume donné au milieu d'un fluide, la concentration moyenne varie autour de celle qui correspond à la distribution uniforme du fluide. L'écart Psi — Psi(0) est proportionnel, en première approximation, au carré des variations de concentration et celles-ci sont donc telles que la valeur moyenne de Psi — Psi(0) soit égale à k*T/2. Cela suffit pour donner toute la théorie quantitative de l'opalescence critique puisque l'on connaît le degré de trouble du fluide à toutes les échelles de grandeur.
Probabilités continues et probabilités discontinues. — Nous avons vu qu'à tout mode possible de vibration périodique dans un système, la Mécanique statistique telle que nous l'avons obtenue prévoit une énergie moyenne totale égale à k*T. Ce résultat, appliqué aux molécules d'un solide, conduit à prévoir pour le solide une chaleur spécifique constante à toutes températures et, appliqué aux résonateurs électromagnétiques de M. Planck, conduit à la loi de Rayleigh pour la distribution d'énergie dans le rayonnement noir. L'expérience est en contradiction formelle avec ces conséquences. D'où viennent ces difficultés ? Dans nos raisonnements de Mécanique statistique, et en particulier dans le calcul des valeurs moyennes qui nous a conduits au théorème d'équipartition, nous avons implicitement admis qu'il s'agissait de probabilités continues et remplacé partout les sommations par des intégrations, ce qui revient à considérer comme infiniment petit le domaine élémentaire d'extension en phase delta(omega) que nous avons introduit pour définir la probabilité. Or ce passage à la limite soulève de grosses difficultés. En dehors du fait que des éléments d'extension en phase évanescents cesseront de contenir des nombres delta(n) de points représentatifs assez grands pour qu'on puisse continuer à utiliser la formule de Stirling, nous pouvons remarquer que la constante A de la formule (25) qui donne le logarithme de la probabilité contient le terme log(delta(omega)) qui devient infini quand delta(omega) tend vers zéro. On évite ces difficultés en même temps qu'on rend compte des lois expérimentales des chaleurs spécifiques et du rayonnement noir en admettant avec M. Planck une étendue finie et déterminée pour le domaine élémentaire delta(omega), c'est-à-dire en remplaçant les probabilités continues par des probabilités discontinues. La loi de distribution la plus probable est toujours donnée par la formule (21) de même que dans notre première partie la formule analogue (14) s'applique dans tous les cas. Mais la relation est changée entre le module Thêta ou tau et la valeur moyenne de la variable E ou t. Les probabilités continues nous ont donné t = tau, pour la durée moyenne des séries comme elles nous donnent E = Thêta pour l'énergie moyenne d'un résonateur. L'introduction des probabilités discontinues donne la formule (16) et M. Planck a montré que, dans le cas du résonateur, si h est la valeur imposée au domaine élémentaire d'extension en phase, la variation d'énergie qui lui correspond est epsilon = h*nu, nu étant la fréquence du résonateur, et l'on obtient la formule tout à fait comparable à (16)
(30) E(barre) = epsilon/(exp(epsilon/Thêta)-1)
On peut, au moyen de ce résultat, représenter au degré de précision des mesures la variation de capacité calorifique des solides avec la température et la distribution de l'énergie dans le rayonnement noir. En effet notre résonateur est en équilibre avec un rayonnement représenté exactement par la loi expérimentale rappelée antérieurement :
F(lambda*T) = C/(exp(c/lambda*T)-1)
en posant :
c/(lambda*T) = epsilon/Thêta = (h*nu)/(k*T),
ou, si V est la vitesse de la lumière :
c = h*V/k.
La constante h, qui vient de s'introduire comme mesurant l'étendue du domaine élémentaire de probabilité dans le problème du résonateur, semble bien avoir une importance capitale en Physique et figurer dans les lois d'un grand nombre de phénomènes. On conçoit qu'il en doive être ainsi puisque cette même constante détermine probablement le domaine élémentaire de probabilité dans toutes les questions de Mécanique statistique, quelle que soit la complexité du système étudié. L'expérience a confirmé son intervention, non seulement dans la théorie du rayonnement noir, mais encore dans celles de l'émission des rayons de Röntgen, des rayons cathodiques secondaires, des phénomènes photoélectriques et jusque dans les lois de la Mécanique chimique. Il paraît également certain qu'elle détermine la grandeur du magnéton ou élément discontinu de moment magnétique moléculaire. Ainsi le discontinu semble de tous côtés dominer la Physique. Non seulement nous devons admettre des éléments structuraux discrets, électrons, atomes ou molécules, mais encore il semble bien que nous devions introduire un élément nouveau de discontinuité dans les raisonnements statistiques par lesquels nous passons pour construire une image du monde à partir de ces éléments.

Paul Langevin, « La physique depuis vingt ans » (1923)

Qu'est-ce que le passage dialectique de la quantité à la qualité ?

Robert Paris — 2020-08-07T22:05:00Z

Qu'est-ce que le passage dialectique de la quantité à la qualité ?

Bien des gens ont tendance à affirmer que la science, physique, chimie, biologie notamment, serait mathématisable au sens où tout y serait quantitatif. Faux : ces sciences sont d'abord qualitatives car les différences entre particules, atomes, molécules, ondes, et énergies ne sont pas seulement quantitatives mais qualitatives.

La différence entre une particule virtuelle et une particule réelle n'est pas seulement quantitative puisqu'il faut capter un boson de Higgs. La différence entre deux atomes de même type est le nombre d'électrons mais la différence produite est qualitative : la capacité de l'atome à capter ou perdre un électron qui change qualitativement les propriétés chimiques de l'atome, les capacités de se lier avec d'autres atomes pour former ou pas des molécules.

Si on examine l'atome plus en interne, la différence entre deux noyaux d'atomes, différences qui détermine les types d'atomes, la nature de l'atome, atome d'hydrogène, atome d'oxygène, atome de chlore, etc., c'est le nombre de nucléons (protons et neutrons) et si on ajoute (ou on retranche) un nucléon à une structure atomique existante, on saute qualitativement d'un noyau d'un élément chimique à un autre, saut qualitatif car toutes les propriétés chimiques changent radicalement et qualitativement.

Au sein d'une dynamique chaotique (chaos déterministe, c'est-à-dire l'essentiel des dynamiques non-linéaires) d'un système physique ou chimique, un petit changement quantitatif fait passer le système, et même sauter, d'une situation stable à une situation chaotique ressemblant au désordre, au « pur hasard », puis une un nouveau changement quantitatif (même tout petit) ramène à une situation stable. Tous les systèmes dépendant des lois du chaos déterministe présentent des exemples de saut qualitatif, suite à une petite augmentation ou diminution quantitative.

Le Vivant est évidemment le siège de tels sauts qualitatifs produits par un changement quantitatif. Par exemple, telle ou telle molécule peut être totalement inactive dans une certaine quantité, puis bénéfique dans une autre quantité, puis, à un seuil, devenir nuisible et même mortelle. C'est vrai de multiples molécules, pas seulement de poisons, de produits dangereux. C'est vrai même de produits aussi simples que l'eau et le sel. C'est quasiment vrai de l'essentiel des molécules.

Le changement qualitatif, à un seuil quantitatif d'intervention, est également le propre de la relation matière/énergie. L'énergie peut être inactive qualitativement à un certain niveau quantitatif, puis, en augmentant ce niveau, elle peut être absorbée, modifiant seulement la structure électronique, et, à un nouveau seuil, elle peut modifier la structure du noyau, et, à un dernier seuil, elle peut casser l'atome, et même transformer une partie de la matière en énergie, en rayonnement, en photons.

Les chocs matière/matière sont également du même type : à un certain seuil, la quantité se transforme en qualité. Les chocs peuvent laisser indifférente la matière, ou la propulser, ou encore la transformer, par exemple la faisant passer de particules virtuelles à particules réelles, ou enfin le choc peut faire exploser les structures matérielles ou faire fusionner les noyaux, saut qualitatif s'il en est puisque les atomes qui en résultent n'ont pas du tout les mêmes propriétés que ceux d'origine.

Il en va de même des états de la matière : encore des exemples multiples de sauts qualitatifs d'un état à un autre. Ce sont même les plus fameux de ces types de sauts qualitatifs appelés « transitions de phase », comme le passage de l'eau gazeuse à l'eau liquide et à l'eau solide. Ces changements quantitatifs qui causent les changements qualitatifs sont des changements d'origine multiple : pression, température, nombre de molécules, modification du récipient, champ gravitationnel, champ magnétique, énergie, mouvement, etc.

Tout l'univers de la matière-lumière-vide est sujet à de telles transitions de phase qui sont des sauts qualitatifs se produisant à un certain seuil quantitatif.

Toute l'histoire de l'Univers est le récit de telles transitions de phase comme la libération de la lumière (univers transparent au rayonnement) produite par un changement quantitatif.

Toute l'histoire d'une étoile ou d'une galaxie est parsemée de quelques transitions de phase.

Si on examine simplement une surface neigeuse, celle-ci subit sans cesse de telles transitions de phase, la neige pouvant exister sous diverses structures qualitativement différentes et sautant de l'une à l'autre suivant la température, la pression, le rayonnement, etc.

Toute masse de matière ne peut se contenter de voir ses paramètres quantitatifs augmenter ou diminuer à l'infini sans subir des sauts qualitatifs, changeant complètement de structure et même de nature.

Ainsi, si on enlève ou si on ajoute de l'énergie à toute structure matérielle, elle finit par changer complètement et qualitativement de structure ou de nature.

La raison en est que la matière-lumière-vide est un monde qui n'existe pas seulement à une échelle, à un niveau hiérarchique d'organisation, mais à plusieurs successifs, emboités, coexistant et interagissant sans cesse, s'influençant sans arrêt.

Les « sauts » qualitatifs ne sont pas des petits miracles inexplicables car ils ne créent de nouvelle réalité qu'à un niveau hiérarchique et aux autres niveaux il peut n'y avoir aucun saut ! Par exemple, les atomes peuvent être individuellement insensibles aux transitions de phase thermodynamiques (entre états de la matière).

Les particules et antiparticules virtuelles du vide quantique peuvent être individuellement insensibles aux changements qualitatifs de l'état d'une particule réelle.

Il faut rappeler que toutes les particules de matière, réelles comme virtuelles, subissent elles aussi des transitions de phase qui modifient leur structure. C'est le cas aussi bien des électrons, des protons, des neutrons qui subissent les fameux « sauts quantiques » qui ont tant perturbé les physiciens lors de la fondation de la physique quantique.

Les créations/annihilation de particules dans le vide quantique sont également des transitions de phase qui obéissent aux lois de transformation de la quantité en qualité.

Si ces lois sont dérangeantes, ce n'est pas pour l'image d'un univers dont la dynamique à plusieurs niveaux hiérarchiques obéit à des lois dialectiques dont les contradictions sont non seulement destructrices mais capables d'être constructrices d'un nouvel ordre.

La seule gêne, c'est que l'immense majorité des physiciens, depuis la naissance de la physique, ignore pour l'essentiel l'existence et l'intérêt de la pensée dialectique, alors que tout l'édifice de la physique en est le développement et l'illustration ! Et cela pour une raison qui n'a rien de scientifique ou même de philosophique et qui est sociale : le saut qualitatif auquel la société dominante, à laquelle les sommets de la science appartiennent, rejette de toutes ses forces un saut qualitatif qui la menace, le saut du capitalisme au socialisme, encore une « transition de phase », un changement de structure arrivant à un certain seuil quantitatif, celui de la propriété privée des moyens de production, et celui des investissements productifs.

Oui, la science sociale est amenée elle aussi à reconnaître des transitions de phase et pas seulement des progressions régulières et continues, quantitatives. Oui, les changements sociaux historiques, les révolutions sociales sont des passages dialectiques de la quantité à la qualité. Toute l'histoire des sociétés humaines est pleine de tels changements que la science universitaire et académique s'évertue à effacer, à cacher, à nier.

La suite

La dialectique, mode de fonctionnement général du changement

La dialectique des transitions de phase

Les sauts qualitatifs de la matière

Les sauts qualitatifs des structures de la glace

Ls états de la matière

Une matière à plusieurs niveaux hiérarchiques d'organisation

Pourquoi la matière s'organise spontanément et de manière stable ?

Discontinuité de l'univers et structures hiérarchiques

Peut-on fonder mathématiquement la notion de continuité

Robert Paris — 2020-07-07T22:05:00Z

Une fonction qui n'est continue en aucun point

Une fonction discontinue en un point

Cantor-Dedekind-Hilbert ont voulu, à toute force et passionnément, fonder mathématiquement la notion de continuité et ont démontré… que c'était impossible

Jean Dieudonné dans « Mathématiques vides et significatives » :

« Des mathématiciens ont passé des années de leur vie à essayer de démontrer l'hypothèse du continu, problème qui les a tourmentés pendant très longtemps. Je me souviens d'avoir entendu dire à mon maître Polya, qui le tenait lui-même d'Alexandroff, qu'Alexandroff avait pendant un an travaillé à la démonstration de l'hypothèse du continu et puis qu'il avait arrêté parce qu'il se sentait devenir fou. Il a bien fait. Alors, quand Gödel et Cohen sont venus nous dire qu'il était inutile de nous tracasser les méninges et que jamais nous ne démontrerions ni l'hypothèse du continu ni sa contradiction, nous avons dit : « Ouf ! Quelle veine ! On n'aura plus à s'occuper de cet abominable problème »… Donc, en réalité, il y a là un peu un recul de beaucoup de mathématiciens ; mais pourquoi ce recul ? Dans ma jeunesse, nous étions très enthousiastes de l'école de Cantor… Après Gödel et Cohen, nous savons maintenant … qu'il y a autant de mathématiques que vous voulez… Pour le moment, il semble qu'il n'y ait aucune espèce de raison d'en choisir une plutôt qu'une autre. »

Roger Apéry dans « Mathématique constructive » :

« Trois illusions contribuent à l'adoption du continu classique : la « continuité » des grandeurs physiques, l'intuition géométrique, les constructions mathématiques de Cauchy, Weierstrass, Dedekind ou Cantor. »

F. Gonseth dans « Les fondements des mathématiques » :

« Conclusions - Au courant de l'étude que nous venons de clore, un fait est apparu de façon de plus en plus précise : c'est que la méthode axiomatique – pour nécessaire qu'elle soit – ne peut suffire à fonder la Mathématique sur un terrain d'absolue sécurité. »

(Remarque : Cantor-Dedekind-Hilbert comptaient fonder le continu et l'infini actuel sur la base d'une axiomatique.)

Les plus grands mathématiciens se sont cassés les dents sur la notion de continuité arithmétique, algébrique, géométrique, analytique. Certains essaient encore de nous faire croire qu'elle a été fondée de manière rationnelle mais c'est faux. Certes, les mathématiques utilisent sans cesse la notion de continuité mais ce n'est pas parce qu'elle a été construite de manière solide. C'est parce que l'illusion du continu est une image extrêmement pratique pour mathématiser des situations en les simplifiant. En général, aucune situation réelle n'est pourtant du continu : c'est la moyenne ou la statistique d'un très grand nombre de mesures qui obéit parfois, en lissant les valeurs, à une évolution apparemment continue.

Que veut dire continu et que veut dire discontinu ?

Nous connaissons quelques exemples d'ensembles apparemment continus en mathématiques : la droite des points ou la droite des nombres réels ou encore le plan géométrique ou le plan complexe, les surfaces, les graphiques sans coupure comme la sinusoïde par exemple, les fonctions numériques sans rupture, etc.

Nous connaissons aussi des ensembles discontinus : l'ensemble des nombres entiers ou fractionnaires, tout ensemble discret de points, des pointillés, les fonctions de variables entières ou fractionnaires, etc.

Cependant, on n'a rien dit de la définition de la continuité. Or celle-ci pose de grands problèmes et posera encore problème lorsque les plus grands mathématiciens seront passés dessus, même s'ils ont d'abord cru avoir résolu la question…

La question n'était pas seulement celle du continu mais aussi de l' « infini actuel » soutenue, pour des raisons théologiques, par Leibniz et que Cantor va faire des pieds et des mains pour étayer sans jamais y parvenir… La religion considère dieu comme un infini actuel ! L'autre notion possible d'infini est celle d'une grandeur qui ne cesse d'augmenter : l' « infini potentiel » dans lequel l'infini n'est jamais atteint. D'où la nécessité pour Cantor de dénombrer et comparer le nombre d'éléments d'ensembles ayant une infinité d'éléments.

Les mathématiciens devaient reconnaître deux infiniment grands : le dénombrable (c'est-à-dire un ensemble dont l'on peut numéroter les objets par des nombres entiers) et le non-dénombrable (l'ensemble des points de la droite ou l'ensemble des nombres réels). Le non-dénombrable est appelé l'infini du continu. L' « hypothèse du continu » affirme que le non-dénombrable des nombres réels est le premier infini supérieur à l'infini dénombrable.

Georg Cantor était très sûr pourtant de sa théorie de l'infini, des dimensions et du continu :

« Ma théorie est aussi solide que le roc et toute flèche dirigée contre elle se retournera rapidement contre celui qui l'a lancée. Pourquoi ai-je une telle conviction ? Parce que j'ai étudié tous ses aspects pendant des années examiné toutes les critiques que l'on peut faire aux nombres infinis et, par-dessus tout, parce que j'ai, si l'on peut dire, tiré les racines de cette théorie de la cause première de toutes les choses créées. »

Le mathématicien Roger Apéry, concluant sur l'ensemble de tous ces travaux sur la continuité, contredit cette affirmation rassurante : « La définition du réel par les coupures de Dedekind ou les suites de Cauchy est insuffisante puisque, d'après le théorème de Cohen, l'hypothèse du continu (de Cantor) ou sa négation peut être ajoutée comme axiome (...). »

Voyons comment on en est arrivés là….

L'étude de l'ensemble des nombres a été la pierre angulaire de l'édifice, étude des ensembles des nombres entiers, des nombres fractionnaires, des nombres réels. Ces études ont mené à la notion de dimension d'un ensemble, à la notion d'infini, à la notion de principe de continuité.

Une lettre de Cantor à Dedekind datée du 7 décembre 1873, publiée l'année suivante au Journal de Crellesous le titre « Sur une propriété de la collection de tous les nombres algébriques », annonce la non-dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels (on ne peut pas compter à l'aide d'entiers l'ensemble des nombres réels).

Lettre de R. Dedekind à R. Lipschitz du 27 juin 1876 :

« Les principes euclidiens, seuls, sans adjonction du principe de continuité, qui n'est pas contenu en eux, sont incapables de fonder une théorie complète des nombre réels comme rapports de grandeurs. »

Dedekind à Cantor :

« J'ai étudié votre démonstration avec soin et je n'y ai rencontré qu'un détail qui pourrait soulever le doute… »

Dedekind à Cantor :

« Si le feuillet sur le concept du continu vous tombe sous la main, n'oubliez pas de biffer le dernier passage, car il repose sur une erreur… »

Le 20 juin 1877, Georg Cantor, envoie une lettre à son fidèle confident Richard Dedekind. Il lui avoue ses inquiétudes quant à la validité du concept même de dimension.

Dedekind à Cantor :

« Vous êtes obligé d'introduire dans la correspondance une discontinuité à donner le vertige, qui réduit tout en atomes, telle que toute partie continûment connexe, si petite soit-elle, de l'un des domaines a une image complètement déchirée, discontinue. » (juin 1877)

Quant au résultat de la démonstration de Cantor, il n'est pas moins surprenant : il n'y a pas plus de points dans une surface continue que dans une droite continue. Il n'y a qu'un seul cardinal du continu.

Cantor, lui-même, en est surpris écrivant à Dedekind : « Je ne le crois pas. »

La supposition de l'existence du continu mène à de multiples contradictions mais les mathématiciens n'y renonceront jamais tout en admettant que cette existence mathématique elle-même soulève des doutes. Sans parler bien sûr de l'existence du continu dans la nature que la mathématique prétend décrire.

Dedekind le mit en garde, faisant observer, dans une lettre du 2 juillet 1877, que la bijection qu'il avait construite entre le carré et la ligne était « nécessairement partout discontinue », « à donner le vertige.

Dedekind et Cantor allaient conclure toute une correspondance en reconnaissant, entre eux seulement, que la tentative avait échoué et en affirmant que la continuité n'était pas solidement fondée mais que personne ne s'en apercevrait !

Il convient de remarquer que, s'il était indispensable à Cantor de développer une telle conception de l'infini, c'était pour des raisons… métaphysiques et non mathématiques ou scientifiques… Eh oui ! C'est Cantor lui-même qui l'a indiqué.

Cantor :

« Sans un petit grain de métaphysique, il n'est pas possible, à mon avis, de fonder une science exacte. La métaphysique, telle que je le conçois, est la science de ce qui « est », c'est-à-dire ce de ce qui « existe », donc du monde tel qu'il est en soi et pas tel qu'il nous apparaît ».

« La plus haute perfection de Dieu est la possibilité de créer un ensemble infini et son immense bonté le conduit à le créer. »

Comme on le voit, le continu et l'infini sont indispensables non aux mathématiques ou aux sciences mais… à la croyance en dieu !

Roger Apéry dans "Penser les mathématiques" (ouvrage collectif) :

« La doctrine de l'infini actuel soutenue par Leibniz et étendue par Cantor l'a été pour des raisons métaphysiques. »

« Sans un petit grain de métaphysique, il n'est pas possible, à mon avis, de fonder une science exacte. » (Cantor)

« La plus haute perfection de Dieu est la possibilité de créer un ensemble infini et son immense bonté le conduit à le créer. » (Cantor)

« Dans votre concept de transfini ainsi conçu, pour ce que j'en puis voir jusqu'à présent, il n'y a aucun danger pour les vérités religieuses. » (Lettre de Franzelin à Cantor, 26 janvier 1886)

« En 1872, Georg Cantor (1845-1918) rencontre Richard Dedekind (1831-1916) en Suisse et commence avec lui ses travaux sur les nombres irrationnels et sur la théorie des ensembles.
L'intuition de Cantor l'amène à considérer l'axiome suivant : la droite géométrique représente le continu et peut être mise en bijection avec l'ensemble des grandeurs numériques - dans la mesure où chaque point M de la droite correspond à un unique nombre, l'abscisse de M, distance algébrique (+ou-) du point M à un point O fixé, l'origine. Cantor nomme réels (1883) ces grandeurs numériques (rationnels, irrationnels ou transcendants) et s'engage à définir analytiquement l'ensemble noté IR des nombres réels, caractérisé par le continu.

En 1872, Dedekind s'était déjà penché sur la question du continu dans son Stetgkeit und irrationale Zahlen, où il donne la définition d'un ensemble infini : est dit infini tout ensemble qui peut être mis en bijection avec l'une de ses parties - contraposée de l'axiome d'Euclide qui affirme que tout ensemble est plus grand que sa partie, ce qui reste valable pour les ensembles finis. Concernant la construction de l'ensemble continu des nombres réels, l'approche de Dedekind est arithmético-algébrique : il traite toute sorte de problèmes mathématiques en termes de structures. Il part des pré requis suivants :

1) IQ est fermé pour les 4 opérations ;

2) il existe une relation d'ordre total dans IQ ;

3) IQ est dense, c'est à dire qu'il existe au moins un rationnel entre deux rationnels quelconques.

Puis, il effectue des coupures dans IQ et définit ainsi, à l'aide de la relation d'ordre, l'ensemble des irrationnels contenant IQ. C'est la première définition du continu portant sur les nombres, mais elle est difficile à appréhender d'une point de vue intuitif.

L'approche de Cantor est géométrico-analytique : il procède par passage à la limite des suites de Cauchy. L'idée de Cantor est de montrer que les suites de Cauchy non convergentes dans IQ, convergent vers des nombres irrationnels ou transcendants : il complète ainsi l'ensemble IQ par ces nombres et montre donc que toute suite de Cauchy qui converge admet une limite dans IR. Cette démonstration définit non seulement l'ensemble de toutes les grandeurs numériques connues, les nombres réels, mais aussi elle définit la continuité de l'ensemble IR, puisque entre deux nombres réels quelconques, il existe au moins un autre nombre réel, défini comme limite d'une suite de Cauchy convergente. Et c'est en 1883, année de publication des Grundlagen, Fondements d'une théorie générale des ensembles, que Cantor présente sa construction de IR, comme complétion de IQ : La bijection entre la droite réelle et l'ensemble des nombres réels est donc établie. Reste que ce nouvel ensemble définit aussi le continu et que cette notion appelle un approfondissement. Cantor se propose alors de continuer sa construction de la théorie des ensembles, afin de caractériser les propriétés inhérentes aux différents ensembles de nombres (IN, Z, ID, IQ, IR).

La puissance du continu

Son premier travail consiste à nommer le nombre d'éléments contenus dans un ensemble : le cardinal. Il constate que l'ensemble IN des entiers naturels est non seulement infini, au sens de Dedekind, mais qu'il est aussi dénombrable, en ce sens que l'on pourrait dénombrer, compter le nombre d'éléments qu'il contient (dans l'absolu). L'ensemble IN est alors qualifié de dénombrable et il lui assigne le symbole w pour désigner son cardinal. Puis Cantor se met en tête de démontrer que IR n'est pas dénombrable, c'est à dire qu'il n'existe pas de bijection entre IN et IR, ceci afin de caractériser plus précisément le continu de IR comme l'indénombrable, l'indivisible, l'incommensurable.

