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Galilée - Dialogue concernant deux nouvelles sciences
jeudi 21 décembre 2023, par
Pour les schéma de la suite, regarder ici :
Pour les défauts de traudction google, lire l’original :
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/tns_draft/tns_001to061.html
PREMIER JOUR
INTERLOCUTEURS : SALVIATI, SAGREDO ET SIMPLICIO
SALV. L’activité constante que vous, Vénitiens, déployez dans votre célèbre arsenal suggère à l’esprit studieux un vaste champ d’investigation, surtout dans la partie du travail qui touche à la mécanique ; car dans ce département tous les types d’instruments et de machines sont constamment construits par de nombreux artisans, parmi lesquels il doit y avoir certains qui, en partie par l’expérience héritée et en partie par leurs propres observations, sont devenus très experts et habiles dans l’explication.
SAGR. Vous avez parfaitement raison. En effet, moi-même, étant curieux de nature, je visite fréquemment ce lieu pour le simple plaisir d’observer le travail de ceux que, en raison de leur supériorité sur les autres artisans, nous appelons « les hommes de premier ordre ». La conférence avec eux m’a souvent aidé. dans l’investigation de certains effets comprenant non seulement ceux qui sont frappants, mais aussi ceux qui sont obscurs et presque incroyables. Parfois aussi j’ai été confus et poussé au désespoir de jamais expliquer quelque chose dont je ne pouvais pas rendre compte, mais que mes sens m’ont dit être vrai. Et malgré le fait que ce que le vieil homme nous a dit tout à l’heure est proverbial et communément accepté, cependant cela m’a semblé tout à fait faux, comme beaucoup d’autres dictons qui ont cours parmi les ignorants ; car je pense qu’ils introduisent ces expressions pour donner l’apparence de savoir quelque chose sur des sujets qu’ils ne comprennent pas. (2) [50]
SALV. Vous vous référez, peut-être, à cette dernière remarque de lui quand nous avons demandé la raison pour laquelle ils employaient des stocks, des échafaudages et des contreventements de plus grandes dimensions pour lancer un grand navire qu’ils ne le font pour un petit ; et il a répondu qu’ils l’ont fait afin d’éviter le danger que le navire se sépare sous son propre poids [ vasta mole ], un danger auquel les petits bateaux ne sont pas soumis ?
SAGR. Oui, c’est ce que je veux dire ; et je me réfère surtout à sa dernière affirmation que j’ai toujours regardée comme une opinion fausse, bien que courante ; à savoir qu’en parlant de ces machines et d’autres similaires, on ne peut pas discuter du petit au grand, car de nombreux appareils qui réussissent à petite échelle ne fonctionnent pas à grande échelle. Or, puisque la mécanique a son fondement dans la géométrie, où la simple taille ne fait pas figure, je ne vois pas que les propriétés des cercles, triangles, cylindres, cônes et autres figures solides changeront avec leur taille. Si, par conséquent, une grande machine est construite de telle manière que ses parties portent entre elles le même rapport que dans une plus petite, et si la plus petite est suffisamment solide pour le but pour lequel elle a été conçue,
SALV. L’opinion commune est ici absolument fausse. En effet, c’est tellement faux que c’est précisément le contraire qui est vrai, à savoir que de nombreuses machines peuvent être construites encore plus parfaitement à grande échelle qu’à petite échelle ; ainsi, par exemple, une horloge qui indique et sonne l’heure peut être rendue plus précise sur une grande échelle que sur une petite. Il y a des gens intelligents qui maintiennent cette même opinion, mais sur des bases plus raisonnables, lorsqu’ils se détachent de la géométrie et soutiennent que les meilleures performances de la grande machine sont dues aux imperfections et aux variations du matériau. Ici, j’espère que vous ne m’accuserez pas [51] d’arrogance si je dis que les imperfections du matériel, même celles qui sont assez grandes pour invalider la preuve mathématique la plus claire, ne suffisent pas à expliquer les écarts constatés entre machines dans le concret et dans l’abstrait. Pourtant, je le dirai et j’affirmerai que, même si les imperfections (3) n’existaient pas et que la matière était absolument parfaite, inaltérable et exempte de toutes variations accidentelles, le seul fait qu’elle soit de la matière fait que la plus grande machine, construite de la même matériau et dans la même proportion que le plus petit, correspondent exactement au plus petit à tous égards, sauf qu’il ne sera pas si fort ou si résistant contre un traitement violent ; plus la machine est grande, plus sa faiblesse est grande. Puisque je suppose que la matière est immuable et toujours la même, il est clair que nous