Peut-on fonder mathématiquement la notion de continuité

Une fonction qui n’est continue en aucun point

Une fonction discontinue en un point

Cantor-Dedekind-Hilbert ont voulu, à toute force et passionnément, fonder mathématiquement la notion de continuité et ont démontré… que c’était impossible

Jean Dieudonné dans « Mathématiques vides et significatives » :

« Des mathématiciens ont passé des années de leur vie à essayer de démontrer l’hypothèse du continu, problème qui les a tourmentés pendant très longtemps. Je me souviens d’avoir entendu dire à mon maître Polya, qui le tenait lui-même d’Alexandroff, qu’Alexandroff avait pendant un an travaillé à la démonstration de l’hypothèse du continu et puis qu’il avait arrêté parce qu’il se sentait devenir fou. Il a bien fait. Alors, quand Gödel et Cohen sont venus nous dire qu’il était inutile de nous tracasser les méninges et que jamais nous ne démontrerions ni l’hypothèse du continu ni sa contradiction, nous avons dit : « Ouf ! Quelle veine ! On n’aura plus à s’occuper de cet abominable problème »… Donc, en réalité, il y a là un peu un recul de beaucoup de mathématiciens ; mais pourquoi ce recul ? Dans ma jeunesse, nous étions très enthousiastes de l’école de Cantor… Après Gödel et Cohen, nous savons maintenant … qu’il y a autant de mathématiques que vous voulez… Pour le moment, il semble qu’il n’y ait aucune espèce de raison d’en choisir une plutôt qu’une autre. »

Roger Apéry dans « Mathématique constructive » :

« Trois illusions contribuent à l’adoption du continu classique : la « continuité » des grandeurs physiques, l’intuition géométrique, les constructions mathématiques de Cauchy, Weierstrass, Dedekind ou Cantor. »

F. Gonseth dans « Les fondements des mathématiques » :

« Conclusions - Au courant de l’étude que nous venons de clore, un fait est apparu de façon de plus en plus précise : c’est que la méthode axiomatique – pour nécessaire qu’elle soit – ne peut suffire à fonder la Mathématique sur un terrain d’absolue sécurité. »

(Remarque : Cantor-Dedekind-Hilbert comptaient fonder le continu et l’infini actuel sur la base d’une axiomatique.)

Les plus grands mathématiciens se sont cassés les dents sur la notion de continuité arithmétique, algébrique, géométrique, analytique. Certains essaient encore de nous faire croire qu’elle a été fondée de manière rationnelle mais c’est faux. Certes, les mathématiques utilisent sans cesse la notion de continuité mais ce n’est pas parce qu’elle a été construite de manière solide. C’est parce que l’illusion du continu est une image extrêmement pratique pour mathématiser des situations en les simplifiant. En général, aucune situation réelle n’est pourtant du continu : c’est la moyenne ou la statistique d’un très grand nombre de mesures qui obéit parfois, en lissant les valeurs, à une évolution apparemment continue.

Que veut dire continu et que veut dire discontinu ?

Nous connaissons quelques exemples d’ensembles apparemment continus en mathématiques : la droite des points ou la droite des nombres réels ou encore le plan géométrique ou le plan complexe, les surfaces, les graphiques sans coupure comme la sinusoïde par exemple, les fonctions numériques sans rupture, etc.

Nous connaissons aussi des ensembles discontinus : l’ensemble des nombres entiers ou fractionnaires, tout ensemble discret de points, des pointillés, les fonctions de variables entières ou fractionnaires, etc.