A cet effet, on peut rappeler l'expérience de Zénon d'Elée lorsque celui-ci décompose ou divise le mouvement, donc la continuité, en instants, de telle sorte à montrer l'impossibilité du mouvement. Dans ce que rapporte Aristote de cette expérience, soulignons que Zénon considérait le continu comme une suite d'instants divisibles et c'est cette conception erronée qui lui fit aboutir à un paradoxe. En effet, le temps s'écoule continûment, chaque instant n'étant pas séparé de l'instant suivant. C'est le continu physique (temps et espace) où le tout et les parties tiennent ensemble, sans possibilité de discrimination, sans trou, sans séparation.

Cantor enchaîne les définitions de sa théorie des ensembles :

1) L'ensemble IN des entiers naturels est infini et est qualifié de dénombrable tout ensemble qui peut être mis en bijection avec IN ;

2) Est dit continu tout ensemble qui n'est pas dénombrable, qui n'a pas de « trou », qui n'est pas divisible, et qui peut être mis en bijection avec l'unique exemplaire à disposition, à savoir IR.

Cantor démontre d'abord que l'ensemble IQ et celui des nombres algébriques sont dénombrables et il soumet à Dedekind une première démonstration (par l'absurde) de la non dénombrabilité de IR en 1873, mais cette démonstration est très compliqué et ne satisfait pas entièrement Cantor (esthétique de la démonstration oblige).

En poursuivant ses recherches sur l'ensemble IR, Cantor emprunte à la géométrie projective (et plus particulièrement à Jacob Steiner, 1796-1863) le terme de « puissance » : deux figures ont même puissance si elles sont en bijection par une projection. Il se propose alors de caractériser précisément la puissance du continu, c'est à dire le cardinal de IR.

Tout d'abord, Cantor établit qu'il n'existe pas de bijection entre IN et l'intervalle [0,1]. Or, IR est en bijection avec l'intervalle [0 ;1] donc il n'existe pas de bijection entre IN et IR et finalement IR est non dénombrable.

Ensuite, il considère tout nombre réel de l'intervalle [0,1] comme une suite infinie d'entiers du type 0,x1x2x3x4 ... . Cette suite x1x2x3x4 ... où chaque xi est un entier, peut être représentée par une partie de IN. Or, si ? est la cardinal de IN, alors l'ensemble des parties de IN, qui s'écrit P(IN), a un cardinal égal à 2 ?

Il en déduit que IR et P(IN) ont même puissance et écrit la puissance du continu, c égal à 2 ? .
C'est en fait en 1893 que Cantor utilisera la notation ? , pour désigner le cardinal de IN ; ? (aleph) est la première lettre de l'alphabet hébreu et désigne également le chiffre 1.

Les nombres transfinis - la suite des aleph

Poursuivant ses travaux, entre deux séjours en hôpital psychiatrique, il affirme qu' « il n'existe aucun ensemble infini qui ne soit dénombrable ni continu, entendu que la puissance du continu est immédiatement supérieure à celle du dénombrable ». C'est ce que l'on appelle l'hypothèse du continu, qui fera plancher nombre de mathématiciens et qui fera l'objet de d'un des 15 problèmes que Hilbert posera au nouveau siècle.

Pensant pouvoir exhiber d'autres puissances successives de c, Cantor poursuit ses travaux. C'est alors qu'il exhibe, à son grand étonnement, une bijection entre IR et IR x IR et entre [0,1] et [0,1] x [0,1]. Les démonstrations sont très compliquées, mais la rigueur de Cantor ne le fait pas douter qu'il a trouvé là quelque chose de totalement inédit : une surface continue peut donc être mise en bijection avec un segment continu ; la surface, de dimension 2, et le segment, de dimension 1, ont donc même puissance. Avec cette approche géométrique, Cantor fait de la topologie, en ce sens qu'il étudie la possibilité de mettre en bijection une surface et une courbe, et montre que la continuité assure l'invariance de la puissance. A propos de cette découverte, il écrit en 1877 à Dedekind : « Je le vois mais je ne le crois pas », en français dans le texte.

Quant à Cantor, la déception puis la maladie et la mort le contraignent à abandonner sa recherche de la continuité mathématique. L'édifice reste inachevé. Cantor a découvert ce qui se passe lorsqu'on tente de linéariser une série discontinue de changements. Dans une lettre à David Hilbert de septembre 1897, il montre que la tentative de linéariser les nombres a échoué : « Il y a plusieurs années, j'ai attribué le terme « d'infini absolu » à des totalités que nous ne pouvons pas concevoir comme ensembles (...) » Comment passe-t-on des rationnels aux réels ? Y a-t-il un chaînon manquant ? Ou un saut discontinu ? La continuité est-elle bien définie ? La logique algébrique, analytique, géométrique, l'axiomatique des nombres se refusent à répondre. »

Source

En 1883, Cantor écrivit :

"Ne pas simplement considérer l'infiniment grand sous la forme de ce qui croit sans limite, mais également le fixer de façon mathématique par des nombres, cette pensée s'est imposée à moi logiquement, presque contre ma volonté."

Cantor montre que le nombre de points sur une droite est plus infini (transfini, disait-il) que l'infini des nombres entiers.

C'est la « puissance du continu », disait-il.

L'infini a-t-il une réalité, ou bien est-il une fiction utile au calcul comme le pensait Leibnitz ?

Cantor donna une autre idée de l'infini :

le seul ensemble infini ” en acte “, pouvant être équivalent à des parties de lui-même.

Pour finir, Gödel et Cohen ont démontré que l'hypothèse du continu de Cantor appartient à cette sphère des propositions indécidables, non seulement impossibles à démontrer mais indécidable car la négation est tout aussi acceptable que l'affirmation !!!!

La suite

La continuité, une propriété mathématique ?

Des objets mathématiques continus ou discontinus ?

Continuité et discontinuité sont incompatibles

Qu'est-ce que la continuité et la discontinuité ?

Comment la discontinuité, générale et fondamentale, produit l'apparence de continuité

A nouveau sur continuité et discontinuité

Pourquoi la notion de continu fait de la résistance ?

La discontinuité universelle peut-elle être remise en cause en Physique ?

La discontinuité, un très vieux problème ... qui revient

Discontinuité et mouvement

Lire encore

La discontinuité, un très vieux problème ... qui revient

Robert Paris — 2020-06-01T22:05:00Z

"Les physiciens contemporains sont convaincus qu'il est impossible de rendre compte des traits essentiels des phénomènes quantiques (changements apparemment discontinus et non déterminés dans le temps de l'état d'un système, propriétés à la fois corpusculaires et ondulatoires des entités énergétiques élémentaires) à l'aide d'une théorie qui décrit l'état réel des choses au moyen de fonctions continues soumises à des équations différentielles. [...] Surtout, ils croient que le caractère discontinu apparent des processus élémentaires ne peut être représenté qu'au moyen d'une théorie d'essence statistique, où les modifications discontinues des systèmes seraient prises en compte par des modifications continues des probabilités relatives aux divers états possibles. " (1949)

Albert Einstein

La discontinuité, un très vieux problème ... qui revient

Les sciences s'en sont longtemps tenues à l'hypothèse du continu. La cause principale de ce choix est l'efficacité des mathématiques du continu, du moment que l'on se garde de passer des seuils avec changement qualitatif. Le premier domaine qui a pu être étudié à l'aide d'une mathématique du continu a été la Mécanique. Mais cette science a dû contourner la difficulté. Les objets sont des discontinuités par rapport à l'espace où elles évoluent qui, lui, est considéré comme continu. Pour éluder cette question, on a considéré le mouvement des objets comme celui des points matériels (du centre de gravité des corps), l'espace comme un ensemble de points et le mouvement comme un parcours d'un point à un autre. Bien entendu, cela suppose que la matière ne transforme pas l'espace dans lequel il se déplace, ce que la Relativité a remis en cause. De plus, considérer le segment ou la courbe comme une succession de points physiques est loin d'être une évidence mathématique, comme on le verra par la suite. Il faut, de plus, répondre à la question : la matière (point matériel) est-elle passée d'une position à une autre de l'espace par une série continue de points ou a-t-elle sauté d'un point à un autre ? La Mécanique a choisi de représenter l'ensemble du mouvement par un segment continu ou par une courbe continue. On se déplace donc d'un point à un autre mais le résultat global est une courbe continue. Entre les concepts de point et de ligne, entre le continu et le discontinu, il y a une contradiction sur laquelle se sont penchés notamment les philosophes et mathématiciens grecs. La mathématique enseignée à l'école, est fondée sur le continu, aussi bien la continuité des nombres en algèbre que celle des courbes de la géométrie (géométrie d'Euclide). Mais elle utilise la notion continue de droite mais aussi la notion discontinue de point. Le segment, un des « éléments » de cette géométrie, n'a rien d'élémentaire. C'est un objet mathématique complexe composé d'une ligne continue et de deux extrémités, des ruptures discontinues. Cette mathématique a été bâtie au 3ème siècle avant JC comme une construction logique, utilisant des postulats, des axiomes et des démonstrations. Ses éléments géométriques sont des objets théoriques dessinés (droite, segment, point, cercle). Sur la base de quelques énoncés de base, elle démontre des propriétés géométriques plus complexes. Tout semble découler de façon non contradictoire des définitions et axiomes. En réalité, le véritable postulat de base n'est jamais clairement formulé ni discuté. C'est celui de l'existence de deux sortes d'objets contradictoires, des ensembles continus (ligne, plan, cercle et sphère) et des éléments discontinus (les points). Cette supposition pose aux mathématiciens grecs et posera aux mathématiciens suivants de multiples problèmes et même des contradictions insolubles. Le fond de ces difficultés est l'incompatibilité totale entre l'hypothèse de la continuité du monde et celle de sa discontinuité. Zénon d'Elée a déjà touché du doigt cette incompatibilité lorsqu'il étudie le mouvement. Il a montré que, si on conserve la continuité, le mouvement est impossible (voir en annexe les paradoxes de Zénon).. En effet, le temps est conçu comme une série d'instants (discontinu) formant un intervalle de temps (continu), de la même manière que le mouvement est formé d'états sur une courbe. Pour concevoir un tel mouvement, il faudrait décomposer le mouvement en instants à l'infini. Zénon montrait que jamais le corps en mouvement ne devait atteindre son point d'arrivée. Pythagore avait, pour résoudre ces contradictions du mouvement, admis qu'on peut décomposer le continuum du temps en instants de durée arbitrairement courte, mais il avait produit ainsi de nouvelles contradictions entre immobilité et mouvement, entre continu et discontinu, qui restent insolubles dans la conception de Pythagore du segment composé de suites d'un nombre entier de points, les monades.

Aristote ne pourra répondre à ces problèmes qu'en renonçant à la divisibilité du temps en instants. Au sein du continu, on ne peut admettre aucun trou ni aucune séparation. Cependant, Aristote restera partisan du continu et cela ne l'empêchera pas de défendre un point de vue idéaliste et religieux. Cela devrait d'ailleurs faire réfléchir tous les auteurs qui se retranchent derrière la lutte contre la religion pour combattre les discontinuités dans la nature et la notion de la singularité. On peut lire ainsi dans « La Métaphysique » d'Aristote : « L'un est le continu. (...) Telles sont les différentes significations de l'Un : le continu naturel, le tout, l'individu et l'universel. (...) Est contigu tout ce qui, étant consécutif, est en contact (...) On dit qu'il y a continuité quand les limites par lesquelles deux choses se touchent, et se continuent, deviennent une seule et même limite. (...) Si les points sont susceptibles d'être en contact, les unités ne le sont pas : il n'y a, pour elles, que la succession ; enfin il existe un intermédiaire entre deux points, mais non entre deux unités. (...) Il est impossible que le mouvement ait commencé ou qu'il finisse, car il est, disons-nous, éternel. Et il en est de même pour le temps, car il ne pourrait y avoir ni l'avant ni l'après si le temps n'existait pas. Le mouvement est, par suite, continu, lui aussi de la même façon que le temps, puisque le temps est lui-même, ou identique au mouvement, ou une détermination du mouvement. (...) Aussi appelons-nous DIEU un vivant éternel rayon parfait ; la vie et la durée continue et éternelle appartiennent donc à DIEU, car c'est même cela qui est DIEU. (...) On pourrait se poser encore la difficulté suivante. Etant donné qu'il n'y a pas de contact dans le nombres, mais simple consécution, est-ce les unités entre lesquelles il n'existe pas d'intermédiaire (...) Les mêmes difficultés se présentent pour (...) la ligne, la surface et le solide (...) La même question pourrait se poser au sujet du point. (...) Ces points ne viennent certes pas d'un certain intervalle. »

La question du continu pose un problème philosophique de fond : celui de la dialectique [1]. Aristote ne s'y trompait pas. « La Métaphysique » est une charge contre les dialecticiens : « Il y a, dans les êtres, un principe au sujet duquel on ne peut pas se tromper (...) : c'est qu'il n'est pas possible que la même chose, en un seul et même temps, soit et ne soit pas, et il e est de même pour tout couple semblable d'opposés. (...) On ne peut donc pas être dans la vérité en adoptant les doctrines d'Héraclite ou celles d'Anaxagore ; sans quoi il s'ensuivrait que les contraires sont affirmés du même sujet. (...) Les arguments d'Héraclite les persuadèrent que toutes les choses sensibles sont dans un flux perpétuel. (...) Il n'y a pas de science de ce qui est en perpétuel écoulement. » Tout en choisissant l'a priori du continu, Aristote a constaté des contradictions de cette position en mathématiques. Il en déduit qu'il faut rejeter non le continu mais … les mathématiques comme base philosophique. La continuité à laquelle il tient en premier est le mouvement et la relation de cause à effet : « Dans l'ordre du temps, un acte est toujours préexistant à un autre acte. (...) Ce qui constitue l'unité de tous les êtres, c'est l'indivisibilité du mouvement. (...) Le mouvement local continu est le mouvement circulaire. »

Pour Aristote, l'exemple même du continu est le cercle et le mouvement circulaire. Cependant le cercle va poser, après les penseurs Grecs, de nouvelles interrogations sur la notion de continuité. Les chercheurs se sont heurtés au problème, appelé « la quadrature du cercle », de l'impossibilité de construire les points d'un cercle par une série des polygones dont on augmenterait à l'infini le nombre de côtés. Beaucoup plus tard, au Moyen Age, le mathématicien Nicolas de Cues tenta une première démonstration, expliquant qu'à chaque augmentation du nombre de côtés du polygone, la longueur du côté se réduisait progressivement, le pourtour du polygone se rapprochait de la courbe circulaire. Par contre, il restait une différence qualitative entre le polygone et le cercle. Pire même, cette différence s'accroissait au fur et à mesure. Dans le polygone, les droites son brisées à chaque sommet alors que, dans le cercle, il n'y a pas de rupture dans l'évolution de la pente. Or, plus le nombre de côtés du polygone grandit, plus grandissent les ruptures (discontinuités de la dérivée). Quand on pousse à l'infiniment petit chaque côté, le nombre de discontinuités est infiniment grand alors qu'il est nul pour le cercle. La limite des polygones n'est pas le cercle. Le cercle, figure continue par excellence, n'est pas atteint par une série infinie de polygones. On allait remarquer ensuite que cette impossibilité d'obtenir le cercle par une série de polygones, ou « la quadrature de cercle », est reliée à la nature « irrationnelle » du nombre π. Il reste que cette réflexion sur le cercle en pose une autre plus large : l'impossibilité de la transformation du discontinu au continu par passage à l'infini. La discontinuité ne peut pas être noyée dans la continuité par limite infinie. Une série infiniment grande de discontinuités infiniment petites n'est pas une fonction continue. Le cercle continu va cependant contribuer à faire crédibiliser la notion mécanique de déplacement circulaire continu. La rotation va même servir d'exemple typique du mouvement continu. Elle va notamment permettre le développement d'une mathématique du mouvement périodique qui va notamment servir de base aux notions d'ondes continues.

Notes

[1] Jacques Chapelon, professeur à l'école polytechnique, note ainsi dans sa Préface à « Mathématiques et matérialisme dialectique » de Gaston Casanova : « Les mouvements de la mécanique, les variables continues de l'analyse mathématique correspondent à des changements procédant par transitions insensibles. (...) Le plus souvent, les changements dialectiques sont discontinus et parfois les discontinuités font surgir des phénomènes entièrement nouveaux »

Pourquoi la notion de continuité fait de la résistance

La discontinuité est partout, autour de nous comme en nous, et la continuité n'est qu'un artefact, une apparence ou une moyenne. Ce que l'on a constaté pour la molécule, l'atome, la particule de matière ou de lumière gagne sans cesse des domaines divers. Et tout d'abord l'ensemble des phénomènes matériels sont, à un niveau ou à un autre, discontinus. Ils ne le sont pas marginalement puisque tout changement et tout mouvement ne progresse que par sauts. Et ce n'est pas seulement vrai à l'échelle microscopique. Une surface, une ligne, une forme, un contenu, une évolution, un mouvement ne sont continus qu'en apparence. La physique des fractales de Mandelbrot révèle les discontinuités des côtes, des interfaces, des limites, des frontières, des membranes, etc… La physique des transitions de phase étend la discontinuité aux changements qualitatifs. Ceux-ci existent non seulement entre échelles du réel mais également façonnent l'histoire de la matière et de la lumière. L'astrophysicien Michel Cassé souligne dans « Du vide et de la création » que « Les transitions de phase marquent des réorganisations radicales de structure. (...) L'Univers épouse une succession d'états dynamiques. Il est emporté par le changement. (...) L'histoire du refroidissement de l'Univers sera scandé par les transitions fondamentales qui font apparaître sous une forme radicalement nouvelle la matière ou bien les forces qui gouverne son comportement, c'est-à-dire les brisures de symétrie. » La physique du vide découvre la discontinuité la plus fondamentale, celle du sous-univers qui fonde matière et lumière. L'image continue d'une transformation provient du fait que, lors des sauts qualitatifs, une ou plusieurs variables conservent une allure régulière ou quasi-régulière. Par exemple, lors d'une transition de phase de la matière, certaines quantités ne sont pas affectées par le saut, parce qu'à certaines échelles il n'y a apparemment pas de changement qualitatif. Et cependant, le changement brutal va affecter la matière dans son ensemble. Par exemple, lors du passage de l'état solide au liquide ou au gaz, la molécule ne change pas individuellement. Ce sont les interactions qui se modifient et, du coup, les lois statistiques fondées sur des interactions collectives.

La découverte de l'existence de l'antimatière est l'un des exemples que donne l'astrophysicien Michel Cassé de l'importance des discontinuités, des sauts qualitatifs, dans le fonctionnement de la nature. Le préjugé en faveur de la continuité a longtemps bloqué l'idée d'une particule d'énergie négative qui s'est révélée indispensable à la compréhension du fonctionnement de la matière. Michel Cassé écrit ainsi : « Habituellement, la solution d'énergie négative était écartée comme non physique, aberrante. (...) Ainsi, une particule placée dans une situation normale d'énergie positive devrait opérer une transition discontinue, un saut (...) pour atteindre les états d'énergie sous zéro (...) Mais une transition discontinue de ce type est interdite en mécanique classique. Aussi, dans le cadre de pensée traditionnel, était-il naturel de postuler que si, à un instant donné dans le passé toutes les particules étaient dans un état d'énergie positive, alors elles le resteraient indéfiniment. Les états d'énergie négative étaient par conséquent relégués dans l'absurde, et cela sans appel. En matière quantique, pourtant, la situation est moins simple car les transitions discontinues sont des phénomènes courants et, même, naturels. » Mais la physique quantique ne se contente pas de constater l'existence de matière et d'antimatière, de remarquer le saut entre eux, elle constate également que les contraires, matière et antimatière, se couplent comme la vie et la mort.

En effet, la discontinuité naturelle la plus reconnue est celle de la mort, mais la naissance en est une autre aussi importante. La vie et la mort sont couplées en permanence. Notre vie commence par la naissance et se termine par la mort, deux discontinuités fondamentales, deux transitions de phase, déterminantes de notre existence. Ce ne sont pas des phénomènes individuels mais le résultat de l'action collective de quantité de molécules et d'organes, même si c'est l'individu qui meurt comme un tout. Naissance et vie sont fondés sur des couplages de contraires. Par exemple, la naissance est une rupture de symétrie entre les contraires, l'homme et la femme. La naissance est un phénomène aussi brutal que la mort, même s'il ne se déroule pas en un instant. Les physiologistes parlent du « cataclysme physiologique qui provoque la naissance » [1]. Et pourtant, comme le remarquait Jean-Claude Ameisen dans « Qu'est-ce que mourir », par les rites de la mort, par notre mémoire de leur présence, nous cherchons « à construire jour après jour, une continuité toujours nouvelle, qui les intègre (...) ». Ce besoin de continuité de la psychologie humaine est une constante de notre comportement. Nous ne cessons pas de transformer intellectuellement du discontinu, naturel, en continu, pensé. Notre cerveau nous présente des images apparemment continues, un temps et un espace qui semblent aussi l'être, et nos représentations sont entachées par cet a priori. En réalité, cette croyance dans le continu est le produit de notre éducation et de notre vie sociale.

Lorsque nous représentons une évolution quantitative, nous ne faisons que des mesures ponctuelles, puis nous les relions dans une représentation graphique par des droites, par des courbes, par du continu, comme si cela suffisait pour affirmer que la dynamique est passée par toutes les valeurs intermédiaires. La physique n'a pas cessé de décrire la réalité par des fonctions continues. Cela a un fondement qui est surtout lié à l'outil lui-même : les mathématiques peinent à représenter des phénomènes discontinus [2]. Par contre, elles n'ont pas cessé d'offrir des outils pour des descriptions du continu : trajectoires, fonction continue de variable réelle (continue), dérivée et intégrale de fonction continue. Même la mathématique de la physique quantique, une physique du discontinu, est fondée sur la continuité (l'équation de Schrödinger, par exemple, est continue) alors que la description quantique est fondamentalement discontinue. La théorie de la relativité reste fondée sur un univers espace-temps-matière qui serait continu. Pourtant les particules sont des singularités et le vide est polarisé. C'est que l'outil mathématique décrivant la discontinuité est très loin d'être au point. Le mathématicien René Thom dit ainsi : « Rien ne met plus mal à l'aise le mathématicien qu'une discontinuité » dans « Modèles mathématiques de la morphogenèse ». Le philosophe des sciences Alain Boutot commente cette limite de l'outil mathématique : « D'une façon générale, les modèles physiques se révèlent impuissants à formaliser les discontinuités empiriques et cela pour une raison bien simple : ils font intervenir des fonctions régulières qui sont, par nature, continues. Ce primat du continu se trouve du reste renforcé et légitimé par la nécessité où se trouve le savant, pour pouvoir agir sur le monde, de prédire avec précision l'évolution des phénomènes. (...) La science dispose pour cela d'un outil remarquablement efficace, le calcul différentiel et intégral, inventé au 16ème siècle. Son utilisation a pour conséquence l'élimination du discontinu, qui est soit purement et simplement ignoré, soit considéré comme une sorte de « cas limite » du continu lui-même. » Les miracles du calcul différentiel et intégral n'ont plus besoin d'être loués pour leur efficacité technique, mais il convient de se demander s'ils n'ont pas limité la compréhension des phénomènes de nombreux domaines. L'astrophysicien Laurent Nottale répond ainsi dans « La complexité, vertiges et promesses » : « Le calcul différentiel consiste à prendre la limite d'un petit intervalle de temps, d'espace ou d'autres variables et à les faire tendre vers zéro. Dans le calcul différentiel, on présuppose que cette limite du zéro existe. Or, en physique, rien n'indique que cela soit vrai. Au contraire, à chaque fois que l'on a essayé de voir ce qui se passait à des échelles plus petites, on a toujours trouvé des choses nouvelles ; on n'a jamais découvert un domaine où les choses deviendraient plus simples. Quand on définit une vitesse, une dérivée, on présuppose que cela va se simplifier lorsqu'on se dirigera vers les petites échelles. Or, ce n'est pas le cas. (...) On a longtemps cru que la méthode ordinaire de calcul différentiel devait réaliser en physique l'idée de Descartes. On allait décomposer l'objet à étudier en des parties très petites pour faire en sorte que chacune de ces parties tende vers zéro. L'espoir était de rendre simple l'objet considéré à partir de ses éléments extrêmement simples et où rien ne bougeait ; il n'y avait plus ensuite qu'à intégrer sur tout l'objet de manière à obtenir ses propriétés globales. Dans la réalité, ça ne marche pas ainsi, car, quand on observe les sous-parties de plus en plus petites d'un objet, on voit apparaître des choses constamment nouvelles. On peut très bien avoir des objets plus compliqués vers les petites échelles que vers les grandes, ce qui prouve que l'identification « naïve » de la méthode cartésienne au calcul différentiel ne marche pas. Un objet, comme l'électron, vu classiquement comme un simple point, devient compliqué vers les petites échelles : il émet des photons, les réabsorbe, ces photons deviennent eux-mêmes des paires électrons-positons, etc… A l'intérieur de l'électron, il y a une espèce de foisonnement de particules virtuelles qu'on ne voit pas à grande échelle. (...) Un électron est objet élémentaire qui contient toutes les particules élémentaires existantes. (...) Donc, on ne va pas se contenter d'observer des déplacements dans l'espace et le temps comme dans la physique ordinaire, on va également observer les déplacements dans les changements d'échelle (...). » Or, qui dit changement d'échelle au sein de toute modification et de tout déplacement, dit aussi discontinuité. Et pourtant, le présupposé de la continuité est si fort que Laurent Nottale affirme dans le même texte : « Je garde la continuité spatio-temporelle et je garde la continuité des changements d'échelle. Contrairement, là aussi, à la présentation habituelle des fractales comme un phénomène discontinu produit par un générateur, je fais en sorte d'avoir des changements continus, comme avec un télescope ou un zoom. »

Le mathématicien René Thom, lui aussi, est connu pour avoir affirmé le caractère déterministe des discontinuités (appelées catastrophes [3]) tout en conservant la continuité fondamentale de l'univers : son espace-temps est continu et ses fonctions qui permettent l'apparition des « catastrophes » sont des fonctions continues de paramètres également continus (des nombres réels qui évoluent sans rupture). Toute sa conception consiste à affirmer que les formes (des géométries continues) permettent d'interpréter les discontinuités : « Il (Aristote) avait ainsi réalisé (au moins partiellement) le rêve que j'ai toujours entretenu de développer une mathématique du continu qui prenne le continu comme notion de départ. Aristote a été pendant des siècles (et peut-être pendant des millénaires) le seul penseur du continu ; c'est là à mes yeux son mérite essentiel. » (dans « Esquisse d'une sémiophysique ») Alain Boutot fait ainsi remarquer que « La théorie de Thom est une théorie continuiste des discontinuités. » Et, malgré la découverte de la discontinuité fondamentale du quanta, de nombreux physiciens continuent d'utiliser une mathématique du continu, mais avec une certaine gêne. « Nous avons découvert de nombreuses opérations mathématiques non-calculables, ce qui amène les physiciens à jeter quelques soupçons sur la partie des mathématiques couramment mise à contribution dans la description du monde. (...) Donc, si au niveau le plus fondamental les choses étaient discrètes et discontinues, nous nous engagerions dans les sables mouvants du non-calculable. » dit John Barrow dans « La grande théorie ». « Les mathématiciens n'aiment pas les discontinuité, parce que les seules fonctions connues dans la nature, qu'on peut réellement calculer, sont des fonctions analytiques, qui sont continues. Si vous prétendez que tout est calculable dans la nature, vous êtes pratiquement amenés à nier la discontinuité. » explique le mathématicien René Thom dans « Stabilité structurelle et catastrophe ». Si René Thom affirme qu'il ne peut pas savoir si le monde est continu ou discontinu et même que personne ne pourra jamais le savoir, son a priori est quand même celui du continu. D'un côté, il déclare que « Savoir si le fond de la nature est continu et discontinu, c'est un problème métaphysique, et je ne crois pas quiconque dispose d'une réponse. » D'un autre côté, comme le relève le physicien Jean Perdijan, « René Thom considère que cette discrétisation de l'Univers n'est qu'une hypothèse imposée par la pensée algorithmique et il avoue sa préférence pour une pensée continue de l'Univers. » Comme on le voit, il s'agit bien d'une préférence philosophique choisie alors que l'on affirme par ailleurs qu'on ne pourra jamais trancher ? C'est ce que l'on appelle un a priori.

