Matière et Révolution

Comment finissent les épidémies ? Le chaos déterministe donne-t-il une réponse ? - How do epidemics end ? Does deterministic chaos give an answer ?

Robert Paris — 2021-09-16T22:05:00Z

Comment finissent les épidémies ? Le chaos déterministe donne-t-il une réponse ? - How do epidemics end ? Does deterministic chaos give an answer ?

Bien entendu, on ne se pose pas la question pour rien : chacun se demande comment peut se terminer la pandémie actuelle, celle de covid !!! Cette question se complique par le fait que les variants de covid peuvent avoir des propriétés très différentes les uns des autres. En même temps, les chercheurs ont admis que cela peut être une source d'espoir car il y a une probabilité qu'à un moment, les variations produisent un virus covid qui soit à la fois très propagatif et très peu agressif, dominant ainsi tous les autres variants, remplaçant toutes les sortes de vaccins, en mieux, et donnant finalement une espèce de grippe ou de rhume… Bel espoir mais très hypothétique pour le moment… Il faut compter sur le hasard des mutations, pas sur des mesures de santé !

D'autre part, les lois du chaos déterministe qui déterminent les lois des populations pourraient bien être déterminantes pour piloter la fin des épidémies.

https://www.cirad.fr/les-actualites-du-cirad/actualites/2020/science/covid-19-quand-la-theorie-du-chaos-prevoit-l-evolution-de-l-epidemie

Est-il possible de retrouver les équations qui gouvernent la dynamique d'un système environnemental, par exemple d'une épidémie, exclusivement à partir de séries de mesures ?

La réponse du CNRS :

https://insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/est-il-possible-de-retrouver-les-equations-qui-gouvernent-la-dynamique-dun-systeme

Des auteurs qui pointent en effet le lien des hauts et des bas de la croissance et de la fin des épidémies avec le chaos déterministe et les attracteurs étranges

Il semble bien que le chaos détermiste pilote la dynamique des épidémies.

Le premier à l'avoir souligné est sans doute Robert May.

Une étape dans l'histoire de la notion de chaos a été la publication par le physicien et écologiste Robert M. May, en 1972, d'un article intitulé “Simple mathematical models with very complicated dynamics” (Nature, vol. 261, p. 459). Cet article, sans doute l'un des plus cités lorsqu'il est question de chaos, présente un modèle très simple d'évolution du nombre d'individus d'une population, volontairement le plus simple qu'on puisse imaginer pour décrire la dynamique d'une population : x n + 1 = ax n (1 – x n).
Ce modèle est appelé « application logistique », par référence à « l'équation logistique » introduite par le belge Pierre-François Verhulst en 1846. L'effectif de la population au temps t + 1 dépend bien sûr de la période précédente t. Ce modèle prend en compte par le terme 1 – xn la contrainte liée au « logis » : une population ne peut pas croître indéfiniment sur un territoire donné. Le paramètre a est le taux de croissance effectif. Les valeurs a < 0 et a > 4 du paramètre sont exclues car elles conduisent à des valeurs de la population relative x situées en dehors de l'intervalle acceptable [0,1] car x représente le pourcentage de l'effectif maximum dans le territoire donné. May étudia donc cette évolution pour a variant dans [0,4] et obtint une richesse de comportements de dynamique des populations à l'époque insoupçonnée, certains présentant une « apparence erratique et imprédictible à long terme », et aujourd'hui qualifiés de « chaotiques ». Cet article de May inspira de nombreux travaux, portant entre autres sur les variations cycliques ou chaotiques de populations de pucerons, de sauterelles, de lemmings, de sardines, ou encore de systèmes prédateur-proie (le choix des espèces étudiées est déterminé soit par l'occurrence de phénomènes remarquables, comme les invasions de sauterelles ou les « suicides collectifs » de lemmings, soit par la présence de données fiables et précises sur une longue durée, typiquement plus d'un siècle, fournis par les registres des criées aux poissons, ou ceux des peausseries pour divers couples prédateur-proie, comme les lynx et les lièvres). Mais l'étude du chaos en biologie ne se limite pas à la dynamique des populations, et d'autres domaines d'investigation sont : – l'épidémiologie de certaines maladies infectieuses (rougeole, grippe1) ; – le rythme cardiaque ; – les neurosciences, tant à l'échelle neuronale (enregistrement de l'activité électrique d'un neurone) qu'à l'échelle cérébrale (activité enregistrée par électroencéphalogramme) ; – le métabolisme et les rythmes intracellulaires, observés au niveau de concentrations de certaines molécules (glucose, hormones, ions calcium ou potassium, ...). Ils illustrent et prolongent in vivo les comportements chaotiques manifestés par certaines réactions chimiques2.

Source : « Le chaos en biologie »

« Avec l'épidémiologiste Roy Anderson, May a développé une série de modèles analytiques perspicaces, résumés dans leur livre de 1991 Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control. Leur principale innovation consistait à réduire le problème de la compréhension du pourquoi et du moment des maladies à quelques variables clés. Si, par exemple, le nombre de nouvelles infections d'un cas primaire (le facteur de transmission, R0) dépasse un, la maladie a le potentiel de devenir une épidémie. Anderson et May ont calculé le facteur de transmission efficace si une fraction de la population est immunisée, par exemple à la suite de la vaccination. Cela leur a permis de prédire la proportion de la population qui aurait besoin d'être vaccinée pour éviter la propagation d'une maladie. Ces informations constituent le fondement de notre compréhension de la pandémie de coronavirus, alors que R0 est passé de documents techniques à des bulletins d'information à travers le monde. »

“With the epidemiologist Roy Anderson, May developed a series of insightful analytical models, summarized in their 1991 book Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control. Their key innovation was reducing the problem of understanding why and when diseases spread to a few key variables. If, for example, the number of new infections from one primary case (the transmission factor, R0) exceeds one, the disease has the potential to become an epidemic. Anderson and May calculated the effective transmission factor if a fraction of the population is immune, for instance as a result of vaccination. This allowed them to predict the proportion of the population that would need to be vaccinated to prevent the spread of a disease. These insights form the foundation of our understanding of the coronavirus pandemic, as R0 has moved from technical papers into news bulletins around the world.”
https://www.nature.com/articles/d41586-020-01364-y

Robert May and Roy Anderson, Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control
https://books.google.fr/books?id=HT0--xXBguQC&pg=PP9&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

Vale Robert May, the legendary scientist who helped us understand ecosystems, chaos theory and even pandemics

https://theconversation.com/vale-robert-may-the-legendary-scientist-who-helped-us-understand-ecosystems-chaos-theory-and-even-pandemics-137595

Robert May, Chaos and the dynamics of biological populations
https://www.jstor.org/stable/2398225?seq=1

B. M. Bolker and B. T. Grenfell, Chaos and Biological Complexity in Measles Dynmaics

https://www.jstor.org/stable/49933?seq=1

Andreas Eilersen, Mogens H. Jensen & Kim Sneppen, Chaos in disease outbreaks among prey, Scientific Reports

https://www.nature.com/articles/s41598-020-60945-z

L.F.Olsen, G.L.Truty, W.M.Schaffer, Oscillations and chaos in epidemics : A nonlinear dynamic study of six childhood diseases in Copenhagen, Denmark

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040580988900196

Andrew Jones & Nikolay Strigul, Is spread of COVID-19 a chaotic epidemic ? Chaos, Solitons & Fractals (2021)
https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0960077920307700?via%3Dihub

Hoppensteadt, F. C., Mathematical Theories of Populations : Demographics, Genetics and Epidemics (SIAM, Philadelphia, 1975)
https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/1.9781611970487.ch3

L. F. Olsen and W. M. Schaffer, “Chaos versus noisy periodicity : Alternative hypotheses for childhood epidemics”, Science249(1990), 499–504
https://science.sciencemag.org/content/249/4968/499

Idris Ahmed, Goni Umar Modu[…] & Ibrahim Yusuf, A mathematical model of Coronavirus Disease (COVID-19) containing asymptomatic and symptomatic classes, Results in Physics (2021)
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2211379720321860?via%3Dihub

L. F. Olsen and W. M. Schaffer, Chaos in Childhood Epidemics
https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4757-0623-9_22

Andrew Jones & Nikolay Strigul, Is spread of COVID-19 a chaotic epidemic ? Chaos, Solitons & Fractals (2021)
https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0960077920307700?via%3Dihub

Dirk Stiefs, Ezio Venturino and Ulrike Feudel, Evidence of chaos in eco-epidemic models
https://www.aimsciences.org/article/doi/10.3934/mbe.2009.6.855

L. Billings & I. B. Schwartz, Journal of Mathematical Biology,Exciting chaos with noise : unexpected dynamics in epidemic outbreaks
https://link.springer.com/article/10.1007/s002850100110

Stability or Chaos in Discrete Epidemic Models, Kenneth L.Cooke Daniel, F.Calef Eric V.Level
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780124341500500138

Detecting Nonlinearity and Chaos in Epidemic Data, S Ellner, AR Gallant, J Theiler

https://books.google.fr/books?hl=fr&lr=&id=MZRkdfOBylYC&oi=fnd&pg=PA229&dq=epidemic+and+chaos&ots=afeDW5XEQg&sig=2EwQNFxuV_tVrU3zzWB2dmsBtd0#v=onepage&q=epidemic%20and%20chaos&f=false

S. Mangiarotti, M. Peyre, Y. Zhang, M. Huc, F. Roger, and Y. Kerr, Chaos theory applied to the outbreak of COVID-19 : an ancillary approach to decision making in pandemic context
https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC7231667/

Autres lectures

Sud Ouest

https://www.sudouest.fr/sante/le-coronavirus-peut-il-devenir-un-jour-un-simple-rhume-1266965.php

Futura sciences
https://www.futura-sciences.com/sante/actualites/coronavirus-pourrait-terminer-epidemie-coronavirus-81020/

The Conversation

https://theconversation.com/voici-comment-la-covid-19-pourrait-devenir-un-simple-rhume-154813

CNRS : La théorie du chaos appliquée à l'épidémie de Covid-19
https://www.insu.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/la-theorie-du-chaos-appliquee-lepidemie-de-covid-19

Mathématiques et pandémie
https://www.florilege-maths.fr/fiche/mathematiques-et-pandemie/

Cirad

https://www.cirad.fr/les-actualites-du-cirad/actualites/2020/science/covid-19-quand-la-theorie-du-chaos-prevoit-l-evolution-de-l-epidemie

Youtube

https://www.youtube.com/watch?v=Z27HG2dtgck

Le Temps
https://labs.letemps.ch/interactive/2020/quiz-pandemies/

France Culture
https://www.franceculture.fr/histoire/comment-se-terminent-les-epidemies

RCF Radio

https://rcf.fr/vie-quotidienne/comment-meurent-les-epidemies

LCI

https://www.lci.fr/sante/coronavirus-covid-19-comment-vivent-et-meurent-les-epidemies-2146851.html

France Info

https://www.francetvinfo.fr/sante/maladie/ebola/sras-peste-noire-ebola-comment-meurent-les-epidemies_722095.html

Marianne

https://www.marianne.net/societe/covid-19-et-au-fait-comment-se-terminent-les-epidemies

Science et Avenir

https://www.sciencesetavenir.fr/sante/comment-se-terminent-les-epidemies_146074

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https://da-dk.facebook.com/franceculture/videos/comment-se-terminent-les-%C3%A9pid%C3%A9mies/245623736594416/

C News

https://www.cnews.fr/france/2020-07-29/coronavirus-vaccins-traitements-immunite-comment-se-terminent-les-epidemies-983094

Matière et Révolution

https://www.matierevolution.fr/spip.php?breve1132

PositivR
https://positivr.fr/comment-s-arrete-une-epidemie/

Arc Info

https://www.arcinfo.ch/dossiers/coronavirus/articles/coronavirus-comment-se-terminent-les-epidemies-939470

ICI Québec
https://ici.radio-canada.ca/nouvelle/1776132/pandemie-un-an-covid-19-histoire-virus-grippe-variole-cholera-peste-mortalite

RTL

https://www.rtl.fr/actu/bien-etre/coronavirus-comment-disparait-une-epidemie-7800534490

L'Express

https://www.lexpress.fr/actualite/sciences/comment-les-pandemies-prennent-elles-fin_2126040.html

Le Nouvel Obs

https://www.nouvelobs.com/coronavirus-de-wuhan/20200322.OBS26421/de-la-peste-au-coronavirus-7-choses-a-savoir-sur-l-histoire-des-epidemies.html

Le Parisien

https://www.leparisien.fr/societe/sante/coronavirus-2019-ncov-comment-une-epidemie-prend-elle-fin-31-01-2020-8249091.php

Orange

https://actu.orange.fr/societe/videos/comment-une-pandemie-prend-elle-fin-CNT000001q9l2N.html

Dialectique du chaos déterministe - Dialectical and deterministic chaos

Robert Paris — 2021-08-09T22:05:00Z

Dialectique du chaos déterministe - Dialectical and deterministic chaos

ASPECTS OF DIALECTICS AND NONLINEAR DYNAMICS

Cambridge Journal of Economics, May 2000, vol. 24, no. 3,

J. Barkley Rosser, Jr.

Department of Economics

James Madison University

Harrisonburg, VA 22807 USA

April, 1998

DIALECTICS AND NONLINEAR DYNAMICS

Abstract

Three principles of dialectical analysis are examined in terms of nonlinear dynamics models. The three principles are the transformation of quantity into quality, the interpenetration of opposites, and the negation of the negation. The first two of these especially are interpreted within the frameworks of catastrophe, chaos, and emergent dynamics complexity theoretic models, with the concept of bifurcation playing a central role. Problems with this viewpoint are also discussed.

