Une révolution ignorée par Noam Chomsky : la distinction entre les langages mathématiques formels et notre langage universel
27 janvier 2014, 09:41
Ta question "Je trouve quand même intéressant cette distinction entre la sémantique et la syntaxe, entre le sens des mots et les technique de langage, n’est-ce pas la même distinction entre la science et l’art ?" est naturelle.
Cela fut à la base de la démarche de Frege, de Hilbert et même de Godel : que les maths et l’art appartiennent à des domaines différents, les maths semblant beaucoup plus formalisables que l’art.
Leur but fut donc de séparer les mathématiques de la description de la nature, du subjectif, de la sémantique. Ils pensaient qu’un système formel (règles de syntaxe) qui ne prétendrait pas représenter la vérité de la réalité physique éviterait les contradictions.
Or cela ne marcha pas, c’est ce que montra Godel. Il montra que même en mathématiques, on ne peut pas séparer complètement le fond de la forme. On peut le faire pour des langages formels très simples, mais dans lesquels on ne fait pas de mathématiques (calcul des propositions par exemple). Mais il suffit qu’on introduise les nombres entiers 0,1,2,et leur addition dans une théorie (ce ne sont pas des objets mathématiques très compliqués !) ... et la syntaxe ne peut plus être indépendante de la sémantique, leur imbrication aboutit à des problèmes. Techniquement le lien entre sémantique et syntaxe est réalisé par ce qu’on appelle les nombres de Godel. Des phrases aboutissant au paradoxe du menteur avaient été écartées par les constructeurs des langages formels, Godel montra qu’on peut en reconstruire tout de même rien qu’avec le langage arithmétique.
Donc fondamentalement les mathématiques ne sont pas différents du langage universel et de l’art à ce point de vue. Le fond et la forme s’interpénètrent dans tous ces domaines. C’est pourquoi il y a une unité de la connaissance, contraire au réductionnisme que veut réhabiliter Chomsky. La dialectique a définitivement pénétré les mathématiques, c’est le sens du résultat de Godel de 1931.
Ta question "Je trouve quand même intéressant cette distinction entre la sémantique et la syntaxe, entre le sens des mots et les technique de langage, n’est-ce pas la même distinction entre la science et l’art ?" est naturelle.
Cela fut à la base de la démarche de Frege, de Hilbert et même de Godel : que les maths et l’art appartiennent à des domaines différents, les maths semblant beaucoup plus formalisables que l’art.
Leur but fut donc de séparer les mathématiques de la description de la nature, du subjectif, de la sémantique. Ils pensaient qu’un système formel (règles de syntaxe) qui ne prétendrait pas représenter la vérité de la réalité physique éviterait les contradictions.
Or cela ne marcha pas, c’est ce que montra Godel. Il montra que même en mathématiques, on ne peut pas séparer complètement le fond de la forme. On peut le faire pour des langages formels très simples, mais dans lesquels on ne fait pas de mathématiques (calcul des propositions par exemple). Mais il suffit qu’on introduise les nombres entiers 0,1,2,et leur addition dans une théorie (ce ne sont pas des objets mathématiques très compliqués !) ... et la syntaxe ne peut plus être indépendante de la sémantique, leur imbrication aboutit à des problèmes. Techniquement le lien entre sémantique et syntaxe est réalisé par ce qu’on appelle les nombres de Godel. Des phrases aboutissant au paradoxe du menteur avaient été écartées par les constructeurs des langages formels, Godel montra qu’on peut en reconstruire tout de même rien qu’avec le langage arithmétique.
Donc fondamentalement les mathématiques ne sont pas différents du langage universel et de l’art à ce point de vue. Le fond et la forme s’interpénètrent dans tous ces domaines. C’est pourquoi il y a une unité de la connaissance, contraire au réductionnisme que veut réhabiliter Chomsky. La dialectique a définitivement pénétré les mathématiques, c’est le sens du résultat de Godel de 1931.