Notes

[1] Revue « Science et avenir », juin 2005

[2] C'est au point que la mathématique a parfois dicté ses conclusions en imposant ses outils. Par exemple, les lois non-linéaires n'ayant généralement pas de solution on a opté pour une description par des lois linéaires comme l'explique le mathématicien Régis Ferrière dans « Les mathématiques de l'évolution », exposé de l'Université de tous les savoirs en 2000 : « Rapprocher mathématiques et biologie relèverait-il d'une gageure ? (...) Une raison générale s'impose : les relations entre les variables d'un système biologique sont typiquement non-linéaires (...) »

[3] « Pour moi, il y a catastrophe dès qu'il y a discontinuité phénoménologique. » dit René Thom dans « Prédire n'est pas expliquer ». « L'apparence macroscopique, la forme au sens usuel du terme, provient de l'agrégation d'un grand nombre de (catastrophes élémentaires), et la statistique de ces catastrophes locales, les corrélations qui régissent leur apparition au cours d'un processus donné, sont déterminées par la structure topologique de la dynamique interne (...) » explique René Thom « Stabilité structurelle et morphogenèse ». Et il exposait dans « L'évidence biologique » que « La théorie des catastrophes consiste à dire qu'un phénomène discontinu peut émerger en quelque sorte spontanément à partir d'un milieu continu. »

Discontinuité de l'univers et structures hiérarchiques

Passons de l'idéalisation mathématique du continu à son éventuelle réalité physique. La première impossibilité à laquelle se heurte la notion de continuité est celle du saut d'échelle du réel. En effet, le grand n'est une simple somme de quantités petites. Car à petite échelle, il se passe des événements qui sont qualitativement différents de ceux à grande échelle. Par exemple, en termes de temps, une conception continue suppose que ce qui se passe en une minute est la somme de ce qui s'est passé dans chacune des soixante secondes, qui, elles-mêmes, cumulent les actions réalisées en soixante mille millisecondes et ainsi de suite. Or la réalité physique ne procède pas ainsi car il y a des univers différents, à diverses échelles de l'espace-temps. On n'y trouve plus les mêmes structures, ni les mêmes paramètres, ni les mêmes lois. L'astrophysicien Laurent Nottale relève ainsi dans « La relativité dans tous ses états » que « Une structure donnée se caractérise souvent par une échelle ou une gamme d'échelles particulières et, inversement, à une échelle donnée correspond en général un type de structures déterminé. » Le temps long n'est pas une somme d'instants courts. La petite échelle de distance ne totalise pas des intervalles à courte échelle. Pouvoir de résolution, agraindissement, interactions d'échelle, transitions de phase sont les noms de domaines de la physique dans lesquels on observe ces changements d'univers liés au changement de taille de l'observation. Un exemple bien connu est le passage de la microphysique (quantique) à la macrophysique (classique). L'une n'est pas du tout la somme d'un grand nombre fois ce qui se passe à l'échelle de l'autre. Le grand ne découle pas d'une augmentation de taille de ce qui se passe à petite échelle. Du coup, il est impossible de se représenter un segment comme une somme de petits segments, ce qui est pourtant un axiome indispensable du continu. « L'espace et le temps ne sont pas continus » conclue Christophe Schiller dans l'article « Le vide diffère-t-il de la matière ? » de l'ouvrage collectif « Le vide » qui rapporte les réflexions récentes de nombreux auteurs sur la matière et le vide. Le temps continu n'est-il pas une donnée essentielle qui nous est transmise par notre cerveau ? C'est certainement une de nos impressions continues comme l'est celle de notre vision oculaire, mais correspond-elle au monde réel ou est-elle une simple construction ? « La continuité psychique est non pas une donnée mais une œuvre. » répond Gaston Bachelard, s'opposant à « la thèse bergsonienne de la continuité du temps » dans « La dialectique de la durée ». Bien des auteurs constatent la même distorsion entre le réel et l'apparent continu délivré par nos sens comme Stephen Jay Gould dans « Le renard et le hérisson » : « Ce qui constitue l'univers est le plus souvent perçu par nos sens comme un continuum, avec des ralentissements et des accélérations, et des étapes plus ou moins importantes. (...) Les faits sautent littéralement (...). » Le parti pris général en faveur du continu et du progrès graduel a longtemps amené à rejeter toute interprétation en faveur de changements rapides et radicaux. Le terme employé pour une discontinuité est tout un symbole : « solution de continuité ». On aurait plutôt compris l'emploi de l'expression « solution de discontinuité » !

S'il n'y a pas continuité dans l'univers connu, c'est du fait de l'interaction d'échelle. De la matière à la vie et à l'homme, tout est organisé en échelons hiérarchiques, dont les niveaux ne sont pas réductibles au niveau inférieur. La société ne se ramène pas à l'individu, ni le cerveau au neurone, ni la vie à la cellule individuelle. Le point n'est pas une partie de la droite savait déjà Aristote, comme l'instant n'est pas un élément de la durée. Car ils ne se situent pas au même niveau hiérarchique, comme la longueur n'est pas une partie de la surface ni la surface une partie du volume. Il y a interaction mais celle-ci n'est pas linéaire. Le passage d'une échelle à une autre est discontinu. Or, dans la réalité toutes les échelles sont mêlées, coexistent et interagissent. Par conséquent, aucune description du réel ne peut être fondée sur l'apparente continuité. Au sein d'une grande dimension, il n'y a pas seulement des petites dimensions mais également des choses d'échelle inférieure, appartenant à un autre monde. « Il y a un monde dans l'électron » explique le physicien Manfred Mac Gregor. Il y a donc non seulement discontinuité mais non-linéarité et aussi contradiction dans l'interaction d'échelle. Le monde du vide, le virtuel, n'est pas plus petit que le monde matériel. Il y a un infiniment grand au sein de l'infiniment petit. Ce monde n'est pas descriptible par la théorie des ensembles dans laquelle « Le tout est plus grand que la partie », assertion bien connue d'Euclide. La théorie du monde continu est fondée sur la logique formelle (non dialectique) et fondée notamment sur le principe de non-contradiction, comme par exemple la géométrie d'Euclide ou la mathématique de Bourbaki. Le « Dictionnaire d'histoire et de philosophie » dirigé par Dominique Lecourt expose, sous la plume de Jean Dhombres, le projet axiomatique de Bourbaki : « (...) un programme théorique d'envergure fut lancé par le groupe Bourbaki (...) Il s'agissait en l'occurrence (...) d'adopter une base minimale : les deux notions de linéarité et de continuité devaient suffire, réunies par la notion d'espace vectoriel topologique (...) » On a vu les problèmes que pose la continuité, incompatible avec la discontinuité. En particulier, une série infinie de discontinuités de plus en petite n'est pas équivalente à la continuité, car il y aura toujours une infinité de discontinuités quand on passe à la limite. La linéarité supposée par Bourbaki ne pose pas moins de problèmes. Si les phénomènes de grande taille ne sont pas la somme des phénomènes de petite taille, c'est qu'il n'y a pas linéarité entre causes et effets : des petites causes peuvent avoir un effet à grande échelle. En fait les deux problèmes ont la même origine : l'interaction d'échelle, qui caractérise la nature, est non linéaire comme elle est discontinue.

Le monde existe simultanément à toutes les échelles et elles sont interactives, mais on ne peut les observer qu'en interagissant à un certain niveau. Si on se donne les moyens d'observer dans un temps plus court (avec plus d'énergie), on trouve tout un monde de points dont on ignorait l'existence en observant à un autre niveau (appelé niveau d'agraindissement). L'astrophysicien Laurent Nottale montre, dans « La complexité, vertiges et promesses », que cette question est un produit de l'interaction d'échelles : « La nature même de l'espace-temps est changée car elle contient en réalité ces changements d'échelle d'une manière intrinsèque et irréductible à l'espace-temps ordinaire qui est, lui, dans la vision physico-mathématique, un ensemble de points. (...) En réalité, cette vision dans laquelle on représente le monde sous forme de points prétend faire des mesures avec une précision infiniment grande – à chaque petit intervalle spatial correspond un petit intervalle de temps. Or, c'est la mécanique quantique qui nous dit qu'il faudrait une énergie infinie pour pouvoir faire une telle mesure. » On pourrait se dire que ceci n'est une limite que pour l'homme qui observe et mesure, mais cela est faux. Cette limite, notamment l'inégalité d'Heisenberg, est reliée au mécanisme fondamental de la matière et pas seulement à une mesure réalisée par l'homme (ou la machine produite par lui). Cela signifie qu'une précision très petite en espace nécessite un temps très grand et un temps très court nécessite une énergie très grande. Le point, défini avec une précision infinie, nécessite une énergie infinie ! La nature ne peut réaliser ses propres interactions, indépendantes de l'observateur, en dépensant sans cesse une telle énergie infinie. Elle opère nécessairement avec imprécision. C'est le mécanisme le plus économe en énergie. La convergence ne se produit qu'ensuite par émergence d'un ordre global issu du désordre des interactions variables, imprécises et imprédictibles.

Laurent Nottale poursuit ainsi : « Un point, cela n'existe pas ! D'ailleurs, cela se voit tout de suite. Si l'on dit qu'il y a un point sur une table, qu'entend-on par un point ? Quelque chose qui n'a aucune dimension. Il suffit de regarder avec une loupe pour découvrir une structure. On continue de grossir à la loupe puis on passe au microscope : à quel moment pourra-t-on voir enfin le point ? Jamais. Donc, physiquement, le point n'existe pas. (...) L'idée intéressante est que, chaque fois que l'on grossit, on voit quelque chose de nouveau. » Rappelons que, si observait du continu, chaque fois que l'on grossit, on trouverait la même chose. Un zoom sur un point, tel qu'il est conçu par la géométrie euclidienne, donnerait le même point. Un zoom sur une droite continue serait exactement la même droite continue. Jamais, en physique, tous les zooms sur le monde, à toutes les échelles, ne donnent le même monde. La Mécanique, comme l'ensemble de la Physique, a considéré la particule comme un point en déplacement, mais c'est physiquement impossible. Le physicien Léon Léderman l'explique ainsi : « Si l'électron est un point, …. , où se trouve la masse, où se trouve la charge ? » De plus, on ne peut pas connaître exactement un point, ni une succession continue de points, mais un nuage de points. Le point, si on change de résolution (agraindissement), devient non pas un segment mais un nuage de points, c'est-à-dire une série de sauts, comme mode exploratoire d'une zone. Les différents niveaux coexistent. Ils ne sont séparés, indépendants que dans la vision à une échelle, à un niveau de résolution – ou agraindissement. Cette notion ne doit pas être confondue avec celle d'agrandissement. Pour la notion d'agraindissement, une description nécessite de définir le niveau de précision du grain qui est souhaitée, comme s'il s'agissait du grain d'impression de l'imprimeur. C'est cette échelle, bien différente de l'échelle d'agrandissement d'une carte, qui définit ce que l'on va observer. Car l'agraindissement nous dit dans quel monde nous souhaitons observer la réalité. Ce n'est pas une limite de l'observation que l'on met ainsi en évidence, mais le mode de fonctionnement de la réalité. Celle-ci existe à plusieurs niveaux hiérarchiques simultanément et chaque niveau n'est pas une simple réduction des niveaux supérieurs. Il y a un saut qualitatif avec des lois nouvelles. A chaque échelle, la description est fondée sur un nuage de points, les grains. Et ceux-ci ne sont pas immobiles, inchangés, ni indépendants. La description par des objets fixes, imagés par une géométrie ou pas, ne peut correspondre à la réalité.

Il peut sembler que passer de la notion de point à celle de nuage de point ne résout aucunement le problème. En effet, si on ne peut définir le point, comment pourrait-on définir un nuage de points ? Ainsi, toute lumière dans le ciel provient soit d'une étoile soit d'un groupe d'étoiles. Une galaxie, constituée de milliards d'étoiles, nous apparaît comme un point lumineux. Si on cherche à agrandir l'image on trouve des étoiles ou des amas d'étoiles. En agrandissant encore on trouve des molécules puis des atomes, des particules, des quanta virtuels, etc, etc… A chaque saut d'échelle, un point n'était rien d'autre qu'un nuage de points. La différence d'image ne consiste pas seulement dans cette décomposition en échelles successives. Dans un nuage, les objets (les molécules) ne se contentent pas de s'additionner. Ils interagissent dans une dynamique nouvelle. Le nuage n'est pas une somme de molécules d'eau et d'air. C'est une interaction à grande échelle fondée sur des mouvements collectifs, sur des échanges d'énergie, de matière et des changements d'état. Il en va de même de la galaxie, de l'étoile, de la molécule, de l'atome et de la particule. Il ne suffit pas d'additionner des masses de gaz pour constituer une étoile ou une galaxie, ni même un nuage. Le nuage est agité et n'est jamais dans un état fixe. Pour le nuage, la fixité signifierait la disparition de la structure. Toute structure un peu trop durable entraînerait un changement brutal. C'est la chute de neige, en cas de constitution de cristaux. La structure globale ne se conserve que parce que sa dynamique interne est sans cesse agitée. Cette image nouvelle englobe donc la non-linéarité (les éléments ne se contentent pas de s'additionner), l'interaction d'échelle et les discontinuité à toutes les échelles. Avec le changement d'échelle, dans un sens et dans l'autre, le point devient un nuage de points et inversement. En son sein, il y a tout un monde. Du coup, le caractère figé du point d'Euclide disparaît. L'élémentarité, la fixité, la position parfaitement définie disparaissent pour laisser place au monde quantique des charges ponctuelles avec ses interactions contradictoires et ses changements de niveaux. C'est le saut d'échelle et le caractère dynamique qui distingue les deux conceptions (objets géométriques fixes ou non). On visualise les significations des deux manières de voir en effectuant un agrandissement. Quand on zoome sur la ligne continue, on ne voit rien. L'image agrandie est identique avec l'image de départ. Il y a exactement le même trait, le même nombre de points. Si on fait de même avec un trait discontinu, il en va très différemment. D'abord, le nuage de points discontinus devient plus clairsemé puis, d'un seul coup, à un certain seuil, on saute à une autre échelle où on trouve à la place d'un point un nouveau nuage de points. On a quelque chose de plus que l'agrandissement. C'est ce que l'on appelle l'agraindissement en faisant appel à des notions tirées de l'imprimerie ou du grain de caractère ou de l'écran télé. Cela indique aussi le nombre de grains dans un cercle de dimensions données. Toutes ces remarques ont trait à l'interaction d'échelle, phénomène qui ne peut exister au sein du continu. L'autre aspect, on l'a dit, est la dynamique. Le point est fixe, n'a pas de structure, pas d'échanges possibles ni de changement de structure. Ce n'est pas le cas du nuage de points qui serait capable d'être considéré à un certain agraindissement comme se manifestant comme un point unique. L'attribution de valeurs numériques à ce point n'est plus unique puisqu'elle se réfère à une structure interne.

C'est toute la philosophie de la matière qui est modifiée. C'est un résultat qui est loin de ne concerner que les spécialistes et, pourtant, il n'est pas diffusé dans le grand public. Les préjugés fixistes et gradualistes [1] ont été battus en brèche par les progrès des sciences mais cette évolution des idées n'a pas encore touché (ou très peu) notre philosophie sur le monde. La compréhension statique de l'univers devrait céder la place à une interprétation dynamique. Nous savons que les montagnes ne sont ni des constructions éternelles ni des édifices stables, même si personne ne les voit bouger. Nous savons que l'écorce terrestre bouge, même si nous ne la voyons pas bouger. Nous savons que les espèces changent, même si elles semblent figées. Nous savons que toutes les formes de vie ont une même origine, même si aucun d'entre nous n'a vu de ses yeux un être unicellulaire se transformer en pluricellulaire ni vu apparaître une espèce porteuse d'une colonne vertébrale à partir d'animaux qui n'en possédaient pas. Pourtant, il est impossible de concevoir une déformation continue menant d'un être sans un cerveau ou sans pattes à un être qui en possède. Il en va de même de toutes les structures de la matière. La matière est en mouvement et en transformation permanentes, même si ces changements sont invisibles et difficiles à concevoir. Ces révolutions nécessitent d'autant plus d'être pensées que le processus de leur production n'a rien d'évident. La pensée conceptuelle acquiert son importance et que l'expérience ne suffit pas [2]. Le mécanisme du fonctionnement est fondé sur des chocs et non sur un développement régulier.

Cette philosophie de la physique n'est pas discutée en dehors de quelques milieux très spécialisés, et encore. Le fondement de l'a priori du continu n'est pas essentiellement scientifique ou technique, mais social. La base est à chercher dans l'aspiration des hommes à la continuité de leur conscience et de leur vie, à la rationalité linéaire de leurs actions, l'aspiration des régimes sociaux et politiques à la durabilité de leur pouvoir. Mais c'est aussi la croyance de l'homme dans la continuité de sa conscience. Mon cerveau me donne une impression de continuité des images, de continuité du temps, de continuité de monde comme de celle de mes pensées. Cette impression est fausse. Aucune image visuelle n'est continue. La décharge électrique du neurone et celle de la synapse, qui fondent le fonctionnement cérébral, se réalisent par à coups, comme l'activation d'une zone ou d'un réseau de neurones. Une zone est brutalement activée puis désactivée brutalement aussi. A tous les niveaux, l'intermittence est la règle. Le neurone est fondé sur une décharge électrique brutale, à la suite de laquelle il est inactif durant un instant.

Si le physicien Max Planck tient à souligner la nature « explosive » des phénomènes que l'on vient de découvrir au sein d'une matière apparemment calme, c'est parce que le changement est brutal, inattendu, radical. La révolution dans une structure (qu'il s'agisse d'une structure de l'atome, de la galaxie, de la météo terrestre, une structure des interactions matière-matière ou matière-lumière ou d'un autre domaine) suppose un seuil à partir duquel les conditions d'existence de l'ordre précédent sont déstabilisées. A un certain stade une toute petite action entraîne une grande transformation. C'est l'équivalent, en physique, du « rôle de l'individu dans l'histoire », en histoire des sociétés. Cela provient du caractère de la dynamique interne permanente que l'on constate dans la matière à toutes les échelles, même pour les particules durables (électron, proton, …) qu'on croyait élémentaires et stables. Cette agitation de la matière, lorsqu'elle parvient à des seuils, mène à la destruction de la structure. A chaque niveau et pour chaque structure, il y a des effets de seuil. Par exemple, à douze millions de degrés, une masse de matière en contraction enclenche la formation d'une étoile (un soleil), les explosions nucléaires commençant au centre. Atteignant la limite de cent fois la masse solaire, un soleil explose donnant un amas d'étoiles, etc… A un certain seuil du choc énergétique, l'électron disparaît lorsqu'il s'unit à un positon (son anti-matière) pour donner un ou plusieurs photons (grains de lumière). Le désordre interne, s'il atteint un certain niveau, fait exploser la structure. L'action d'éléments extrêmement petits entraîne des évolutions considérables. Ainsi, ce sont les explosions des tout petits noyaux atomiques qui permettent la dynamique de l'étoile dont le maintien de la structure est un équilibre instable et dynamique entre gravitation de masses énormes de matière et rayonnement dû aux explosions nucléaires qui font fusionner des noyaux.

On sait maintenant que l'étoile enclenche son processus d'explosions nucléaires de fusion au sein d'une masse de matière atteignant certains seuils. Par exemple, il faut atteindre la température seuil de 12 millions de degrés dans le noyau pour que commencent les explosions nucléaires dans lesquelles deux noyaux d'hydrogène fusionnent en un noyau d'hélium en libérant de l'énergie. De façon brutale, dans ce qui n'était encore qu'une grosse planète gazeuse d'environ la taille solaire, une nouvelle sorte de fonctionnement se met en route. Un autre seuil aura lieu ensuite si l'étoile atteint huit fois la masse solaire. L'histoire de l'étoile connaîtra des étapes brutales, à certains seuils de sa transformation. Ce qui est vrai de l'étoile l'est de toutes les échelles de la matière. Les molécules, les atomes, les particules sont produites et détruites en atteignant une limite.

L'existence d'un seuil au delà duquel on trouve un autre monde dans lequel nos « objets » et nos lois n'ont plus cours [3] nous étonne toujours. Est-il possible que notre univers soit connecté à des mondes différents à d'autres échelles de la matière (échelles du temps, de la température ou de la pression par exemple) ? On a été surpris lorsqu'on a découvert que les étoiles ne fonctionnaient pas en brûlant un carburant classique comme du gaz mais une matière tellement concentrée qu'elle pouvait, arrivée à un seuil, passer un cap où elle subissait de nouvelles lois dans lesquelles les noyaux atomiques apparemment stables pouvaient fusionner en construisant des noyaux plus lourds et en libérant du rayonnement. Nous avons été également surpris lorsque nous avons constaté, avec la physique quantique, qu'il y avait un monde très différent du nôtre (dit macroscopique) à l'échelle des particules (microscopique). Nous avons encore été surpris lorsque l'on a constaté, avec les diagrammes de Feynman, l'existence d'un monde dit virtuel, à une échelle encore inférieure (en dessous des constantes de Planck). A chaque fois que ce nouveau monde a été découvert, les scientifiques ont été inquiets, réservés et prudents. Ils ont parlé d'artifice de calcul et n'ont pas admis d'emblée la réalité de ce monde nouveau. Planck traitait lui-même ses quanta de technique de calcul comme l'a fait Richard Feynman avec ses particules et photons « virtuels ». A chaque fois que l'on passe d'une échelle à une autre, on saute à nouveau le pas réalisé par cette révolution qui a donné naissance à cette nouvelle échelle de la réalité.

Il n'y a aucune progressivité, aucune continuité [4], aucune linéarité dans l'évolution d'état de la matière, c'est-à-dire de la forme d'organisation des molécules. En changeant de température ou de pression, un gaz devient un liquide puis un solide. Ce n'est pas une évolution progressive de structure mais une révolution. Le nombre de degrés de libertés passe de 3 à 2 puis à 1. Il n'y a pas d'étape intermédiaire possibles. Ce type de modification brutale de structure existe pour toutes les formes de la matière et à toutes les échelles. Par exemple, la structure solide du sucre est détruite par l'eau chaude. Sans cette action destructrice nous n'aurions pas conscience de l'action violente des molécules d'eau chaude. Examinons une autre rupture : la fusion qui donne les différents atomes, des plus légers comme l'hydrogène ou l'hélium aux plus lourds comme les atomes radioactifs. Chaque augmentation d'une unité du nombre de nucléons (protons et neutrons) dans le noyau de l'atome est un saut qualitatif, acquis grâce à un choc énergétique. Chacun de ces noyaux atomiques a été construit par l'histoire des étoiles et des galaxies, par les explosions nucléaires et les explosions d'étoiles. De même, en sens inverse, ce sont des chocs qui peuvent détruire un noyau atomique pour produire des noyaux atomiques plus petits. Cela peut se produire spontanément si les noyaux sont des structures instables. La radioactivité casse la structure lourde en atomes plus légers. Une transformation brutale caractérise toutes les transformations de structure, des plus grandes aux plus petites, de la supernova qui explose à la particule. Il est rapide et son instant est imprédictible. Le simple saut quantique de l'électron ou de l'atome d'un état dans un autre (absorption ou émission d'un photon) est lui aussi brutal et imprédictible. Prenons un autre exemple, à une tout autre échelle : la dynamique du climat de la terre. Le passage d'une phase de réchauffement à une phase de glaciation est très court au regard des périodes stables qui le précédent et qui le suivent. Le changement se révèle à nouveau brutal et imprédictible. Un changement aussi radical que le passage d'un liquide à un gaz : l'ébullition. Le changement de phase est rapide, imperceptible par rapport aux échelles de la dynamique dans laquelle il se produit. Il intervient comme un événement de l'histoire. L'instant de l'ébullition est imprédictible même si on connaît la température moyenne de celle-ci. Toute modification imperceptible de la pression, de la composition du corps modifie la température de fusion ou d'ébullition. Sont aussi imprédictibles l'évolution d'une grippe, d'une pente avalancheuse, d'un nuage porteur de pluie ou de neige, d'un silo à grains, d'une plage attaquée par la mer, d'une falaise de craie agressée par l'érosion, d'une fissure de roche ou d'un mur. L'imprédictibilité n'est pas liée avec l'absence de lois, avec une irrationalité de la nature. Elle provient du caractère des lois de la dynamique qui permettent des changements radicaux, capables de modifier toute la suite des événements. Le « chaos déterministe » parle dans ce cas de « sensibilité aux conditions initiales » qui signifie que de petites actions peuvent avoir un grand effet. L'image de l'avalanche clarifie cette situation : un simple skieur peut entrainer, en rompant la pente avalancheuse, des ravages dans toute la montagne.