ne sommes pas moins capables de traiter cette propriété constante et invariable d’une manière rigide que si elle appartenait aux mathématiques simples et pures. Par conséquent, Sagredo, vous feriez bien de changer l’opinion que vous, et peut-être aussi de nombreux autres étudiants en mécanique, avez entretenue concernant la capacité des machines et des structures à résister aux perturbations extérieures, pensant que lorsqu’elles sont construites avec le même matériau et maintiennent le même rapport entre parties, ils sont capables également, ou plutôt proportionnellement, de résister ou de céder à ces perturbations et coups extérieurs. Car on peut démontrer par la géométrie que la grande machine n’est pas proportionnellement plus forte que la petite. Enfin, on peut dire que, pour chaque machine et structure, qu’elles soient artificielles ou naturelles, il est fixé une limite nécessaire au-delà de laquelle ni l’art ni la nature ne peuvent dépasser ; il est entendu ici, bien entendu, que la matière est la même et la proportion conservée. et peut-être aussi de nombreux autres étudiants en mécanique, se sont-ils amusés de la capacité des machines et des structures à résister aux perturbations extérieures, pensant que lorsqu’elles sont construites avec le même matériau et maintiennent le même rapport entre les parties, elles sont capables également, ou plutôt proportionnellement, résister ou céder à ces perturbations et coups extérieurs. Car on peut démontrer par la géométrie que la grande machine n’est pas proportionnellement plus forte que la petite. Enfin, on peut dire que, pour chaque machine et structure, qu’elles soient artificielles ou naturelles, il est fixé une limite nécessaire au-delà de laquelle ni l’art ni la nature ne peuvent dépasser ; il est entendu ici, bien entendu, que la matière est la même et la proportion conservée. et peut-être aussi de nombreux autres étudiants en mécanique, se sont-ils amusés de la capacité des machines et des structures à résister aux perturbations extérieures, pensant que lorsqu’elles sont construites avec le même matériau et maintiennent le même rapport entre les parties, elles sont capables également, ou plutôt proportionnellement, résister ou céder à ces perturbations et coups extérieurs. Car on peut démontrer par la géométrie que la grande machine n’est pas proportionnellement plus forte que la petite. Enfin, on peut dire que, pour chaque machine et structure, qu’elles soient artificielles ou naturelles, il est fixé une limite nécessaire au-delà de laquelle ni l’art ni la nature ne peuvent dépasser ; il est entendu ici, bien entendu, que la matière est la même et la proportion conservée. pensant que lorsqu’ils sont construits du même matériau et conservent le même rapport entre les parties, ils peuvent également, ou plutôt proportionnellement, résister ou céder à ces perturbations et coups extérieurs. Car on peut démontrer par la géométrie que la grande machine n’est pas proportionnellement plus forte que la petite. Enfin, on peut dire que, pour chaque machine et structure, qu’elles soient artificielles ou naturelles, il est fixé une limite nécessaire au-delà de laquelle ni l’art ni la nature ne peuvent dépasser ; il est entendu ici, bien entendu, que la matière est la même et la proportion conservée. pensant que lorsqu’ils sont construits du même matériau et conservent le même rapport entre les parties, ils peuvent également, ou plutôt proportionnellement, résister ou céder à ces perturbations et coups extérieurs. Car on peut démontrer par la géométrie que la grande machine n’est pas proportionnellement plus forte que la petite. Enfin, on peut dire que, pour chaque machine et structure, qu’elles soient artificielles ou naturelles, il est fixé une limite nécessaire au-delà de laquelle ni l’art ni la nature ne peuvent dépasser ; il est entendu ici, bien entendu, que la matière est la même et la proportion conservée. Car on peut démontrer par la géométrie que la grande machine n’est pas proportionnellement plus forte que la petite. Enfin, on peut dire que, pour chaque machine et structure, qu’elles soient artificielles ou naturelles, il est fixé une limite nécessaire au-delà de laquelle ni l’art ni la nature ne peuvent dépasser ; il est entendu ici, bien entendu, que la matière est la même et la proportion conservée. Car on peut démontrer par la géométrie que la grande machine n’est pas proportionnellement plus forte que la petite. Enfin, on peut dire que, pour chaque machine et structure, qu’elles soient artificielles ou naturelles, il est fixé une limite nécessaire au-delà de laquelle ni l’art ni la nature ne peuvent dépasser ; il est entendu ici, bien entendu, que la matière est la même et la proportion conservée.