Cependant, on n’a rien dit de la définition de la continuité. Or celle-ci pose de grands problèmes et posera encore problème lorsque les plus grands mathématiciens seront passés dessus, même s’ils ont d’abord cru avoir résolu la question…

La question n’était pas seulement celle du continu mais aussi de l’ « infini actuel » soutenue, pour des raisons théologiques, par Leibniz et que Cantor va faire des pieds et des mains pour étayer sans jamais y parvenir… La religion considère dieu comme un infini actuel ! L’autre notion possible d’infini est celle d’une grandeur qui ne cesse d’augmenter : l’ « infini potentiel » dans lequel l’infini n’est jamais atteint. D’où la nécessité pour Cantor de dénombrer et comparer le nombre d’éléments d’ensembles ayant une infinité d’éléments.

Les mathématiciens devaient reconnaître deux infiniment grands : le dénombrable (c’est-à-dire un ensemble dont l’on peut numéroter les objets par des nombres entiers) et le non-dénombrable (l’ensemble des points de la droite ou l’ensemble des nombres réels). Le non-dénombrable est appelé l’infini du continu. L’ « hypothèse du continu » affirme que le non-dénombrable des nombres réels est le premier infini supérieur à l’infini dénombrable.

Georg Cantor était très sûr pourtant de sa théorie de l’infini, des dimensions et du continu :

« Ma théorie est aussi solide que le roc et toute flèche dirigée contre elle se retournera rapidement contre celui qui l’a lancée. Pourquoi ai-je une telle conviction ? Parce que j’ai étudié tous ses aspects pendant des années examiné toutes les critiques que l’on peut faire aux nombres infinis et, par-dessus tout, parce que j’ai, si l’on peut dire, tiré les racines de cette théorie de la cause première de toutes les choses créées. »

Le mathématicien Roger Apéry, concluant sur l’ensemble de tous ces travaux sur la continuité, contredit cette affirmation rassurante : « La définition du réel par les coupures de Dedekind ou les suites de Cauchy est insuffisante puisque, d’après le théorème de Cohen, l’hypothèse du continu (de Cantor) ou sa négation peut être ajoutée comme axiome (...). »

Voyons comment on en est arrivés là….

L’étude de l’ensemble des nombres a été la pierre angulaire de l’édifice, étude des ensembles des nombres entiers, des nombres fractionnaires, des nombres réels. Ces études ont mené à la notion de dimension d’un ensemble, à la notion d’infini, à la notion de principe de continuité.

Une lettre de Cantor à Dedekind datée du 7 décembre 1873, publiée l’année suivante au Journal de Crellesous le titre « Sur une propriété de la collection de tous les nombres algébriques », annonce la non-dénombrabilité de l’ensemble des nombres réels (on ne peut pas compter à l’aide d’entiers l’ensemble des nombres réels).

Lettre de R. Dedekind à R. Lipschitz du 27 juin 1876 :

« Les principes euclidiens, seuls, sans adjonction du principe de continuité, qui n’est pas contenu en eux, sont incapables de fonder une théorie complète des nombre réels comme rapports de grandeurs. »

Dedekind à Cantor :

« J’ai étudié votre démonstration avec soin et je n’y ai rencontré qu’un détail qui pourrait soulever le doute… »

Dedekind à Cantor :

« Si le feuillet sur le concept du continu vous tombe sous la main, n’oubliez pas de biffer le dernier passage, car il repose sur une erreur… »

Le 20 juin 1877, Georg Cantor, envoie une lettre à son fidèle confident Richard Dedekind. Il lui avoue ses inquiétudes quant à la validité du concept même de dimension.

Dedekind à Cantor :

« Vous êtes obligé d’introduire dans la correspondance une discontinuité à donner le vertige, qui réduit tout en atomes, telle que toute partie continûment connexe, si petite soit-elle, de l’un des domaines a une image complètement déchirée, discontinue. » (juin 1877)

Quant au résultat de la démonstration de Cantor, il n’est pas moins surprenant : il n’y a pas plus de points dans une surface continue que dans une droite continue. Il n’y a qu’un seul cardinal du continu.

