L’arborescence fractale, un phénomène à l’origine des pierres

Dendrites, croissance et arborescence fractales

L’arborescence fractale, un phénomène à l’origine des pierres

Arbres de pierre, la croissance fractale de la matière, de Vincent Fleury

Nous sommes entourés de formes arborescentes. Qu’un flocon de neige se condense, qu’un cristal d’argent se dépose, qu’un éclair zèbre le ciel, chaque fois le miracle se produit : un arbre apparaît. Les plus étonnants d’entre eux sont sans doute les dendrites ou « arbres de pierre », ces végétations qui gisent au sein de certains minéraux ou qui surgissent au hasard d’expériences de physique.

Jusqu’à la fin du dix-huitième siècle, l’observation de ce phénomène, perçu comme l’indice d’une vie du règne minéral, a captivé des générations entières de savants. Au cours des deux siècles qui ont suivi, les tentatives de formalisation de la notion d’équilibre ont détourné la science de ces formes arborescentes. Bien loin de se conformer aux conditions de l’équilibre – qui reposent, on le sait aujourd’hui, sur l’échange constant de molécules entre ces formes et le milieu environnant -, leur croissance manifeste un déséquilibre : le flux moléculaire ne s’y produit en effet que dans un seul sens. Il a fallu attendre le début des années 1980 et le développement des travaux consacrés aux fractales pour que les dendrites aimantent de nouveau la recherche, à des fins théoriques tout autant que pratiques. (…)

Croissance hors d’équilibre, fractals, systèmes auto-organisés : la physique de la morphogenèse, c’est-à-dire l’étude des causes et des effets de l’apparition spontanée de formes dans la nature est une science en pleine explosion. (…) Ce livre traite de pierres, de métaux, de cellules biologiques, d’amas de bactéries ou bien encore de gouttes en forme d’arbre et, de façon plus générale, de toute la matière arborescente. L’arborescence semble être l’une des formes les plus communes que puisse prendre la matière : que l’on songe aux arbres eux-mêmes mais aussi aux vaisseaux sanguins, aux extensions neuronales, aux éclairs dans le ciel, au givre sur un pare-brise, etc.

Des images en forme d’arbre, de buisson ou de fougère, incrustées sur ou dans des pierres sont assez fréquentes dans le règne minéral (dendragate, chalcédoine ou quartz dendritiques, roches sédimentaires diverses, pierre de Paris…). On les trouve décrites dans les manuels de géologie sous le nom de « dendrites », du grec dendron, qui signifie précisément arbre – on utilise le même mot pour les extensions neuronales qui permettent aux cellules nerveuses de faire des connexions entre elles. C’est la même racine que l’on retrouve dans « dendrochronologie », la datation par les cernes des troncs d’arbres, ou dans la « dendroclimatologie », qui est l’étude des climats par les mêmes techniques.

Certains ont pu passer dans une galerie de minéraux, ou chez un marchand de roches et penser qu’il s’agissait de fossiles, fossiles d’une fougère ou d’un arbuste disparu. (…)

L’étude de ces dendrites nous apprendra que la matière condensée, c’est-à-dire surtout les solides tels qu’on peut vous et moi fouler du pied, n’est pas forcément chose simple, homogène et brillante, comme semblent le montrer les cristaux – rigoureux et ordonnés -, comme l’affirment également, à leur manière, les verres, solides naturels ou artificiels très communs qui ne sont que des pâtes uniformes, ou comme peut le montrer n’importe quel conglomérat trouvé par hasard, au bord d’une route, dans un champ ou ailleurs, dont la structure, peut-être un peu anarchique, n’est pour ainsi dire jamais aussi complexe que celle d’une dendrite. (…)
Dans un article connu seulement de quelques historiens des sciences, M. René Antoine Ferchault de Réaumur (1683-1757) – le savant académicien inventeur du thermomètre en 1730 – traite d’un sujet en apparence risible : « Sur la nature et la formation des cailloux ». Il s’agit d’un Mémoire, paru dans les Histoires et Mémoires de l’Académie royale des sciences en 1721. Pour l’époque, il s’agit d’un sujet qu’on qualifierait de pointu.