La discontinuité est à la base de l'une des découvertes fondamentales de la physique contemporaine : la renormalisation [5]. Cette conception découle d'une convergence étonnante entre physique statistique, physique des phénomènes critiques, physique du vide et physique des particules. On parle là de « classe d'universalité ». Exposons-en sommairement la base. L'étude des interactions – par exemple l'interaction dite coulombienne entre charges électriques – menait à des infinis que l'on ne constate pas dans la réalité [6]. Ainsi, une charge agit sur l'espace qui réagit à nouveau sur la charge. Ces boucles de rétroaction à l'infini doivent donner un résultat final qui est fini car c'est la réalité mesurée or les équations semblaient indiquer le contraire. C'est le physicien Richard Feynman qui en a donné la solution pour l'interaction coulombienne ou électromagnétique. C'est ce que l'on appelle l'électrodynamique quantique. Cette idée a été généralisée aux autres interactions quantiques. Elle consiste à renoncer aux infiniment petits dans les calculs. Cela signifie, plus fondamentalement, refuser de considérer l'espace et le temps comme continus. En effet, elle limite les calculs à une petite distance en supposant qu'au delà les résultats sont non signifiants. La méthode a sa justification dans le fait que l'on ne peut pas supposer que l'on peut descendre de distance autant que l'on veut. Deux charges ne peuvent pas se rapprocher arbitrairement près car l'interaction coulombienne, inversement proportionnelle à la distance, deviendrait infinie. Il est donc impossible qu'il y ait contact entre deux particules chargées. Il est également impossible de regarder l'espace comme un continuum. C'est la description des interactions fondamentales qui l'impose. Ainsi, un photon émis en un point peut être absorbé en un autre sans passer par les positions intermédiaires. C'est ce que l'on appelle le diagramme de Feynman de l'interaction électromagnétique La discontinuité concerne le temps qui est profondément non linéaire puisque l'antiparticule peut être absorbée par la particule avant d'être émise.

Einstein avait tenté de rajouter aux concepts géométriques continus d'Euclide une continuité de l'espace vide : « La mathématique euclidienne ne définissait pas ce concept (d'espace vide) (...). Toutes les relations de position sont exprimées par les relations de position entre les objets. Le point, le plan, la droite, la distance représentent des objets corporels idéalisés. Dans ce système de concepts l'espace en tant que continuum n'est jamais envisagé. (...) Les concepts de point matériel, de distance entre les points matériels (variable avec le temps) ne suffisent pas à la dynamique. » (dans « Comment je vois le monde »). Einstein va rajouter à cette géométrie euclidienne continue et à cet espace vide continu l'idée d'un continuum commun espace-temps et même espace-temps-matière. Mais il ne parviendra jamais à découvrir un champ continu unitaire capable d'expliquer les phénomènes physiques. Einstein ne parvenait pas à imaginer une discontinuité de la causalité. Son principe de réalité restait figé et ne pouvait concevoir une réalité de l' « objet » qui soit contradictoire, qui existe à la fois à plusieurs échelles et dont le contenu en termes de propriétés ne soit pas unique. Si le niveau d'interaction change, l'objet saute d'un état à un autre. C'est un phénomène étonnant car il est spontané, non-linéaire et discontinu, donc apparemment irrationnel, qui a profondément perturbé Einstein qui y voyait du hasard pur (« dieu ne joue pas aux dés »). C'est dans cette interaction d'échelles (notamment entre matière et vides) que réside la source de nombre d'« étrangetés » de la physique quantique, source d'étonnement qui a fait passer la matière à petite échelle pour un phénomène aléatoire. Le petit n'est pas une simple réduction du grand. Il en résulte l'impossibilité de négliger les phénomènes à petite échelle, se déroulant en un temps court. Ils peuvent jouer un rôle fondamental dans la dynamique. C'est encore la discontinuité de l'univers qui explique les contradictions du mouvement. Les lois de Maxwell par exemple prévoiraient l'impossibilité du mouvement En effet, une particule initialement au repos devra être accélérée. Or, toute particule chargée, qui est accélérée, émet des ondes électromagnétiques qui la freinent. Comment une particule chargée pourrait donc être spontanément mise en mouvement. L'erreur provient du fait que les équations de Maxwell supposent la continuité de l'espace-temps. Si la particule était effectivement dénuée de contradictions, cette situation serait impossible. C'est la contradiction qui cause la discontinuité.

La nature n'a rien de continu ni de graduel. Le courant que l'on dit « continu » est formé de corpuscules, les électrons, qui ne peuvent que passer brutalement, un par un. Le jus, apparemment continu d'un liquide est constitué de molécules, qui ne peuvent que se déplacer une par une. La pluie ne tombe que sous forme de gouttes et jamais d'un jus continu. La lumière qui nous apparaît continue dans l'apparence du rayon ou de la surface lumineuse est constituée de corpuscules lumineux, les photons, même si on a souvent une impression de continuité. Il n'y a pas de valeur intermédiaire puisque les corpuscules sont en nombre entier. A chaque nouveau corpuscule, on a un saut. L'apparente continuité (par exemple celle de l'évolution de la température d'un gaz) n'est qu'une moyenne sur un très grand nombre de molécules en agitation permanente, et pas une description du réel. Non seulement le réel est discontinu mais il est le sujet de chocs qui ne cessent jamais, comme ceux des molécules. Le changement n'est pas plus graduel que le mouvement. Personne ne voit l'enfant pousser et pourtant il a de brusques phases de croissance comme tous les êtres vivants. Tout se passe comme dans un film qui donne l'impression de continuité des images alors que nous savons bien qu'il s'agit de photos se succédant à vitesse suffisamment rapide. Les images sautent sans que l'on en ait conscience. On ne peut pas distinguer ces instants de coupure, trop brefs, durant lesquels le film saute d'un cran. Les phénomènes réels connaissent les mêmes sauts comme la croissance des êtres vivants. C'est également une impression d'optique moyenne qui créé l'apparente continuité. Dans la croissance de l'herbe, par exemple, on se contente de comparer la taille moyenne de l'herbe sur de longues périodes. C'est l'origine de l'illusion de la croissance progressive. Même un auteur « évolutionniste » et gradualiste qui suit la thèse néo-darwinienne d'évolution des espèces par sélection, comme Hervé Le Guyader, conclue une intervention clairement intitulée « la notion d'évolution » à l'Université de tous les savoirs en juillet 2002 : « L'évolution n'est pas si graduelle, elle se fait souvent par crises (...) Des crises se sont produites, extrêmement importantes dans l'histoire géologique de la Terre. L'une des plus belles crises est celle du Permien, au cours de laquelle 80% des espèces auraient disparu. Ces crises d'extinctions auraient été suivies de radiations, où des innovations très importantes se produisent. » D'autres scientifiques ne craignent pas de souligner les sauts de l'évolution comme le paléoanthropologue Ian Tattersall dans « Petit traité de l'évolution » : « Tout a changé avec la découverte sur le rives du lac Turkana du squelette d'un adolescent (...) vieux de 1,6 millions d'années (...). Hormis quelques points de détail, la structure de son corps était entièrement moderne. (...) Comprendre ce nouveau phénomène nous oblige à admettre que, dans le processus de l'évolution, des réorganisations physiques radicales peuvent être parfois le produit de modifications génétiques relativement mineures (...). Tout ce que nous pouvons dire, c'est qu'il y a environ 1,6 millions d'années un saut sans précédent dans la structure du corps a eu lieu chez nos précurseurs. (...) Au bout du compte ce sont ces trois changements, ponctuels mais lourds de conséquences (la station debout occasionnelle, la fabrication d'outils, la locomotion régulière sur deux jambes), qui ont vraiment fait la différence dans l'évolution des hominidés. (...) De toutes les fonctions mentales humaines, la plus étroitement liée au processus de symbolisation est le langage. (...) Reste que la transition entre un mode de vie sans langage et celui qui nous est familier impliquait un saut énorme, cognitif et pratique. »

Cependant, comme les évolutionnistes se plaisent à le rappeler, ils sont majoritairement adversaires du « saltationnisme » et continuent de prêcher pour le gradualisme [7]. Ils ne sont pas les seuls. Dans de multiples disciplines, la thèse de l'évolution graduelle a toujours cours et est même dominante. Nous avons toujours tendance à effacer les phénomènes à rythme trop rapide de la compréhension des phénomènes. Il en va de même dans le domaine social et historique. Chacun aura retenu que le régime des pharaons a eu une très longue durée [8] – trois millénaires ! – mais c'est omettre qu'il a eu les plus importantes interruptions [9]. Des révolutions sociales l'ont plusieurs fois balayé et elles ont marqué son régime durablement. Après le premier interrègne en -2260 avant JC, toute l'organisation sociale et l'idéologie ont été fondés sur l'admiration de l' « âge d'or » détruit par la révolution sociale et sur les moyens d'éviter à l'avenir une telle catastrophe. La révolution sociale a supprimé pour plusieurs centaines d'années le régime pharaonique lui-même. Quand celui-ci est réapparu, suite au premier interrègne, il a été reconstruit sur des bases nouvelles résultant de cette révolution sociale. Cela n'empêche pas des historiens de s'émerveiller de la « permanence » du régime pharaonique.

Les métamorphoses de la matière comme celles de la vie, de la conscience ou de la société ont le même caractère discontinu et brutal, lorsqu'elles mènent d'un état à un autre. Il s'agit toujours d'un saut de type « quantique ». La conscience procède par unités (images mentales) comme la matière (par quanta) ou la vie (par cellule, par signal, par impulsion électrique ou chimique). Pourtant, nous conservons un a priori de la continuité de l'univers qui nous entoure, comme de celle de notre conscience du fait de la rapidité des sauts, entre les états des particules comme entre les images cérébrales. Nous ne percevons pas les sauts quantiques ni les flash de notre conscience [10]. Nous avons du mal à admettre que notre univers comme notre entendement, fondés sur une série de saccades discontinues survenant de manière aléatoire, parvienne cependant à produire l'ordre que nous connaissons. Notre vision optique a, elle aussi, un caractère brutal et discontinu mais nous ne le sentons pas. Par exemple, nous ne sommes pas conscients de l'apparition d'une image visuelle trop fugace (subliminale [11]) qui est pourtant distinguée par notre cerveau. Nous ne distinguons pas un phénomène brutal, s'il est trop furtif, même s'il a une action réelle. Nous ne percevons pas les photons un par un, mais comme un jus continu de lumière ce qui est une illusion. Nous avons une limite de perception des énergies élevées qui se manifestent dans des temps trop court pour nos capacités de sensation ou de discernement.

Notre parcours passe sans cesse du vivant au non-vivant, de l'humain au non-humain, du naturel au social et inversement, au risque de faire ressentir lecteur un peu de vertige au. Le premier des sauts à étudier est justement celui d'un domaine à autre. Les auteurs ont longtemps voulu étudier séparément ces domaines. L'opposition apparente entre matière et vie est profondément ancrée dans nos conceptions [12]. Cela provient du fait que la matière n'est pas apparue comme dynamique et productrice d'une histoire, contrairement à la vie. Dans nos conceptions et images, le conscient est plus encore opposé au non-conscient par un a priori aussi fort. Cette conception a longtemps prévalu et, sous son égide, la science a connu des développements considérables mais cela n'a pas rendu plus facile de passer ensuite à une compréhension d'ensemble, ce qui est pourtant une nécessité. Il faut en effet concevoir le monde dans son unité et trouver les mécanismes permettent de sauter d'un état à un autre. Ces modes de transformation ne sont pas évolutionnistes mais révolutionnaires. Aucune continuité, aucun gradualisme ne décrira jamais les passages de la matière à la vie, d'une structure vivante à une autre au plan d'organisation radicalement différent, de la vie à l'homme, à la conscience et aux divers régimes sociaux de la société humaine. Quant au système capitaliste, il est celui qui, dans l'histoire, est apparu comme le moins formulable en termes de stabilité et de continuité. Comme l'écrivait Léon Trotsky dans « Le marxisme et notre époque », « L'idée d'un progrès graduel continu semblait établie pour toujours, cependant que l'idée de révolution était considérée comme un pur vestige de la barbarie. (...) La vie du capitalisme de monopole de notre époque n'est qu'une succession de crises. »

Bien que ce ne soit pas l'objet de cette partie, il faut rappeler que la discontinuité reste la question essentielle de l'étude de l'Histoire, de l'économie, du social et de la politique. Nul ne peut décrire l'Histoire sans rapporter ses sauts : d'un type de propriété à un autre, d'un type de relations sociales à un autre, d'un type d'échange à un autre, d'un type de structure familiale ou sociale à un autre, etc… Le changement politique, la crise économique, la crise sociale et la révolution restent les éléments clefs de la société humaine depuis que l'exploitation est apparue. Et tant que l'on sera dans une société de classe, la compréhension de la transition (la discontinuité) entre révolution bourgeoise et révolution ouvrière, entre Etat bourgeois et Etat ouvrier, entre planification socialiste et planification étatiste,… restera la question clef de la compréhension des perspectives historiques. C'est cette idée qui sépare les diverses sortes de militants ouvriers, en révolutionnaires et réformistes. Chercher à masquer cette différence en prétendant au réalisme, en condamnant le dogmatisme, le sectarisme de « prétendus » révolutionnaires, en récusant les points de vue « trop théoriques », toutes ces attitudes, loin de permettre un raccourci de la lutte des classes, ne peuvent que l'entraîner dans des impasses en perdant politiquement les révolutionnaires qui s'y aventureraient. Pour l'avenir, voir de la continuité dans l'évolution de la société est le pire des dangers. Le passage d'une société à une autre ne peut qu'être rapide, radical, brutal, sans concession, allant droit au but sous peine d'aller à l'échec, de laisser à la réaction le temps de se ressaisir.

Notes

[1] « Sur des sujets aussi fondamentaux que la philosophie générale du changement, la science et la société travaillent habituellement la main dans la main. (...) Lorsque les monarchies s'effondrèrent et que le 18e siècle s'acheva dans la révolution, les hommes de science commencèrent à considérer le changement comme un élément normal de l'ordre universel, non comme un élément aberrant ou exceptionnel. (...) Le gradualisme, l'idée que tout changement doit être progressif, lent et régulier, n'est jamais né d'une interprétation des roches. Il représente une opinion préconçue, largement répandue, s'expliquant en partie comme une réaction du libéralisme du 19ème siècle face à un monde en révolution. » disait Stephen Jay Gould dans « Le pouce du panda ». Pour tordre le cou à ce préjugé du gradualisme, selon lequel tout changement interne d'un système serait lent, progressif et les changements brutaux seraient dus à des chocs externes, il raconte comment des géologues ont ainsi été gênés pour interpréter la formation de certains canyons des USA (les scablands) du fait d'un a priori gradualiste selon lequel les canyons ne pouvaient qu'avoir été creusés par des érosions sur de très longues durées. Comme l'écrivait Léon Trotsky dans « Le marxisme et notre époque » : « L'idée d'un progrès graduel continu semblait établie pour toujours, cependant que l'idée de révolution était considérée comme un pur vestige de la barbarie. »

[2] Dans « Le renard et le hérisson », son ouvrage-testament, Stephen Jay Gould expose : « La notion selon laquelle la science, dans sa quête de vérités naturelles, utilise des observations brutes et non biaisées est un des mythes fondateurs et, on va le voir, fort pernicieux, de ma profession. Les scientifiques ne pourraient avoir une telle approche du monde même s'ils le souhaitaient ardemment car, comme a pu l'écrire le fameux philosophe des sciences N.R.Hanson, « le pied fourchu de la théorie » marque nécessairement de son empreinte toute observation. (...) Les chercheurs sérieux ont toujours reconnu la nécessité philosophique et les avantages pratiques des observations faites dans le but de tester une théorie, et non dans celui d'aligner une liste de résultats dénués de sens. (...) Une de mes « grandes citations préférées » est de Charles Darwin, qui écrivait à l'un de ses proches collègues, à propos du mythe de l'observation « objective » : « Comme il est étrange que certains puissent ne pas voir que toute observation doit être faite à l'appui ou à l'encontre d'une idée existante pour être de quelque utilité. »

[3] Sous le temps de Planck et la distance de Planck, même l'univers matériel entier n'a pas assez d'énergie pour agir. Le temps de Planck correspond à l'action de l'énergie totale de l'univers. Temps et énergie sont inversement proportionnels selon la formule temps fois énergie égale constante de Planck h.

[4] Comme l'expose Henri Poincaré dans « L'hypothèse des quanta », l'apparence du continu provient d'une série ou d'une combinaison d'états discontinus d'égale probabilité.

[5] Sur la renormalisation, voir l'encyclopédie Wikipédia : « Un premier électron émet un photon, le photon se propage puis se matérialise en une paire électron-positon qui se propagent puis s'annihilent pour se retransformer en un photon qui se propage et est finalement absorbé par un deuxième électron. Ce processus contient huit diagrammes élémentaires : quatre font intervenir le couplage électron-photon, deux le propagateur du photon et deux le propagateur de l'électron. (...) Trois diagrammes suffisent pour décrire tous les processus de l'électromagnétisme :
– couplage électron-photon (appelé vertex) : un électron peut émettre ou absorber un photon ; ce processus a une probabilité proportionnelle à la charge électrique de l'électron ;
– propagateur du photon : un photon peut être émis à un point donné de l'espace-temps et absorbé à un autre ; la probabilité ne dépend que de la distance dans l'espace-temps entre les deux points ;
– propagateur de l'électron : un électron peut être émis à un point donné de l'espace-temps et absorbé à un autre ; la probabilité est dans ce cas plus compliquée à décrire et elle dépend aussi de la masse de l'électron. Mais le calcul pose des problèmes apparemment insurmontables : il faut additionner les diagrammes de Feynman pris à tous les points de l'espace-temps. Or la somme sur toutes les paires de points de l'espace-temps de la boucle du diagramme représentant la propagation de la paire électron-positon donne un résultat infini. Il existe par ailleurs deux autres diagrammes de Feynman en boucle qui donnent des résultats infinis. (...) Autre exemple du problème des infinis : quelle est la force nécessaire pour mettre en mouvement un électron initialement au repos ? Conformément à la théorie de Maxwell, toute particule chargée accélérée émet des ondes électromagnétiques. Or, ces dernières agissent sur l'électron en le freinant. Le calcul de cette force de freinage selon la théorie de Maxwell donne un résultat infini. Il serait donc impossible de déplacer un électron, ce qui est bien sûr contredit par l'expérience ! Ce n'est qu'en 1949 que Julian Schwinger, Richard Feynman, Sin-Itiro Tomonaga et Freeman Dyson parviennent à résoudre ce problème des quantités infinies des diagrammes en boucle : ils le contournent en inventant une méthode de calcul ingénieuse appelée renormalisation. Elle introduit enfin les concepts quantiques de façon cohérente dans la théorie de Maxwell. Cette nouvelle théorie est appelée électrodynamique quantique. (...) L'électrodynamique quantique est valable jusqu'à une certaine distance minimale qu'on choisit plus ou moins arbitrairement : l'addition des diagrammes de Feynman en boucle sur tous les points de l'espace-temps s'arrête alors à cette distance. On évite ainsi les quantités infinies mais le résultat du calcul de ces diagrammes dépend de cette distance minimale. »

[6] Dans un exposé de 1968 à Trieste intitulé « Les méthodes en physique théorique », Paul Dirac expose ainsi ce problème des infinis en électromagnétisme : « Lorsqu'on écrit les équations dont on attend une description exacte de cette interaction (entre un électron et le champ électromagnétique), et que l'on essaye de les résoudre, on obtient – pour représenter les quantités qui devraient être finie – des intégrales divergentes. (...) Les divergences de l'électrodynamique quantique proviennent des contributions de haute énergie dans l'énergie d'interaction entre les particules et le champ. » Ce sont des interactions qui auraient lieu en un temps infiniment court. On est contraint de les supprimer (méthode de renormalisation), ce qui signifie qu'il n'y a pas de temps infiniment court. Par conséquent, le temps n'est pas continu.

[7] Un exposé pour l'Université de tous les savoirs de l'évolutionniste Guillaume Balavoine en juillet 2002 tente de balayer les arguments saltationnistes liés aux recherches sur les gènes Hox : « Notre propos : l'évolution est-elle saltationniste ou gradualiste ? (...) La plupart des biologistes acceptent l'idée que l'évolution se fait bien de façon graduelle par l'accumulation de petites différences, comme le suggérait Darwin. Une partie de l'intérêt suscité par les gènes homéotiques provenait de l'idée que ces gènes étaient susceptibles d'engendrer une évolution par sauts. » Balavoine rejette cette interprétation et tient surtout à faire remarquer qu'il est suivi en cela par une majorité d'évolutionnistes.

[8] Pierre Miquel écrit dans « L'Egypte éternelle » : « Soumise à des conditions naturelles à peu près immuables, l'Egypte a créé une civilisation absolument originale dont la caractéristique la plus évidente est la permanence. (...) Nous avons entrepris cet ouvrage, que nous avons appelé ‘'l'Egypte éternelle'', dans l'intention de définir les caractère permanents de sa civilisation (...) » Remarquons que cela ne l'empêche pas de reconnaître dans l'Egypte pharaonique, dès ses origines, des classes sociales en lutte : « Le vocabulaire nous fait connaître trois classes d'êtres humains : les Payït, les Hennyt et les Rekhyt. » L'Egypte pharaonique a connu trois classes sociales, la noblesse, la classe moyenne (prêtre, guerrier, scribe, artisan) et le petit peuple des paysans serfs. Contrairement à ce que l'on pense souvent, les exploités ne sont pas des esclaves mais ils sont soumis à des demandes de main d'œuvre pour des travaux forcés.

[9] Notamment, la révolution sociale en – 2260 avant JC a balayé le régime des pharaons.

[10] En ce qui concerne notre perception cérébrale des odeurs par exemple, Carlos Calle, dans « Supercordes et autres ficelles », expose ainsi « Comment le cerveau sépare-t-il une odeur de toutes les autres. Comment apprend-il à reconnaître les odeurs familières ? Il semble que ce soit rendu possible par le chaos. (...) Les chercheurs en ont déduit que l'acte de perception consiste en un saut brusque d'un ensemble d'oscillations chaotiques à un autre. Ils pensent que le bulbe olfactif et le cortex entretiennent plusieurs ensembles d'oscillations chaotiques simultanées, une pour chaque odeur familière. »

[11] Patrick Philipon explique dans « La Recherche » de janvier 2007 : « Parmi les innombrables stimuli visuels qui nous assaillent à chaque instant, certains sont si discrets que nous ne les percevons pas. Une équipe de l'université de Boston montre que ces messages invisibles sont paradoxalement les plus perturbants (« Science » – 2006). (...) « Il y a vingt ans, les résultats sur les stimuli subliminaux étaient très contestés. Aujourd'hui l'imagerie cérébrale montre qu'ils sont effectivement détectés et traités par le cerveau » constate Axel Cleermans, professeur à l'université libre de Bruxelles. » Patrick Philipon explique l'hypothèse que vérifient ces scientifiques : il s'agirait d'une action des vues subliminales sur le cortex latéral préfrontal. « Cette aire intervient pour inhiber l'activité du cortex visuel : elle filtre le signal non approprié. En revanche, lorsque le signal est subliminal, il serait suffisant pour induire une activité parasite du cortex visuel mais pas assez pour déclencher une inhibition par le latéral préfrontal. » Le phénomène serait donc une inhibition de l'inhibition par la rapidité du phénomène trop grande pour susciter sa propre inhibition !

[12] « Les innombrables livres produits par les spécialistes du « vivant » les biologistes tiennent pour évidente la classification de tous les objets en deux catégories : ceux qui sont inanimés et ceux qui sont vivants. (...) Mais ils se gardent bien de préciser en quoi consiste la frontière entre les deux catégories. » Albert Jacquard dans « La légende de la vie »

La suite

Des objets mathématiques continus ou discontinus ?

Robert Paris — 2019-04-04T22:33:00Z

DISCONTINUITÉ OU ... CONTINUITÉ ?

LE POINT

"Tout le monde croit savoir ce que c'est qu'un point, et c'est même parce que nous le savons trop bien que nous croyons n'avoir pas besoin de le définir."

