Les mathématiques obéissent-elles aux lois des contradictions dialectiques
27 janvier 2013, 15:43
Plusieurs fois dans l’histoire des mathématiques, des contradictions ont provoqué de graves inquiétudes.
Les Grecs ressentirent la découverte de l’irrationalité de la diagonale du carré (autrement dit, que la racine carrée de 2 n’est pas le quotient de deux entiers) comme une contradiction, car ils pensaient implicitement que toute grandeur pouvait être exprimée par une fraction. La diagonale du carré existait géométriquement, mais pas en tant que nombre ! Il fallait définir un autre type de nombre. Cela n’était pas aisé, et pendant des siècles les mathématiciens se méfièrent des extensions de la notion de nombres : ils se replièrent sur la géométrie, et il a fallu plus d’un millénaire pour qu’ils s’en dégagent.
Au XVIIIe siècle, les premières présentations du calcul infinitésimal de Newton et de Leibniz permettaient d’obtenir sans mal une démonstration de 0 = 1 (c’est-à-dire une contradiction). C’est d’ailleurs pour cela que l’évêque Berkeley, fondateur de la doctrine idéaliste, refusait de prendre au sérieux ce nouveau calcul, et disait, non sans humour, que, lorsqu’on croit au calcul des fluxions (nom donné par Newton à sa théorie), il n’est pas difficile de croire aux mystères de la religion. Curieux argument de la part d’un évêque !
Plus tard encore, à la fin du XIXe siècle, la première version de la théorie des ensembles, formalisée par Frege, permettait de mener un raisonnement analogue à celui concernant le barbier qui rase tous les barbiers qui ne se rasent pas eux-mêmes (se rase-t-il lui-même ?). Craignant une contamination de toutes les mathématiques, le grand Henri Poincaré avait proposé de renoncer complètement à la très prometteuse théorie des ensembles.
Plus récemment, certains physiciens utilisaient dans leurs calculs ce qu’ils appellent la fonction d’Heaviside ; cette fonction n’est pas conforme avec ce que l’on considère habituellement comme une fonction. Les calculs auraient amené des contradictions si on les avait pris au pied de la lettre.
Pourtant jamais, au grand jamais, ces absurdités apparentes n’ont entraîné de catastrophes majeures : elles ont, au contraire, été bénéfiques.
Plusieurs fois dans l’histoire des mathématiques, des contradictions ont provoqué de graves inquiétudes.
Les Grecs ressentirent la découverte de l’irrationalité de la diagonale du carré (autrement dit, que la racine carrée de 2 n’est pas le quotient de deux entiers) comme une contradiction, car ils pensaient implicitement que toute grandeur pouvait être exprimée par une fraction. La diagonale du carré existait géométriquement, mais pas en tant que nombre ! Il fallait définir un autre type de nombre. Cela n’était pas aisé, et pendant des siècles les mathématiciens se méfièrent des extensions de la notion de nombres : ils se replièrent sur la géométrie, et il a fallu plus d’un millénaire pour qu’ils s’en dégagent.
Au XVIIIe siècle, les premières présentations du calcul infinitésimal de Newton et de Leibniz permettaient d’obtenir sans mal une démonstration de 0 = 1 (c’est-à-dire une contradiction). C’est d’ailleurs pour cela que l’évêque Berkeley, fondateur de la doctrine idéaliste, refusait de prendre au sérieux ce nouveau calcul, et disait, non sans humour, que, lorsqu’on croit au calcul des fluxions (nom donné par Newton à sa théorie), il n’est pas difficile de croire aux mystères de la religion. Curieux argument de la part d’un évêque !
Plus tard encore, à la fin du XIXe siècle, la première version de la théorie des ensembles, formalisée par Frege, permettait de mener un raisonnement analogue à celui concernant le barbier qui rase tous les barbiers qui ne se rasent pas eux-mêmes (se rase-t-il lui-même ?). Craignant une contamination de toutes les mathématiques, le grand Henri Poincaré avait proposé de renoncer complètement à la très prometteuse théorie des ensembles.
Plus récemment, certains physiciens utilisaient dans leurs calculs ce qu’ils appellent la fonction d’Heaviside ; cette fonction n’est pas conforme avec ce que l’on considère habituellement comme une fonction. Les calculs auraient amené des contradictions si on les avait pris au pied de la lettre.
Pourtant jamais, au grand jamais, ces absurdités apparentes n’ont entraîné de catastrophes majeures : elles ont, au contraire, été bénéfiques.