I. Introduction

Among the deepest problems in political economy is that of the qualitative transformation of economic systems from one mode to another. A long tradition, based on Marx, argues that this can be explained by a materialist interpretation of the dialectical method of analysis as developed by Hegel. Although Marx can be argued to have been the first clear and rigorous mathematical economist (Mirowski, 1986), this aspect of his analysis generally eschewed mathematics. Indeed some (Georgescu-Roegen, 1971) argue that the dialectical method is in deep conflict with arithmomorphism, or a precisely quantitative mathematical approach, that its very essence involves the unavoidable invocation of a penumbral fuzziness that defies and defeats using most forms of mathematics in political economy.

However, this paper will argue that nonlinear dynamics offers a way in which a mathematical analogue to certain aspects of the dialectical approach can be modelled, in particular, that of the difficult problem of qualitative transformation alluded to above. This is not the entirety of the dialectical method, which remains extremely controversial and redolent with remaining complications. We shall not attempt to either explicate or defend the entirety of the dialectical approach, much less resolve its various contradictions, although we shall note how some of its aspects relate to this more specific argument.

In particular, we shall discuss certain elements of catastrophe theory, chaos theory, and complex emergent dynamics theory models that allow for a mathematical modelling of quantitative change leading to qualitative change, one of the widely claimed foundational concepts of the dialectical approach, and a key to its analysis of systemic political economic transformation. These approaches are all special cases of nonlinear dynamics, and their special aspects which allow for this analogue depend on their nonlinearity. We note that there are some linear models that generate discontinuities and various exotic dynamics,e.g. models of coupled markets linked by incommensurate irrational frequencies. However, we shall not investigate these examples further. In most linear models, continuous changes in inputs do not lead to discontinuous changes in outputs, which will be our mathematical interpretation of the famous quantitative change leading to qualitative change formulation.

Part II of this paper briefly reviews basic dialectical concepts. Part III discusses how catastrophe theory can imply dialectical results. Part IV considers chaos theory from a dialectical perspective. Part V examines some emergent complexity concepts along similar lines, culminating in a broader synthesis. Part VI will present conclusions.

II. Basic Dialectical Concepts

In a famous formulation, Engels (1940, p. 26) identifies the laws of dialectics as being reducible to three basic concepts: 1) the transformation of quantity into quality and vice versa, 2) the interpenetration of opposites, and 3) the negation of the negation, although Engels's approach differs from that of many others on many grounds (Hegel, 1842; Georgescu-Roegen, 1971; Ilyenkov, 1977; Habermas, 1979). Whereas Marx largely used these concepts to analyze historical change, Engels drew on Kant and Hegel to extend this approach to science. Although his discussion in “The Dialectics of Nature” was reasonably current with regard to science for the time of its writing (the 1870s and early 1880s), much of its content is seen to be scientifically inaccurate by today's standards, and many of its examples thus hopelessly muddled and wrongheaded. Furthermore, the arguments of this book would later be used to justify the ideological control and deformation of science under Stalin and Khrushchev in the USSR, most notoriously with regard to the Lysenkoist controversy in genetics.1

For both Marx and Engels (1848), the first of these was the central key to the change from one mode of production to another, their historical materialist approach seeing history unfolding in qualitatively distinct stages such as ancient slavery, feudalism, and capitalism. Engels (1954, p. 67) would later identify this with Hegel's (1842, p. 217) example of the boiling or freezing of water at specific temperatures, qualitative (discontinuous) leaps arising from quantitative (continuous) changes. In modern physics this is a phase transition and can be analyzed using spin glass or other complexity type models (Kac, 1968). In modern evolutionary theory this idea has shown up in the concept of punctuated equilibria (Eldredge and Gould, 1972), which Mokyr (1990) and Rosser (1991, Chap. 12) link with the Schumpeterian (1934) theory of discontinuous technological change. Such phenomena can arise from catastrophe theoretic, chaos theoretic, and complex emergent dynamics models.

The interpenetration of opposites leads to some of the most controversial and difficult ideas associated with dialectical analysis. Implicit in this idea are several related concepts. One is that of contradiction, and the argument that dynamics reflect the conflict of contradicting opposites that are simultaneously united in their opposition. According to Ilyenkov (1977, p. 153), We thought of a dynamic process only as one of the gradual engendering of oppositions, of determinations of one and the same thing, i.e. of nature as a whole, that mutually negated one another.

Setterfield (1996) notes that contradictions may be logical in nature or between real conflicting forces, with Marx probably favoring the latter view, although it is difficult to distinguish genuine dialectical contradictions from mere differences. For Marx and Engels (1848) these real conflicting forces were the classes in conflict over control of the social surplus and of the means of production, although they also argued, as is laid out more fully in Marx (1977), that a crucial contradiction is between the forces and relations of production, united in the mode of production. This in turn fundamentally arises from the evolution of the contradiction between use-value and exchange value within the commodity itself, yet another union of conflicting opposites.

Another interpretation is that this unity of opposites implies a negation of the idea of the excluded middle in logic. Thus, both A and not A can simultaneously be true. Georgescu-Roegen (1971) makes much of this aspect in his denigration of arithmomorphism, and interprets this as meaning that between two opposites there is penumbra of fuzziness in their boundary in which they coexist and interpenetrate, much as water and ice coexist in slush (Ockenden and Hodgkins, 1974). Such an approach can be dealt with using fuzzy logic (Zimmermann, 1988), which in turn ultimately relies on a probabilistic approach. Georgescu-Roegen (1971, pp. 52-59) further argues that the probabilistic nature of reality itself is evidence of the fuzzily dialectical nature of reality in that truth criteria in a probabilistic world are simply arbitrary. This leads him to argue that there is a deeper contradiction between continuous human consciousness and discontinuous physical reality, discrete at the quantum level. Rosser (1991, Chap. 1) argues that this is a matter of perspective or the level of analysis of the observer.

Engels (1940, pp. 18-19) confronted the contradiction between the apparently simultaneous acceptance of discontinuity arising from the idea of qualitative leaps and of continuity arising from the fuzziness implied by the interpenetration of opposites in the dialectical approach. He dealt with this by following Darwin (1859) in accepting a gradualistic view of organic evolution in which species continuously change from one into another, while arguing that in human history, the role of human consciousness and choice allow for the discontinuous transformation of quantity into quality as modes of production discontinuously evolve.

Finally there is the idea of wholes consisting of related parts implied by this formulation. For Levins and Lewontin (1985) this is the most important aspect of dialectics and they use it to argue against the mindless reductionism they see in much of ecological and evolutionary theory, Levins (1968) in particular identifying holistic dialectics with his community matrix idea. This can be seen as working down from a whole to its interrelated parts, but also working up from the parts to a higher order whole. This latter concept can be identified with more recent complex emergent dynamics ideas of self-organization (Turing, 1952; Wiener, 1961), autopoesis (Maturana and Varela, 1975), emergent order (Nicolis and Prigogine, 1977, Kauffman, 1993), anagenesis (Boulding, 1978; Jantsch, 1979), and emergent hierarchy (Rosser, Folke, Günther, Isomäki, Perrings, and Puu, 1994; Rosser, 1995). It is also consistent with the general social systems approach of the dialectically oriented post-Frankfurt School (Luhmann, 1982, 1996; Habermas, 1979, 1987; Offe, 1997).

Indeed, even some Austrian economists have emphasized self-organization arguments, with Hayek (1952, 1967) developing an emergent complexity theory based on an early version of neural networks models and eventually (Hayek, 1988, p. 9) explicitly acknowledging his link with Prigogine and with Haken (1983). Lavoie (1989) argues that markets self-organize out of chaos. Sciabarra (1995) argues that Hayek in particular uses a fundamentally dialectical approach.

Finally, the negation of the negation has also been a very controversial and ideologically charged concept. It represents the combining of the previous two concepts into a dynamic formulation: the dialectical conflict of the contradictory opposites driving the dynamic to experience qualitative transformations. Again, there would appear within Marx and Engels to be at least two incompletely integrated ideas. On the one hand there is the idea of a sequence of affirmation, negation and the negation of the negation or thesis, antithesis, synthesis, as described by Marx (1992, p. 79). This implies a historical sequence of alternating stages, with Engels (1954, p. 191) suggesting the alternation of communally owned property in primitive societies, followed by privately owned property later, with a forecasted return to communally owned property under socialism in the future.2 On the other hand, in Marx and Engels (1848) this takes the form of one class being the thesis, the opposed class during the same period and mode of production being the antithesis, and the new mode of production with its new class conflict being the synthesis. We shall not attempt in this paper to resolve this contradiction, nor shall we attempt to model this explicitly in our mathematical approach.

III. Catastrophe Theory and Dialectics

The key idea for analyzing discontinuities in nonlinear dynamical systems is bifurcation, and was discovered by Poincaré (1880-1890) who developed the qualitative theory of differential equations to explain more-than-two-body celestial mechanics. Consider a general family of n differential equations whose behaviour is determined by a k-dimensional control parameter , such that

dx/dt = f(x); x  Rn,   Rk, (1)

with equilibrium solutions given by

f(x) = 0. (2)

Bifurcations will occur at singularities where the first derivative of f(x) is zero and the second derivative is also zero, meaning that the function is not at an extremum, but is rather at a degeneracy. At such points structural change can occur as an equilibrium can bifurcate into two stable and one unstable equilibria.

Catastrophe theory involves examining the stable singularities of a potential function of (1), assuming that there is a gradient. Thom (1975A) and Trotman and Zeeman (1976) determined the set of such stable singularities for various dimensionalities of control and state variables. Arnold, Gusein-Zade, and Varchenko (1985) generalized this analysis to higher orders of dimensionalities. These singularities can be viewed as points at which equilibria lose their stability with the possibility of a discontinuous change in a state variable(s) arising from a continuous change in a control variable(s).

A catastrophe form that shows most of the phenomena occurring in catastrophe models is that of the three dimensional cusp catastrophe, shown in Figure 1. In this figure J is the state variable and C and F are the control variables. Assuming that the splitting factor C is sufficiently large, continuous variations in F can lead to discontinuous changes in J. The intermediate sheet in Figure 1 represents an unstable set of equilibria points. Behaviour observable in such a dynamical system can include bimodality, inaccessibility, sudden jumps, hysteresis, and divergence, the latter arising from variations of the splitting factor C.

For René Thom this becomes the mathematical model of morphogenesis, of qualitative transformation from one thing into something else, following the analysis of D'Arcy Thompson (1917) of the emergence of organs and structures in the development of an organism. Furthermore, Thom (1975B, p. 382) explicitly links this to dialectics, albeit of an idealist sort:

Catastrophe theory...favors a dialectical, Heraclitean view of the universe, of a world which is the continual theatre of the battle of between logoi, between archetypes.

There is a serious criticism which can be joined of this view, although we tend to favor this view in this paper. It is the anti-arithmomorphic dialectic position as enunciated by Georgescu-Roegen (1971) which would argue that all we are seeing in such models is discontinuous changes in variables or functions and not a true qualitative change. The latter would presumably be something beyond the ability of mathematics to describe. It would not be simply a change in function or values of existing state variables, but the emergence of a completely new variable or even a new function or set of functions and variables. But at a minimum such structural changes imply qualitatively different dynamics, even if the variables themselves are still the same, in some sense.

Another variation on this latter point arises from considering the phenomenon of divergence associated with the change in the value of a splitting factor such as C in Figure 1. One goes from a system with one equilibrium to one with three equilibria, one of them unstable. The new equilibria themselves may actually represent new states or conditions, the qualitative change or emergence of new variables or functions in some sense. This is certainly the interpretation of Thom who identified such structural changes with the emergence of new organs in the development of organisms.

Ironically, in mainstream economics most of the criticism of catastrophe theory has come from the opposite direction, claims that it is too imprecise, too poorly specified, unable to generate forecasting models with solid theoretical foundations, too ad hoc, and so forth. Much of this criticism has probably been overdone as discussions in Rosser (1991, Chap. 2) and Guastello (1995) suggest.

Another possible difficulty is that it is not at all clear that the control versus state variable idea maps meaningfully onto the dialectical taxonomy. After all, it can be argued that it is the control variables themselves that should be undergoing some kind of qualitative change as a result of their quantitative changes, rather than some state variable controlled by them.

Yet another issue that cuts across all nonlinear dynamical interpretations of dialectics is that catastrophe theory analyzes equilibrium states and their destabilization. There is an old view among dialecticians that equilibrium is not a dialectical concept, indeed that dialectics is necessarily an anti-equilibrium concept. However, drawing on the work of Bogdanov (1912-1922), Bukharin (1925) argued that an equilibrium reflects a balance of conflicting dialectical forces and that the destabilization of such an equilibrium and the emergence of a new one is the qualitative shift. This view was sharply criticized by Lenin (1967) and was viewed by Stalin as constituting part of Bukharin's unacceptable ideology of allowing market elements to persist as an equilibrating force in socialist society. Stokes (1995) argues that Bogdanov's views provided the foundation for general systems theory as it developed through cybernetics (Wiener, 1961). These approaches would eventually lead to nonlinear complexity theories, some of them emphasizing disequilibrium or out-of-equilibrium phase transitions as in the Brussels School approach (Nicolis and Prigogine, 1977).