Henri Poincaré

Poincaré défenseur du continu mathématique :

Lire ici

Poincaré : « n'y a-t-il pas moyen d'arriver à la loi du rayonnement sans introduire ces discontinuités qui sont en opposition directe avec les notions de la Mécanique classique ? »

Continuité mathématique et continuité physique

Lire encore

dans "La valeur de la science" (chapitre "La notion d'espace")

"On le voit, ce qui est en question, ce n'est rien moins que la notion de point matériel, la plus élémentaire de toutes les notions de la mécanique. La position centrale tenue par cette notion doit être abandonnée pour des raisons de principe, elle ne pourra subsister que dans certains cas limites."

Max Planck

dans "Initiations à la physique"

LA DROITE

Notre conception de la droite est tributaire de nos illusions d'optique comme le relève Bernard Sapoval dans « Universalités et fractales » :

« Diderot rappelle et discute le cas de Saunderson, aveugle-né, professeur de mathématiques à l'université de Cambridge. Fasciné par la question même de la formation de la pensée sans l'aide de la vision, Diderot estime qu' « interroger un aveugle n'eût pas été une occupation indigne des talents réunis de Newton, Descartes, Locke et Leibniz. » Diderot imagine par quel processus un aveugle né peut concevoir l'idée de ligne droite : « Une ligne droite, pour un aveugle qui n'est pas géomètre, n'est autre chose que la mémoire d'une suite de sensations du toucher placées dans la direction d'un fil tendu… »

Chacun se souvient de son enseignement secondaire et croit qu'on lui a défini ces notions de point, de droite, de demi-droite et de segment. Mais cela n'est pas exact. Le segment, la demi-droite et la droite ne sont pas simplement des ensembles de points si le point est sans dimension d'espace. Même une infinité de points de dimension zéro ne peuvent avoir une distance non nulle. Il ne s'agit pas d'une infinité d'objets de dimension infiniment petite mais nulle ! C'est un peu comme si on additionnait une infinité de poids nuls et que l'on disait que cela donne un poids fini non nul... Définir une distance non nulle par une collection d'objets de dimension nulle est curieux.

D'autre part, le segment nécessite, pour sa définition (un segment est défini par ses extrémités), le point et inversement ce qui est un peu circulaire !

Et ce n'est pas la seule contradiction. A prétendre tout définir formellement, il y a même une contradiction logique. Même David Hilbert, un mathématicien très axiomatique, qui affirme que "Comme l'arithmétique, la géométrie n'exige pour son élaboration qu'un petit nombre de propositions fondamentales simples. Ces propositions sont les axiomes de la géométrie. Depuis Euclide, l'établissement de ces axiomes et l'étude de leurs relations ont fait l'objet de travaux nombreux et excellents." rajoute immédiatement que " Ce problème est celui de l'analyse de notre intuition de l'espace".
dans "Les fondements". En somme, tout se démontre mais le point de départ (sans jeu de mots) est dans notre intuition de l'espace !

Le segment ou le point sont des notions intuitives qui ont été conçues pour une vision du monde à notre échelle. Dès qu'on prétend examiner des infinités de points situés entre deux points, elles ne sont plus valides. On se heurte à la même difficulté que Zénon et que la physique quantique. Les infinis (infiniment grand et infiniment petit) ne sont pas logiquement acceptables et ne sont pas physiquement acceptables. Ils ne peuvent servir à créer une notion de continuité que les mathématiques ont vainement cherché à bâtir.

Ce sont également des notions qui contiennent des contradictions dialectiques irréductibles. Le point et le segment sont aussi dialectiquement inséparables que l'instant et la durée ou la position et la distance. Ces notions sont irréductibles l'une à l'autre, indispensable l'une à l'autre, contradictoire l'une pour l'autre. On ne peut pas définir la position d'un point sans la notion de distance par rapport aux autres points. On ne peut définir une distance qu'entre deux points.

La continuité, une propriété mathématique ?

Les paradoxes de Zénon

NOMBRES RÉELS ET CONCEPTS SPATIO-TEMPORELS

Le physicien V. Guinzburg écrit dans "Sur la physique et l'astrophysique" :

"La théorie de la relativité restreinte et générale, la mécanique quantique non relativiste, la théorie actuelle des champs quantiques utilisent la notion de l'espace-temps continu, au fond classique : un point d'espace-temps est défini par quatre coordonnées susceptibles de prendre une suite continue de valeurs. Mais cette approche est-elle toujours légitime ? D'où vient-il que dans le domaine du "petit" l'espace et le temps n'acquièrent pas des propriétés tout à fait différentes, ne deviennent pas d'une certaine façon "granulés", discrets, quantifiés ?

Cette question n'est nullement nouvelle. Pour la première fois, elle a été posée probablement par Riemann en 1854, puis discutée à maintes reprises. Ainsi, dans sa conférence bien connue "La géométrie et l'expérience", Einstein disait en 1921 :

"L'interprétation physique de la géométrie proposée ici ne peut être appliquée aux dimensions submoléculaires de l'espace."

Le problème de la longueur fondamentale est intimement lié à celui de l'infraction à la causalité dans le microcosme. S'il existe une longueur fondamentale quelconque, il est naturel d'admettre qu'elle joue un rôle, et même un rôle déterminant dans la résolution du problème du spectre de masses. La longueur fondamentale servirait de facteur "tranchant" dont a besoin dans telle ou telle mesure la théorie quantique du champ actuelle ; dans la théorie qui contient la longueur fondamentale devraient disparaitre automatiquement les expressions divergentes."

NOMBRE RÉEL ET HYPOTHÈSE DE LA CONTINUITE

"Les principes euclidiens, seuls, sans adjonction du principe de continuité, qui n'est pas contenu en eux, sont incapables de fonder une théorie complète des nombre réels comme rapports de grandeurs."

Lettre de R. Dedekind à R. Lipschitz du 27 juin 1876

Qu'est-ce qu'un nombre ? Qu'est-ce qu'un point ?

Les plus connus des objets mathématiques, le nombre, le point, le segment, la droite, sont très différents de ce que l'on croit communément. La droite géométrique, comme la droite des nombres, loin d'être le modèle de la continuité, est une fractale d'univers emboîtés et une dialectique du point et de l'espace. On croit la voir en entier en l'examinant à une seule échelle, mais elle contient de multiples niveaux et ses deux éléments, le point et l'espace entre deux points, sont inséparablement contradictoires au sens dialectique (c'est-à-dire contraires mais imbriqués et inséparables).

Pour être efficace, l'image mathématique doit correspondre à une réalité observée. Or, dans toute observation, il existe un pouvoir de résolution selon lequel il y a une limite de séparation des points. Deux points distincts ne sont séparables par observation que si leur distance est supérieure à cette limite. Cela est vrai dans toute observation physique par l'homme. Or, nous n'avons aucune raison de penser que l'homme soit un cas à part, ni que ses expériences aient des particularités indépendantes des lois naturelles. Cela signifie qu'on a toutes les raisons de penser que la matière et la lumière interagissent avec une limite de résolution. En dessous d'une limite, il n'y a plus interaction cohérente perceptible. En conséquence, ce "pouvoir de résolution" doit absolument être intégré à nos outils mathématiques. En ce qui concerne le point, le segment ou la droite (qu'il s'agisse des notions géométriques avec la droite d'Euclide ou algébriques avec la droite des nombres dits "réels"), ils ne répondent nullement à cette nécessité. Cette limite indique qu'en dessous existe un nouvel univers emboité et que ces univers forment un ensemble fractal. Si l'univers n'était pas fractal, si la plupart des systèmes étaient intégrables au sens de Poincaré c'est-à-dire non susceptibles de subir des résonances, cet inconvénient serait négligeable. Mais ce n'est nullement le cas. Le vide est fractal, la particule l'est aussi. Les interactions sont non-linéaires et les structures matérielles sont dissipatives et auto-organisées. Notre univers est fondé sur des systèmes chaotiques. La linéarité n'existe qu'approximativement et à la marge. En conséquence, le point ou la droite, même idéalisés, ne peut qu'être soumis à une correspondance à ce que pourrait être un point physique et une droite physique. Un point physique correspond au point de l'imprimerie qui est un nuage de points lorsqu'on l'agrandit suffisamment. C'est l'agraindissement. Une droite physique n'est pas seulement un ensemble de points, sinon elle ne porterait aucune longueur. Elle contient non seulement des points mais aussi des espaces entre ces points. Ces espaces ont des dimensions déterminées par le pouvoir de résolution, limite en dessous de laquelle on ne peut plus distinguer entre deux points. L'espace entre deux points à distance égale ou inférieure au pouvoir de résolution ne peut être explorée qu'en descendant d'un cran dans les échelles du monde fractal.

La droite, si on veut l'imaginer comme capable de porter l'ensemble des points entre deux points, doit être considérée comme une fractale, avec des univers emboîtés…

Encore une fois, rappelons que cette limite d'observation n'est pas propre à l'observation humaine. Toute interaction nécessite un temps fini, non nul, le temps d'interaction ajouté au temps de relaxation. Ce temps, lorsqu'il n'est pas négligeable devant le temps caractéristique de transformation des structures mises en cause, signifie qu'il n'est plus possible de considérer des infiniment petits dans les calculs. C'est ce qui explique que les lois doivent être renormalisables. C'est ce qui explique aussi qu'il y ait des mouvements et des changements de structure. Sans quoi le mouvement serait impossible comme le montrait il y a bien longtemps les paradoxes de Zénon. L'équilibre, inversement, n'a lieu que lorsqu'il y a un rapport suffisamment petit entre les deux temps (temps d'interaction-relaxation et temps propre). C'est là que se trouve la source des stabilités structurelles. L'interaction du lent et du rapide est à la base de la formation de structures durables et toutes sortes d'équilibres. L'équilibre, lui-même, change donc de représentation et devient un cas limite du paradoxe de Zénon. La composition de structures cristallines en est un exemple.
On a longtemps considéré que ce qui caractérise la fractale est la dimension fractionnaire. La droite et le point montrent qu'il n'en est rien.

L'outil mathématique de base doit lui-même être fractal pour représenter un monde fondé sur des résonances et non-intégrable au sens de Poincaré, sauf dans quelques cas limites. Dans une géométrie fractale, il n'y a plus un seul nombre qui représente la distance entre deux points, car cette distance dépend de l'échelle d'observation. Cette dernière est donc un premier élément. Il convient d'y rajouter la distance de deux points permettant de les séparer par observation ou « pouvoir de résolution » et aussi l' « agraindissement » qui indique quand un point est représenté par une seule position et quand il l'est par un nuage de possibles.

Les remarques précédentes expliquent bien des bizarreries des questions de continuité et de discontinuité ou encore des question de cardinaux, en matière de géométrie comme d'algèbre. Ainsi, l'existence d'un pouvoir de résolution montre que le raisonnement selon lequel un segment aurait autant de points qu'une partie de ce segment est faux. Le découpage d'un segment en parties atteint des limites liées au pouvoir de résolution. Il convient de se rappeler que le segment considéré comme fractal ne doit pas être traité comme l'avait été le segment considéré comme un continuum de points successifs. Cela signifie en particulier que toute opération qui mette en relation des points de deux segments et qui agrandisse les longueurs (les fameuses bijections selon lesquelles il y aurait autant de points dans un grand et dans un petit segment) agissent sur les tailles des parties fractales. Une fractale , rappelons le, ne peut pas être observée en même temps à diverses échelles, pas plus que l'on ne peut observer en même temps des univers emboités. Quand on voit une poupée russe, on ne voit pas celles qui sont à l'intérieur. On ne voit pas plus les niveaux supérieurs.

De nombreux paradoxes logiques des nombres et de la géométrie proviennent de la nécessité de raisonner sur :

– l'existence de niveaux hiérarchiques emboités

– le pouvoir de résolution

– l'agraindissement (choix de niveau du grain, à ne pas confondre avec l'agrandissement)

– l'échelle

Il en résulte que les "objets" dits élémentaires de la géométrie et de l'algèbre ont une complexité et une richesse aussi grande que bien d'autres formes mathématiques.

L'importance physique de ces remarques provient du fait que le point est l'idéalisation de la particule et la droite parcourue continument celle du mouvement d'inertie.

Extrait de "La Matière-espace-temps" de Gilles Cohen-Tannoudji :

"Le portrait d'un système quantique ne peut être localisé sur une trajectoire dans l'espace de phase. Si l'on voulait décrire l'évolution d'un système quantique dans l'espace de phase, il faudrait faire appel au concept de nuage de points."

Sommaire du site

Pourquoi ce site ?

Pourquoi ce site mêle révolution, sciences, philosophie et politique ?

Pour nous écrire, cliquez sur Répondre à cet article

Sur la discontinuité, lire aussi sur le site :

La discontinuité, une question philosophique

Qu'est-ce que la continuité ?

Une vieille question

L'illusion du continu

Continuité du vivant ?

Le quanta, ou la mort programmée du continu en physique

Pourquoi la notion de continu fait de la résistance ?

La continuité, une propriété mathématique ?

Continuité et discontinuité sont incompatibles

Discontinuité de l'univers et structures hiérarchiques

La discontinuité de la vie : de la création d'espèces à la création de l'homme et à la création humaine

Les paradoxes de Zénon, preuve de la discontinuité dialectique

Psychisme et discontinuité

Pour nous écrire, cliquez sur Répondre à cet article

"La quantité posée avec une déterminabilité essentielle qui exclut toutes les autres, c'est le quantum, ou quantité limitée. (...) Le nombre est une pensée, mais il est la pensée en tant qu'être qui est extérieur à lui-même. Comme pensée, il n'entre pas dans l'ordre des choses qui tombent sous l'intuition."

Friedrich Hegel dans "Petite logique"

Courbes, fonctions, graphiques, équations, les mathématiques ont choisi d'étudier la notion de continuité non du fait de sa justesse descriptive du réel, ni pour sa supériorité philosophique, mais pour l'efficacité de l'étude des fonctions continues pour décrire le mouvement mécanique. Les travaux de Newton et Leibniz donnent du crédit à la notion de continuité du mouvement. Leur travail repose sur les quantités infiniment petites qui sont des bâtisseurs de toutes les quantités. Ils touchent du doigt l'importance des petites quantités mais partent sur une piste opposée à celle de la singularité : la construction d'une quantité par addition régulière et linéaire de petites quantités. Comme pour la quadrature du cercle, ils souhaitent construire le continu à partir du trait coupé, contenant un peu de discontinuité, à la limite, en passant à l'infini. C'est le calcul infinitésimal et intégral. Le succès de leur démarche est fantastique et donne naissance aux lois mathématiques de la nature. Sur le plan théorique, il va poser des problèmes insolubles, celui de la continuité des nombres et des points de la droite. Si les mathématiciens Karl Gauss et Augustin Cauchy croiront avoir clairement défini la continuité pour lui donner un fondement théorique solide, nous verrons que leurs successeurs (Bolzano, Weierstrass, Dedekind et surtout Cantor) se heurteront à de multiples contradictions. Par exemple, l'ensemble de Cantor, formé de nombres discrets va s'avérer contenir autant de nombre que l'intervalle continu entre 0 et 1, alors que cet ensemble n'est continu dans aucune de ses parties. La discontinuité peut donc donner l'illusion du continu.

En physique, l'utilisation d'une mathématique du continu a d'abord été incontestée. « Je considère ici les quantités mathématiques (...) comme décrites par un mouvement continu. Les lignes sont décrites par le mouvement continu des points ; les surfaces par le mouvement des lignes ; les solides par le mouvement des surfaces ; les angles par la rotation des côtés ; les temps par un flux continu. » écrivait par exemple le physicien Isaac Newton dans « Méthode des fluxions et des suites infinies ». Descartes n'épousait pas moins cet objectif du continu, ramenant la courbe à une droite (sans discontinuité) courbée : « Que tous les points (des courbes) qu'on peut nommer géométriquement (...) ont nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite (...) » écrivait-il dans « Géométrie ».

Cet objectif de la transformation continue encore appelée mathématiquement la « fonction réelle de variables réelles », qui allait être celui de toutes les sciences, avait cependant une autre source que l'expérience et les mathématiques : un choix idéologique. En effet, à l'époque, acceptation de la discontinuité était synonyme de reconnaissance de la création divine. Ainsi, Gottfried Leibniz, dont la mathématique différentielle (l'introduction des infiniment petits dans les calculs) complétait le travail tendant à rendre continues les mathématiques, affirmait dans « La Monadologie » que « Chaque portion de la matière n'est pas seulement divisible à l'infini (...) mais encore sous-divisée actuellement sans fin, chaque partie en parties (...) ». En somme, la discontinuité serait partout mais la continuité serait obtenue à la limite. Il remarquait cependant des singularités au niveau mathématique et surtout physique comme ici dans « Discours de la Métaphysique » : « Il apparaît de plus en plus clairement que tous les phénomènes particuliers de la nature peuvent être expliqués mathématiquement ou mécaniquement par ceux qui les comprennent. Cependant les principes généraux de la nature corporelle ou même de la mécanique (...) appartiennent à certaines formes ou natures indivisibles qui sont les causes des apparences plutôt qu'aux masses corporelles ou à l'extension. » Sa conclusion ne prêtait pas à confusion sur l'importance idéologique du discontinu : « De cette façon, nous sommes en mesure de réconcilier la philosophie mécanique des modernes avec la conception de ces personnes qui (...) craignent que nous soyons en train de nous éloigner de l'être immatériel au préjudice de la piété ». Faut-il pour autant rejeter les remarques pertinentes de Leibniz sur la discontinuité et sur la non-linéarité comme celle-ci : « Il est clair (...) qu'une délimitation n'est pas homogène avec ce qu'elle délimite. » (dans « La fondation métaphysique des sciences »)

En physique, faut-il considérer comme valable les notions de point, de droite ou de segment, considérées comme indépendantes les unes des autres ? Pour y répondre il faudrait, par une méthode physique, être capable de dire qu'il n'a pas bougé, c'est-à-dire le connaître complètement. Une telle connaissance n'est pas physique. Connaître un point, ce serait émettre une énergie infinie pour connaître une position avec une précision infinie. Connaître exactement un segment nécessiterait de déterminer avec une précision infinie ses extrémités. Cela pose le même problème. Pour la géométrie d'Euclide, un segment n'est égal qu'à lui-même. En physique, la mesure n'a rien d'un calcul exact. En temps limité, l'interaction est la seule information possible entre matières via les photons. En procédant ainsi on ne peut rien connaître avec une précision infinie. L'apparence réelle de segment n'est qu'une série de points discrets régulièrement alignés. Il n'y a aucune continuité d'un point à un autre. Il y a une infinité de points mais il y a toujours des trous entre eux. Et dans ces trous, si on observe de plus près, on trouve encore des points. Donc pas plus de continuité des trous que de continuité des points.

Le segment n'a pas plus d'existence, réelle ou mathématique, que le point isolé, indépendant du reste du monde, indépendant de l'espace, indépendant des autres points. Les mathématiciens le savent et se sont gardés de définir ces notions, eux qui sont si favorables à tout définir et à tout rationaliser formellement. Ils ont décrété que le point, la droite et le segment devaient rester des « évidences sensibles ». Pourtant, nos sens ne sont pas capables de percevoir de telles « objets ». Il s'agit d'illusions des sens. L'observation nous dit tout autre chose. Un point fixe existe-t-il au sens physique dans la nature ? Aucun « objet » fixe ne peut être observé dans la nature comme aucun « objet » isolé du reste de l'univers. Ensuite, le mode de fonctionnement de la nature comme son mode d'observation n'obéissent pas aux mêmes règles que des concepts figés du type point fixe ou segment fixe. La nature ne progresse pas lentement, progressivement, linéairement et directement vers la valeur exacte. Elle explore les possibilités par bonds, par touches successives, discontinues avec de multiples marches aléatoires intercalées au sein de mouvements déterminés. C'est un mécanisme discontinu de sauts en zigzag appelé « intermittence ». Dans l'observation réelle, la réalité observée change sans cesse : le point devient segment et le segment devient un point, de manière dialectique, en fonction de l'échelle concernée. Il existe des dynamiques géologiques pour lesquelles ce qui se déroule en dix mille ans est ponctuel. Dans l'interaction, il y a sans cesse relation entre le lent et le rapide, entre l'instantané (relativement) et le durable. Hegel avait déjà remarqué la relation dialectique entre immédiateté (l'instant ponctuel) et médiation (nécessairement une certaine durée). Ponctuel ou d'une certaine durée, la réponse ne peut être absolue parce que cela dépend de l'échelle. La réalité nous présente des univers emboîtés, à des échelles différentes, et des univers non linéaires. Le point ou le segment peuvent décrire une réalité mais pas comme des absolus ni comme des éléments fixes, figés.

Dans la construction des nombres, on est parti du discontinu pour tenter de parvenir au continu. Les nombres entiers sont l'univers du ponctuel, du discret, de la régularité mais aussi de la discontinuité. L'ordre est précis et correspond au dénombrement des ensembles d'objets du même type. Les nombres entiers ont un rôle très important en physique quantique, avec notamment les nombres quantiques. Mais les nombres entiers ne peuvent correspondre à une réalité changeante et encore moins à une physique dans laquelle on ne peut pas préciser exactement la position et la vitesse. D'ailleurs, qu'il soit entier ou pas, un seul nombre fixé par une précision absolue ne peut décrire une telle réalité.
La discontinuité a continué à caractériser les nombres, avec la formation des nombres décimaux. Même s'il y a bien plus de décimaux que d'entiers, il reste encore plus de trous entre les décimaux. Les mathématiciens ont repris leur travail de construction pour combler ces trous. Des nouvelles séries de nombres ont été inventées. Personne ne peut prétendre aujourd'hui que la question de la continuité des nombres ait été résolue. Bien entendu, on peut donner de multiples définitions de la continuité mais il est clair que la notion de succession de points qui ne seraient séparés par aucun vide n'est pas prête d'être réglée. Définir de manière complexe la continuité est possible mais cela ne règle pas ce problème fondamental.
S'il existait un tel type de continuité, on pourrait dire qu'en mathématiques l'infiniment petit a véritablement un sens. Bien entendu, cela ne règlerait pas la question : la continuité a-t-elle un sens en physique, en chimie, en biologie, en neurologie, en termes de conscience, d'acquisition des connaissances, de croissance, ou d'évolution des espèces ou des sociétés ? Eh bien, même mathématiquement, la continuité reste à inventer….
On peut penser que les nombres réels suffisent très largement à imager une presque continuité. Pour le calcul, cela suffit certainement. Pour la philosophie de la nature fondamentale du monde, certainement pas. Supprimer les vides entre les nombres, comme en géométrie supprimer les vides entre les points de la droite ou de la courbe, c'est concevoir un monde sans contradiction. Un monde sans vide entre les particules. Un monde dans lequel les interactions sont directes et instantanées. Un monde où il peut exister un objet tel une particule se déplaçant sans interaction dans le vide. Un monde où une particule peut se déplacer brutalement de façon instantanée. Un monde où existe un temps ponctuel, une position ponctuelle, entièrement définie, sans épaisseur, sans mesure de son occupation du temps et de l'espace. Telle n'est pas la réalité qui apparaît en physique quantique, ni en général en physique. Aucune interaction (nous ne connaissons le monde que grâce aux interactions) ne définit un objet isolé. Aucune interaction n'a lieu instantanément. Aucune interaction ne permet une précision intégrale de position et de vitesse. L'existence du point isolé, l'existence du segment continu parcourable en passant un par un par tous les points, toutes ces notions ne sont pas acceptables comme image du monde. Qu'elles soient pratiques mathématiquement, qu'elles aient eu leur heure de gloire n'empêche pas de reconnaître qu'elles n'ont plus d'avenir.
Admettre une continuité à n'importe quel niveau du monde réel, c'est renoncer à la contradiction. La physique est contrainte dans toutes ses images de faire réapparaitre celle-ci, qu'on l'appelle matière/lumière, matière/vide, matière/antimatière, boson/fermion, ou particule/virtuel, etc….
La nature est dialectique. La continuité de la droite des nombres, comme la géométrie d'Euclide sont fondées sur une logique oui/non qui est métaphysique et donc incapable de représenter ce monde fondé sur des contradictions dialectiques et des changements dynamiques qui ne s'interrompent jamais.
Chacun est en droit de se dire que ce n'est pas la continuité qui a fait faillite et qu'il s'agit seulement d'une impossibilité d'imager de monde avec des concepts produits par le cerveau humain, en somme qu'il s'agit simplement d'une leçon d'humilité. Mais, en réalité, ce n'est pas une morale de modestie qui ressort des études. C'est bien une contradiction fondamentale entre continuité et discontinuité.

Cela est illustré en géométrie par la droite et le point et, en algèbre, par la droite des nombre dits réels.

En effet, on a d'abord considéré que la droite ou le segments étaient des ensembles de points. Cela supposait qu'il n'y avait pas deux concepts contradictoires dialectiquement entre la droite (ou le segment) et le point. La réflexion a prouvé que c'était faux. Par exemple, le point étant sans dimension (occupant un espace nul), une accumulation (même infinie) de points ne peut définir une dimension d'espace. Il faut donc considérer qu'il y a toujours des espaces entre les points. On ne peut donc réduire une droite à un ensemble de points mais il faut rajouter les espaces entre les points. mais cet espace entre les points, de quoi est-il fait ? On est obligé de répondre qu'il est de même nature : composé de points séparés par des espaces. Finalement on a donc des niveaux hiérarchiques emboités et interactifs. Un univers fractal puisque l'allure ne permet pas de dire à quel niveau on se situe.