Comment se forment les cailloux fut donc, à un moment de l’histoire, une question scientifique extrêmement sérieuse. Cette question, d’abord théorique, de Réaumur aboutira à une application, si l’on ose utiliser ce terme en la circonstance : Bazin présentera quelques années après le Mémoire de Réaumur une « manière de faire un cailloux artificiel » (Académie des sciences, 1739), observation de physique générale dans laquelle il donne une méthode pour faire un caillou. Cette méthode est assez simple et longue à la fois : Bazin a arrosé pendant trois ans une petite boule de terre glaise. Au bout des trois ans, il ouvrit la boule argileuse et trouva en son sein, pour sa plus grande joie, un petit caillou. Cette simple expérience a assuré son nom pour la postérité : Bazin est le créateur du premier gravier artificiel et l’homme qui démontra, par l’expérience, que la matière dont sont faites les pierres est emportée par l’eau. Cette découverte, à tous égards, est sensationnelle.

Si la question est d’importance, au moment où écrit Réaumur, c’est tout simplement parce qu’on ne savait pas (en 1721) comment se formaient les solides, les cailloux, les pierres, les roches, les sables, les cristaux, bref tout ce qui nous entoure, y compris les montagnes, les vallées, les rochers au bord des côtes, sans parler des fonds marins ou des entrailles de la Terre. Les idées ne manquaient pas, mais on n’avait guère de preuves expérimentales à l’appui des théories balbutiantes de la formation des choses. De grands esprits avaient souvent avancé des opinions contradictoires. (…)

S’agissant des cailloux, il faut préciser que le terme, au dix-huitième siècle, désignait surtout les cailloux en silex. Le Mémoire de Réaumur fait suite à la présentation devant l’Académie de cailloux singuliers, aux formes évocatrices ou torturées, qui vont amener ce savant à faire un certain nombre d’observations qui, espère-t-il, « nous donneront quelques nouvelles connaissances sur ce genre de pierre et ce serait toujours quelque chose. En physique, quand on ne veut que du certain, il faut souvent se contenter de peu ». (…)

Bourguet adresse en 1745, dans son Traité des pétrifications, cette superbe dédicace : « L’origine des pierres paraît d’abord en lui-même un sujet peu important ; mais il n’est pas nécessaire de dire à un philosophe tel que vous qu’il l’est infiniment, parce qu’il n’est pas indifférent pour le genre humain qu’il y ait des pierres et que leur origine est nécessairement liée à l’origine même de notre globe. » (…)

A l’époque de Réaumur, on sait déjà, ou plutôt on se doute, que les solides peuvent se former par accumulation très lente de matière, et que cette matière est transportée par l’eau : « Nous n’avons rien de mieux connu sur la production de pierres que l’origine de ces congélations cristallines qui tantôt pendent à la voûte des grottes souterraines, qui tantôt en revêtent les parois, et tantôt en recouvrent le fond. On peut presque suivre à l’œil leur accroissement, du moins est-il incontestable qu’il est dû aux petites parties solides qu’un liquide dépose continuellement. »

A cette époque, on commence à admettre que l’eau transporte de minuscules parties et que « l’assemblage de ces petites parties déposées les unes sur les autres, forme avec le temps des masses qui sont nos pierres… » Le terme de « suc lapidifique », ou « suc pierreux » sera introduit pour désigner l’eau qui transporte ainsi la matière dont sont faites les pierres. C’est une version périmée de ce que nous appelons aujourd’hui une « solution » mais, néanmoins, le suc lapidifique représente un progrès scientifique certain par rapport aux époques qui précédaient, où l’on croyait parfois que les cristaux avaient été créés une fois pour toutes avec la Terre, et qu’il ne s’en formait plus de nouveaux. Les auteurs contemporains de Réaumur tiennent pour acquis que la « matière pierreuse », la chose transportée par le suc lapidifique est un sable extrêmement fin, « d’une finesse inconcevable » dans les termes mêmes de Réaumur. (…)