IV. Chaos Theory and Dialectics

The study of chaotic dynamics also originated with Poincaré's qualitative celestial mechanics. As argued in Rosser (1991, Chaps. 1 and 2) catastrophe theory and chaos theory represent two distinct faces of discontinuity, and hence arguably of dialectical quantity leading to quality. The common theme is bifurcation of equilibria of nonlinear dynamical systems at critical values.

Although there remain controversies regarding the definition of chaotic dynamics (Rosser, ibid), the most widely accepted sine qua non is that of sensitive dependence on initial conditions (SDIC), the idea that a small change in an initial value of a variable or of a parameter will lead to very large changes in the dynamical path of the system. This is also known as the butterfly effect, from the idea that a butterfly flapping its wings could cause hurricanes in another part of the world (Lorenz, 1963).

Figure 2 exhibits this divergent behavior from small initial changes that occurs when SDIC holds. This shows the two distinct paths over time for one variable with and without a perturbation to an initial condition equal to 0.0001 for a three equation system of atmospheric circulation due to Edward Lorenz (1963). Lorenz concluded that the butterfly effect implies the futility of long-range weather forecasting. Truly chaotic systems exhibit highly erratic, apparently random, yet deterministic and bounded dynamics.

A sufficient condition for SDIC to hold is for the real parts of the Lyapunov exponents of the system to be positive. Oseledec (1968) showed that these can be estimated for a system such as (1), if ft(y) is the t-th iterate of f starting from an initial point y, D is the derivative, v is a direction vector. The Lyapunov exponents are solutions to


L = lim ln(Dft(y)v)/t. (3)
t

Although there are systems that are everywhere chaotic, many are chaotic for certain parameter values and are not for others. In such cases there may be a transition to chaos as a parameter value is varied and a system experiences bifurcations of its equilibria. A pattern exhibited by many well known systems is for there to be a zone of a unique and stable equilibrium, then beyond a critical parameter value there emerges a two-period oscillation, then beyond another point emerges a four-period oscillation, an eight-period oscillation, and so forth, a sequence known as a period-doubling cascade of bifurcations (Feigenbaum, 1978). According to a special case of Sharkovsky's (1964) Theorem, the emergence of an odd-numbered orbit (>1) is a sufficient condition for the existence of chaos. In some systems, as the parameter continues to change, chaos disappears and period-halving bifurcations return the system to its original condition, although in some systems there is simply an explosion or a transition to yet other kinds of complex dynamics.

Probably the most intensively studied simple equation that generates chaotic dynamics in economic models is the difference logistic, given by

xt+1 = xt(k - xt) (4)

with  being the tuning parameter whose variations change the qualitative dynamics of the system. As  increases the period-doubling cascade of bifurcations from an initial unique equilibrium described above occurs, leading to chaotic dynamics, and culminating in explosive behaviour. May (1976) studied this equation in the context of an ecological population dynamics model, in which k has the interpretation of a carrying capacity constraint, but he also first suggested the applicability of chaos theory to economic analysis in this paper. Figure 3 shows the period-doubling transition to chaos pattern for the logistic equation, with  on the horizontal axis and the system's state variable, x, on the vertical axis.

At least two possible dialectical interpretations can be drawn from (4) and generically similar systems. One is the already mentioned idea that the cascade of bifurcations can be seen as representing qualitative changes arising from quantitative changes. A smoothly varying , or control parameter, reaches critical points where there is a discontinuous change in the nature of the dynamics. Now, an anti-arithmomorphic dialectician can again deny that this is what is meant by qualitative change in the Hegelian sense. Yes, variables are behaving differently, but they are just the same old variables, this argument runs. But, we note that if chaotic dynamics herald a larger-scale catastrophic discontinuity, then there may be a greater chance for a deeper-level qualitative change to happen. Such instances may be chaostrophes associated with the blue-sky disappearance of an attractor after a chaotic interlude (Abraham, 1985), or lead to chaotic hysteresis (Rosser, 1991, Chap. 17; Rosser and Rosser, 1994). Although not labeled as such, an example of such a chaotic hysteretic model is a modified Hicks-Goodwin nonlinear business cycle model due to Puu (1997) in which chaotic dynamics appear at points of discontinuous jumps in a hysteresis cycle.

The second such interpretation involves the concept of the interpenetration of opposites. This interpretation can be derived from considering the dual role of the x variable in (4).

It operates both in a positive way and in a negative way, both tending to push up and to push down. Now, this may seem fairly trivial, as many such equations exist. But indeed, at the heart of most chaotic dynamics is a conflict between factors pushing in opposite directions. In effect, as  increases, the strength of this conflict can be thought of as intensifying.

In the population ecology model of May (1976),  represents the intrinsic growth rate of the population, and the negative aspect represents the effect of the population crashing into the ecological carrying capacity, k. One can view this system dialectically and holistically as a population with its environment. Conflicting forces operate through the same variable, the population, hence the interpenetration of the opposites whose interaction drives the dynamics. As this conflict heightens, bifurcations occur and quantitative changes lead to qualitative changes in dynamics as the system transits to chaos.

V. Emergent Dynamics Complexity and Dialectics

In contrast to the theories of catastrophe and chaos, there is no single criterion or model of complex dynamics, but rather a steadily increasing plethora which we shall not attempt explicate in any detail here (Arthur, Durlauf, and Lane, 1997; Rosser, 1998). Indeed Horgan (1997) reports up to 45 different definitions of complexity, including some such as algorithmic complexity in which we are not interested. Almost all involve some degrees of stochasticity in their formulation, yet some are analytical equilibrium models involving such phenomena as the spin glass models that imply phase transitions and hence could be viewed as the modern versions of the Hegel-Engels boiling/freezing water example (Brock, 1993; Rosser and Rosser, 1997). Some involve non-chaotic strange attractors, fractal basin boundaries, or other complicated nonlinear phenomena, besides catastrophe and chaos, although some of these can exhibit them as well (Lorenz, 1992; Rosser and Rosser, 1996; Brock and Hommes, 1997; Feldpausch, 1997). Virtually all of these models can be seen to exhibit the sort of dialectical dynamics associated with chaotic dynamics in terms of bifurcation points generating qualitative dynamical changes and conflicts between opposing elements driving the dynamics.

In contrast there are dissipative systems models that imply either fully out-of-equilibrium dynamics, as in the Brussels School models (Nicolis and Prigogine, 1977) mode-locking entrainment models (Sterman and Mosekilde, 1994), the Santa Fe adaptive stock market dynamics models (Arthur, Holland, LeBaron, Palmer, and Taylor, 1997) and edge of chaos models (Kauffman, 1993), or a temporary equilibrium that differs from a presumed long-run equilibrium as with the self-organized criticality approach (Bak, Chen, Scheinkman, and Woodford, 1993). Many of these models involve large-scale equations systems and simulations with self-organization phenomena emerging from the dynamics of conflicting forces. Such self-organization has long been identified by many observers as constituting exactly the kind of qualitative change that the dialecticians seek, and may represent overcoming the problem of the lack of new variables or functions emerging associated with the catastrophe and chaos models. All of these models can be united under the label emergent dynamics complexity.

However, at this point we need to step back a bit and consider how the currents involving complexity and dialectics have developed. A central point that appears is the gulf that exists between the analytic Anglo-American tradition and the Continental tradition. Urban/regional models based on the Brussels School order through fluctuations approach (Allen and Sanglier, 1981) exhibited polarizing outcomes and multiple equilibria long before such models became popular at Santa Fe. In a survey of urban/regional modeling, Lung (1988) attributes this to the tradition of dialectical discourses of French culture in contrast with Anglo-American approaches, the dialectical tendency extending beyond the Germanic Hegelian base into Latin Europe as well. Indeed we have already seen this with René Thom's willingness to put a dialectical interpretation upon catastrophe theory.

Without doubt the dialectical method/approach is in very ill repute in many Anglo-American circles, where the emphasis is upon reductionism, positivism, a narrow version of Aristotelian logic, comparative statics, and forecastibility along Newtonian-Laplacian lines. The dialectical method is viewed as unscientific, fuzzy-minded, and given to ideological mumbo-jumbo. This latter view has increased especially in economics with the increasing tendency for dialecticians in the Anglo-American economics world to be Marxists. Of course, in Continental Europe Marxist analysis tends to be more accepted, but non-Marxist dialectical approaches or interpretations are more widespread, as the discussions by Thom, Prigogine, and even the possibly dialectical element showing up in Hayek indicates. Thus, Europeans in general are more willing to admit the dialectical interpretations of emergent order and self-organization in complex dynamical systems as we have presented them above than are their American counterparts.

As a final frisson to this discussion, let us consider somewhat more closely the Stuttgart School synergetics approach of Haken (1983) that is very closely related to Prigogine's Brussels School approach. We can see in this approach the integration of several of our kinds of nonlinear dynamics with their related dialectical interpretations. As with Allen and Sanglier (1981) and the Brussels School approach, Weidlich and Haag (1987) use the synergetics approach to model multiple equilibria and polarization in urban/regional models, followed by the analytical results of Fujita (1989) and the more recent simulation modelling at Santa Fe by Krugman (1996).

Unsurprisingly, Krugman completely ignores any dialectical interpretation of the self-organization phenomenon, reflecting the Anglo-American bias.

Following Haken (1983, Chap. 12), there is a division between slow dynamics, given by the vector F, and fast dynamics, given by the vector q, corresponding respectively to the control and state variables in catastrophe theory. F is said to slave q through a procedure known as adiabatic approximation, and the variables in F are the order parameters whose gradual (quantitative change) leads to structural change in the system.

A general model is given by

dq/dt = Aq + B(F)q + C(F) + , (5)

where A, B, and C are matrices and  is a stochastic disturbance term. Adiabatic approximation allows this to be transformed into

dq/dt = -(A + B(F))-1C(F), (6)

which implies that the slow variables are determined by A + B(F). Order parameters are those with the least absolute values, and ironically are dynamically unstable in the sense of possessing positive real parts of their eigenvalues in contrast to the fast slaved variables.

This implies a rather curious possibility regarding structural change within the synergetics framework. Haken (ibid) identifies the emergence of chaotic dynamics with the destabilization of a previously stable slaved variable as the real part of its eigenvalue passes the zero value and goes positive. Such a bifurcation can lead to a complete restructuring of the system, a chaostrophic discontinuity with more substantial qualitative implications in terms of the relations between variables, if not necessarily for their
existence. The former slave can become an order parameter, and Diener and Poston (1984) call this particular phenomenon, the revolt of the slaved variables. If this is not a dialectical outcome, then there are none in nonlinear dynamics.

VI. Conclusions

We have reviewed the three main laws of dialectics as presented by Engels in The Dialectics of Nature (1940, p. 26). These are the transformation of quantity into quality and vice versa, the interpenetration of opposites, and the negation of the negation. We have seen how such nonlinear dynamical models, such as those capable of generating catastrophic discontinuities, chaotic dynamics, and a variety of other complex dynamics such as self-organization can be interpreted as manifesting these laws, especially the first two. In particular the role of bifurcation is seen as central to implying the first of these concepts, although we note that we have presented at best a very superficial overview of these various nonlinear dynamical models.

However, we must conclude with a caveat that has floated throughout this paper. Dialecticians who oppose the use of mathematical modelling at all, who identify such modelling with arithmomorphism and a denial of essential dialectical fuzziness, will remain unconvinced by all of the above. They will see the kinds of discontinuous changes implied by the various bifurcations in these models as simply sudden changes in the values or behaviors of already existing variables, rather than the true qualitative emergence that cannot be captured mathematically. They might have a harder time maintaining such a position with regard to complexity models with self-organizing or emergent hierarchy dynamics, but even with these they can make similar arguments that one is simply seeing different behavior of already existing variables, however new and different that behavior might appear.

Of course, this hard core position is exactly that which is derided by the analytic Anglo-American tradition that sees dialecticians as hopelessly fuzzy and unscientific. The debate between these strongly held positions can itself be viewed as a dialectic that remains unresolved.

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Qu'est-ce que l'attracteur de Lorentz et le chaos climatique ?

Robert Paris — 2020-07-26T22:05:00Z

Une toute petite différence des conditions initiales entraîne un changement radical à moyen terme ou la "sensibilité aux conditions initiales" dite "effet papillon"...

Attracteur de Lorentz

Qu'est-ce que l'attracteur de Lorentz et le chaos climatique ?

Qu'est-ce que le chaos

Qu'est-ce qu'un attracteur étrange ?

Attracteurs Etranges et Chaos

Qu'est-ce que l'attracteur de Lorentz

La théorie de Lorentz est validée par les nouvelles recherches

Les thèses du climatologue Lorentz s'opposent à la théorie du réchauffement global ?

Le climat est-il un phénomène physique du domaine du chaos déterministe

L'attracteur de Lorenz, paradigme du chaos

Le chaos déterministe

Lire encore sur le chaos déterministe

Météo, climat et chaos

Systèmes dynamiques et chaos

Le chaos du coeur

Robert Paris — 2020-06-11T22:05:00Z

La régularité, c'est la maladie et le chaos, c'est la santé !

Mais le chaos n'est pas synonyme du désordre, c'est une dialectique très fine de l'ordre et du désordre imbriqués et un ordre très difficile à percevoir et à distinguer du désordre.

Il est aussi difficile à distinguer de l'ordre. Au premier abord, on pourrait croire que c'est même une répétition périodique du même message... Mais ce n'est nullement le cas.

C'est l'ordre le plus solide car c'est l'ordre intégrant des désordres...

