Les mathématiques obéissent-elles aux lois des contradictions dialectiques
28 janvier 2013, 18:45, par Robert
« Comment passer de la géométrie expérimentale, science physique, à la géométrie idéale, science abstraite ? Mais d’abord n’est-il pas exagéré et paradoxal de parler de science expérimentale à propos des éléments de la géométrie, où l’expérience se réduit, semble-t-il, à tracer des figures plus ou moins inexactes ? Nous y insistons : si l’on se borne pour l’introduction des notions primitives, à des indications intuitives, à une description schématique du monde sensible, dont nos sens nous fournissent une image sommaire, la démonstration géométrique devient en principe la description verbale et simplifiée d’une expérience, que les architectes et les géomètres praticiens ont mille fois exécutée. Un théorème n’est alors pas une construction logique, mais la juxtaposition de quelques connaissances choisies à propos. A proprement parler, le caractère expérimental ne se manifeste donc qu’en seconde analyse. Il apparaît en premier plan sous forme intuitive (…). Comment passer de l’intuitif à l’abstrait, en géométrie ? Peut-on justifier maintenant l’irruption de l’élément logique ? Cet élément ne semble pas essentiellement nécessaire. Ensemble de données expérimentales – approximatives et schématiques – pourquoi la géométrie ne se borne-t-elle pas à constater et à vérifier, et d’où vient le besoin que nous éprouvons de raisonner sur des figures ? D’où vient notre foi en l’excellence de la méthode spéculative, notre croyance qu’en comparant des vues sommaires sur le monde sensible, pourvu que nous pensions logiquement, nous ne connaitrons pas la défaite de la contradiction ? (...) Nous dirons que la géométrie s’est constituée en science abstraite quand, partant des notions fondamentales – dont l’origine est de nature expérimentale ou intuitive – elle s’est érigée par la suite à l’aide de la seule déduction logique, et sans faire plus d’emprunt à l’intuition directe. »
Ferdinand Gonseth dans « Les notions fondamentales des mathématiques »
« Comment passer de la géométrie expérimentale, science physique, à la géométrie idéale, science abstraite ? Mais d’abord n’est-il pas exagéré et paradoxal de parler de science expérimentale à propos des éléments de la géométrie, où l’expérience se réduit, semble-t-il, à tracer des figures plus ou moins inexactes ? Nous y insistons : si l’on se borne pour l’introduction des notions primitives, à des indications intuitives, à une description schématique du monde sensible, dont nos sens nous fournissent une image sommaire, la démonstration géométrique devient en principe la description verbale et simplifiée d’une expérience, que les architectes et les géomètres praticiens ont mille fois exécutée. Un théorème n’est alors pas une construction logique, mais la juxtaposition de quelques connaissances choisies à propos. A proprement parler, le caractère expérimental ne se manifeste donc qu’en seconde analyse. Il apparaît en premier plan sous forme intuitive (…). Comment passer de l’intuitif à l’abstrait, en géométrie ? Peut-on justifier maintenant l’irruption de l’élément logique ? Cet élément ne semble pas essentiellement nécessaire. Ensemble de données expérimentales – approximatives et schématiques – pourquoi la géométrie ne se borne-t-elle pas à constater et à vérifier, et d’où vient le besoin que nous éprouvons de raisonner sur des figures ? D’où vient notre foi en l’excellence de la méthode spéculative, notre croyance qu’en comparant des vues sommaires sur le monde sensible, pourvu que nous pensions logiquement, nous ne connaitrons pas la défaite de la contradiction ? (...) Nous dirons que la géométrie s’est constituée en science abstraite quand, partant des notions fondamentales – dont l’origine est de nature expérimentale ou intuitive – elle s’est érigée par la suite à l’aide de la seule déduction logique, et sans faire plus d’emprunt à l’intuition directe. »
Ferdinand Gonseth dans « Les notions fondamentales des mathématiques »