On aura certainement remarqué, dans l’exposé de Réaumur, l’expression « congélation », pour désigner la formation des cristallisations observées dans certaines grottes. Ce n’est pas un hasard, ni une erreur. Le passage de l’eau liquide à l’eau solide a toujours été l’un des cas les plus connus de solidification. (…) Si Réaumur utilise, semble-t-il à mauvais escient, l’expression « congélation » pour la formation d’une roche que l’on voit croitre « à l’œil », c’est parce que, à son époque, et depuis longtemps, beaucoup pensaient que la solidification des corps et, plus généralement, la formation des solides (dont les cailloux) procédaient exactement de la même façon que la solidification de l’eau (bien qu’on ne sut pas ce qu’était cette façon) ; pis encore, on était souvent convaincu que les cristaux, comme par exemple les cristaux de roche, étaient eux-mêmes faits d’eau, d’une eau solide, devenue si dure au moment de sa solidification qu’elle ne retournerait plus à l’état liquide. (…)

Nicola Steno (1638-1686), ou plutôt Niels Stensen, francisé en Nicolas Stenon est un médecin et anatomiste danois, qui vécut longtemps à Florence, invité comme médecin à la cour par le grand duc Ferdinand II. Il prit l’habitude, pendant les deux premières années de son séjour, de parcourir la Toscane et de réfléchir à la formation des roches et des structures géologiques. Il est le premier à avoir établi une théorie raisonnable de la formation des couches géologiques ainsi qu’une première approche de la cristallisation (par dépôts successifs sur les facettes des cristaux) et de la formation des fossiles, dans un texte magistral : le « Prodrome d’une dissertation sur les corps solides contenus naturellement dans d’autres corps solides ». (…) Le mot même de sédimentation vient de Sténon. En fait, personne ou presque, n’avait pensé avant lui que les terres et les pierres pouvaient se former par une lente accumulation de matière au fond des lits des rivières, et au fond des mers plus tard asséchées. L’origine de cette idée est remarquable, et mérite d’être contée : Sténon était médecin, et de ce fait habitué à observer l’urine dans des fioles. La sédimentation était un terme médical désignant la formation d’un dépôt au fond de la fiole, issu de l’urine du malade. (…)

Sténon, fondant sa démarche sur les observations les plus complètes et les plus sincères, est conduit à affirmer sans hésitation que les solides sont des agrégats de petites particules immobilisées, alors que les fluides sont des paquets de particules en mouvement les unes par rapport aux autres. Il va comprendre la possibilité de mouvements lents et progressifs des particules, d’où la possibilité de pétrification par « diffusion » - dirions-nous aujourd’hui – des minéraux. Puis il passera en revue tous les types de « fossiles » connus, cristaux, pétrifications vraies, pierres figurées, démontrant que nombre de pierres en forme d’animaux ou de plantes sont effectivement des restes d’animaux. (…)

Les dendrites géologiques ressemblent beaucoup à des végétaux, et l’on se demandera encore périodiquement, jusqu’à Daubenton (1716-1800), si elles n’en sont pas. Les livres contemporains qui évoquent les dendrites ont gardé la mémoire de cette controverse dans l’expression « pseudo-fossiles » qu’on lit parfois. Aujourd’hui encore, les marchands de roches ne sont pas toujours très clairs sur la nature des pierres qu’ils vendent.

Ce n’est qu’avec les travaux de Jean-Jacques Scheuchzer, minéralogiste et géologue suisse, que la controverse s’achève véritablement. La Suisse, à la charnière entre le dix-septième siècle et dix-huitième siècle, a donné au monde deux grands savants : Jean-Jacques Scheuzer (et son frère Jean, dont l’œuvre est moins volumineuse) et Cappeller. Il n’est pas étonnant qu’un pays de montagne comme la Suisse ait produit de grands géologues ; il est plus étonnant en revanche qu’on en entende peu parler. (…) Jean-Jacques Scheuchzer, savant et correspondant de diverses académies, va s’intéresser à la véritable nature des dendrites, dont son « Herbarium diluvianum » reproduit plusieurs exemplaires magnifiques à couper le souffle. (…)

Scheuchzer s’interroge sur la morphogenèse des dendrites. Qu’on sache reconnaître qu’une roche porte imprimée une image de plante, et seulement une image, ne lui suffit pas, il veut comprendre comment une telle image peut se former.