Le rythme cardiaque

Inspirées par la théorie du chaos, de nombreuses études se sont penchées sur les éventuelles caractéristiques chaotiques du rythme cardiaque, tel qu'on l'observe par électrocardiogramme. On a comparé les résultats obtenus chez des sujets sains avec ceux de sujets atteints de pathologies cardiaques. La conclusion (il y faudrait bien sûr plus de nuances) est que le rythme cardiaque sain présente une composante chaotique alors que les rythmes très réguliers sont associés à des pathologies. L'explication vient de ce qu'un rythme cardiaque exactement périodique serait peu robuste : la moindre perturbation entraînerait une désynchronisation entre le rythme cardiaque et le rythme respiratoire. Qu'en est-il pour un régime chaotique ? La sensibilité aux conditions initiales des systèmes chaotiques, responsable de leur imprédictibilité à long terme, peut aussi apparaître comme un avantage exploitable au sens où une très faible influence extérieure peut suffire à modifier qualitativement le comportement. Cette constatation a mené à l'idée du contrôle d'une dynamique chaotique à l'aide de perturbations extérieures soigneusement choisies. Dans les systèmes vivants, les mécanismes de régulation réalisant ce contrôle ont pu se mettre en place au cours de l'évolution, par sélection naturelle. Il semble donc que le rythme cardiaque illustre cette possibilité de stabiliser un régime chaotique sur une trajectoire approximativement périodique, tout en gardant « en réserve » toute la sensibilité et la richesse de la dynamique chaotique pour mieux réagir aux perturbations et s'adapter plus rapidement aux changements extérieurs. La diminution du caractère chaotique du rythme cardiaque est ainsi un signe clinique inquiétant, indiquant un risque de moindre adaptabilité et de moindre robustesse. Cependant, on voit là un exemple des nuances à apporter quand on parle de chaos en biologie : ce seront souvent des versions plus sophistiquées ou hybrides de dynamiques chaotiques qui seront rencontrées.

Qu'est-ce que que le chaos déterministe

Le chaos déterministe du rythme du coeur

« Comment le chaos peut-il envahir un organe comme le coeur ? Pourquoi un rythme qui a été régulier pendant une vie entière, soit plus de 2 milliards de cycles ininterrompus, se détraque-t-il soudain pour s'engager dans une frénésie incontrôlée, puis fatale ?
Au MIT, le physicien et cardiologue Richard COHEN a réalisé sur ordinateur une simulation des rythmes cardiaques et découvert que le doublement de période est la clé de l'apparition d'une crise cardiaque.
Dans un coeur normal, des impulsions électriques se répandent de manière régulière dans les fibres musculaires qui forcent le ventricule du coeur à se contracter et à pomper le sang. Une fois contractées, les fibres musculaires sont insensibles aux signaux électriques. Les médecins qualifient cette période de réfractaire. Selon la théorie, ce sont les variations de la période réfractaire d'une zone du ventricule du coeur à une autre qui sont la cause de la fibrillation, de la contraction spasmodique d'une crise cardiaque.

Afin d'éprouver cette théorie, Cohen et son équipe ont fait varier les périodes réfractaires de leur modèle et découvert que les troubles commençaient lorsqu'un groupe de fibres musculaires du coeur avait une période réfractaire plus longue que l'intervalle entre les battements. A cause de leur période réfractaire, ces fibres cardiaques asynchrones pouvaient être stimulées de manière à ne se contracter qu'un battement sur deux. De ce fait, des impulsions électriques provenant du coeur contracté se brisaient de part et d'autre de ces fibres déphasées telle l'eau contournant une pierre et générant de la turbulence. En augmentant légèrement les périodes réfractaires de quelques fibres, il était possible d'amener le coeur à avoir un comportement de doublement de période jusqu'à ce que, au-delà d'une valeur critique de période réfractaire, le muscle cardiaque entre dans le chaos le plus total.

A l'université McGill de Montréal, le physiologiste Léon GLASS, a utilisé un groupe de cellules de coeur de poulet battant spontanément qu'il a stimulé de manière périodique en leur appliquant un choc électrique régulier. Le résultat obtenu a été un doublement continu de la période entre battements réguliers jusqu'à atteindre le chaos.

Ces expériences suggèrent que la fibrillation dans un corps humain peut être provoquée par l'apparition de foyers anormaux secondaires à l'intérieur du corps, lesquels donnent des impulsions qui entrent en conflit avec le rythme propre au muscle cardiaque. L'interaction entre ces impulsions secondaires et le rythme principal met le coeur dans un état chaotique qui entraîne la fibrillation. Celle-ci est donc une maladie "dynamique". Elle survient parce que le coeur est un système qui à partir d'un battement normal, peut cesser de battre ou battre de manière nouvelle et imprévue. La fibrillation est une forme de chaos stable, qui ne disparaît pas de lui-même. Seule une décharge électrique produite par un appareil de défribrillation à travers le thorax du patient peut ramener le coeur à son état normal.

Certains physiologues pensent qu'une certaine dose de chaos est nécessaire au bon fonctionnement du corps. Ainsi des chercheurs tentent de mettre au point une application "chaotique" qui pourrait soulager les épileptiques. Chez ces derniers, les crises sont apparemment liées à de grands "pics" électriques dans le cerveau, comme si un grand nombre de neurones se déchargeaient en même temps. En évitant ces "pics", c'est à dire en imprimant aux neurones un comportement plus chaotique et aléatoire, on pourrait peut-être supprimer ces crises. L'idée est de "chatouiller" le cerveau en lui appliquant de petites impulsions électriques de façon à déclencher un comportement plus chaotique des neurones. Le chaos remplirait alors paradoxalement une fonction de régulation et de « contrôle ! »

D'après l'ouvrage de James Gleick "La Théorie du Chaos"

En 1914, chercheur à l'université Mac Gill de Montréal, Georges Mines conçoit un appareil capable d'envoyer dans le cœur de petites impulsions électriques bien réglées. On le retrouvera atteint par une crise cardiaque due au fait qu'il a essayé sur lui-même son appareil. Mais ce qui en résulte de manière certaine, c'est qu'une petite impulsion peut entraîner un grand effet puisque le cœur s'arrête. Dans le cas de Mines, un petit choc a entraîné une fibrillation. C'est une maladie cardiaque grave puisqu'elle entraîne la mort et les cardiologues peinent à la combattre. Bien sûr, Mines ne jouait pas à s'électrocuter. Sa grande idée et qu'il a développé théoriquement était que si une petite impulsion peut détraquer le mécanisme cardiaque, une autre peut le rétablir. Sur les pas de Mines, soixante ans plus tard, des centaines de chercheurs vont étudier le petit choc électrique permettant d'entraîner une défibrillation, c'est-à-dire de ramener le cœur par un choc brutal à l'équilibre. L'étape suivante, c'est un modèle mathématique du battement cardiaque. Ce sont les chercheurs Van der Pol et Van der Mark qui le trouvent en 1920. Il y a un petit point auquel personne ne prêtera attention à l'époque : leur modèle entraîne le chaos à certains moments. Dans les années 70, Bernardo Huberman travaille à l'université Santa Cruz qui était le plus récent campus du complexe de l'université de Californie et un véritable laboratoire d'idées pour physiciens anticonformistes et brillants qui ont fait le succès technique des grandes sociétés comme Bell Telephone et IBM. Dans ses travaux sur le mouvement oculaire des schizophrènes, Huberman développe la première étude importante sur le chaos en physiologie. C'est à lui que l'on doit l'idée que « le chaos c'est la santé. » Ses travaux sont repris par Arnold Mandell psychiatre et dynamicien de San Diego, qui non seulement prit la défense d'Huberman mais montra en 1977 que certaines enzymes du cerveau avaient un comportement explicable seulement par le chaos et il en déduisit qu'il ne fallait pas rejeter les mathématiques non linéaires. Le principal théoricien du chaos cardiaque sera Léon Glass, encore un chercheur de l'université Mac Gill de Montréal. Glass va s'intéresser aux nombres et à leurs irrégularités puis il travaille à la Harvard Medical School. En 1981, il résume dans la revue américaine « Science » ses travaux sur les agrégats de cellules cardiaques prélevés sur des embryons de poulets âgés d'une semaine. Placés dans une coupelle puis agités, ces agrégats trouvent spontanément une pulsation commune sans intervention d'une vibration extérieure. Puis il introduit une micro électrode dans l'une des cellules et fait ainsi apparaître de nombreuses fréquences dans les agrégats. Il met ainsi en évidence un dédoublement de période, phénomène caractéristique de la formation du chaos. Léon Glass a montré que lorsque l'on perturbe même de manière périodique des oscillateurs biologiques, on obtient du chaos. Cela signifie que le message qui commande ces phénomènes est en fait chaotique et peut se traduire dans un grand nombre d'oscillations périodiques avec des périodes variées. Un autre grand nom du chaos cardiaque est Arthur Winfree, biologiste théoricien qui commença par étudier les horloges biologiques avant de se tourner vers les rythmes cardiaques. En 1983, Winfree étudie la fibrillation à l'aide de la théorie du chaos et publie un article dans la revue « Scientific American ». C'est Raymond Ideker, du Duke University Medical Center, qui devait tenter expérimentalement d'appliquer les idées de Winfree deux ans plus tard. Il a mis au point des dispositifs électriques pour bloquer la fibrillation. En même temps, Richard Cohen, cardiologue et physicien, dans une étude de sciences médicales conjointe au MIT et à Harvard, va montrer dans le mécanisme cardiaque un spectre de dédoublement de période lors d'expériences sur des chiens, or on sait que c'est ce dédoublement de période qui reproduit plusieurs fois est un chemin de la périodicité vers le chaos. Ary Goldberger, codirecteur du laboratoire des arythmies cardiaques de l'hôpital Beth Israël de Boston, a étudié les bifurcations brutales dans le comportement cardiaque et ainsi mis en évidence que les modèles de type classique c'est-à-dire linéaires ne pouvaient en rendre compte. C'est lui qui a mis en relations physiologistes et mathématiciens pour les amener à agir dans l'interdisciplinarité, ce que les uns et les autres étaient réticents à faire. Les mathématiciens du Courant Institute University de New York étudient le cœur artificiel dans les années 80 et s'attaquent au problème des valvules artificielles. Celles-ci posent notamment de gros problèmes de turbulences pouvant entraîner la formation de caillots du sang, causant des attaques. C'est en observant la manière dont le sang déformait les parois du cœur de manière dynamique et non-linéaire qu'il ont pu comprendre ce qui empêchait cette formation de caillots dans le mécanisme naturel. On a ainsi constaté que, dans les appareils artificiels qui aident le cœur à assurer son rythme, la non-linéarité est indispensable pour imiter les pacemakers naturels.

Quelques caractéristiques chaotiques du fonctionnement du coeur : 1°) l'autosimilarité est, rappelons le, la ressemblance d'allure de la courbe aux différentes échelles. On remarque que la courbe des battements cardiaques est du même type aux différentes échelles. On indique l'intervalle entre des battements cardiaques sur diverses périodes. On s'aperçoit alors, contrairement à l'électrocardiogramme qui pouvait faire croire à la périodicité, que nous avons du désordre mais que ce désordre est autosimilaire et fractal. Un tel graphique a été reproduit par Ary Goldberger dans la revue « Pour la science » et montre qu'au delà de l'irrégularité il y a similarité des courbes effectuées en changeant la distance de temps entre les relevés. 2°) le processus de feed-back dans le cycle de l'onde cardiaque qui passe du premier sinus au deuxième, au faisceau de His, au réseau puis revient au premier sinus. Il y a un feed-back car il y a réintroduction des données puisque c'est la fin du cycle qui indique au pace maker le moment pour relancer. Et il y a une fonction de contrôle et de régulation comme dans le chaos déterministe. Au contraire, un processus linéaire de feed-back, soumis à un petit choc, tend à modifier légèrement son évolution alors qu'un processus non-linéaire tend à revenir à son point de départ. 3°) la souplesse et l'interactivité du mécanisme cardiaque qui change de rythme en cours de journée, à toute vitesse si nécessaire comme aucun mécanisme périodique n'est capable de le faire, le chaos en est capable. 4°) l'effet de pointe puisqu'un petit choc entraîne une fibrillation (petite cause, grand effet) 5°) la superposition de plusieurs modes ordonnés dont aucun ne prédomine ordinairement. 6°) L'action conjointe d'au moins trois acteurs qui est nécessaire à la production du chaos. En effet, il n'y a pas une émission mais trois. Les deux sinus et le faisceau de His sont à la fois récepteurs et émetteurs de battements. On le sait car on peut interrompre l'émission du premier sinus, le deuxième fonctionne à un rythme différent. Et si on interrompt encore le deuxième sinus, le faisceau de His émet lui aussi avec un rythme encore différent. On a donc trois oscillateurs ce qui est la situation normale pour obtenir le chaos. Le premier sinus pulse à 120 par minute mais il transmet de manière beaucoup plus réduite soit une onde de contraction de 60 à 80 par minute chez l'adulte au repos, le deuxième sinus a un rythme naturel de 50 contractions par minute, le troisième point rythmique, le faisceau de His, émet de 30 à 40 contractions par minute. En fait il y a donc trois horloges qui ont non seulement des rythmes internes différents mais en plus sont des émetteurs récepteurs qui propagent les signaux à des vitesses différentes : le premier sinus diffuse à la vitesse de un mètre par seconde, le deuxième à 5 centimètre par seconde, le faisceau de His a une vitesse qui va de 2 à 4 mètres par seconde et il propage ses contractions à un réseau qui diffuse aux ventricules à la vitesse de 0,4 mètre par seconde. Comment fait le cœur pour faire de tout cela une contraction régulière de l'ensemble du cœur suivie d'une décontraction ? Comment le cœur peut-il fabriquer de l'ordre à l'aide d'un tel total d'informations apparemment désordonné ? Comment cela peut-il donner cette apparence périodique que nous connaissons ? Cette capacité de faire du signal de trois horloges échangeant sans cesse des énergies un signal unique périodique, c'est ce que l'on appelle l'autorégulation des horloges. En effet, des horloges battant à des rythmes différents mais qui échangent des vibrations donc de l'énergie peuvent se coordonner sans intervention extérieure. Elles constituent ainsi spontanément ce fameux rythme complexe dont on parlait. Elles trouvent des accrochages de fréquence qui leur permettent d'avoir un battement d'ensemble. Ce phénomène a lieu spontanément car la synchronisation des horloges permet de minimiser les échanges d'énergie et c'est donc l'état vers lequel va tendre spontanément le système. C'est ce qui explique aussi que c'est un phénomène stable bien que dynamique et même agité.