Cantor, lui-même, en est surpris écrivant à Dedekind : « Je ne le crois pas. »

La supposition de l’existence du continu mène à de multiples contradictions mais les mathématiciens n’y renonceront jamais tout en admettant que cette existence mathématique elle-même soulève des doutes. Sans parler bien sûr de l’existence du continu dans la nature que la mathématique prétend décrire.

Dedekind le mit en garde, faisant observer, dans une lettre du 2 juillet 1877, que la bijection qu’il avait construite entre le carré et la ligne était « nécessairement partout discontinue », « à donner le vertige.

Dedekind et Cantor allaient conclure toute une correspondance en reconnaissant, entre eux seulement, que la tentative avait échoué et en affirmant que la continuité n’était pas solidement fondée mais que personne ne s’en apercevrait !

Il convient de remarquer que, s’il était indispensable à Cantor de développer une telle conception de l’infini, c’était pour des raisons… métaphysiques et non mathématiques ou scientifiques… Eh oui ! C’est Cantor lui-même qui l’a indiqué.

Cantor :

« Sans un petit grain de métaphysique, il n’est pas possible, à mon avis, de fonder une science exacte. La métaphysique, telle que je le conçois, est la science de ce qui « est », c’est-à-dire ce de ce qui « existe », donc du monde tel qu’il est en soi et pas tel qu’il nous apparaît ».

« La plus haute perfection de Dieu est la possibilité de créer un ensemble infini et son immense bonté le conduit à le créer. »

Comme on le voit, le continu et l’infini sont indispensables non aux mathématiques ou aux sciences mais… à la croyance en dieu !

Roger Apéry dans "Penser les mathématiques" (ouvrage collectif) :

« La doctrine de l’infini actuel soutenue par Leibniz et étendue par Cantor l’a été pour des raisons métaphysiques. »

« Sans un petit grain de métaphysique, il n’est pas possible, à mon avis, de fonder une science exacte. » (Cantor)

« La plus haute perfection de Dieu est la possibilité de créer un ensemble infini et son immense bonté le conduit à le créer. » (Cantor)

« Dans votre concept de transfini ainsi conçu, pour ce que j’en puis voir jusqu’à présent, il n’y a aucun danger pour les vérités religieuses. » (Lettre de Franzelin à Cantor, 26 janvier 1886)

« En 1872, Georg Cantor (1845-1918) rencontre Richard Dedekind (1831-1916) en Suisse et commence avec lui ses travaux sur les nombres irrationnels et sur la théorie des ensembles.
L’intuition de Cantor l’amène à considérer l’axiome suivant : la droite géométrique représente le continu et peut être mise en bijection avec l’ensemble des grandeurs numériques - dans la mesure où chaque point M de la droite correspond à un unique nombre, l’abscisse de M, distance algébrique (+ou-) du point M à un point O fixé, l’origine. Cantor nomme réels (1883) ces grandeurs numériques (rationnels, irrationnels ou transcendants) et s’engage à définir analytiquement l’ensemble noté IR des nombres réels, caractérisé par le continu.

En 1872, Dedekind s’était déjà penché sur la question du continu dans son Stetgkeit und irrationale Zahlen, où il donne la définition d’un ensemble infini : est dit infini tout ensemble qui peut être mis en bijection avec l’une de ses parties - contraposée de l’axiome d’Euclide qui affirme que tout ensemble est plus grand que sa partie, ce qui reste valable pour les ensembles finis. Concernant la construction de l’ensemble continu des nombres réels, l’approche de Dedekind est arithmético-algébrique : il traite toute sorte de problèmes mathématiques en termes de structures. Il part des pré requis suivants :

1) IQ est fermé pour les 4 opérations ;

2) il existe une relation d’ordre total dans IQ ;

3) IQ est dense, c’est à dire qu’il existe au moins un rationnel entre deux rationnels quelconques.

Puis, il effectue des coupures dans IQ et définit ainsi, à l’aide de la relation d’ordre, l’ensemble des irrationnels contenant IQ. C’est la première définition du continu portant sur les nombres, mais elle est difficile à appréhender d’une point de vue intuitif.