SAGR. Mon cerveau vacille déjà. Mon esprit, comme un nuage momentanément illuminé par un éclair, est un instant rempli d’une lumière inhabituelle, qui maintenant m’appelle et qui soudain se mêle et obscurcit des idées étranges et grossières. D’après ce que vous avez dit, il me semble impossible de construire deux structures similaires du même matériau, mais de tailles différentes et de les avoir proportionnellement solides ; et s’il en était ainsi, il ne serait [52] pas possible de trouver deux perches simples faites du même bois qui soient semblables en force et en résistance mais dissemblables en grandeur.
SALV. C’est ainsi, Sagredo. Et pour s’assurer que nous nous comprenons, je dis que si nous prenons une tige de bois d’une certaine longueur et d’une certaine taille, ajustée, disons, dans un mur à angle droit, i. e. , (4) parallèle à l’horizon, il peut être réduit à une longueur telle qu’il se soutiendra tout seul ; de sorte que si l’on ajoute à sa longueur la largeur d’un cheveu, il se brisera sous son propre poids et sera le seul bâton de ce genre au monde. *Ainsi, si, par exemple, sa longueur est cent fois sa largeur, vous ne pourrez pas trouver une autre tige dont la longueur est aussi cent fois sa largeur et qui, comme la première, est tout juste capable de supporter son propre poids et non plus : tous les plus gros vont casser tandis que tous les plus petits seront assez solides pour supporter quelque chose de plus que leur propre poids. Et ce que j’ai dit à propos de la capacité de se supporter doit être compris comme s’appliquant aussi à d’autres épreuves ; de sorte que si une pièce d’échantillon [ corrente ] portera le poids de dix semblables à elle-même, une poutre [ trave ] ayant les mêmes proportions ne pourra pas supporter dix poutres semblables.
Veuillez observer, messieurs, comment des faits qui semblent au premier abord improbables, même sur peu d’explications, laissent tomber le manteau qui les a cachés et se présentent dans une beauté nue et simple. Qui ne sait pas qu’un cheval tombant d’une hauteur de trois ou quatre coudées se brisera les os, tandis qu’un chien tombant de la même hauteur ou un chat d’une hauteur de huit ou dix coudées ne subira aucune blessure ? Tout aussi inoffensive serait la chute d’une sauterelle d’une tour ou la chute d’une fourmi de la distance de la lune. Les enfants ne tombent-ils pas impunément de hauteurs qui coûteraient à leurs aînés une jambe cassée ou peut-être une fracture du crâne ? Et tout comme les petits animaux sont proportionnellement plus forts et plus robustes que les plus grands, de même les petites plantes sont capables de mieux se tenir debout que les plus grandes. Je suis certain que vous savez tous les deux qu’un chêne de deux cents coudées [braccia ] high ne serait pas capable de maintenir ses propres branches si elles étaient distribuées comme dans un arbre de taille ordinaire ; et que la nature ne peut produire un cheval aussi grand que vingt chevaux ordinaires ou un géant dix fois plus grand qu’un [53] homme ordinaire que par miracle ou en altérant beaucoup les proportions de ses membres et surtout de ses os, qui devraient être considérablement agrandi au-dessus de l’ordinaire. De même la croyance courante selon laquelle, dans le cas des machines artificielles, le très (5) grand et le très petit sont également réalisables et durables est une erreur manifeste. Ainsi, par exemple, un petit obélisque ou une colonne ou autre figure solide peut certainement être posé ou dressé sans danger de se briser, tandis que les grands s’effondreront à la moindre provocation, et cela uniquement à cause de leur propre poids.
Et ici, je dois rapporter une circonstance qui mérite votre attention, comme le sont d’ailleurs tous les événements qui se produisent contre toute attente, surtout lorsqu’une mesure de précaution s’avère être une cause de catastrophe. Une grande colonne de marbre était disposée de telle sorte que ses deux extrémités reposaient chacune sur un morceau de poutre ; un peu plus tard, il vint à l’esprit d’un mécanicien que, pour être doublement sûr qu’il ne casserait pas en son milieu par son propre poids, il serait sage de poser un troisième appui à mi-chemin ; cela parut à tous une excellente idée ; mais la suite a montré que c’était tout le contraire, car il ne s’est pas écoulé beaucoup de mois avant que la colonne ne soit retrouvée fissurée et cassée exactement au-dessus du nouveau support central.