Mais comment le cœur peut-il avoir une telle variété de fréquences de battement et pourquoi cette variété se réduit elle tout à coup dans le cas de la fibrillation ? L'explication vient du faisceau de His. En effet, il a une capacité de vibrer sur de nombreux modes et de passer de l'un à l'autre grâce à sa forme fractale. Il a en effet une forme complexe, avec conservation des formes aux différentes échelles, forme qui lui permet de vibrer sur plusieurs modes. Comparons le à un arbre. Chacun a déjà remarqué comment lors d'un courant d'air, on constate parfois qu'une branche s'agite extraordinairement alors que le reste de l'arbre est quasi immobile. La vibration de l'air entre alors en résonance avec cette branche car elle a la forme convenable. La constitution fractale permet non seulement au faisceau de His de vibrer sur un très grand nombre de fréquences mais permet aussi qu'en cas de lésion, le faisceau continue à fonctionner, à recevoir et transmettre les impulsions. La thèse défendue ici souligne donc la capacité du cœur de réagir de manière dynamique à tous les incidents de l'existence et cette réaction consiste dans la capacité de changer son rythme. C'est cette dynamique adaptative que l'homme peut perdre avec l'âge. Il se met alors sur un rythme périodique mais qui est beaucoup plus instable car il est incapable de réagir à un changement. Les rythmes pathologiques sont plus réguliers que les rythmes d'un individu sain. Si on compare les diagrammes du rythme d'un individu proche de l'arrêt cardiaque et le rythme cardiaque pathologique de type périodique et en bas le rythme d'un individu sain, on remarque que c'est ce dernier qui, paradoxalement apparaît le plus agité.

La suite

Une conférence de David Ruelle

Chaos et complexité du vivant

Chaos et déterminisme

Lire encore

Read in english : "Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems

Is the Normal Heartbeat Chaotic or Homeostatic ? by Goldberger

Chaos and Heart Rate Variability, by Leon Glass

In Heartbeat, Predictability Is Worse Than Chaos

Dynamics of Heart Rate : Chaos

Qu'est-ce qu'un attracteur étrange ?

Robert Paris — 2018-12-08T23:05:00Z

Attracteur de Lorenz

Attracteur de Hénon

L'attracteur étrange : cette courbe n'est pas celle du mouvement mais représente les états du système et elle montre que dans des cas où on aurait l'impression du désordre, il y a cependant un certain type d'ordre, des lois, d'où l'expression "chaos déterministe".
Un attracteur signifie que la dynamique a tendance à être attirée par lui. Par exemple, le fleuve est un attracteur du bassin fluvial.

Etrange signifie que la forme de cet attracteur n'est pas une courbe ni une surface et n'est même pas continue mais reconstituée point par point de manière discontinue par la dynamique qui, bien qu'apparemment désordonnée, reconstitue ce type spécial d'ordre. C'est un ordre de type chaos déterministe car il obéit à la sensibilité aux conditions initiales (un petit changement entraîne des possibilités de changements considérables par la suite). Il y a donc à la fois attraction et mélange.

La notion d'attracteur étrange élargit considérablement le domaine de connaissance puisqu'elle permet d'étudier des phénomènes apparemment désordonnés et qui subissent cependant des contraintes tout à fait déterministes, parviennent à un certain type d'ordre dynamique qui n'est pas fondé sur une autre stabilité que celle d'une structure globale. dans le monde réel, ce type de système est courante : du nuage à l'économie et du rythme biologique à la dynamique d'une ville.

Attracteur de Lorentz du climat

attracteur étrange

La notion d'attracteur étrange signifie que la nature produit des horloges qui ne sont pas périodiques. Loin de l'équilibre, les systèmes dynamiques dissipatifs sont capables de produire des horloges, c'est-à-dire des rythmes, qui ne sont pas strictement périodiques. L'attracteur étrange signifie que le retour ne provient pas d'un passage à l'équilibre.

attracteur d'un comportement à deux périodes

Chaos dans les mouvements des fluides, le film

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « Entre le temps et l'éternité » :

« Dans le passé, (…) tous les systèmes soumis à un attracteur semblaient devoir « se ressembler ». Aujourd'hui, la notion d'attracteur symbolise au contraire la diversité qualitative des systèmes dissipatifs.
La notion d'état attracteur renvoie en effet à celle de système dissipatif, producteur d'entropie. Un pendule idéal, sans frottement, n'a pas d'état attracteur, mais poursuit indéfiniment son mouvement d'oscillation. En revanche, le mouvement d'un pendule réel s'amortit progressivement. Dans le cas du pendule simple, l'existence de l'attracteur que constitue son état d'équilibre (au sens mécanique) permet de caractériser tout mouvement pendulaire réel en toute généralité, sans avoir besoin de le connaître dans sa particularité. Quelles que soient la vitesse et la position initiale du pendule, nous savons en effet comment nous pourrons le décrire si nous attendons assez longtemps : il finira par se trouver au repos dans sa position d'équilibre. De même, l'existence de l'attracteur que constitue l'état d'équilibre thermodynamique permet d'affirmer qu'une population de milliards de milliards de particules dans une enceinte isolée évoluera vers un état dont la description ne dépend plus que d'un petit nombre de paramètres observables, tels que température et pression.
Pour nous représenter l'attracteur, introduisons un espace dans lequel cet attracteur est plongé. Cet espace possèdera autant de dimensions qu'il faut de variables pour décrire l'évolution temporelle du système. Les états d'équilibre des systèmes dissipatifs correspondent par définition à des attracteurs ponctuels, représentés par un point de cet espace. C'est également le cas pour les systèmes proches de l'équilibre thermodynamique et soumis au théorème de production d'entropie minimum. Dans tous les cas, quelle que soit la préparation initiale du système, l'évolution de celui-ci sous des conditions aux limites données – pourra être représenté par une trajectoire menant du point représentant l'état initial vers le point attracteur. Celui-ci domine donc la totalité de l'espace. Tous les systèmes représentés par les mêmes variables indépendantes aux mêmes conditions aux limites « reviennent au même », connaissent le même destin.
La découverte loin de l'équilibre des comportements cohérents, telle l' « horloge chimique », avec sa période temporelle bien déterminée, implique un premier élargissement de la notion d'attracteur. Ici, il ne s'agit plus d'un point mais d'une ligne. Cette fois, quelle que soit la situation initiale, le système évolue vers un « cycle limite ».
Un système caractérisé par un cycle limite reste un système prévisible, que l'on peut décrire de manière simple. (…)
Jusqu'à ces dernières années, on croyait que les seuls attracteurs possibles correspondaient à des variétés continues, telles que lignes, surfaces et volumes. Mais la découverte des « attracteurs étranges » a ouvert des nouvelles. Les attracteurs étranges ne sont pas caractérisés par des dimensions entières, comme une ligne ou une surface, mais par des dimensions fractionnaires. Ce sont ce que, depuis Mandelbrot, on appelle des variétés fractales. (…)
Jusqu'à il y a peu, l'existence d'un attracteur avait été synonyme de stabilité et de reproductibilité : retour au « même » malgré les perturbations, quelles que soient les particularités initiales. Aux nouveaux types d'attracteurs correspondent des comportements « sensibles aux conditions initiales » qui font perdre son sens à la notion de « même ». Dans toute région, aussi petite soit-elle, occupée par l'attracteur fractal, passent autant de trajectoires que l'on veut, et chacune de ces trajectoires connaît un destin différent des autres. En conséquence, des situations initiales aussi voisines que l'on veut peuvent engendrer des évolutions divergentes. La moindre différence, la moindre perturbation, loin d'être rendue insignifiante par l'existence de l'attracteur, a donc des conséquences considérables. (…)
Nous arrivons ici à la définition du comportement « chaotique », qui est un comportement typique des systèmes caractérisés par un attracteur étrange. Un comportement est chaotique si des trajectoires issues de points, aussi voisins que l'on veut dans l'espace des phases, s'éloignent les unes des autres au cours du temps de manière exponentielle ; la distance entre deux points quelconques appartenant à de telles trajectoires croit proportionnellement à une fonction exponentielle de l'inverse du temps de Lyapounov.
Le temps de Lyapounov permet de définir une véritable « échelle de temps ».

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « La nouvelle alliance » :

« Une notion cruciale est la notion d'attracteur. Les exemples d'attracteurs sont innombrables et bien connus de la physique. Le pendule, qui s'immobilise progressivement, rejoint son état attracteur. Le liquide chaud dont la température rejoint progressivement celle de l'environnement gagne son état attracteur. (…) Nous avons vu que, près de l'équilibre, l'état stationnaire correspond (….) à un état attracteur essentiellement analogue à l'état d'équilibre. Mais, loin de l'équilibre, d'autres types d'attracteurs peuvent apparaître, et notamment le « cycle limite », correspondant à un comportement temporel périodique adopté de manière spontanée par le système. (…) Depuis, de nouveaux types d'attracteurs ont été découverts qui enrichissent la dialectique du régulier et de l'aléatoire. (…) Ces attracteurs ne correspondent pas à un point, comme l'état d'équilibre, ou à une ligne, comme le cycle limite, mais à un ensemble dense de points, un ensemble assez dense pour que l'on puisse trouver de ces points dans toute région, aussi petite soit-elle. Il s'agit d'un ensemble auquel peut être attribué une dimension « fractale ». Les attracteurs de ce type impliquent, de la part du système qu'ils caractérisent, un comportement de type chaotique. Attracteur et stabilité cessent ici d'aller de pair. David Ruelle a caractérisé ces « attracteurs étranges », qu'on a également appelés « attracteurs fractals », par leur très grande sensibilité aux conditions initiales. Ce qui signifie que l'état attracteur ne se caractérise plus du tout par son insensibilité à de petites variations de ses paramètres. Toute petite variation est susceptible d'entraîner des effets sans mesure, de déporter le système d'un état à un autre très différent. (…) L'opposition entre déterminisme et aléatoire est battue en brèche. (…) C'est désormais autour des thèmes de la stabilité et de l'instabilité que s'organisent nos descriptions du monde, et non autour de l'opposition entre hasard et nécessité. »

ATTRACTEUR DE LORENZ DU CLIMAT

Yakov G. Sinaï explique l'attracteur étrange du climat ou attracteur de Lorenz dans « L'aléatoire du non-aléatoire », article de l'ouvrage collectif « Chaos et déterminisme » :
« Ces attracteurs étranges se manifestent dans de nombreux problèmes de la physique, de l'hydrodynamique, de la biologie, de la chimie, etc. (…) En 1963, le météorologue américain E. N. Lorenz a publié un travail dans lequel il obtenait un système de trois équations différentielles ordinaires, nommé ultérieurement système de Lorenz, qu'il étudiait à l'aide d'un ordinateur. (…) On peut considérer que c'est là le système le plus simple d'équations différentielles non linéaires. Lorenz a déduit ce système d'équations à partir du problème bien connu de la convection d'un gaz ou d'un liquide placé entre deux plaques horizontales et chauffé par le bas (convection de Bénard-Rayleigh). (…) Le modèle de Lorenz fournit un exemple typique d'attracteur étrange. (…) La trajectoire effectue des tours à droite, puis quelques tours à gauche, puis, de nouveau, quelques tours à droite et ainsi de suite de manière irrégulière. (…) Sur l'attracteur lui-même, le mouvement a un caractère instable (…) en feuillets séparés, avec une topologie lacunaire, (…) ce qui a amené à appeler cette structure topologique peu ordinaire « attracteur étrange », selon la définition donnée dans le célèbre article de D. Ruelle et F. Takens « Sur la nature de la turbulence » en 1971. »

« On sera frappé de la complexité de cette figure, que je ne cherche même pas à tracer. Rien n'est plus propre à nous donner une idée de la complexité du problème des trois corps, et, en général, de tous les problèmes de la dynamique où il n'y a pas d'intégrale uniforme… »

Henri Poincaré
Dans « Méthodes nouvelles de la mécanique céleste »

Animation représentant un troisième corps en mouvement...

La loi des trois corps

Quinodoz :

La notion d'attracteur a été développée à partir des systèmes dynamiques afin de fournir une représentation de l'évolution du système en fonction du temps. Dans les systèmes dynamiques possédant peu de degrés de liberté, il est possible de fournir une représentation graphique qui serve de base pour décrire tout phénomène dépendant du temps. Mais lorsque le nombre de degrés de liberté est élevé, une représentation graphique n'est plus possible et l'on fait appel à des moyens de représentation plus globaux comme la dimension de l'attracteur et l'entropie métrique, dont on trouvera la description ailleurs (M. Dubois et coll., 1987). Jusqu'en 1963 on ne connaissait que trois types d'attracteurs : le point fixe, le cycle limite et le tore. Dans un système élémentaire, l'attracteur est représenté par un point fixe : l'exemple en est le pendule simple qui oscille en spirale en perdant de l'énergie et qui finit pas s'arrêter sur un point final appelé « point fixe ». Ce point constitue un attracteur ponctuel.