Si l'on considère l'utilisation des mathématiques par la physique, on tombe sur la notion d'espace et de temps qui peuvent sembler ressembler au segment et sur les notions de position ou d'instant qui ressemblent au point de la géométrie. Pour la particule de la microphysique, comme l'électron, le neutron ou le proton, on parlera ainsi de "point matériel". Mais on constatera qu'entre les particules se situent des espaces vides qui sont eux-mêmes constitués de particules virtuelles. Cela signifie que le point devient un nuage de points. A leur échelle, la particule n'est plus un point matériel mais un nuage de points virtuels. En, ensuite, entre les particules virtuelles il y a encore des espaces qui sont des points de virtuel de virtuel, eux-mêmes séparés par des espaces .... etc ... Un monde hiérarchique fractal avec des rapports d'échelle de 137 ....

L'apparence de continuité, qu'il s'agisse des mathématiques ou des sciences, est donc le produit de discontinuités aux échelons hiérarchiques inférieurs.

D'autre part, la discontinuité peut elle-même devenir un piège si elle est conçue comme figée et non comme dynamique comme c'est le cas pour la notion de point figé et isolé. Il n'est pas plus facile de concevoir une dynamique du discret que de penser, comme on l'a souvent fait jusque là, une dynamique du continu.

La question de la discontinuité ne suffit donc pas à résoudre le problème. Il faut également une philosophie dialectique car il s'agit de penser le passage entre des niveaux hiérarchiques interactifs qui est un saut qualitatif.

La continuité, une propriété mathématique ?

Pour lire la suite ....
... cliquez ici

La notion d'émergence en sciences, cela n'a rien à voir avec du créationnisme

Robert Paris — 2019-02-17T23:31:00Z

La notion d'émergence en sciences, cela n'a rien à voir avec du créationnisme

L'émergence suppose non seulement une discontinuité, un saut, mais, de plus, un tel changement qualitatif tel que la nouvelle structure n'est pas une simple somme des propriétés ni des éléments de l'ancienne ou des anciennes.

Nous avons un nombre considérable d'exemple de telles émergences en sciences et je pourrai même dire que toutes les structures dont parlent les sciences sont émergentes.

Si elles ne l'étaient pas, il faudrait qu'elles découlent simplement d'additions ou de soustractions d'éléments à partir des anciennes.

Bien sûr, on a longtemps défendu en sciences de telles hypothèses dites réductionnistes du genre :

– l'atome est la somme du noyau et des électrons (et, en plus, des photons d'interaction)

– le noyau est la somme des protons et des neutrons (ou de quelques éléments supplémentaires comme les gluons)

– la molécule est la somme des atomes (avec les interactions entre eux)

– l'étoile est la somme des grandes masses de gaz

– la galaxie est la somme des étoiles

– l'amas de galaxies est la somme des galaxies

– le cerveau est la somme des neurones

– l'être vivant est la somme des organes et de leurs interactions

– l'ADN est la somme des gènes

– la société humaine est la somme des individus

etc, etc…

On n'en finirait pas de citer les exemples de l'ancien réductionnisme.

Tous ses anciens adages, notamment ceux précédemment cités, se sont révélés faux !

Non seulement, on a été contraints de rajouter toutes les interactions aux choses, mais les additions en question n'existent pas.

Si vous additionnez des individus, vous n'avez pas une société.

Si vous additionnez un noyau et des électrons, vous ne construisez pas un atome.

La procédure « addition » n'existe par réellement. La matière, la vie, la société n'additionnent pas.

Il y a des sauts qui ne sont pas décrits par la procédure d'addition.

Les philosophes de l'Antiquité l'avaient déjà compris.

Entre des grains de sable et un tas de sable, il y a un saut qualitatif qui n'est simplement dans le fait de chiffrer le seuil, mais dans la différence de type de réalité.

Un arbre n'est pas une addition d'un tronc, de branches et de feuilles. C'est un processus qui passe par des sauts qualitatifs et pas une addition.

Une forêt n'est pas l'addition d'un grand nombre d'arbres.

Une ville n'est pas l'addition d'un grand nombre d'habitants.

Le saut qualitatif nous pose problème mais nous sommes obligés d'admettre qu'il y a partout dans tout ce qui nous entoure.

Toute structure, qu'elle soit naturelle ou sociale, qu'elle soit matérielle ou vivante, est issue de sauts, de bonds qualitatifs.

Son apparition a été brutale, a apporté un changement considérable, n'a pas simplement mis bout à bout des propriétés ou des objets qui existaient précédemment.

Bien sûr, les scientifiques et les philosophes craignent toujours que l'on cherche à leur faire passer en douce de la camelote magique, mystique, des arnaques pseudo-scientifiques, mais ce n'est nullement le cas pour l'émergence.

La matière a émergé.

La lumière a émergé.

La vie a émergé.

L'homme a émergé.

La société humaine a émergé.

Et ce n'est pas magique, ce n'est pas divin, ce n'est pas inexplicable, ce n'est pas antiscientifique.

La nature, à toutes les échelles et dans tous les domaines, fonctionne exclusivement par sauts, des sauts quantiques aux sauts de systèmes sociaux, par révolutions, ce qui ne signifie pas qu'il y ait aucun miracle là-dedans !

Qu'est-ce que l'émergence ?

Le tout n'est pas la somme des parties…

Pourquoi la matière s'organise spontanément et de manière stable ?

Pourquoi la notion d'émergence d'organisation nous semble indispensable pour comprendre celle de structure en sciences ?

Qu'est-ce que l'émergence de la matière au sein du vide quantique ?

Le coeur, ou l'émergence de rythmes issus du désordre

Encore et à nouveau sur l'émergence…

L'émergence dans la Physique de Robert B. Laughlin

L'émergence de l'homme

Ce qui s'oppose à l'émergence, c'est le réductionnisme

L'émergence d'un au sein du désordre ou auto-organisation

Comment les interactions physiques font-elles émerger les niveaux hiérarchiques des structures matérielles ?

Le lien dialectique entre émergence d'espace-temps et émergence de matière

Emergence du Vivant

Une nouvelle forme du créationnisme : le principe anthropique

Pourquoi la notion d'émergence d'organisation nous semble indispensable pour comprendre celle de structure en sciences ?

Qu'est-ce que l'émergence de la matière au sein du vide quantique ?

La matière, émergence de structure au sein du vide

Emergence de nouvelles espèces vivantes

Emergence des structures de la matière

Le coeur, ou l'émergence de rythmes issus du désordre

Emergence de l'homme

Qu'est-ce que le réductionnisme

L'auto-organisation ou l'ordre spontanément issu du désordre

La vie, l'homme et la conscience s'opposent-ils aux lois physiques de la matière ?

What is Emergence ?

Particle of matter or emergence of structure in the vacuum

The Ways of Matter to Build New Structures

L'évolution darwinienne des espèces est-elle continue, régulière, progressive, graduelle ?

Robert Paris — 2018-12-06T23:30:00Z

Stephen Jay Gould :

« Si l'on n'invoque pas le changement discontinu par de petites modifications dans les taux de développement, je ne vois pas comment peuvent s'accomplir la plupart des principales transitions de l'évolution. Peu de systèmes présentent une résistance plus grande au changement que les adultes complexes, fortement différenciés, des animaux « supérieurs ». Comment pourrait-on convertir un rhinocéros adulte ou un moustique en quelque chose de foncièrement différent ? »

Comment et pourquoi Darwin a défendu l'hypothèse de la continuité dans l'évolution des espèces et pourquoi et comment le darwinisme contemporain s'en détache tout en conservant l'idée principale de Darwin

Le gradualisme que défendait Darwin :

« Le gradualisme représente peut-être la conviction la plus centrale de Darwin, résidant à la fois au sein de sa pensée et la sous-tendant totalement. Cette notion l'a guidé dans le choix de ses sujets d'étude bien avant qu'il ne se préoccupe de la sélection naturelle et l'a conduit à se pencher sur des thèmes situés largement au-delà de cette dernière. Le gradualisme constitue le cadre explicatif de son premier livre important qui traitait des récifs coralliens (1842) et celui de son dernier ouvrage sur la formation des sols arables et la modification de la topographie par les vers de terre (1881), deux volumes qui ne font pratiquement pas référence à la sélection naturelle. Le principal maître à penser de Darwin, Charles Lyell, avait posé le signe égal entre gradualisme et rationalité. Tous les historiens et les évolutionnistes ont remarqué l'importance centrale du gradualisme, à la fois dans l'ontogenèse (Gruber et Barrett, 1974) et dans la logique (Mayr, 1991) de la pensée de Darwin. (…)

La sélection ne devient créative qu'à la condition d'imprimer une direction à l'évolution, ce qu'elle fait en présidant à la lente et constante accumulation des variations favorables retenues au sein de l'ensemble isotrope des variations. Si le gradualisme n'accompagne pas ce processus de changement, la sélection doit renoncer à ce rôle créatif, et alors le darwinisme ne peut pas rendre compte de l'innovation évolutive. Si d'importantes nouvelles caractéristiques, ou de nouveaux taxa entiers apparaissent grâce à des variations discontinues de grande ampleur, alors la créativité réside dans le genèse de la variation elle-même. La sélection naturelle n'engendre plus désormais l'évolution, et se cantonne dans le rôle d'exécuteur des hautes œuvres éliminant l'inadapté, ne faisant donc que faciliter des changements apparus d'autre façon.

Le gradualisme est donc la conséquence logique de la mise en œuvre de la sélection naturelle sur le mode créatif envisagé par Darwin. Il imprègne aussi totalement la méthodologie génialement inventée par Darwin, parce que la thèse uniformitariste de l'extrapolation ne peut fonctionner si le changement à la plus grande des échelles ne se réalisé pas par la sommation au cours du temps de petites variations, immédiates et appréhendables.

Le gradualisme, pour Darwin, représente une doctrine complexe, présentant différents niveaux de sens, tous interreliés, bien que restant indépendants de certaines façons cruciales. (…)

Au niveau le plus large, le gradualisme est un concept qui soutient simplement qu'un lien historique continu relie des ancêtres et des descendants, sans mention du mode ou du rythme avec lequel s'effectue la transition des uns aux autres. Si les nouvelles espèces apparaissent en tant que création ex nihilo par l'intervention divine, alors qu'il n'y aurait pas de lien unissant des ancêtres et des descendants. Dans ce sens le plus large, l'affirmation du gradualisme revient à celle de l'évolution en tant que fait. Cette assertion était bien entendu vitale pour fonder la révolution promue par Darwin, mais le sens ainsi considéré du gradualisme ne se réfère qu'à l'existence de l'évolution, et ne dit rien de la façon dont elle se déroule ; le lien logique entre gradualisme et sélection naturelle ne peut pas se situer à ce niveau.

Certains évolutionnistes de notre époque ont commis l'erreur de croire que les débats contemporains au sujet du gradualisme portaient sur ce premier sens, de nos jours allant de soi et nullement sujet à controverse… Qui peut penser sérieusement que les partisans de l'équilibre ponctué, ou que n'importe quel scientifique d'ailleurs, voudraient nier la notion de continuité historique d'ancêtres à descendants ? (…)

Par conséquent, ce premier sens, « trop grand », du gradualisme atteste l'existence de l'évolution elle-même (par opposition au créationnisme), mais ne caractérise pas le mécanisme proposé par Darwin, ou pour qui que ce soit d'autre, en matière de changement évolutif.

Nous allons maintenant cerner un sens du gradualisme serrant de près la façon dont procède la sélection naturelle. Cette seconde façon, « juste comme il faut », de comprendre le gradualisme ne porte pas sur la durée que doit prendre une transition, ou sur la variabilité éventuelle de la vitesse du changement. Dans ce second sens, le concept de gradualisme stipule simplement que, en passant d'un état A à un autre B, substantiellement différent, l'évolution doit nécessairement parcourir une longue série d'étapes intermédiaires qui diffèrent insensiblement les unes des autres. En d'autres termes, un ancêtre et un descendant doivent être reliés par une série de changements, chacun se situant dans la gamme de ce que peut édifier la sélection naturelle à partir de la variabilité ordinaire. Sans le gradualisme considéré sous cette forme, de grandes variations sur le mode morphologique discontinu pourraient fournir la force créative du changement évolutif, au lieu que ce rôle revienne à la sélection naturelle. Mais si la minuscule augmentation apportée par chaque étape demeure peu importante par elle-même, alors la capacité créative doit nécessairement résider dans la sommation de ces étapes en quelque chose d'important : or, la sélection naturelle, selon la théorie de Darwin, intervient précisément en tant qu'agent d'accumulation.

Ce sens du gradualisme sous-tend l'invocation souvent formulée par Darwin du vieil aphorisme de Leibniz et de Linné : « Natura non facit saltum » (« la nature ne fait pas de saut »). Cet attachement à ce postulat ne peut que nous frapper comme immodéré et, au regard des normes d'aujourd'hui, comme tellement exagéré. Ainsi Darwin écrit dans « L'Origine des espèces » : « Si l'on arrivait à démontrer qu'il existe un organe complexe qui n'a pas pu se former par une série de nombreuses modifications graduelles et légères, ma théorie ne pourrait certes plus se défendre. ».

Et, de crainte que nous doutions que « ma théorie » se réfère spécifiquement au mécanisme de la sélection naturelle (et non simplement à l'affirmation de l'évolution), Darwin pose souvent un lien explicite entre la sélection comme agent créatif et le gradualisme comme conséquence nécessaire : « Indubitablement, rien ne peut être réalisé par le biais de la sélection naturelle, si ce n'est l'addition de changements infiniment petits ; et si l'on pouvait montrer que (…) les stades de transition sont irréalisables, la théorie s'effondrerait. » (dans Natural Selection, voir Stauffer, 1975, p250).

Et, dans le chapitre de conclusion de l' « Origine des espèces » : « Comme la sélection naturelle n'agit qu'en accumulant des variations légères, successives et favorables, elle ne peut pas produire de modifications considérables ou subites ; elle ne peut agir qu'à pas lents et courts. Cette théorie rend facile à comprendre l'axiome : « Natura non facit saltum ». »

Mais est-il vrai que la théorie de la sélection naturelle « ne pourrait certes plus se défendre » si un seul organe (sans parler d'un organisme entier) pouvait apparaître par des changements de grandes dimensions et discontinus ? Est-il vrai que le darwinisme demande d'obéir à la formulation extrême suivante : « La sélection naturelle n'agit que par la conservation et par l'accumulation d'infimes modifications héréditaires » (« L'Origine des espèces ») (…)

Supposez (comme cela doit arriver souvent) qu'une hétérochronie de développement détermine un changement majeur de forme et de fonction en deux ou trois étapes sans formes intermédiaires. La plupart du temps, la dimension de ces stades peut se situer hors de la « gamme normale » de variation pour la majorité des populations, mais non au-delà des possibilités d'un programme génétique de développement…

La théorie de la sélection naturelle s'effondrerait-elle si les changements sur ce mode étaient fréquents ? Je ne le crois pas. La théorie darwinienne demanderait quelques ajustements et quelques compromis (en particulier elle devrait être plus tolérante sur le non-respect de l'isotropie des variations et prendre beaucoup plus en compte la notion de contrainte interne dans le domaine de la génétique et du développement, mais la sélection naturelle jouirait encore d'un statut bien plus élevé que celui de simple bourreau. Un nouvel organe ne fait pas une nouvelle espèce ; et une nouvelle morphologie doit nécessairement subir un processus d'intégration fonctionnelle (ce qui demande une adaptation supplémentaire et une mise au point fine, probablement élaborée par le biais de la sélection naturelle, quelle qu'ait été l'ampleur de l'étape initiale).

Je pense donc que la défense vigoureuse, voire pugnace, du gradualisme strict par Darwin reflète une prise de position systématique, de portée bien plus vaste que la simple reconnaissance d'un corollaire logique de la sélection naturelle. En fait, je crois que cette conviction forte correspondait à une attitude générale, qui recouvrait l'adhésion à la thèse de Lyell selon laquelle le gradualisme allait de pair avec la rationalité et reflétait aussi le penchant culturel pour le gradualisme à l'époque où la Grande-Bretagne connaissait sa plus grande période d'expansion industrielle et coloniale (Gould, 1984a). Le jugement perspicace de Huxley à propos de l'Origine des espèces résonne encore de nos jours d'un accent de vérité. Dans sa célèbre lettre à Darwin, écrite juste après que cet ouvrage ait été publié, il se disait prêt à « monter sur le bûcher » pour défendre les conceptions de Darwin, mais il y avait aussi avancé sa critique majeure : « Vous vous êtes imposé une difficulté qui était superflue en adoptant avec si peu de réserve la formule « Natura non facit saltum ». » (dans L. Huxley, 1901)

Cependant, Darwin a persisté dans ce sens. Nombreux sont les lecteurs de l' « Origine des espèces » qui ne s'aperçoivent pas qu'une grande partie de ce livre est consacrée à présenter le gradualisme plutôt qu'à défendre la sélection naturelle. Un exemple frappant illustre bien cette assertion : Darwin fait dans cet ouvrage une fameuse (et pratiquement unique) déclaration au sujet de l'évolution humaine ; or, celle-ci mentionne le gradualisme, et non l'évolution naturelle, comme mécanisme ayant augmenté les capacités mentales au cours de l'évolution, et il faudra en tenir compte, nous dit Darwin, dans notre quête socratique pour nous connaître nous-mêmes « La psychologie s'établira sur de nouvelles bases, celles de l'acquisition nécessairement graduelle de toutes les aptitudes mentales, ce qui jettera une vive lumière sur l'origine de l'homme et sur son histoire ».

Le chapitre sur les preuves géologiques, où le lecteur non initié pourrait s'attendre à trouver de puissants arguments en faveur de l'évolution à partir des données les plus directement révélatrices – celles des archives fossiles – révèle en lieu et place de cela une longue argumentation visant (légitimement) à excuser une discordance grave entre les données et la théorie : les archives fossiles sont dominées à première vue par des lacunes et des discontinuités, alors que la théorie de la sélection naturelle demanderait des transitions insensibles. Darwin, avec l'honnêteté qui le caractérise, énonce le problème sans détour ; il évoque brièvement sa méthodologie selon laquelle les étapes successives du changement au cours du temps n'ont pas dû être plus grandes que les différences observées entre les variétés des espèces contemporaines : « Toutes les espèces vivantes, d'après la théorie de la sélection naturelle, se rattachent à la souche mère de chaque genre, par des différences qui ne sont pas plus considérables que celles que nous constatons actuellement entre les variétés d'une même espèce »

Darwin, tout le monde le sait, a résolu cette discordance en qualifiant les archives d'extrêmement imparfaites (tel un livre qui n'aurait plus que quelques pages et seulement quelques lettres préservées sur chaque page), au point que toute continuité véritablement insensible est largement effacée pour donner l'apparence, dans les traces restantes, d'une série de sauts abrupts :

« Pourquoi donc chaque formation géologique, dans chacune des couches qui la composent, ne regorge-t-elle pas de ces formes intermédiaires ? La géologie ne révèle assurément pas une série organique si bien graduée, et c'est en cela, peut-être, que consiste l'objection la plus sérieuse que l'on puisse faire à ma théorie. Je crois que l'explication se trouve dans l'extrême insuffisance des documents géologiques. »

Darwin s'est aussi fait l'avocat de la forme la plus contraignante du gradualisme : selon cette troisième façon de comprendre ce concept, celui-ci ne supposait pas simplement que l'information fût transmise continûment de génération en génération, et pas simplement que le passage entre les innombrables étapes de transition fût insensible. Il demandait aussi que le changement fût graduel même à la plus vaste échelle des temps géologiques et que le mouvement continu (avec des variations de rythme, bien sûr) représentât une caractéristique habituelle de la nature.

Cette acception du gradualisme, aux vastes visées, n'est pas étroitement liée, sur le plan logique, au mécanisme de la sélection naturelle. Le changement pourrait se faire de façon épisodique et brutale, à l'échelle des temps géologiques, mais néanmoins se réaliser par d'insensibles étapes intermédiaires, vues sous l'angle de la succession des générations, car, en vertu du principe crucial relatif aux changements d'échelle, la durée correspondant à la succession des milliers de générations ne représente qu'un petit moment à l'échelle des temps géologiques.

C'est pour cette raison qu'Eldredge et moi-même n'avons jamais considéré que la théorie de l'équilibre ponctué, qui réfute effectivement cette troisième acceptation du gradualisme, mettait en question la capacité créative de la sélection naturelle elle-même (Eldredge et Gould, 1972 ; Gould et Eldredge, 1977, 1993). La théorie de l'équilibre ponctué conteste la théorie de la sélection naturelle sur deux points complètement différents de cette question de la capacité créative de la sélection naturelle, puisque, se fondant sur la configuration géométrique des ponctuations, elle explique les tendances s'exprimant au niveau des clades en fonction du succès différentiel entre espèces (au lieu de faire appel à une extrapolation de l'anagenèse) et souligne la fréquence élevée de la sélection darwinienne s'exerçant exclusivement au niveau des organismes. (…)

Darwin exprime son credo sous la forme d'un résumé concis : « La nature agit uniformément et lentement durant de vastes périodes de temps sur l'ensemble de l'organisation, de toutes les façons pouvant bénéficier à chaque organisme ». Remarquez comment le fondateur de l'évolutionnisme réunit en aussi peu de mots un aussi grand nombre de ses convictions centrales : le gradualisme, l'adaptationnisme, le niveau d'action de la sélection (les organismes).

Mais l'attachement de Darwin à cette troisième façon d'envisager le gradualisme, en tant que mouvement continu et lent à toutes les échelles de temps, s'aperçoit le mieux dans plusieurs erreurs bien apparentes dans l' « Origine des espèces », toutes fondées sur la conviction que le changement s'opère toujours à un rythme régulier (gradualisme dans ce troisième sens) et non sur la conception de transitions insensibles entre étapes intermédiaires, comme le demande véritablement la théorie de la sélection naturelle (gradualisme dans le second sens), ni sur celle de la simple continuité de l'information historique, nécessaire à prouver le fait de l'évolution lui-même (gradualisme dans le premier sens). (…)

Voici un exemple mettant en lumière l'hostilité de Darwin à envisager des épisodes de diversification « explosive » (il invoquait son argument habituel sur l'imperfection des archives fossiles pour nier la façon dont ces épisodes s'observent à l'état brut dans ces dernières et pour en donner ainsi une interprétation qui étalait dans le temps l'apparition des taxa) : Darwin prédit que l'on finirait par montrer que l'explosion cambrienne était un artéfact et que les organismes multicellulaires complexes avaient dû fourmiller tout au long des vastes durées du Précambrien, pour atteindre graduellement la complexité des formes observables à la base du Cambrien…

Les paléontologues ont maintenant de bonnes connaissances sur les êtres vivants du Précambrien. Ceux-ci fourmillèrent, en effet, mais ne comprirent que des formes unicellulaires ou des algues multicellulaires jusqu'à la toute dernière période du Précambrien (à partir de 600 millions d'années avant notre époque) au cours de laquelle se déposèrent les couches du niveau d'Ediacara, peuplées de la faune du même nom. L'explosion de la vie multicellulaire au Cambrien semble aujourd'hui toujours aussi explosive, et d'autant plus explosive que ce phénomène est mis en lumière par l'abondance de la vie précambrienne maintenant connue, et non par un manque de fossiles pouvant être attribué à l'imperfection des archives géologiques.