IDOLÂTRER. Un accident très remarquable et tout à fait inattendu, surtout s’il est causé par le placement de ce nouveau support au milieu.
SALV. C’est sûrement l’explication, et dès que la cause est connue, notre surprise s’évanouit ; car lorsque les deux pièces de la colonne ont été placées sur un sol plat, on a observé qu’au bout d’un long moment l’une des poutres d’extrémité s’était décomposée et enfoncée, mais que celle du milieu restait dure et solide, causant ainsi la moitié de la colonne à projeter dans les airs sans aucun support. Dans ces circonstances, le corps s’est donc comporté différemment de ce qu’il aurait fait s’il n’avait été appuyé que sur les premières poutres ; car peu importe à quel point ils auraient pu couler, la colonne serait partie avec eux. C’est un accident qui n’aurait pas pu arriver à une petite colonne, même faite de la même pierre et ayant une longueur correspondant à son épaisseur, c’est-à-dire en conservant le rapport entre l’épaisseur et la longueur trouvé dans le grand pilier. [54]
SAGR. Je suis tout à fait convaincu des faits de l’affaire, mais je ne comprends pas pourquoi la force et la résistance ne sont pas multipliées dans la même proportion que le matériau ; et je suis d’autant plus (6) perplexe qu’au contraire j’ai remarqué dans d’autres cas que la résistance et la résistance à la rupture augmentent dans un rapport plus grand que la quantité de matière. Ainsi, par exemple, si deux clous sont enfoncés dans un mur, celui qui est deux fois plus gros que l’autre supportera non seulement deux fois plus de poids que l’autre, mais trois ou quatre fois plus.
SALV. En effet, vous ne vous tromperez pas beaucoup si vous dites huit fois plus ; ce phénomène ne contredit pas non plus l’autre bien qu’en apparence ils semblent si différents.
SAGR. Ne voulez-vous donc pas, Salviati, lever ces difficultés et éclaircir ces obscurités si possible : car j’imagine que ce problème de résistance ouvre un champ d’idées belles et utiles ; et s’il vous plaît d’en faire le sujet du discours d’aujourd’hui, vous nous imposerez, à Simplicio et à moi, bien des obligations.
SALV. Je suis à votre service si seulement je puis me rappeler ce que j’ai appris de notre Académicien * qui avait beaucoup réfléchi à ce sujet et qui, selon son habitude, avait tout démontré par des méthodes géométriques pour qu’on puisse à juste titre appeler cela une science nouvelle. Car, si certaines de ses conclusions avaient été atteintes par d’autres, d’abord par Aristote, celles-ci ne sont pas les plus belles et, ce qui est plus important, elles n’avaient pas été prouvées de manière rigide à partir de principes fondamentaux. Maintenant, puisque je souhaite vous convaincre par un raisonnement démonstratif plutôt que de vous persuader par de simples probabilités, je supposerai que vous connaissez la mécanique actuelle dans la mesure où elle est nécessaire à notre discussion. Tout d’abord, il faut considérer ce qui se passe lorsqu’un morceau de bois ou tout autre solide solidement cohérent est cassé ;
Pour saisir cela plus clairement, imaginez un cylindre ou un prisme, AB, fait de bois ou d’un autre matériau cohérent solide. Fixez l’extrémité supérieure, A, de sorte que le cylindre pende verticalement. A l’extrémité inférieure, B, attachez le poids C. Il est clair que, si grandes soient-elles, la ténacité et la cohérence [ tenacità e (7) [55] coerenza] entre les parties de ce solide, tant qu’elles ne sont pas infinies, peut être surmontée par la traction du poids C, poids qui peut être augmenté indéfiniment jusqu’à ce que finalement le solide se brise comme une corde. Et comme dans le cas de la corde dont on sait que la force provient d’une multitude de fils de chanvre qui la composent, de même dans le cas du bois, on observe que ses fibres et filaments courent dans le sens de la longueur et la rendent beaucoup plus résistante qu’une corde de chanvre. de même épaisseur. Mais dans le cas d’un cylindre de pierre ou de métal où la cohérence semble être encore plus grande, le ciment qui tient les parties ensemble doit être autre chose que des filaments et des fibres ; et pourtant même cela peut être brisé par une forte traction.