D'autres systèmes ne s'immobilisent jamais et leur évolution est cyclique et périodique, comme le pendule d'une horloge dont les oscillations sont entretenues. Dans ce cas, l'ensemble des trajectoires ne débute pas au centre de coordonnées (point fixe) mais tendent vers un cycle, et cet attracteur est appelé cycle limite . Ce dernier s'inscrit dans ce qu'on appelle l'espace des phases, c'est-à-dire dans cet espace abstrait où l'état du système peut être représenté sous forme géométrique en fonction des coordonnées du système étudié. L'intérêt de l'espace des phases pour les dynamiciens est justement « lié au fait qu'il doit contenir toute l'information sur la dynamique du système étudié » (M. Dubois et coll., 1987, p. 196). Il existe une troisième forme d'attracteur simple, l'attracteur torique, dont la surface est en forme de chambre à air et qui représente les mouvements résultant de deux oscillations indépendantes dont les trajectoires s'enroulent autour d'un tore .

D'autres systèmes plus complexes ont plusieurs attracteurs différents et leurs trajectoires sont attirées par l'un ou par l'autre des attracteurs, et l'on appelle « bassin d'attraction » d'un attracteur l'ensemble des points de l'espace des phases qui évolue vers l'attracteur considéré. En d'autres termes, on peut dire que les attracteurs attirent à eux toutes les trajectoires dynamiques engendrées à partir des diverses conditions de lancement possibles, « si bien qu'au bout d'un temps plus ou moins long, toutes ces trajectoires se retrouvent sur l'attracteur », comme l'ont souligné M. Dubois et coll. (1987, p. 193). Pour ces auteurs, le lit d'un fleuve peut être considéré comme l'équivalent d'un attracteur « pour tous les ruissellements, du plus petit au plus grand, qui prennent naissance dans son propre bassin » (ibid., p.193).

Les trois formes d'attracteurs dont nous venons de parler constituent des systèmes qu'on dit « prédictibles » car, bien que leurs mouvements soient complexes, ils sont néanmoins prévisibles à long terme. C'est sur de telles bases que l'on peut prédire longtemps à l'avance les heures des marées ou les éclipses dont la venue dépend pourtant de plusieurs mouvements périodiques.

Les attracteurs étranges

Dans les systèmes plus complexes dont l'évolution est « imprédictible », comme par exemple le chemin suivi par deux feuilles mortes tombant d'un même point de départ, les trajectoires vont se séparer pour devenir totalement dissemblables. Cette caractéristique d'amplification des écarts entre trajectoires de l'espace des phases a été nommée sensibilité aux conditions initiales. Lorsque cette propriété existe, le système correspondant est considéré comme chaotique.

Le tracé représentant l'évolution d'un système chaotique dans l'espace des phases en fonction du temps se comporte de manière « étrange » par rapport aux attracteurs des systèmes simples comme nous l'avons vu plus haut, c'est pourquoi D. Ruelle l'a nommé « attracteur étrange », ajoutant qu'il considérait sa propre expression comme « psychanalytiquement suggestive » (G. Pragier et S. Faure-Pragier, 1990, p. 1443).

Comme l'expliquent M. Dubois, P. Atten et P. Bergé (1987), le caractère étrange d'un tel attracteur vient du fait que « sa structure doit refléter deux tendances apparemment antagonistes : l'attraction des trajectoires vers l'attracteur et leur divergence sur ce dernier. L'attraction est liée au caractère dissipatif de tout système réel : sous l'effet des forces de frottement, les trajectoires tendent à venir se rejoindre sur l'attracteur. La divergence vient, quant à elle, de la sensibilité aux conditions initiales. La cohabitation de l'attraction et de la divergence apporte une contrainte d'autant plus forte que les trajectoires doivent être décrites continûment (puisqu'elles représentent une dynamique à tout moment), dans un espace confiné (puisque les valeurs des variables, vitesse, angles, etc. du système sont nécessairement limitées) et enfin qu'elles ne peuvent se couper (déterminisme) » (p. 196).

La divergence exponentielle des deux trajectoires reste cependant un phénomène local, et comme les attracteurs ont des dimensions finies, il est impossible que les deux trajectoires divergent de manière infinie, de sorte que l'attracteur doit se replier sur lui-même à un moment ou à un autre. En d'autres termes l'attracteur étrange est le résultat de trois opérations simultanées - contraction, étirement et repliement - qui vont donner naissance à une structure caractéristique en forme de fer à cheval qui va être à son tour aplatie, étirée et repliée. L'attracteur est ainsi fabriqué d'une manière analogue à celle utilisée par le boulanger pour mélanger sa pâte, de sorte qu'il présente une structure feuilletée, « la trajectoire s'emboîtant à l'intérieur d'elle-même à des échelles de plus en plus petites, puisqu'elle ne repasse jamais au même endroit. On retrouve là le concept d'autosimilarité d'un objet fractal » (ibid. p. 198)].

Ainsi, les trajectoires d'un attracteur étrange possèdent également les caractéristiques d'un objet fractal, c'est-à-dire d'un objet qui présente une structuration qui reste du même type quelle que soit l'échelle à laquelle on la regarde. Ce caractère fractal est donc une propriété générale des attracteurs étranges. Il résulte de ce qui précède que, dans un espace ayant au moins trois dimension (ou davantage), un système dynamique non-linéaire peut devenir chaotique. Comme le résument M. Dubois, et coll. « la propriété de sensibilité initiale est donc génératrice de chaos, chaos dont la signature est la présence d'un attracteur étrange dans l'espace des phases. C'est cette signature qui permet d'authentifier un comportement chaotique et de la caractériser quantitativement » (ibid. p. 197).

Multiples applications des attracteurs étranges

Je rappelle que c'est en 1963, en cherchant à comprendre pourquoi il est impossible de faire des prévisions météorologiques à long terme, que E. Lorenz a découvert qu'un modèle relativement simple de la circulation atmosphérique qu'il avait élaboré produisait des effets inattendus, largement divergents, à cause de la sensibilité du système aux conditions initiales. Cette caractéristique était nouvelle, car dans les attracteurs dont nous avons parlé en premier, qui sont non chaotiques, les erreurs ont des conséquences limitées et leur comportement reste prévisible. Par contre, dans les systèmes dynamiques, la sensibilité aux conditions initiales a pour effet que de faibles variations au départ se répercutent sur tout l'attracteur, et il devient impossible de prévoir quoi que ce soit, car il n'existe aucun lien proportionnel de cause à effet (J. Crutchfield et coll., 1987, p. 35).

Depuis ces travaux, on a cherché à trouver des attracteurs étranges dans de nombreux systèmes complexes, comme dans l'écoulement des fluides, dans le laser ou dans le fonctionnement cardiaque, etc. Mais ils ne se rencontrent pas si facilement : « les trouver ressemble plutôt à la cueillette des champignons : il faut savoir où et comment les chercher ! » (M. Dubois et coll., 1987, p. 197). Tant qu'on travaille avec trois variables, il est relativement aisé de « visualiser » le comportement chaotique et d'étudier directement la structure géométrique associée à ce type de comportement. Mais lorsque la dimension de l'espace des phases excède trois, on ne peut plus recourir à des représentations graphiques et l'on doit faire appel à des informations comme la dimension de l'attracteur.

La dimension de l'attracteur va permettre de fournir le nombre minimum de variables nécessaires pour obtenir une description simplifiée mais suffisante du fonctionnement d'un système. Un nombre de variables entre six et sept suffit en général pour le modéliser. « Le problème sera alors de bien analyser le fonctionnement du système physique, d'identifier les mécanismes principaux, les oscillateurs, et d'effectuer des approximations judicieuses. Autrement dit, trouver une dimension assez faible pour nous amener à examiner avec un oeil nouveau le désordre apparent, pour y découvrir les structures organisées sous-jacentes, leurs interactions et leur évolution. Confronté à un phénomène chaotique, il est donc essentiel de déterminer la dimension de l'attracteur étrange qui le caractérise » (ibid., p. 200).

Attracteur et dynamique chaotique

Extraits du texte cité juste au dessus :

Lorsque le système évolue vers un état final d'équilibre, représenté par un point
particulier de l'espace de phases, la trajectoire s'enroule autour de ce point. Le point
d'équilibre étant le même pour toutes les trajectoires issues de points de départ non
trop éloignés, ce point constitue un attracteur. Il peut cependant y avoir plusieurs
attracteurs, et l'ensemble des points de départ aboutissant à chaque attracteur constitue son bassin d'attraction.
Les trajectoires peuvent d'autre part s'enrouler autour d'autre chose qu'un point,
par exemple une courbe ou une surface fermées (cercle ou ellipse dans les cas à deux
variables les plus simples ; tore ou hyper-tore s'il y a plus de deux variables). On a
alors un attracteur cyclique, ce qui signifie que, quel que soit le point de départ
situé dans le bassin d'attraction, la trajectoire finit par rejoindre une figure fermée,
dite cycle limite, parcourue indéfiniment lorsqu'elle est atteinte. Les coordonnées
alors sont périodiques, revenant indéfiniment sur les mêmes valeurs (si le point de
départ est intérieur à l'attracteur cyclique, alors la trajectoire se déroule au lieu de
s'enrouler autour de ce dernier, et le résultat est le même). Enfin, on peut observer
des attracteurs chaotiques.
Deux bassins d'attraction contigus sont séparés par une ligne formée de points au
niveau desquels la trajectoire n'est pas déterminée, et qu'on appelle la ligne de
catastrophes. Cette ligne (parfois fractale) est
un « fil du rasoir » dans le voisinage duquel de petites fluctuations (par exemple
aléatoires) peuvent entraîner le système soit vers un des attracteurs, soit vers l'autre.
Lorsque l'espace d'états est de dimension supérieure ou égale à 3, la représentation des trajectoires est difficile et on a recours, pour les caractériser, aux sections de
Poincaré. On coupe l'ensemble des trajectoires par un plan, et chaque fois qu'une
trajectoire traverse ce plan, elle y marque un point. La suite temporelle de points
obtenus marque le comportement du système.
Ainsi, si la suite temporelle de points converge vers un point d'accumulation,
c'est que la coupe passe par l'attracteur ponctuel, qui est ce point. Si
l'attracteur est cyclique, le plan intersecte le cycle limite en deux points d'accumulation.

1. « Catastrophe » ne doit pas être entendue au sens de « désastre » ... même en écologie ! Il s'agit
(au sens de la théorie des catastrophes de René Thom) du basculement
qualitatif du système en direction d'un nouvel attracteur – changement brusque (et souvent
imprévu) de sa dynamique.

Oscillateurs chaotiques

"Dès 1985, Walter Freeman et ses collègues, de l'Université de Berkeley, se sont intéressés au processus de reconnaissance d'odeurs dans le bulbe olfactif du lapin. En se fondant sur leurs observations, ils ont proposé un mécanisme où la dynamique des signaux observés est chaotique et où la reconnaissance d'une odeur particulière se matérialise par un changement drastique de dynamique que l'on nomme bifurcation : on passe d'un attracteur étrange à un attracteur d'un autre type spécifique de l'odeur reconnue. dans ce modèle, on associe à chaque odeur un attracteur et c'est l'identification de cet attracteur qui permet la reconnaissance de l'odeur."

Hughes Berry et Bruno Cessac dans "Du chaos dans les neurones"

Bifurcations du type Feigenbaum

Autosimilarité

Phénomènes non linéaires, physiques et astrophysiques : un exemple, la Turbulence

Robert Paris — 2012-08-30T02:16:00Z

La turbulence apparaît dans tous les phénomènes dissipatifs non-linéaires, de la physique à l'astrophysique

Léonard de Vinci étudiait la turbulence

Grâce au pouvoir de résolution spécifique du télescope Herschel, les astrophysiciens ont pu pour la première fois mesurer précisément les dimensions des filaments interstellaires. 90 filaments dans les trois nuages IC5146, Aquila et Polaris ont ainsi été passés au crible par les chercheurs. Chaque filament peut s'étendre sur des dizaines d'années lumière dans l'espace. La surprise est venue de la largeur uniforme de tous les filaments observés : les chercheurs ont constaté qu'ils s'étalaient tous sur une bande de près de 0,3 années-lumière (Arzoumanian, D., Ph. André, Ph., Didelon, P. et al. 2011, Astronomy & Astrophysics). Considérée comme petite dans le milieu interstellaire, cette largeur correspond néanmoins à environ 20.000 fois la distance de la Terre au Soleil.

Ce résultat surprenant sur la largeur des filaments interstellaires fournit un deuxième indice quant à leur origine. Le diamètre uniforme de 0,3 années-lumière des filaments se rapproche en effet d'une autre échelle caractéristique connue depuis le début des années 80 dans le milieu interstellaire : l'échelle en dessous de laquelle les mouvements désordonnés qui correspondent à ce que l'on appelle la « turbulence interstellaire » deviennent plus lents que la vitesse du son. A partir de ce constat et d'une comparaison des observations avec plusieurs modèles théoriques, les astronomes de l'équipe du « relevé de la ceinture de Gould » ont pu conclure que les filaments observés avec Herschel sont probablement le résultat direct de la « turbulence interstellaire ».