Darwin, pour sa part, avait prédit que l'existence des organismes multicellulaires remonterait très loin dans le Précambrien. Il a écrit : « Je ne doute pas que tous les trilobites siluriens (cambriens) descendent de quelque crustacé qui doit avoir vécu longtemps avant le Silurien (Cambrien) »

Darwin fit également l'hypothèse, là aussi erronée, que le vertébré ancestral, animal dont le phénotype devait ressembler au Bauplan embryologique commun de tous les vertébrés actuels, avait dû vivre longtemps avant l'aube des temps cambriens : « Il est vain de rechercher des animaux adultes ayant des caractéristiques embryologiques communes à tous les vertébrés tant que l'on n'a pas découvert de strates très loin en dessous des couches siluriennes les plus basses. »

« La sélection naturelle n'agit que par la conservation et l'accumulation de petites modifications héréditaires, dont chacune est profitable à l'individu conservé ; or, de même que la géologie moderne, quand il s'agit d'expliquer l'excavation d'une grande vague diluvienne, de même aussi la sélection naturelle tendra à faire disparaître la croyance à la création continue de nouveaux êtres organisés ou à de grandes et soudaines modifications de leur structure. »

Les trois contraintes posées par Darwin sur la nature de la variation s'inscrivent dans la logique d'un seul et même concept ; la variation n'est qu'un facteur préalable au changement évolutif, lui fournissant seulement un matériau brut et ne lui imposant pas de direction par elle-même, ni ne l'engendrant. L'option en faveur du gradualisme, dans le second sens de l'insensibilité de transition entre les étapes intermédiaires, conduit ensuite à stipuler que le facteur positif de modification procède par minuscules pas. Par conséquent, l'explication d'un changement évolutif donné doit alors consister à spécifier ses mécanismes, ce qui conduit nécessairement à se concentrer sur l'adaptation puisque la nature général du changement répond au modèle gradualiste et que l'on a éliminé la possibilité pour le changement évolutif d'être déterminé de façon interne par la variation elle-même (isotropie des variations). Dans ces conditions, le changement évolutif ne peut, en effet, se réaliser que par l'interaction entre les conditions externes (à la fois biotiques et abiotiques) et le matériau brut équipotentiel constitué par la variation. Et l'ajustement graduel de l'un à l'autre a nécessairement l'adaptation pour résultat primordial. (…) »

Les thèses fondamentales de l'équilibre ponctué de Stephen Jay Gould :

« La théorie de l'Equilibre ponctué ne concerne pas toutes les formes de changement rapide en biologie, se produisant à n'importe quelle échelle ou à n'importe quel niveau. Elle porte sur l'apparition et le déploiement des espèces à l'échelle des temps géologiques. D'autres phénomènes, prenant place à d'autres échelles, sont aussi de type ponctuationniste : c'est le cas, par exemple, des extinctions de masse catastrophiques planétaires déclenchées par la collision de la Terre avec des météorites…

La théorie de l'équilibre ponctué essaie d'expliquer le rôle macroévolutif des espèces et de la spéciation dans le cadre des temps géologiques. Les phases de changement rapide et de stabilité qu'elle décrit se rapportent à l'histoire des espèces individuelles ; et les rythmes et les types de changement qu'elle prend en compte concernent le déploiement de ces histoires individuelles dans un domaine qui nous est familier, celui du « temps profond », autrement dit des temps géologiques, à l'échelle desquels la durée de vie humaine est un infiniment petit absolument impossible à mesurer, et la durée de l'histoire entière de la civilisation humaine par rapport à celle de la phylogenèse des primates comparable à la durée d'un battement de paupière par rapport à celle de la vie humaine…

La conception fondamentale de l'équilibre ponctué comporte trois notions dont il est nécessaire de définir le sens de façon opérationnelle et précise : la stase, la ponctuation et la fréquence relative dominante…

La stase ne signifie pas une « stabilité de granite », autrement dit une totale invariance des valeurs moyennes de tous les traits tout le temps. Dans le contexte macroévolutif de l'équilibre ponctué, il est nécessaire de savoir, par-dessus tout, si le changement morphologique tend ou non à progresser de façon cumulative au long de l'existence géologique d'une espèce et, si oui, quelle fraction de la différence moyenne entre une espèce ancestrale et une espèce descendante peut être attribuée au changement cumulatif subi par l'ancêtre au cours de son évolution anagénétique…

Puisque l'existence de la stase se fonde sur des données, tandis que la ponctuation correspond généralement à une transition qu'il est impossible de détailler par le moyen classique de la distribution des fossiles au fil du temps géologique, il est nécessaire de formuler une définition appropriée de la rapidité… En première approximation, la durée correspondant à un plan de stratification définit la limite pratique imposée à la possibilité de distinguer l'un de l'autre deux phénomènes survenus dans le temps géologique. Tout épisode de spéciation qui se produit en un intervalle de temps correspondant à la durée généralement nécessaire à la réalisation d'un plan de stratification se trouvera ramassé en une seule couche stratigraphique mince, représentant un « instant » à l'échelle des temps géologiques, et ne pourra donc généralement pas être analysé de façon détaillée…

Il faut donc définir les ponctuations par rapport à la durée de la stase des espèces qui en sont issues : car la théorie de l'équilibre ponctué, envisageant le déroulement dans le temps de phases de durée différente, soutient que les espèces acquièrent réellement leurs caractères distinctifs au « moment de leur naissance », et qu'elles le gardent ensuite en stase durant la durée de leur longue existence géologique. Ces questions de durées relatives jouent un rôle important dans la définition des espèces en tant qu'individus darwiniens…

La théorie de l'équilibre ponctué soutient, et c'est sa thèse la plus importante, que cette forme d'évolution est dominante en termes de fréquence relative, et ne dit donc pas seulement que ce phénomène existe… La théorie de l'équilibre ponctué n'affirme pas simplement que ce phénomène existe, mais avance la thèse plus ambitieuse selon laquelle il joue un rôle dominant en tant que forme prise par la macroévolution dans le cadre des temps géologiques…

Eldredge et moi-même avons forgé le terme d'équilibre ponctué dans une communication orale originellement présentée lors d'un colloque intitulé « Modèles en paléobiologie », qui s'est déroulé en 1971 dans le cadre de la réunion annuelle de la Société géologique d'Amérique… C'est ce qui a donné notre article original sur l'équilibre ponctué – Eldredge et Gould, 1972… Un problème nous avait particulièrement agacés, c'était le difficulté de mettre la main sur des séquences gradualistes dans les archives fossiles, afin de pouvoir leur appliquer des techniques statistiques et autres méthodes quantitatives…

Avant que nous ayons proposé la théorie de l'équilibre ponctué, la plupart des paléontologistes pensaient que, pour sa plus grande part, le changement évolutif procédait sur le mode de l'anagenèse, autrement dit par transformation continue au cours du temps d'une population donnée dans son ensemble. C'est pourquoi la plus grande partie des discussions en paléontologie concernant les espèces tournait alors autour d'une question litigieuse, nommément ce qu'on appelle le problème de l'espèce en paléontologie, lequel a sans cesse été remis sur le chantier dans notre littérature (voir Imbrie 1957 ; Weller, 1961 ; McAlester, 1962 ; Shaw, 1969) et a même conduit à des colloques entiers consacrés aux solutions éventuelles (voir Sylvester-Bradley, 1956).

Ce prétendu problème relève plus de la théorie abstraite et des définitions que des faits observés, car il s'appuie sur l'idée selon laquelle l'anagenèse serait dominante dans la réalité. En tout cas, c'est bien dans le cadre du gradualisme qu'il se pose, parce qu'un vrai continuum ne peut être divisé avec certitude absolue en segments auxquels peuvent être attribués des noms distincts. Si une population A change si complètement par le biais de l'anagenèse que l'on se sent obligé de donner à la population en résultant une nouvelle dénomination linnéenne (espèce B), où faut-il placer le point de démarcation entre A et B ? Toute limite de ce genre ne peut être qu'arbitraire…

La théorie de l'équilibre ponctué a adopté une approche radicalement différente : elle a admis que, dans les conditions ainsi définies, il était, en effet, impossible de trouver une limite nette de séparation entre espèce parentale et espèce descendante ; mais elle a alors nié la prémisse empirique précise selon laquelle les nouvelles espèces naissent généralement (ou même souvent) par le biais de l'anagenèse gradualiste.

Au contraire, Eldredge et moi-même avons soutenu que la vaste majorité des espèces naissent à l'issue d'une scission, et que le rythme normal de la spéciation, tel qu'il s'exprime dans les temps géologiques, conduit à l'apparition d'une nouvelle espèce en un instant géologique, celles-ci persistant ensuite de façon prolongée en stase…

Bien entendu, les partisans du gradualisme ne niaient pas que la spéciation se produisit souvent pas scission. Mais ils ne pensaient pas que ce processus de scission jouât un rôle quelconque dans la macroévolution, cela pour trois raisons. Premièrement, ils concevaient la spéciation seulement comme un mécanisme engendrant de la diversité, non comme un facteur de changement de la morphologie moyenne au sein d'un clade (autrement dit, comme un facteur responsable de ce phénomène macroévolutif crucial que sont les tendances évolutives)…

Deuxièmement, ils n'accordaient que peu de place au processus de spéciation (naissance des espèces résultant d'une scission) par rapport à l'anagenèse dans l'ensemble du changement évolutif…

Troisièmement, lorsqu'il leur arrivait d'évoquer un phénomène de spéciation par scission, ils dépeignaient ce processus comme deux épisodes d'anagenèse au-delà de la scission, se déroulant chacun selon le rythme lent caractéristique de cette forme d'évolution. Ainsi, ils n'apercevaient rien de fondamentalement différent dans le changement évolutif réalisé par spéciation. En raison de certains accident de l'histoire, soutenaient-ils, une population se scindait en deux unités séparées, chacune évoluant alors selon le mode anagénétique habituel.

La théorie de l'équilibre ponctué, d'un autre côté, propose que le rythme de réalisation de la spéciation, apprécié à l'échelle des temps géologiques, diffère radicalement de celui de l'anagenèse gradualiste…

Premièrement, la théorie de l'équilibre ponctué assure l'expansion hiérarchique de la théorie sélectionniste au niveau de l'espèce, ce qui permet de dépasser le choix qu'avait fait Darwin de restreindre dans les faits les mécanismes causals de l'évolution au seul niveau des organismes.

Deuxièmement, en définissant les espèces comme les unités fondamentales (ou les atomes) de la macroévolution (autrement dit, comme les entités stables – des individus darwiniens – et non comme des parties arbitrairement délimitées au sein de processus continus), la théorie de l'équilibre ponctué interdit d'expliquer la totalité des aspects à grande échelle de l'évolution par simple extrapolation des résultats de la microévolution obtenus sur des populations locales, à l'échelle du temps humain et au niveau organismisque ou même à des niveaux inférieurs…

En ce qui concerne le rythme évolutif, les équilibres ponctués renversent la vision fondamentale. Il faut abandonner la notion d'un changement constant, qui opérerait sur un rythme bien net et important, et caractériserait l'état normal d'une entité en train d'évoluer. Il faut donc procéder à une révision et voir désormais le changement évolutif sous la forme d'une série de rares épisodes, de durée brève par comparaison à celle des périodes de stase qui les séparent. La stabilité est désormais l'état normal d'un lignage, tandis que le changement est à présent conçu comme un phénomène se produisant rarement et dans une période de temps limitée, mais rendant compte néanmoins de la phylogenèse par le biais d'une série d'épisodes additionnés au cours du temps.

Cette révision fondamentale dans la façon d'appréhender les choses peut trouver des échos dans toutes sortes de domaines, des plus immédiatement pratiques jusqu'aux plus globalement philosophiques.

Dans un cadre concernant plus immédiatement la biologie, la même révision fondamentale dans la façon d'appréhender les choses conduit inéluctablement à mettre l'accent davantage sur le hasard et la contingence que sur la prédictibilité fondée sur l'extrapolation : car l'état ordinaire de stase ne permet guère de savoir quand et comment va se produire la ponctuation suivante, tandis que la nature fractale du gradualisme conduit à penser que les causes du changement à n'importe quel moment peuvent, par extrapolation, permettre de prédire et d'expliquer les vastes effets observés par l'accumulation des petits changements au fil des longues durées…

De nombreuses recherches menées dans le domaine des sciences sociales, des arts et de la littérature, la théorie des révolutions scientifiques de Thomas Kuhn étant la plus connue et la plus influente, ainsi que de nombreux événements de la fin du XXe siècle se sont combinés pour susciter une prise de conscience aigüe du caractère insatisfaisant du gradualisme et de l'acceptabilité générale du changement ponctuationniste, au point d'en faire presque une orthodoxie…

Les données de l'observation scientifique ont aussi contribué au développement de ce mouvement général en fournissant des modèles et des vérifications pratiques à différents niveaux d'analyse et pour plusieurs systèmes. Dans ce cadre, la paléontologie a fourni un apport bien connu, celui d'une théorie d'extinction de masse catastrophique…. »

Extraits de « La structure de la théorie de l'évolution » de Stephen Jay Gould

La dialectique des transitions de phase

Robert Paris — 2018-05-29T22:23:00Z

La dialectique des transitions de phase

Qu'est-ce qu'une transition de phase ?

Qu'est-ce que la dialectique ?

Un lecteur nous écrit :

« Pourtant, la matière n'est pas si dialectique que cela : par exemple, elle se divise en état solide, état liquide et état gazeux et on peut dire qu'elle est ou solide ou (exclusif) liquide ou (exclusif) gazeux, alors que, pour la dialectique, il n'y a pas de « ou exclusif ». On ne peut pas, en conception dialectique hégélienne, répondre « par oui ou par non » à la question est-ce un état ou un autre, mais on le peut pour l'état de la matière. L'univers est fondé sur la matière et la lumière et, là encore, il ne semble pas que la dialectique fonctionne puisqu'on a soit de la matière (fermions) soit de la lumière (bosons) et que les deux obéissent à des lois opposées. Est-on, là aussi, dans du diamétral ou dans du dialectique ? »

Certes, il existe un état solide, avec un saut sans étape intermédiaire pour le passage au liquide et inversement, mais déjà les états liquide et gazeux ne se sont pas révélés aussi séparés et opposés qu'on le pensait autrefois.

Même pour le solide et le liquide, la séparation et l'opposition ne sont pas aussi diamétrales qu'on pourrait le croire. Et cela pour de multiples raisons.

Pour commencer, on peut donner de nombreux exemples de situations où on serait bien en peine de répondre par oui ou par non : est-ce un solide ou (exclusif) est-ce un liquide ?

Commençons par mélanger suffisamment un solide et un liquide, par exemple en prenant un solide en poudre capable de former une pâte avec le liquide, par exemple en prenant de la poudre de noisette (une méthode classique en pâtisserie !). La pâte est à la fois liquide et solide, suivant les propriétés que l'on examine, et, en fait, ni liquide ni solide (un peu comme pour la dualité onde/corpuscule pour laquelle on ne peut pas non plus répondre par un « ou exclusif » à une « question par oui ou par non »).

On peut prendre un autre exemple : la mayonnaise ou n'importe quelle sorte d'émulsion. Elle non plus ne permet pas de répondre par oui ou par non sur la question : solide ou liquide ?

Prenons maintenant la transition à la surface de la mer, entre le liquide-eau et l'atmosphère chargée en eau. Sommes-nous, à la séparation, dans un liquide ou dans un gaz ? Impossible d'y répondre en supprimant l'une des réponses. On est dans les deux et dans aucun des deux ! C'est bel et bien dialectique !

Prenons un liquide dans un état où il est plein de petites bulles. Est-il liquide ou gazeux ?

Prenons maintenant un état de la glace de la zone polaire dans laquelle la mer est pleine de petits glaçons mélangés d'eau. Avons-nous là un solide (la glace) ou un liquide (la mer) ? Les deux et, en même temps, aucun des deux !

Certes, nous sommes accoutumés aux transitions brutales de l'eau qui passe d'un coup de l'état solide à l'état liquide, et d'un autre saut de l'état liquide à l'état gazeux, et inversement. Cependant, dans certaines conditions de températures et de pression et pour certains matériaux, ces transitions brutales n'existent pas et on ne peut pas définir nettement la transition. Et, en mêlant certains matériaux, l'eau elle-même peut se retrouver un solide au-delà de sa température de fusion et est alors dans un état qui avoisine le solide et le liquide.

Et ce n'est pas encore fini : il existe des états intermédiaires entre solide et liquide, comme les plasmas, les fluides supercritiques, les états amorphes, les cristaux liquides, les polyphasiques (comme les émulsions), les verres, les pâtes, les gels, et on en passe…

Même pour l'opposition entre fermions et bosons (disons entre grains de matière et grains de lumière), elle n'est nullement diamétrale. Tout d'abord, les grains de matière sont constamment environnés de grains de lumière et ils en émettent ou en absorbent sans cesse. L'opposition est donc loin d'être diamétrale entre matière et lumière qui sont interdépendants et interconnectés. Sans les grains de lumière, il n'y aurait même pas d'interaction matière-matière puisque les matières (fermions) ont la propriété de ne pas entrer en contact (n'ayant pas le droit d'avoir un même état dans une même position). La matière ne pourrait pas exister sans émettre et absorber de la lumière. Et la lumière ne pourrait pas exister sans être émise par la matière. D'autre part, matière et lumière peuvent parfaitement s'échanger l'un en l'autre. On a donc une opposition qui n'est pas diamétrale et est de type dialectique. Quant à la question de toujours pouvoir répondre par oui ou par non à la question : ou (exclusif) un fermion ou (exclusif) un boson, ce n'est pas possible dans un grand nombre de situations. Par exemple, quand il y a choc très énergétique de deux grains de matière, on ne peut pas dire d'avance ce qui va en sortir : des grains de matière ou des grains de lumière !

Le nuage lui-même, élément fondamental du climat atmosphérique, est déjà une structure dynamique émergente et contradictoire. Il est fondé sur l'eau vapeur et sur l'eau liquide. Les deux sont des phases opposées des états de l'eau. Normalement les deux s'opposent : ou l'eau est sous forme vapeur ou elle est sous forme liquide, sans parler des cas encore opposés où elle est sous forme de cristaux solides. Mais cette opposition directe apparente cache l'interaction permanente, les changements d'états, permanents aussi. C'est d'ailleurs ce qui explique qu'une telle masse d'eau tienne dans l'air en recevant l'énergie du rayonnement solaire. Normalement une telle masse d'eau devrait chuter instantanément du fait de la gravitation. Les gouttes d'eau tombent effectivement mais en tombant elles se réchauffent et vaporisent, remontent et ainsi de suite forment un mouvement collectif qui donne cette impression d'un nuage fixe et stable alors que c'est une structure émergente issue de phénomènes contradictoires se combattant sans cesse : changements d'état, échanges d'énergie, échanges électriques, etc... Ensuite, il y a le lien entre les mers et océans et les nuages. Plus le soleil réchauffe la surface des mers, plus se forment des nuages par vaporisation puis condensation, puis, à nouveau, au sein du nuage des condensations et vaporisations opposées et successives. Mais les nuages, qui sont un produit du réchauffement solaire, ont surtout un effet de refroidissement puisqu'ils bloquent les rayons solaires et les empêchent d'arriver à la surface terrestre. Mais, là aussi, ce phénomène contient en lui-même sa propre contradiction puisque les nuages sont aussi la principale cause du fameux effet de serre et donc de réchauffement car les rayons solaires reçus par la surface terrestre ne sont en partie réémis qu'à un autre niveau d'énergie qui, lui, ne passe pas la barrière des nuages et cette énergie reste donc dans l'atmosphère terrestre. Mais c'est un terrible contresens de faire de cet effet de serre un phénomène sans contradiction interne.

Il n'est plus si courant de dresser un parallèle entre philosophie dialectique (celle de Hegel ou de Marx) et physique de la matière. A l'époque de ces deux grands dialecticiens, l'exemple dialectique qui crevait les yeux était celui des changements d'état de l'eau, en transition entre ses phases solide (la glace ou la neige), liquide et gazeuse (la vapeur d'eau). Les dialecticiens l'avaient pris en exemple parce qu'on y trouvait des changements brutaux et spontanés, dans des expériences accessibles à tous et permettant le raisonnement philosophique sur le mode du changement. On a tous vu un glaçon dans de l'eau liquide, tous vu de la vapeur d'eau s'échappant d'une casserole, tous vu l'eau bouillir et l'eau geler. C'est à la fois courant et étonnant. Car on peut réfléchir sur le caractère à la fois apparemment continu (l'évolution de température) et discontinu (le changement brutal de structure lors de la transition).

On peut alors poser la question : les oppositions entre phases (et leurs propriétés) des états de la matière sont-elles dialectiques (les contraires étant intégrés dans la même structure) ou diamétrales (propres à des dichotomies qui séparent les opposés) ? Le changement est-il intérieur ou produit de l'extérieur ? Cela revient à demander si la nature suit une philosophie du tiers exclus, « ou bien… ou bien… », ou une philosophie dans laquelle les contraires coexistent, se lient entre eux, se transforment sans cesse l'un dans l'autre, sont inséparables…

Cela revient à poser la question : est-ce une action extérieure qui change une phase en son contraire, ou bien est-ce une transformation interne de la structure de la matière sans changement du contenu de la matière elle-même ?

Bien sûr, au premier abord, si on raisonne sur des définitions abstraites au lieu de raisonner sur la dynamique qui les produit, on pourrait dire que le solide s'oppose au liquide ou au gaz par des propriétés différentes qualitativement. Un gaz, ce n'est pas un solide !

Mais la physique nous apprend que la matière, dans son contenu, est restée inchangée. Ce sont exactement les mêmes molécules, les mêmes atomes, sans aucun changement d'aucune sorte de leur contenu, de leurs propriétés, de leurs paramètres internes. La même matière propose donc plusieurs structures possibles et est capable spontanément de sauter d'une structure à une autre. La chaleur ne change que les liaisons entre molécules et pas le contenu des molécules ou leurs propriétés. C'est l'énergie des interactions entre molécules qui est modifiée et qui, à un seuil, transforme la forme de la structure stable des interactions. Non seulement, les molécules peuvent aussi bien se retrouver sous forme solide que liquide ou gazeuse, et elles n'ont pas changé elles-mêmes, mais le changement se réalise spontanément sans apport extérieur. Ainsi, la molécule d'eau (mais ce n'est qu'un exemple) contient aussi bien la potentialité d'être un solide, un liquide ou un gaz. Et on peut même avouer dès maintenant qu'il contient plusieurs structures solides, et plusieurs autres structures que les trois précédentes, des structures « intermédiaires » comme l'état surfondu. Et cependant, il ne faut surtout pas croire qu'un changement d'état passerait continûment par une série d'états intermédiaires. Ce n'est absolument pas le cas : c'est au contraire un exemple typique d'un phénomène décrit par un paramètre apparemment continu d'apport énergétique et de température externe (en interne, la molécule et l'atome ne permettent pas de définir une température !) qui entraîne un changement tout à fait discontinu et même brutal… Tout au plus peut-on trouver finalement un peu plus de continuité dans le changement liquide-gaz (ce sont tous deux des fluides) que dans la transition solide-liquide (changement qualitatif indiscutable, discontinu et brutal). La question, on le notera, est loin de concerner seulement ce type de changements d'état entre solide, liquide et gaz. Les transitions de phase sont un mode de transformation général à la matière. Il concerne non seulement des structures macroscopiques (à notre échelle) comme les états de l'eau, mais aussi les structures microscopiques, quantiques. Il concerne jusqu'à l'astrophysique et à la cosmologie. Le paradigme de la transition de phase concerne toute la physique des changements d'états. Définir le mode de pensée qui guide sa compréhension est donc un objectif scientifique d'importance.

Et ce n'est pas le seul point remarquable : il faut aussi noter que le changement n'est pas un changement unique et univoque. La plupart du temps, les phases coexistent et elles se transforment de manière dynamique l'une dans l'autre en permanence. On peut seulement distinguer s'il y a plus de probabilité de transformations dans un sens que dans l'autre. Par exemple, un glaçon baigne dans de l'eau liquide. Il y a sans cesse de la glace qui fond et de l'eau liquide qui se solidifie. Et les deux se produisent simultanément et concurremment.

Oui, peut-on discuter, mais il finira par y avoir un équilibre stable qui sera soit de la glace soit du liquide, c'est-à-dire qu'on retrouvera l'opposition diamétrale, la dichotomie que l'on prétendait disparue. Ce n'est pas nécessairement vrai : la coexistence des phases peut tout à fait rester durable et même permanente. L'équilibre peut ne jamais être atteint parce que les changements ont lieu dans les deux sens. Les contraires ne se détruisent donc pas de manière inéluctable.

Le plus remarquable est encore le fait qu'à leur niveau, la molécule et l'atome soient incapables de distinguer s'il appartient à un liquide, à un solide ou à un gaz. Cela signifie que la structure n'émerge des interactions qu'à une certaine échelle sans laisser de traces aux échelons inférieurs de la structure hiérarchique de la matière.

Les phases sont donc des modes d'organisation émergeants, bâtis sur la même matière, dans le même état fondamental et possédant les mêmes propriétés, mode d'organisation capable de sauter brutalement d'un état à un autre, en contradiction radicale avec le précédent.

Il n'y a aucun caractère « solide » (matériel) à la structuration des solides sous forme cristalline. Ce n'est rien d'autre qu'un mode d'organisation, une forme !!! Si la forme d'organisation saute, le changement qualitatif se produit immédiatement et on saute du solide au liquide.

Le pire, c'est qu'il existe des situations, rares mais réelles, où on ne peut pas dire clairement si c'est un solide ou un liquide, un liquide ou un gaz, ou encore deux autres types d'états car rien ne les distingue alors ! Cela peut être le cas lors de la transition ou du point triple. Mais cela peut aussi être le cas dans toute une zone de températures et de pressions où l'état n'est plus distinct !!!

On ne peut donc trouver aucune opposition diamétrale entre les états de la matière… Et pourtant, ils s'opposent !!! Leurs propriétés sont très clairement distinctes !!! Il s'agit donc bel et bien d'une opposition de type dialectique, celle où les contraires sont intégrés au sein de la même structure, coexistent et même sont indispensables les uns aux autres.

Voici comment Robert B. Laughlin expose l'affaire dans « Un univers différent » :

« Les états de la matière – dont les plus connus sont le liquide, le gazeux et le solide – sont des phénomènes organisationnels. Beaucoup sont surpris de l'apprendre puisqu'ils paraissent si fondamentaux et familiers, mais c'est la pure vérité… Si l'organisation d'un solide cristallin – l'arrangement ordonné des atomes en réseau – fait faux bond, la rigidité s'évanouit, car sous cette structure-là il n'y a aucun actif physique. La propriété que nous valorisons, c'est l'ordre. Nous préférons, pour la plupart, ne pas penser que nous confions notre vie à un mode d'organisation, mais nous le faisons tous les jours. Les économies, par exemple, sont des phénomènes purement organisationnels…

De plus, si certains aspects des états de la matière sont universels, donc faciles à prévoir, d'autres, comme l'état que l'on a dans telles ou telles conditions, ne le sont pas – l'eau étant un cas particulièrement embarrassant. La glace de l'eau ordinaire présente, au dernier décompte (le chiffre continue d'augmenter avec les dernières découvertes), onze états cristallins distincts, dont aucun n'a été correctement prédit à partir des principes premiers. Le diagramme des phases de l'eau n'est pas encore complètement connu, même expérimentalement. Les controverses sont exposées par Lobban, Finney et Kuhs dans « Nature » (1998) et Franks dans « Water : A Matrix of Life » (2000). Citons : http://www.sbu.ac.uk/water/phase.html et http://www.cmmp.ac.uk/people/finney/soi.html

(…)

Les états sont un cas d'émergence élémentaire et bien étudié, qui démontre de façon convaincante que la nature a des murs d'échelle : les règles microscopiques peuvent être parfaitement vraies mais sans aucune pertinence pour les phénomènes macroscopiques, car ce que nous mesurons leur est insensible ou au contraire trop sensible. Bizarrement, c'est parfois les deux à la fois. Par exemple, il est actuellement trop difficile de calculer à partir de rien quel état cristallin de la glace va se former à une température et sous une pression données, mais il n'y a aucun besoin de calculer les propriétés macroscopiques d'un état donné, parce qu'elles sont entièrement génériques.