L’approche de Cantor est géométrico-analytique : il procède par passage à la limite des suites de Cauchy. L’idée de Cantor est de montrer que les suites de Cauchy non convergentes dans IQ, convergent vers des nombres irrationnels ou transcendants : il complète ainsi l’ensemble IQ par ces nombres et montre donc que toute suite de Cauchy qui converge admet une limite dans IR. Cette démonstration définit non seulement l’ensemble de toutes les grandeurs numériques connues, les nombres réels, mais aussi elle définit la continuité de l’ensemble IR, puisque entre deux nombres réels quelconques, il existe au moins un autre nombre réel, défini comme limite d’une suite de Cauchy convergente. Et c’est en 1883, année de publication des Grundlagen, Fondements d’une théorie générale des ensembles, que Cantor présente sa construction de IR, comme complétion de IQ : La bijection entre la droite réelle et l’ensemble des nombres réels est donc établie. Reste que ce nouvel ensemble définit aussi le continu et que cette notion appelle un approfondissement. Cantor se propose alors de continuer sa construction de la théorie des ensembles, afin de caractériser les propriétés inhérentes aux différents ensembles de nombres (IN, Z, ID, IQ, IR).

La puissance du continu

Son premier travail consiste à nommer le nombre d’éléments contenus dans un ensemble : le cardinal. Il constate que l’ensemble IN des entiers naturels est non seulement infini, au sens de Dedekind, mais qu’il est aussi dénombrable, en ce sens que l’on pourrait dénombrer, compter le nombre d’éléments qu’il contient (dans l’absolu). L’ensemble IN est alors qualifié de dénombrable et il lui assigne le symbole w pour désigner son cardinal. Puis Cantor se met en tête de démontrer que IR n’est pas dénombrable, c’est à dire qu’il n’existe pas de bijection entre IN et IR, ceci afin de caractériser plus précisément le continu de IR comme l’indénombrable, l’indivisible, l’incommensurable.

A cet effet, on peut rappeler l’expérience de Zénon d’Elée lorsque celui-ci décompose ou divise le mouvement, donc la continuité, en instants, de telle sorte à montrer l’impossibilité du mouvement. Dans ce que rapporte Aristote de cette expérience, soulignons que Zénon considérait le continu comme une suite d’instants divisibles et c’est cette conception erronée qui lui fit aboutir à un paradoxe. En effet, le temps s’écoule continûment, chaque instant n’étant pas séparé de l’instant suivant. C’est le continu physique (temps et espace) où le tout et les parties tiennent ensemble, sans possibilité de discrimination, sans trou, sans séparation.

Cantor enchaîne les définitions de sa théorie des ensembles :

1) L’ensemble IN des entiers naturels est infini et est qualifié de dénombrable tout ensemble qui peut être mis en bijection avec IN ;

2) Est dit continu tout ensemble qui n’est pas dénombrable, qui n’a pas de « trou », qui n’est pas divisible, et qui peut être mis en bijection avec l’unique exemplaire à disposition, à savoir IR.

Cantor démontre d’abord que l’ensemble IQ et celui des nombres algébriques sont dénombrables et il soumet à Dedekind une première démonstration (par l’absurde) de la non dénombrabilité de IR en 1873, mais cette démonstration est très compliqué et ne satisfait pas entièrement Cantor (esthétique de la démonstration oblige).

En poursuivant ses recherches sur l’ensemble IR, Cantor emprunte à la géométrie projective (et plus particulièrement à Jacob Steiner, 1796-1863) le terme de « puissance » : deux figures ont même puissance si elles sont en bijection par une projection. Il se propose alors de caractériser précisément la puissance du continu, c’est à dire le cardinal de IR.

Tout d’abord, Cantor établit qu’il n’existe pas de bijection entre IN et l’intervalle [0,1]. Or, IR est en bijection avec l’intervalle [0 ;1] donc il n’existe pas de bijection entre IN et IR et finalement IR est non dénombrable.