Cette turbulence correspond à des mouvements de gaz désordonnés se propageant dans les nuages interstellaires. Elle est observée depuis les années 70 par les radioastronomes. Les chercheurs s'interrogent encore sur son origine ; elle ferait suite aux explosions d'étoiles massives en fin de vie - ou supernovae - qui injectent une quantité énorme d'énergie dans le milieu interstellaire.

Les mouvements de gaz désordonnés qui en résultent ont lieu à des vitesses supersoniques3. A l'image du ‘bang' d'un avion passant le mur du son, ils produiraient donc des chocs qui compriment la matière interstellaire, jusqu'à transformer celle-ci en des filaments plus denses que leur milieu environnant.

Lorsqu'on observe ces nuages interstellaires à grande échelle, les vitesses des turbulences interstellaires sont élevées, supersoniques. En revanche, si on cible les observations sur de petites régions interstellaires, les vitesses sont plus faibles, jusqu'à devenir inférieures au mur du son. La largeur observée des filaments correspond justement à l'échelle intermédiaire où les mouvements turbulents sont proches de la vitesse du son. Certains modèles théoriques prédisent d'ailleurs que l'épaisseur caractéristique des structures - telles que des filaments - comprimées par chocs dans les nuages interstellaires doit correspondre à l'échelle « sonique » de la turbulence. Couplé à l'observation d'une profusion de filaments dans des nuages ou cirrus très ténus comme Polaris où les forces de gravité ne peuvent pas être invoquées pour former la texture filamentaire, il s'agit là d'une indication très forte quant à la connexion entre la turbulence interstellaire et l'origine des filaments vus par Herschel.

Lire ici sur la turbulence

Des exemples de turbulence en astrophysique :

Film, La turbulence

Film, Turbulence et stabilité

Film, Fluides et tourbillons

Film, Ronds de fumée

Film, Chaos, imprédictibilité, hasard

Qu'est-ce que le chaos déterministe ?

Faber Sperber, Robert Paris — 2011-09-03T14:33:31Z

Mouvement chaotique et double pendule

Bifurcation de Feigenbaum

Mouvement brownien

Auto-organisation

Résonance sur plaque vibrante

Le moulin de Lorenz

LA "SENSIBILITÉ AUX CONDITIONS INITIALES" SIGNIFIE QUE LES LOIS NE PERMETTENT PAS DE PRÉDIRE PARCE QU'UN TOUT PETIT CHANGEMENT DES VALEURS DE DÉPART ENTRAINE UN AVENIR TRÈS DIFFÉRENT

Ilya Prigogine et Isabelle Stengers dans « Entre le temps et l'éternité » :

Attracteur de Lorenz

ATTRACTEUR DE LORENZ DU CLIMAT

NUAGES, STRUCTURE AUTO-ORGANISEE, DISSPATIVE ET INSTABLE, INTERFACE DYNAMIQUE ET FRACTALE DES PHASES GLACE, LIQUIDE ET VAPEUR D'EAU DANS L'AIR

Le chaos déterministe, ni ordre, ni désordre,

Un monde dynamique non-linéaire aux frontières fractales

FRACTALES DE JULIA ET DE MANDELBROT

FRONTIÈRE FRACTALE DANS UN PROCESSUS DE DIFFUSION

MOUVEMENT BROWNIEN

UNE MONTAGNE REPRÉSENTÉE PAR UNE FONCTION FRACTALE

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La nature en révolution

Qu'est-ce que le chaos déterministe ?

Cette expression mêle des termes apparemment contradictoires : le chaos sous-entendant un désordre et déterministe signifiant un ordre qui obéit à des lois. Cette contradiction dialectique est voulue car il s'agit effectivement de décrire des phénomènes dans lesquels il y a un ordre caché derrière un apparent désordre, avec un désordre à un niveau et un ordre à un autre niveau. Cela a donné naissance à tout un domaine d'étude car les anciens moyens d'investigation n'ont pas cours dans ce cas. le réductionnisme et la description de trajectoires ne sont plus valables dans un phénomène où la structure d'ensemble ne découle pas de la somme des évolutions des éléments. L'imbrication d'ordre et de désordre n'est pas la seule caractéristique du chaos déterministe. Un point crucial est la "sensibilité aux conditions initiales" qui peut être résumée par : petite cause, grands effets. Une autre contradiction apparente est signalée : tout en obéissant à des lois, ces phénomènes ne sont pas prédictibles car susceptibles de bifurcations brutales à grande échelle.

Des systèmes dynamiques non linéaires, ou simplement linéaires par morceau, peuvent faire preuve de comportements complètement imprévisibles, qui peuvent même sembler aléatoires (alors qu'il s'agit de systèmes parfaitement déterministes). Cette imprédictibilité est appelée chaos. La branche des systèmes dynamiques qui s'attache à définir clairement et à étudier le chaos s'appelle la théorie du chaos.
Cette branche des mathématiques décrit qualitativement les comportements à long terme des systèmes dynamiques. Dans ce cadre, on ne met pas l'accent sur la recherche de solutions précises aux équations du système dynamique (ce qui, de toute façon, est souvent sans espoir), mais plutôt sur la réponse à des questions comme « Le système convergera-t-il vers un état stationnaire à long terme, et dans ce cas, quels sont les états stationnaires possibles ? » ou « Le comportement à long terme du système dépend-il des conditions initiales ? ».
Un objectif important est la description des points fixes, ou états stationnaires, du système ; ce sont les valeurs de la variable pour lesquelles elle n'évolue plus avec le temps. Certains de ces points fixes sont attractifs, ce qui veut dire que si le système parvient à leur voisinage, il va converger vers le point fixe.

« Entre le temps et l'éternité »
Ilya Prigogine et Isabelle Stengers

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James Gleick expose le chaos déterministe

Le chaos dans les système inertes et vivants

Pierre Bergé et Yves Pomeau

in Le Chaos, "pour la science", janvier 1995

Les éléments, le feu, l'air et la terre et l'eau,
Enfoncés, entassés, ne faisaient qu'un monceau,
Une contusion, une masse sans forme,
Un désordre, un chaos, une cohue énorme

Jean Racine, Les plaideurs.

Les scientifiques ont repris à leur compte le mot "chaos", autrefois employé par les poètes et dans les mythologies. Aussi le lecteur est il en droit de se poser quelques questions : Qu'est-ce que le chaos ? Où trouve-t-on le chaos ? Comment le chaos apparaît-il ?

En sciences, le chaos est l'art de former du complexe à partir du simple. Former du complexe à partir du complexe ne pose aucun problème : ainsi une particule en suspension dans l'eau est soumise à des millions de chocs de la part des particules qui l'entourent et le mouvement qui en résulte, le mouvement brownien, est compliqué ; cette complexité est inhérente au système.

Dans le chaos, une cause simple, ne faisant intervenir que trois variables, entraîne des effets complexes. Prenons un pendule. C'est un système à deux variables (la position et la vitesse angulaires), et son comportement est régulier : il part de la gauche passe au point le plus bas, remonte à droite, ralentit, repart vers la gauche, et recommence sans cesse. Quand on lui ajoute une troisième variable, par exemple en soulevant périodiquement son extrémité supérieure, alors le système peut devenir chaotique. Aucune des trois variables en jeu n'est aléatoire, et pourtant, on ne peut plus prévoir le mouvement de ce système, qui ne fait jamais deux fois la même chose. Le chaos est donc un phénomène réel que n'importe qui peut expérimenter chez lui. Il suffit de coupler deux systèmes qui, pris indépendamment, sont extrêmement simples. Le chaos n'est pas une cohue énorme ; son désordre n'est qu'apparent. Un système chaotique est imprévisible, mais il est parfaitement décrit par des équations simples et déterministes. Le lien entre ces deux notions paradoxales, déterminisme et imprévisibilité, est la propriété de sensibilité aux conditions initiales : deux conditions initiales semblables peuvent conduire à des états très différents du système. Cette propriété est la principale caractéristique des systèmes chaotiques.

C'est le mathématicien français Henri Poincaré qui, dès la fin du siècle dernier, a mis en évidence l'imprévisibilité d'un système de trois corps en interaction. Il a appliqué cette idée à la question de la stabilité du Système solaire, question qui préoccupe encore des chercheurs comme Michel Hénon, de l'Observatoire de Nice, ou Jacques Laskar, au Bureau des Longitudes, à Paris.

Attracteur de Hénon

L'observation des inversions du champ magnétique terrestre pourrait illustrer l'existence de comportements complexes dans un système simple. Le champ géomagnétique est un effet de dynamo : le noyau terrestre est constitué d'un liquide conducteur qui tourne sur lui même et produit un champ magnétique. Ce système s'auto alimente, car le champ magnétique induit un courant dans le liquide conducteur, qui crée lui même un champ magnétique. Un tel système, modélisé par le Japonais Rikitaké dans les années 1950, peut engendrer une série temporelle chaotique.

Quelques années après Rikitaké, le météorologue Edward Lorenz introduisait le premier modèle d'atmosphère sensible aux conditions initiales ; pourtant son système ne comportait que trois variables. Les modèles d'atmosphère actuels comportent un très grand nombre de variables, mais ils présentent aussi une grande sensibilité aux conditions initiales : dix hypothèses compatibles avec les relevés météorologiques conduisent à dix prévisions, parfois complètement différentes, du temps qu'il fera la semaine suivante. Les météorologues tentent de définir un horizon (une échéance) de prévisibilité. Actuellement, I'échéance de fiabilité des prédictions météorologiques est d'une semaine.

Cette approche serait intéressante en économie. Ainsi l'augmentation d'un impôt peut avoir un effet positif à court terme sur les finances de l'État, mais négatif à long terme s'il appauvrit les ménages. Peut on définir un horizon de prévisibilité pour un tel système ? Les concepts introduits par les théories mathématiques du chaos permettront sans doute une approche plus objective dans des domaines aussi difficiles que l'économie.

La théorie du chaos pourrait aussi avoir une implication en sociologie. Un changement de société s'opère lorsque le nombre de personnes qui interagissent dépasse un certain seuil. Dans une civilisation rurale, chaque individu possède un petit nombre d'interlocuteurs ; la situation est stable. En revanche, dans les civilisations urbaines actuelles, les rapports entre les individus sont multiples. Selon ce schéma, la révolution industrielle serait plutôt due au développement de la civilisation urbaine qu'au progrès technologique.

Enfin le concept de chaos déterministe peut s'appliquer à la biologie. Les battements cardiaques d'un individu au repos présentent des irrégularités. On sait aujourd'hui que ces irrégularités ne sont pas pathologiques,alors qu'un battement régulier l'est. Le comportement chaotique du cœur procure une meilleure adaptabilité. Ainsi lorsque vous sursautez sous l'effet de la surprise, votre cœur accélère, puis retourne vers un battement plus lent : il est capable d'explorer un large domaine de fréquences sans dépasser ses limites de fonctionnement. Toutefois les systèmes biologiques sont complexes et les lois qui les régissent ne sont pas bien connues.

Même lorsque l'on ne connaît pas les lois de la dynamique, il est possible de distinguer un comportement chaotique d'un comportement purement aléatoire. Il faut pour cela tracer un diagramme dans un espace multidimensionnel, appelé espace des phases ou espace des états ; chaque

état du système est représenté dans cet espace par un point dont les coordonnées sont égales aux valeurs numériques des variables du système. Dans cette représentation, un mouvement régulier correspond à un diagramme simple, un attracteur. Si le mouvement est aléatoire, les points représentatifs du système remplissent l'espace des phases au hasard : aucune structure n'apparaît. Quand le mouvement est chaotique, les points représentatifs paraissent à première vue aléatoires. Néanmoins, quand on observe le système suffisamment longtemps,on constate que les points dessinent une forme particulière, qui présente une structure feuilletée.

A cause de cette géométrie particulière, fractale, ces attracteurs sont qualifiés d'étranges. Ils sont la signature du chaos.

Les physiciens Peter Grassberger et Itamar Procaccia ont inventé une méthode théorique pour quantifier l'ordre du chaos. Leur méthode permet de déterminer la dimension de l'attracteur, c'est à dire sa capacité à remplir une région donnée de l'espace des phases. Le groupe de Saclay a été le premier à l'appliquer à des données réelles.

On commence par construire un espace des phases à partir d'un petit nombre de variables : si la dimension de l'espace de construction est inférieure à celle de l'attracteur, on obtient une projection de la trajectoire, qui cache encore sa structure réelle. On augmente alors la dimension de l'espace de construction (on ajoute des variables dans notre description).

Si la dimension calculée du diagramme finit par saturer à une faible valeur, c'est la signature d'un chaos à petit nombre de variables ; la valeur de saturation est la dimension fractale de l'attracteur. Si au contraire cette dimension croît avec la dimension de l'espace de construction, c'est que le système est aléatoire : le nuage de points représentatifs des états successifs du système ne s'organise pas.

On peut aussi identifier le chaos à sa manière d'entrer en scène. On connaît trois grands scénarios de transition vers le chaos : le doublement de période, l'intermittence, et la quasi périodicité. Le phénomène de doublement de période a été découvert en même temps par un jeune chercheur américain de Los Alamos, Mitchell Feigenbaum, et par des chercheurs français, Pierre Coullet, actuellement à l'lnstitut non linéaire de Nice, et Charles Tresser, qui travaille chez IBM.