On peut mesurer la gravité de ce problème à la difficulté d'expliquer clairement comment on sait que les états sont d'ordre organisationnel. Les preuves se révèlent toujours complexes, indirectes et regrettablement entrelardées de théories – un peu comme celles de la supériorité du produit dans une publicité pour une savonnette ou une voiture. La raison profonde est la même dans les deux cas : le lien logique qui va des réalités de base à la conclusion n'est pas très substantiel. Ce dont nous sommes certains, c'est que les solides cristallins sont des réseaux d'atomes ordonnés – comme le révèle leur tendance à dévier les rayons X à des angles précis -, alors que les liquides et les gaz ne le sont pas. Nous savons aussi que les systèmes composés de petits nombres d'atomes sont régis par des lois du mouvement simples et déterministes et par rien d'autre. Nous savons également que les tentatives pour découvrir à quelle échelle ces lois cessent de fonctionner ou sont supplantées par d'autres lois ont échoué. Enfin, nous savons que les lois élémentaires ont en principe la capacité d'engendrer des états et des transitions d'états en tant que phénomènes organisationnels…

Il y a quantité d'exemples quotidiens de l'exactitude créée par les états. Les liquides, par exemple, ne vont tolérer aucune différence de pression entre un point et un autre, sauf pour celle que cause la gravité. C'est une propriété générale de l'état liquide, quelle que soit la composition du liquide dont il s'agit… L'état liquide a une version électronique, l'état métallique, qui ne tolère aucune différence de tension. L'exactitude de cette propriété des métaux est le principe qui permet la conduction de l'électricité par des fils métalliques… Les états liquide et métallique ont tous deux des versions spéciales à basse température, le superfluide et le supraconducteur, qui ont des comportements exacts encore plus impressionnants.

Mais l'exemple le plus simple d'exactitude émergente est la régularité des réseaux cristallins, l'effet qui, en dernière analyse, assure la rigidité des solides. L'ordre atomique des cristaux peut être parfait à des échelles d'une longueur époustouflante – dans de très bons échantillons, jusqu'à cent millions d'espacements interatomiques…

L'aspect le plus stupéfiant de l'ordre cristallin, c'est qu'il reste exact quand la température monte… Les propriétés qu'on associe normalement aux solides, telles que la forme et l'élasticité, se conservent et ne peuvent être perdues que sur le mode de la « catastrophe »…

Les transitions de la glace, fonte et sublimation, signalent la destruction de l'ordre cristallin et son remplacement par un autre ensemble de comportements exacts collectivement baptisé « hydrodynamique ». Les lois de l'hydrodynamique constituent une codification mathématique précise de tout ce que nous associons intuitivement à l'état fluide, par exemple l'importance de la pression hydrostatique, la tendance à l'écoulement régulier en réaction aux différences de pression, et les règles de la viscosité. Personne n'a jamais réussi à déduire ces lois de principes premiers, bien qu'il soit possible d'avancer des raisonnements très plausibles dans de nombreux cas. Comme pour la plupart des réalités émergentes, nous y croyons parce que nous les observons…

L'émergence de la loi hydrodynamique aux longueurs d'onde élevées explique pourquoi l'onde de compression du son se propage universellement dans les fluides, et pourquoi la force de cisaillement d'un fluide est toujours très exactement de zéro…

Les fluides isotropes ne sont pas le « contraire » des solides, ils constituent l'un des nombreux états possibles autres que le solide… Il y a d'autres états possibles, plus rares : cristal liquide, état hexatique, état incompressible, état supersolide... Ces états bizarres sont rares, mais leur existence est importante, parce qu'elle démontre que les états solide, liquide et gazeux qui nous sont familiers sont des cas particuliers d'une phénomène plus général.

La propriété exacte qui distingue l'eau liquide de la vapeur d'eau est quelque chose d'infiniment plus subtil : leur interface. L'eau et la vapeur paraissent si différentes qu'on imagine mal que les distinguer puisse poser problème, mais parfois c'est difficile. Lorsqu'on augmente la pression de la vapeur au-dessus d'une marmite en train de bouillir (ce qui a pour effet secondaire d'élever la température d'ébullition), la surface tourbillonnante devient de plus en plus difficile à voir et, à une pression critique, elle disparaît. A cette pression-là, le liquide et la vapeur ont perdu leurs identités séparées et on fusionné en un seul état, le fluide, si bien qu'il n'y a pas de surface…

Le phénomène émergent qui distingue les états liquide et gazeux n'est donc pas le développement de l'ordre, mais le développement d'une surface. Comme le réseau d'un solide cristallin ou les lois de l'hydrodynamique dans le fluide, cette surface et les règles de son mouvement deviennent de mieux en mieux définies aux grandes échelles de distance et de temps mais perdent leur signification à la limite opposée. C'est l'effet auquel nous devons les nuages, la pluie et la magnifique violence de la mer. (voir B.J. Mason, « The Physics of Clouds »)

Le fait le plus important, et de loin, de l'organisation d'état est de faire exister les objets. C'est un point délicat qu'il est facile de négliger, puisque nous sommes habitués à penser la solidification en termes d'agglomération de sphères newtoniennes. Mais les atomes ne sont pas des sphères newtoniennes, ce sont des entités quantiques éthérées auxquelles manque la plus centrale de toutes les propriétés d'un objet : une position identifiable. C'est pourquoi les tentatives pour décrire les atomes libres en termes newtoniens ont toujours abouti à des absurdités – on doit conclure, par exemple, qu'ils ne sont ni ici ni là mais simultanément partout. C'est leur agglomération en grands objets qui donne un sens à une description newtonienne des atomes, et non l'inverse… Dans la brisure de symétrie, la matière acquiert collectivement et spontanément une propriété et une préférence qui n'existait pas dans les règles antérieures. Par exemple, lorsque des atomes s'ordonnent en cristal, ils acquièrent des positions privilégiées, mais ces positions n'avaient rien de privilégié avant la constitution du cristal. »

Lucien Sève écrit dans « Sciences et dialectiques de la nature » :

« Qu'entre qualité et quantité il y ait passage conceptuel susceptible de reproduire des passages réels est chose si peu hypothétique qu'existe une discipline scientifique dont c'est tout l'objet, la physique des transitions de phase. (…) L'étude des transitions de phase nous dispense bien des leçons (de dialectique). Etablissant que « la distinction entre liquide et gaz n'est pas absolue » et devient même indécidable dans cet entre-deux de l'ordre et du chaos qu'est le phénomène critique, elle illustre de saisissante façon la pertinence d'une attitude dialectiquement critique envers les dichotomies tranchées de l'entendement, fût-ce celui de la physique classique. Sans doute faut-il préciser que si la dualité du liquide et du gaz recouvre une simple différence de degré dans la rubrique générale des fluides, il en va autrement de la différence qualitative entre liquide et solide. Mais cette distinction ne peut être prise pour absolue, puisqu'existent entre ces deux phases nombre d'états semi-organisés – cristaux liquides, quasi-cristaux, états nématiques et smectiques… -, « matière molle » pour laquelle « le passage du solide au liquide s'effectue sur une plage de températures assez étendues », comme l'écrit de Gennes… Comme l'écrit Hegel, le qualitativement nouveau « n'est pas venu au jour à partir du précédent » mais immédiatement à partir de lui-même. Idée hardie et profonde, qui bouscule la pusillanimité à penser la nouveauté essentielle du nouveau par rapport à ses conditions préalables, et préfigure certains usages contemporains du concept d'émergence. Or, cette question, la science des transitions de phase se l'est posée à son tour dans les termes de la physique. Peut-on expliquer les discontinuités qui s'observent à l'échelle macroscopique par exemple dans la vaporisation d'un liquide à partir de sa structure microscopique ? Se produirait-il une « modification brutale » à la température de transition « dans les interactions entre atomes » dont le changement de phase serait le reflet ? La question, indique Roger Balian dans « Le temps macroscopique », a été définitivement tranchée : « Rien à l'échelle atomique ne distingue l'eau de sa vapeur ou de la glace ; leurs transformations mutuelles ne traduisent qu'un changement d'organisation de l'édifice global, contrôlé seulement par deux paramètres macroscopiques, la température et la pression. »

L'inexistence de contraires diamétraux poussent à voir de la dialectique dans la physique des changements de phase de la matière !

Boukharine écrit ainsi dans « La théorie du matérialisme historique » :

« Hegel parle du passage de la quantité à la qualité. Nous allons l'expliquer par un exemple très simple. Supposons que nous chauffions de l'eau. Aussi longtemps que la température reste inférieure à 100, elle ne bout pas et ne se transforme pas en vapeur. Ses parcelles s'agitent de plus en plus rapidement, mais elles ne surgissent pas à sa surface à l'état de vapeur. Nous n'observons ici qu'un changement de quantité, les parcelles s'agitent de plus en plus rapidement, la température monte, mais l'eau reste de l'eau, avec toutes ses qualités. La quantité change sans cesse, mais la qualité reste la même. Mais lorsque nous avons amené l'eau à la température de 100, c'est-à-dire jusqu'au point « d'ébullition », elle commence à bouillir tout à coup, comme si ses parcelles, qui tournaient avec une vitesse vertigineuse, avaient perdu la tête et sauté à la surface sous forme de billes de vapeur. L'eau cesse d'être eau : elle devient vapeur, gaz. C'est une matière nouvelle, ayant des qualités nouvelles. C'est ici que nous voyons deux particularités principales dans le processus de transformation.
Premièrement, à un certain degré du mouvement, les transformations quantitatives provoquent les changements qualitatifs (ou, comme on dit brièvement : « la quantité se change en qualité ») ; deuxièmement, ce passage de la quantité à la qualité se fait par un bond, la continuité et la « gradualité » étant tout d'un coup troublées. L'eau ne se transforme pas constamment et avec une sage progression d'abord en une « petite » vapeur qui est devenue ensuite « grande ». Elle n'a pas bouilli jusqu'à un certain moment, mais elle s'est mise à le faire aussitôt qu'elle est arrivée à un certain « point ». Et c'est cela qui s'appelle un bond.
La transformation de la quantité en qualité est une des lois essentielles du mouvement de la matière, qu'on peut suivre dans la nature et dans la société, littéralement pas à pas. Suspendez un poids à une ficelle et ajoutez-y peu à peu un poids supplémentaire par petites quantités. Jusqu'à une certaine limite, la ficelle « tient », mais aussitôt que vous aurez dépassé une certaine limite, elle casse instantanément (« par bond »). Condensez la vapeur dans une chaudière. Jusqu'à un certain moment, tout ira bien ; seule, l'aiguille du manomètre (instrument qui indique la pression Je la vapeur) marquera un changement quantitatif de la pression exercée par la vapeur sur les parois de la chaudière. Mais aussitôt que l'aiguille aura dépassé une certaine limite, la chaudière éclatera. La pression de la vapeur aura été un tout petit peu plus grande que la résistance des parois. Jusqu'à ce moment, les changements quantitatifs n'ont pas amené un « bond », un changement qualitatif, mais arrivée à un certain point, la chaudière a éclaté. Plusieurs hommes n'arrivent pas à soulever une pierre, un homme de plus se joint à eux, ils ne la soulèvent pas encore, une faible femme survient et tous ensemble soulèvent la pierre. On a eu besoin ici d'un tout petit supplément de force, et avec lui, on a pu soulever la pierre. Prenons encore un exemple dans le domaine des sentiments humains. Il existe un conte de Léon Tolstoï intitulé Trois pains et une brioche, dont voici le sujet : un homme avait faim et n'arrivait pas à se rassasier ; il mange un pain et a encore faim ; il en mange un autre et a toujours faim ; de même après le troisième ; mais lorsqu'il a mangé la brioche, il sent tout à coup qu'il n'a plus faim. Il se met alors à s'injurier pour ne pas avoir mangé d'abord la brioche : je n'aurais pas eu besoin, dit-il, de manger les trois pains. Cependant, il est clair que cet homme se trompe. Ici aussi, le changement qualitatif, le passage du sentiment de la faim à celui de la satiété, se produit plus ou moins par « bond » (après la brioche). Mais ce changement qualitatif a été, préparé par un changement quantitatif : s'il n'avait pas mangé les pains, la brioche ne l'aurait pas rassasié.
Nous voyons ainsi qu'il est absurde de nier les « bonds » et de parler seulement de la sage progression. En réalité, nous avons affaire aux bonds très souvent dans la nature et le dicton suivant lequel « la nature ne fait pas de bonds » n'est que l'expression d'une crainte des « bonds » dans la société, c'est-à-dire l'expression de la peur des révolutions. »

Lénine expose dans « Matérialisme et empiriocriticisme » la particularité fondamentale de la dialectique dans l'étude de la matière :

« Le matérialisme dialectique insiste sur (...) l'absence de lignes de démarcations absolues dans la nature, sur la transformation de la matière mouvante d'un état en un autre, celui-ci apparemment incompatible de notre point de vue avec celui-là, etc… Aussi singulière que paraisse du point de vue du « bon sens » la transformation de l'éther impondérable (vide) en matière pondérable (masse) et inversement, (...) tout cela ne fait que confirmer une fois de plus le matérialisme dialectique. (...) A notre époque, l'idée de développement, d'évolution, est presque totalement entrée dans la conscience sociale, mais par d'autres voies que celles de la philosophie de Hegel. Cependant cette idée, telle que l'ont formulée Marx et Engels, s'appuyant sur Hegel, est beaucoup plus complète, beaucoup plus riche, que l'idée courante d'évolution. Un développement qui semble reproduire des stades déjà franchis mais les reproduire autrement, sur une base plus élevée (« négation de la négation »), développement pour ainsi dire en spirale et non en ligne droite ; un développement par bonds, par catastrophes, par révolutions ; des « solutions de continuité » ; la transformation de la quantité en qualité ; des impulsions internes à se développer, provoquées par la contradiction, le heurt de forces et de tendances différentes agissant sur un corps donné ou dans les limites d'un phénomène donné ou à l'intérieur d'une société donnée ; une interdépendance et une liaison très étroite, indissoluble, de tous les aspects de chaque phénomène (ces aspects, l'histoire en fait apparaître sans cesse de nouveaux), liaison dont résulte le processus universel du mouvement (...) »

En fait, la dialectique des états de la matière est une dépendance de la dialectique ordre/désordre…

L'astrophysicien Michel Cassé souligne à ce propos dans « Du vide et de la création » que « Les transitions de phase marquent des réorganisations radicales de structure. (...) L'Univers épouse une succession d'états dynamiques. Il est emporté par le changement. (...) L'histoire du refroidissement de l'Univers sera scandé par les transitions fondamentales qui font apparaître sous une forme radicalement nouvelle la matière ou bien les forces qui gouverne son comportement, c'est-à-dire les brisures de symétrie. »

Ce sont des transitions de phase qui ont produit tous les éléments actuellement présent dans l'Univers. Gilles Cohen-Tannoudji l'explique dans "La Matière-espace-temps : « Des transitions de phase s'accompagnant de brisures de symétrie ont différencié les particules et leurs interactions, et produit le germe de toute la variété des structures actuellement présentes dans l'univers. »

« L'évolution de l'univers procède ainsi par brisures de symétrie successives qui se soldent par des transitions de phase, lesquelles bouleversent l'apparence globale du cosmos. »écrit Michel Cassé dans « Dictionnaire de l'ignorance ».

Michel Cassé souligne également dans « Du vide et de la création » que « Les transitions de phase marquent des réorganisations radicales de structure. (...) L'Univers épouse une succession d'états dynamiques. Il est emporté par le changement. (...) L'histoire du refroidissement de l'Univers sera scandé par les transitions fondamentales qui font apparaître sous une forme radicalement nouvelle la matière ou bien les forces qui gouverne son comportement, c'est-à-dire les brisures de symétrie. »

Stuart Kauffman dans « La complexité, vertiges et promesses » :

« Ce qui qualifie un phénomène émergent, c'est une propriété collective qui n'est présente dans aucune des molécules individuelles. Les lois qui gouvernent les systèmes émergents sont en relation avec les lois mathématiques des transition de phase survenant dans de tels systèmes, et plus généralement dans tout ce qui se passe à un niveau supérieur à celui des molécules individuelles. »

« Les physiciens ont été guidés par l'effet collectif par excellence en physico-chimie, la transition de phase. Qu'il s'agisse du simple phénomène de cristallisation de l'eau, de l'aimantation d'un ferro-aimant ou de la formation de paires d'électrons de Cooper responsables de la supraconductivité, le phénomène macroscopique intrinsèquement collectif que constitue ne transition de phase, a les propriétés recherchées. Dans tous les cas, elle se solde par la modification d'une symétrie. (...) La symétrie initiale n'est cependant pas détruite, seulement dissimulée (...) Dans tous ces cas, apparaît une nouvelle propriété macroscopique mesurable directement issue du caractère collectif de la réorganisation des degrés internes de liberté du système. Et enfin, dans tous les cas, la transition a lieu à un seuil critique de température qui est directement lié à une propriété thermodynamique : la tendance d'un système à adopter la configuration correspondant à la minimisation de l'énergie interne. » écrit Edgar Gunzig dans "Le vide".

Les transitions de phase sont maintenant légion dans tous les domaines de la physique (fusion, sublimation, ionisation, solidification, liquéfaction, vaporisation, transition ferromagnétique, hyperfluidité, supraconductivité, états du proton ou du neutrino, histoire du cosmos, passage du microscopique au macroscopique, effet tunnel, transition de phase de la matière nucléaire et de multiples autres ruptures spontanées de symétrie). Les changements brutaux et qualitatifs d'état n'étonnent plus en Physique et ils sont la règle. Les transitions de phase sont devenues une interprétation classique des transformations révolutionnaires de la matière. Elle n'est plus dès lors considérée seulement comme quantitative mais comme une structure qualitative, avec des sauts d'une structure à une autre, comme par exemple les sauts entre les diverses structures de la glace ou de la neige ou celles des cristaux. La matière inerte subit des sauts qualitatifs. On connaît bien les transitions de phase entre états de la matière (solide, liquide, gaz mais aussi plasma ou état granulaire, état superfluide, état ferromagnétique, etc…). Même si la température croît progressivement (par petits bonds), la matière, elle, change brutalement d'état, passant du solide au liquide et au gaz. Ce n'est pas la composition de la « chose » qui détermine l'état mais la structure des interactions. C'est la même molécule d'eau qui participe du liquide, du solide ou du gaz et, pourtant, dans ce passage les lois changent fondamentalement. Pour observer à l'œil nu des changements de structure, on peut suivre par exemple la transformation d'un flocon de neige que les spécialistes appellent une « métamorphose ». Même s'il n'existe pas deux flocons identiques, il y a des types structurels et des sauts de structure et non une évolution lente. Des transitions, la matière en connaît de multiples : transitions d'état électromagnétique d'un matériau, le ferromagnétisme par exemple, transitions d'état de la particule, transitions liées à un choc, etc… A grande échelle, on constate également des transitions d'état. La naissance d'une étoile doit ainsi être considérée comme une transition. Ce qui la caractérise est non seulement le saut mais le changement qualitatif, structurel. Un nuage de gaz et de poussières peut s'agglomérer, mais, lorsque le noyau atteint 12 millions de degrés, des réactions nucléaires en chaîne ont lieu. Les lois au sein d'une étoile ne ressemblent en rien à celles dans le nuage qui lui a donné naissance. Une étoile est née. C'est un nouvel ordre. Les lois de conservation de l'étole ne sont plus les mêmes que celles du nuage. D'autres transitions suivent, à d'autres niveaux seuils de la température, de la taille et de la composition de l'étoile, qui mènent l'étoile vers d'autres réactions nucléaires et d'autres chocs, la supernova finissant par faire exploser l'étoile et constituer des noyaux lourds des derniers éléments chimiques de la classification de Mendeleïev. L'étude des transitions de phase de la matière indique que la relation entre phases (gaz, liquide, solide) est dynamique et non statique. Aucune portion n'est en permanence en état de fluide ou de solide. Les phases s'échangent, se mêlent, échangent de la matière et de l'énergie, constituent entre elles des frontières dynamiques, passent brutalement d'un état à l'autre. Il n'y a entre elles aucune frontière fixe. Un état ne se maintient que par échange avec un autre. La conservation n'est compréhensible que comme produit de la transformation. La compréhension de la dynamique du mouvement et du changement doit intégrer les contradictions. Ce sont elles qui permettent que la dynamique mène à des structure entièrement nouvelles : émergentes.

Pourquoi parler à ce propos de la dialectique de Hegel ?

G.W.F Hegel écrit dans « La Grande Logique » :

« "La nature ne fait pas de sauts" dit-on ; et l'opinion ordinaire, quand il s'agit de comprendre l'avènement ou la disparition, s'imagine, comme nous l'avons vu, les comprendre en se les représentant comme un avènement ou une disparition graduels. Mais il s'est déjà manifesté que les changements de l'être ne sont pas le passage d'une quantité à une autre quantité, mais le passage du qualitatif au quantitatif et inversement, la transition en un autre qui est une interruption du graduel et un changement qualitatif par rapport à l'être déterminé antérieur. L'eau refroidie ne devient pas peu à peu dure, de façon à se gélifier et à durcir peu à peu jusqu'à la consistance de la glace, mais devient dure d'un seul coup ; ayant déjà atteint la température de la glace, elle peut encore conserver son état liquide si elle demeure immobile, mais à la moindre secousse elle passe alors à l'état solide. (...) De la même façon, des Etats, à cause de leur différence de grandeur, tout autre facteur étant égal, acquièrent un caractère qualitatif différent. Les lois et la constitution deviennent autres quand l'étendue de l'Etat et le nombre de citoyens s'agrandissent. Il y a une mesure quantitative de l'Etat au delà de laquelle il s'écroule intérieurement sous la même constitution qui, avant son extension, faisait son bonheur et sa force.. D'une part, la disparition apparaît comme inattendue quand on peut changer la quantité sans toucher à la qualité et à la mesure, - d'autre part, on croit la rendre intelligible par l'idée de gradualité. On se rabat avec tant de facilité sur cette catégorie pour représenter ou pour expliquer la disparition d'une qualité ou de quelque chose, parce que de cette façon la disparition semble s'accomplir devant vos yeux ; en effet, la quantité étant déterminée comme limite extérieure, la transformation purement quantitative se comprend d'elle-même. Mais en fait on n'explique rien ; la transformation est essentiellement le passage d'une qualité en une autre. (...) Ce qui est faux, c'est le comportement ... de notre conscience ordinaire qui considère une quantité comme une limite indifférente seulement... La ruse du concept consiste à saisir un être déterminé par le côté où sa qualité ne semble pas entrer en jeu. »

G.W.F Hegel écrit aussi dans « La Logique » :

« Quand on veut se représenter l'apparition ou la disparition de quelque chose, on se les représente ordinairement comme une apparition ou une disparition graduelles. Pourtant les transformations de l'être sont non seulement le passage d'une quantité à une autre, mais aussi le passage de la quantité à la qualité et inversement, passage qui, entraînant la substitution d'un phénomène à un autre, est une rupture de progressivité… A la base de la théorie de la progressivité se trouve l'idée que ce qui surgit existe déjà effectivement, et reste imperceptible uniquement à cause de sa petitesse. De même, quand on parle de disparition graduelle d'un phénomène, on se représente que cette disparition est un fait accompli, et que le phénomène qui prend la place du phénomène précédent existe déjà, mais qu'ils ne sont pas encore perceptibles ni l'un ni l'autre… Mais, de cette manière, on supprime en fait toute apparition et toute disparition… Expliquer l'apparition ou la disparition d'un phénomène donné par la progressivité de la transformation, c'est tout ramener à une tautologie fastidieuse, car c'est considérer comme prêt d'avance (c'est-à-dire comme déjà apparu ou disparu) ce qui est en train d'apparaître ou de disparaître. »

G.W.F Hegel écrit encore dans « La Science de la Logique » :

« Les modifications de l'être ne consistent pas seulement en ce qu'il y a passage d'une quantité à une autre quantité, mais aussi en ce qu'il y a passage de la qualité à la quantité et vice versa… Chacun des passages de cette dernière sorte constituant une rupture de la continuité et conférant au phénomène un aspect nouveau, qualitativement différent du précédent… C'est ainsi que l'eau que l'on refroidit se solidifie, non point progressivement… mais d'un coup ; refroidie jusqu'au point de congélation, elle demeure liquide si on la maintient en repos, et il suffit alors de la moindre impulsion pour qu'elle se solidifie instantanément… Dans le monde des phénomènes moraux… il se produit d'identiques passages du quantitatif au qualitatif, ou, autrement dit, les différences de qualité se fondent, là aussi, sur des différences quantitatives. C'est ainsi que l'un-peu-moins et l'un-peu-plus constituent la frontière au-delà de laquelle la légèreté cesse d'être légèreté pour se transformer en quelque chose d'absolument autre : en crime… »

Le changement d'état dans la matière

La philosophie dialectique est-elle d'actualité pour la pensée scientifique

Entropie et dialectique

Gradualité et bonds, selon Hegel

Ordre et désordre

Dialectique de l'ordre et du désordre dans la matière

Des cycles désordre-ordre-désordre

La physique de la matière et la philosophie dialectique

« La quantité se transforme en qualité », thèse dialectique

Transitions de phase de l'eau

Qu'est-ce qu'une transition de phase ?

Les sauts qualitatifs des structures de la glace

Les discontinuités révolutionnaires de la matière

Pourquoi l'agitation fait émerger des structures

La hiérarchie d'échelle des états de la matière

La rétroaction d'échelle

Dialectique et matière

La physique de la matière et la philosophie dialectique

Une transition de phase

Dialectique des transitions de phase