Ensuite, il considère tout nombre réel de l’intervalle [0,1] comme une suite infinie d’entiers du type 0,x1x2x3x4 ... . Cette suite x1x2x3x4 ... où chaque xi est un entier, peut être représentée par une partie de IN. Or, si ? est la cardinal de IN, alors l’ensemble des parties de IN, qui s’écrit P(IN), a un cardinal égal à 2 ?

Il en déduit que IR et P(IN) ont même puissance et écrit la puissance du continu, c égal à 2 ? .
C’est en fait en 1893 que Cantor utilisera la notation ? , pour désigner le cardinal de IN ; ? (aleph) est la première lettre de l’alphabet hébreu et désigne également le chiffre 1.

Les nombres transfinis - la suite des aleph

Poursuivant ses travaux, entre deux séjours en hôpital psychiatrique, il affirme qu’ « il n’existe aucun ensemble infini qui ne soit dénombrable ni continu, entendu que la puissance du continu est immédiatement supérieure à celle du dénombrable ». C’est ce que l’on appelle l’hypothèse du continu, qui fera plancher nombre de mathématiciens et qui fera l’objet de d’un des 15 problèmes que Hilbert posera au nouveau siècle.

Pensant pouvoir exhiber d’autres puissances successives de c, Cantor poursuit ses travaux. C’est alors qu’il exhibe, à son grand étonnement, une bijection entre IR et IR x IR et entre [0,1] et [0,1] x [0,1]. Les démonstrations sont très compliquées, mais la rigueur de Cantor ne le fait pas douter qu’il a trouvé là quelque chose de totalement inédit : une surface continue peut donc être mise en bijection avec un segment continu ; la surface, de dimension 2, et le segment, de dimension 1, ont donc même puissance. Avec cette approche géométrique, Cantor fait de la topologie, en ce sens qu’il étudie la possibilité de mettre en bijection une surface et une courbe, et montre que la continuité assure l’invariance de la puissance. A propos de cette découverte, il écrit en 1877 à Dedekind : « Je le vois mais je ne le crois pas », en français dans le texte.

Quant à Cantor, la déception puis la maladie et la mort le contraignent à abandonner sa recherche de la continuité mathématique. L’édifice reste inachevé. Cantor a découvert ce qui se passe lorsqu’on tente de linéariser une série discontinue de changements. Dans une lettre à David Hilbert de septembre 1897, il montre que la tentative de linéariser les nombres a échoué : « Il y a plusieurs années, j’ai attribué le terme « d’infini absolu » à des totalités que nous ne pouvons pas concevoir comme ensembles (...) » Comment passe-t-on des rationnels aux réels ? Y a-t-il un chaînon manquant ? Ou un saut discontinu ? La continuité est-elle bien définie ? La logique algébrique, analytique, géométrique, l’axiomatique des nombres se refusent à répondre. »

Source

En 1883, Cantor écrivit :

"Ne pas simplement considérer l’infiniment grand sous la forme de ce qui croit sans limite, mais également le fixer de façon mathématique par des nombres, cette pensée s’est imposée à moi logiquement, presque contre ma volonté."

Cantor montre que le nombre de points sur une droite est plus infini (transfini, disait-il) que l’infini des nombres entiers.

C’est la « puissance du continu », disait-il.

L’infini a-t-il une réalité, ou bien est-il une fiction utile au calcul comme le pensait Leibnitz ?

Cantor donna une autre idée de l’infini :

le seul ensemble infini ” en acte “, pouvant être équivalent à des parties de lui-même.

Pour finir, Gödel et Cohen ont démontré que l’hypothèse du continu de Cantor appartient à cette sphère des propositions indécidables, non seulement impossibles à démontrer mais indécidable car la négation est tout aussi acceptable que l’affirmation !!!!

La suite

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