A mesure que la contrainte augmente, la période d'un oscillateur forcé est multipliée par deux, puis par quatre, par huit, etc. ; ces doublements de période sont de plus en plus rapprochés ; lorsque la période est infinie, le système est chaotique. La turbulence dans les fluides peut apparaître suivant ce scénario.

Un autre scénario de transition vers le chaos est l'intermittence : un mouvement périodique stable est entrecoupé par des bouffées de bruit. Lorsqu'on augmente le paramètre de contrôle, les bouffées de turbulence deviennent de plus en plus fréquentes, et finalement, la turbulence domine. Ce scénario a été décrit théoriquement par l'un de nous (Yves Pomeau) et vérifié expérimentalement par le groupe de Saclay.

Le troisième scénario, la quasipériodicité, intervient quand un deuxième oscillateur perturbe un système initialement périodique. Si le rapport des périodes des deux oscillateurs en présence n'est pas rationnel, alors le système est dit quasipériodique. L'influence des deux oscillateurs l'un sur l'autre conduit à un dérèglement de leur mouvement, comme dans le cas du pendule stimulé verticalement, évoqué plus haut. Ce scénario un peu compliqué est relié à la théorie des nombres, notamment aux travaux de Jean Christophe Yoccoz, lauréat de la Médaille Fields en 1994, pour ses travaux sur les systèmes dynamiques. La contribution des mathématiciens français dans le domaine du chaos n'est donc pas seulement historique !

Mais nous en avons déjà trop dit : laissons le lecteur découvrir le chaos.

Pierre Bergé est physicien au Commissariat à l'énergie atomique, à Saclay, et Yves Pomeau est directeur de recherche au CNRS, dans les laboratoires de L'école normale supérieure.

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FRONTIERE FRACTALE DANS UN PROCESSUS DE DIFFUSION

Extraits de "Entre le temps et l'éternité" de Prigogine et Stengers :

"La raison du chaos quantique est l'apparition des résonances. (...) Ces résonances, qui caractérisent l'ensemble des situations fondamentales de la mécanique quantique, correspondent à des interactions entre champs (c'est-à-dire aussi aux interactions matière-lumière). On peut affirmer que notre accès au monde quantique a pour condition l'existence des systèmes chaotiques quantiques. (...)

« Nous avons surtout souligné les dimensions négatives du chaos dynamique, la nécessité qu'il implique d'abandonner les notions de trajectoire et de déterminisme. Mais l'étude des systèmes chaotiques est également une ouverture ; elle crée la nécessité de construire de nouveaux concepts, de nouveaux langages théoriques. Le langage classique de la dynamique implique les notions de points et de trajectoires, et, jusqu'à présent, nous-mêmes y avons eu recours alors même que nous montrions l'idéalisation – dans ce cas illégitime – dont elles procèdent. Le problème est maintenant de transformer ce langage, de sorte qu'il intègre de manière rigoureuse et cohérente les contraintes que nous venons de reconnaître.
Il ne suffit pas, en effet, d'exprimer le caractère fini de la définition d'un système dynamique en décrivant l'état initial de ce système par une région de l'espace des phases, et non par un point. Car une telle région, soumise à l'évolution que définit la dynamique classique, aura beau se fragmenter au cours du temps, elle conservera son volume dans l'espace des phases. C'est ce qu'exprime un théorème général de la dynamique, le théorème de Liouville. Toutes les tentatives de construire une fonction entropie, décrivant l'évolution d'un ensemble de trajectoires dans l'espace des phases, se sont heurtées au théorème de Liouville, au fait que l'évolution d'un tel ensemble ne peut être décrite par une fonction qui croîtrait au cours du temps.
Or, un argument simple permet de montrer l'incompatibilité, dans le cas d'un système chaotique, entre le théorème de Liouville et la contrainte selon laquelle toute description définit le « pouvoir de résolution » de nos descriptions ; il existera toujours une distance r telle que nous ne pourrons faire de différence entre des points plus proches l'un de l'autre (…) La nouvelle description des systèmes dynamiques chaotiques substitue au point un ensemble correspondant à un fragment de fibre contractante. Il s'agit d'une description non locale, qui tient compte de la contrainte d'indiscernabilité que nous avons définie. Mais cette description n'est pas relative à notre ignorance. Elle donne un sens intrinsèque au caractère fini de nos descriptions : dans le cas où le système n'est pas chaotique, où l'exposant de Lyapounov est de valeur nulle, nous retrouvons la représentation classique, ponctuelle, et les limites mises à la précision de nos mesures n'affectent plus la représentation du système dynamique.
Cette nouvelle représentation brise également la symétrie temporelle. (…) Là où une seule équation d'évolution permettait de calculer l'évolution vers le passé ou vers le futur de points eux-mêmes indifférents à cette distinction, nous avons maintenant deux équations d'évolution différentes. L'une décrirait l'évolution d'un système vers un équilibre situé dans le futur, l'autre décrirait l'évolution d'un système vers un équilibre situé dans le passé.
L'un des grands problèmes de l'interprétation probabiliste de l'évolution vers l'équilibre était que la représentation probabiliste ne donne pas sens à la distinction entre passé et futur. (…) La nouvelle description dynamique que nous avons construite incorpore, en revanche, la flèche du temps (…) Les comportements dynamiques chaotiques permettent de construire ce pont, que Boltzmann n'avait pu créer, entre la dynamique et le monde des processus irréversibles. La nouvelle représentation de l'objet dynamique, non locale et à symétrie temporelle brisée, n'est pas une description approximative, plus pauvre que la représentation classique. Elle définit au contraire cette représentation classique comme relative à un cas particulier. (…) Nous savons aujourd'hui que ces derniers (les systèmes non-chaotiques), qui dominèrent si longtemps l'imagination des physiciens, forment en fait une classe très particulière. (…) C'est en 1892, avec la découverte d'un théorème fondamental par Poincaré ( la loi des trois corps), que se brisa l'image homogène du comportement dynamique : la plupart des systèmes dynamiques, à commencer par le simple système « à trois corps » ne sont pas intégrables.
Comment comprendre cet énoncé ? Depuis les travaux de Hamilton, on sait qu'un même système dynamique peut être représenté de différentes manières équivalentes par une transformation dite canonique (ou unitaire) (…) L'hamiltonien du système est la grandeur qui détermine son évolution temporelle.
Parmi toutes les transformations unitaires, il en existe une qui permet d'aboutir à une représentation privilégiée du système. C'est celle qui fait de l'énergie, c'est-à-dire de l'hamiltonien, une fonction des seuls moments, et non plus des positions. Dans une telle représentation, les mouvements des différentes particules du système sont décrits comme s'ils ne dépendaient plus des positions relatives des particules, c'est-à-dire comme si elles n'étaient plus en interaction. (…) Les mouvements possibles de tels systèmes ont donc la simplicité des mouvements libres. (…)
Or, en 1892, Poincaré montra qu'en général il est impossible de définir la transformation unitaire qui ferait des « actions » des invariants du système. La plupart des systèmes dynamiques n'admettent pas d'invariants en dehors de l'énergie et de la quantité de mouvement, et dès lors ne sont pas intégrables.
La raison de l'impossibilité de définir les invariants du mouvement qui correspondent à la représentation d'un système dynamique intégrable tient à un mécanisme de résonance. (…) Le mécanisme de résonance peut être caractérisé comme un transfert d'énergie entre deux mouvements périodiques couplés dont les fréquences sont entre elles dans un rapport simple.
Ce sont ces phénomènes de résonance – mais, cette fois, entre les différents degrés de liberté qui caractérisent un même système dynamique – qui empêchent que ce système soit mis sous une forme intégrable. La résonance la plus simple entre les fréquences se produit quand ces fréquences sont égales, mais elle se produit aussi à chaque fois que les fréquences sont commensurables, c'est-à-dire chaque fois qu'elles ont entre elles un rapport rationnel. Le problème se complique du fait que de manière générale les fréquences ne sont pas constantes. (…) Ce qui fait que, dans l'espace des phases d'un système dynamique, il y aura des points caractérisés par une résonance, alors que d'autres ne le seront pas. L'existence des points de résonance interdit en général la représentation en termes de variables cycliques, c'est-à-dire une décomposition du mouvement en mouvements périodiques indépendants.
Les points de résonance, c'est-à-dire les points auxquels les fréquences ont entre elles un rapport rationnel, sont rares, comme sont rares les nombres rationnels par rapport aux nombres irrationnels. Dès lors, presque partout dans l'espace des phases, nous aurons des comportements périodiques de type habituel. Néanmoins, les points de résonance existent dans tout le volume fini de l'espace des phases. D'où le caractère effroyablement compliqué de l'image des systèmes dynamiques telle qu'elle nous a été révélée par la dynamique moderne initiée par Poincaré et poursuivie par les travaux de Kolmogoroff, Arnold et Moser.
Si les systèmes dynamiques étaient intégrables, la dynamique ne pourrait nous livrer qu'une image statique du monde, image dont le mouvement du pendule ou de la planète sur sa trajectoire képlérienne constituerait le prototype. Cependant l'existence des résonances dans les systèmes dynamiques à plus de deux corps ne suffit pas pour transformer cette image et la rendre cohérente avec les processus évolutifs étudiés précédemment. Lorsque le volume reste petit, ce sont toujours les comportements périodiques qui dominent. (…)
Cependant, pour les grands systèmes, la situation s'inverse. Les résonances s'accumulent dans l'espace des phases, elles se produisent désormais non plus en tout point rationnel, mais en tout point réel. (…) Dès lors, les comportements non périodiques dominent, comme c'est le cas dans les systèmes chaotiques. (…)
Dans le cas d'un système de sphères dures en collision, Sinaï a pu démontrer l'identité entre comportement cinétique et chaotique, et définir la relation entre une grandeur cinétique comme le temps de relaxation (temps moyen entre deux collisions) et le temps de Lyapounov qui caractérise l'horizon temporel des systèmes chaotiques. (…)
Or, l'atome en interaction avec son champ constitue un « grand système quantique » auquel, nous l'avons démontré, le théorème de Poincaré peut être étendu. (…) La « catastrophe » de Poincaré se répète dans ce cas : contrairement à ce que présupposait la représentation quantique usuelle, les systèmes caractérisés par l'existence de telles résonances ne peuvent être décrits en termes de superposition de fonctions propres de l'opérateur hamiltonien, c'est-à-dire d'invariants du mouvement. Les systèmes quantiques caractérisés par des temps de vie moyens, ou par des comportements correspondants à des « collisions », constituent donc la forme quantique des systèmes dynamiques au comportement chaotique (…)
L'abandon du modèle des systèmes intégrables a des conséquences aussi radicales en mécanique quantique qu'en mécanique classique. Dans ce dernier cas, il impliquait l'abandon de la notion de point et de loi d'évolution réversible qui lui correspond. Dans le second, il implique l'abandon de la fonction d'onde et de son évolution réversible dans l'espace de Hilbert. Dans les deux cas, cet abandon a la même signification : il nous permet de déchiffrer le message de l'entropie. (…)
La collision, transfert de quantité de mouvement et d'énergie cinétique entre deux particules, constitue, du point de vue dynamique, un exemple de résonance. Or, c'est l'existence des points de résonance qui, on le sait depuis Poincaré, empêche de définir la plupart des systèmes dynamiques comme intégrables. La théorie cinétique, qui correspond au cas d'un grand système dynamique ayant des points de résonance « presque partout » dans l'espace des phases , marque donc la transformation de la notion de résonance : celle-ci cesse d'être un obstacle à la description en termes de trajectoires déterministes et prédictibles, pour devenir un nouveau principe de description, intrinsèquement irréversible et probabiliste.
C'est cette notion de résonance que nous avons retrouvée au cœur de la mécanique quantique, puisque c'est elle qu'utilisa Dirac pour expliquer les événements qui ouvrent un accès expérimental à l'atome, l'émission et l'absorption de photons d'énergie spécifique, dont le spectre constitue la véritable signature de chaque type d'atome. (…) Le temps de vie, qui caractérise de manière intrinsèque un niveau excité, dépend, dans le formalisme actuel de la mécanique quantique, d'une approximation et perd son sens si le calcul est poussé plus loin. Dès lors, la mécanique quantique a dû reconnaître l'événement sans pouvoir lui donner de sens objectif. C'est pourquoi elle a pu paraître mettre en question la réalité même du monde observable qu'elle devait rendre intelligible. (…)
Pour expliquer les transitions électroniques spontanées qui confèrent à tout état excité un temps de vie fini, Dirac avait dû faire l'hypothèse d'un champ induit par l'atome et entrant en résonance avec lui. Le système fini que représente l'atome isolé n'est donc qu'une abstraction. L'atome en interaction avec son champ est, lui, un « grand système quantique », et c'est à son niveau que se produit la « catastrophe de Poincaré ».
L'atome en interaction avec le champ qu'il induit ne constitue pas, en effet, un système intégrable et ne peut donc pas plus être représenté par l'évolution de fonction d'onde qu'un système classique caractérisé par des points de résonance ne peut être caractérisé par une trajectoire. C'est là la faille que recélait l'édifice impressionnant de la mécanique quantique. (…) Il est significatif que, partout, nous ayons rencontré la notion de « brisement de symétrie ». Cette notion implique une référence apparemment indépassable à la symétrie affirmée par les lois fondamentales qui constituent l'héritage de la physique. Et, en effet, dans un premier temps, ce sont ces lois qui ont guidé notre recherche. (…) La description à symétrie temporelle brisée permet de comprendre la symétrie elle-même comme relative à la particularité des objets autrefois privilégiés par la physique, c'est-à-dire de situer leur particularité au sein d'une théorie plus générale. »