Une étude minutieuse de ces branchages « imprimés » sur des pierres lui permettra d’établir des critères discriminant les dendrites des fossiles vrais. Par exemple, si on passe les dendrites au feu, elles disparaissent le plus souvent de la surface de la roche, alors que les vrais fossiles sont pour ainsi dire incrustés dans la pierre et inaltérables ; il remarquera aussi que les branches des dendrites se répètent indéfiniment identiques à elles-mêmes, alors que les vrais fossiles présentent des tiges, des feuilles, parfois des fruits. Enfin, il avancera l’observation que les fossiles de branches réelles présentent souvent des plis et des superpositions, comme si un branchage cassé ou plié s’était pétrifié, laissant une image de feuilles emmêlées. Dans le cas des dendrites géologiques, on observe toujours des branches allant de l’avant : il n’y a pas de retour en arrière, pas de chevauchement, pas de boucles. Cette observation, avec le recul du temps, paraît particulièrement brillante. Enfin, il reconnaît que ces dendrites se forment dans des fissures ou des pores, et là seulement. Les figures de dendrites qu’il donne sont saisissantes de beauté, et méritent à elles seules qu’on n’oublie pas leur auteur. (…) Scheuchzer est le premier savant, à notre connaissance, à avoir proposé une expérience simple de morphogenèse basée sur ce qu’on appelle aujourd’hui la « digitation visqueuse » ou « instabilité de Saffman-Taylor ». (…) Dans la plus sérieuse démarche scientifique expérimentale, Scheuchzer propose l’expérience suivante : si on place un liquide entre deux plaques, et qu’on les écarte, l’air (ou un autre liquide) pénétrant entre les plaques construit naturellement une arborescence extrêmement complexe.

Cette observation sensationnelle, Scheuchzer la doit aux artisans qui polissent le marbre avec des liquides chargés de particules. Répétant lui-même l’expérience, et la présentant devant l’Académie, Scheuchzer énonce une « règle universelle » :

« Chaque fois que l’on peut voir de petits arbres dans des pierres qui se fendent facilement, qui ont l’air d’avoir été peints artificiellement et dont les petites branches se séparent les unes des autres sans jamais s’intersecter, alors, il faut attribuer cette arborescence à l’injection d’un fluide. »

On ne peut être plus clair. L’étude expérimentale et théorique de la morphogenèse de l’injection d’un fluide dans un autre, dont divers auteurs montreront qu’elle produit de superbes arborescences fractales, c’est-à-dire des arbres portant des branches moyennes sur les grandes et des branches plus petites sur les moyennes, etc., ne sera réellement entreprise qu’en 1984, par des équipes comme celle d’Yves Couder, Henri Van Damme ou bien Eschel Ben-Jacob. (…)

L’acte de naissance de la croissance fractale

Le père jésuite Athanasius Kircher (1601-1680), polygraphe, sinologue et théoricien d’à peu près tout, donne dans son monumental « Mundus subterraneus » ce qui, selon nous, est la plus ancienne représentation de croissance électrochimique dendritique expérimentale. (…) Il est extraordinaire que, dès cette époque, les savants aient effectué délibérément des expériences de morphogenèse, dans un souci mêlé de comprendre la forme et la chimie. (…)

La Condamine présente en 1731 devant l’Académie royale des sciences un superbe Mémoire de Chimie, dans lequel il propose une nouvelle « végétation chimique », réalisée entre des plaques de verre ou d’agate, ou d’autres matériaux polis, « une végétation s’étendant à plat sur une surface, sans aucun relief ni aucune épaisseur sensible ».

C’est l’expérience que nous réinventerons deux cent cinquante ans plus tard dans le cadre de l’étude des croissances fractales. (…) Deux remarques essentielles de son auteur :

« Les figures de branchage sont d’ordinaire aussi parfaites que si elles avaient été dessinées avec soin ; avec cette différence, que les ramifications les plus déliées échappent à la meilleure vue et que si on les examine avec une loupe, on en découvrira un grand nombre de plus petites au-delà de celles que l’on pouvait distinguer à la vue simple. »

Cette observation est déjà de nature « fractale ». L’auteur explique ici qu’en agrandissant le dépôt on voit apparaître de nouvelles branches plus petites. (…)

La matière s’organise spontanément. En particulier, l’organisation cristalline de formes régulièrement facettées d’une part, et l’organisation arborescente de branches faites elles-mêmes de branches plus petites (à l’infini) se sont présentées comme les deux morphologies les plus naturelles et les plus étonnantes. Il ressort donc que les mêmes atomes peuvent naturellement prendre en groupe une forme cristalline, ou bien une forme arborescente. (…) Voilà donc ce que nous allons devoir expliquer : que des atomes puissent s’organiser en cristal ou en arbre, et que les mêmes formes, ou presque, naissent dans des circonstances radicalement différentes. (…) Voilà déjà un élément permettant de séparer les croissances arborescentes des croissances cristallines compactes : les croissances cristallines compactes sont lentes, les croissances dendritiques sont rapides. (…)

Nous allons donc décrire, maintenant, ce qui se produit lorsque des atomes s’approchent d’un solide en cours de croissance et s’y déposent. Pour cela, nous partons de la situation la plus simple où des atomes diffusent aléatoirement sous l’effet d’un mouvement brownien et se déposent au contact d’un « germe » initial, ou d’un défaut du milieu de croissance. Dans la réalité, les atomes peuvent diffuser dans l’air (car du gaz qui passe directement à l’état solide), ou dans l’eau (cas du sel qui se dépose à partir d’eau salée), ou bien diffuser les uns autour des autres, de leur milieu liquide vers le milieu solide (cas de l’eau qui gèle).

Dans tous les cas, il faut modéliser le mouvement aléatoire des atomes qui s’approchent de la surface solide qui croît sous nos yeux. On parlera alors d’un mécanisme d’agrégation, limité par la diffusion des atomes. Dans cette expression, le seul terme à définir est celui de « limité par » : il traduit le fait que la croissance du solide est uniquement limitée par le temps que les atomes mettent à diffuser du milieu jusqu’au bord du solide déjà formé où ils se déposent : tant que des atomes arrivent, le solide pousse, si aucun atome ne parvient à la surface, le solide cesse de pousser. C’est bien la diffusion des atomes qui limite l’agrégation.

Le problème est maintenant le suivant : quelle forme adopte le solide au fur et à mesure que le processus d’agrégation limitée par la diffusion se prolonge ?

La façon la plus simple de décrire l’agrégation limitée par la diffusion consiste à la présenter comme la formation d’un tas d’ivrognes. (…)

L’histoire récente montre que, une fois admis dans le cercle des spécialistes qu’un processus aussi simple que l’agrégation limitée par la diffusion pouvait donner des structures arborescentes, on se mit à chercher et à exhiber, dans les contextes les plus variés, des structures de ce type. (…) Expériences d’évaporation, expériences de cristallisation en phase liquide, croissances de bactéries, et bien entendu, croissance électrolytique puisqu’en 1984 le Japonais Mitsuga Matsushita proposa l’hypothèse que la croissance dendritique électrochimique pouvait être liée à l’agrégation limitée par la diffusion. (…)

Comme son nom l’indique, il s’agit d’agrégat (on forme un agrégat en ajoutant peu à peu des particules) limitée par la diffusion, c’est-à-dire un agrégat dont la croissance en chaque point est limitée par le nombre de particules arrivant jusque-là par diffusion (le mouvement brownien aléatoire). Elle est appelée DLA. (…)

La forme de l’arbre, après observation, est la suivante : il y de grandes branches et de petites, et de plus petites, et ainsi de suite jusqu’à l’échelle la plus petite : l’échelle des grains élémentaires.

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