Fig. 1
IDOLÂTRER. Si cette matière est comme vous le dites, je comprends bien que les fibres du bois, étant aussi longues que le morceau de bois lui-même, le rendent fort et résistant contre de grandes forces tendant à le casser. Mais comment peut-on faire une corde de cent coudées de long avec des fibres de chanvre qui n’ont pas plus de deux ou trois coudées de long, et lui donner encore tant de force ? En outre, je serais heureux d’entendre votre opinion sur la manière dont les parties de métal, de pierre et d’autres matériaux ne montrant pas une structure filamenteuse sont assemblées ; car, si je ne me trompe, ils font preuve d’une ténacité encore plus grande.
SALV. Pour résoudre les problèmes que vous soulevez, il sera nécessaire de faire une digression sur des sujets qui ont peu de rapport avec notre propos actuel.
SAGR. Mais si, par des digressions, nous pouvons atteindre une nouvelle vérité, quel mal y a-t-il à en faire une maintenant, afin que nous ne perdions pas cette connaissance, en nous rappelant qu’une telle occasion, une fois omise, peut ne pas revenir ; se rappelant aussi que nous ne sommes pas liés à une méthode fixe et brève mais que nous nous rencontrons uniquement pour notre propre divertissement ? En effet, qui sait si ce n’est que nous pourrons ainsi [56] (8) découvrir fréquemment quelque chose de plus intéressant et de plus beau que la solution originellement recherchée ? Je vous prie donc d’accéder à la demande de Simplicio, qui est aussi la mienne ; car je ne suis pas moins curieux et désireux que lui d’apprendre quel est le matériau liant qui tient ensemble les parties des solides de sorte qu’elles peuvent à peine être séparées. Cette information est également nécessaire pour comprendre la cohérence des parties de fibres elles-mêmes dont certains solides sont constitués.
SALV. Je suis à votre service, puisque vous le désirez. La première question est : Comment des fibres, chacune n’ayant pas plus de deux ou trois coudées de longueur, sont-elles si étroitement liées dans le cas d’une corde de cent coudées de long qu’une grande force [ violenza ] est nécessaire pour la rompre ?
Maintenant, dis-moi, Simplicio, ne peux-tu pas tenir une fibre de chanvre si serrée entre tes doigts que moi, en la tirant par l’autre bout, je la casserais avant de te l’arracher ? Vous le pouvez certainement. Et maintenant, lorsque les fibres de chanvre sont retenues non seulement par les extrémités, mais saisies par le milieu environnant sur toute leur longueur, n’est-il pas manifestement plus difficile de les arracher à ce qui les tient que de les rompre ? Mais dans le cas de la corde, l’acte même de torsion fait que les fils se lient les uns les autres de telle sorte que lorsque la corde est tendue avec une grande force, les fibres se cassent plutôt qu’elles ne se séparent les unes des autres.
Au point où une corde se sépare, les fibres sont, comme tout le monde le sait, très courtes, rien comme une coudée de long, comme elles le seraient si la séparation de la corde se produisait, non par la rupture des filaments, mais par leur glissement. L’autre.
SAGR. Pour confirmer cela, on peut remarquer que les cordes se rompent parfois non pas par une traction longitudinale mais par une torsion excessive. C’est là, me semble-t-il, un argument concluant car les fils se lient si étroitement que les fibres comprimantes ne permettent pas à celles qui sont comprimées d’allonger les spirales ne serait-ce que le peu dont il leur faut s’allonger pour entourent la corde qui, en se tordant, devient plus courte et plus épaisse.
SALV. Vous avez parfaitement raison. Voyez maintenant comment un fait en suggère (9) un autre. Le fil tenu entre les doigts ne cède pas [57] à celui qui veut le retirer même lorsqu’il est tiré avec une force considérable, mais résiste parce qu’il est retenu par une double compression, vu que le doigt supérieur appuie aussi fort sur l’inférieur comme le bas contre le haut. Or, si l’on ne pouvait retenir qu’une seule de ces pressions, il ne fait aucun doute qu’il ne resterait que la moitié de la résistance originelle ; mais comme on ne peut, en soulevant, disons, le doigt supérieur, supprimer l’une de ces pressions sans supprimer également l’autre, il devient nécessaire de conserver l’une d’elles au moyen d’un nouveau dispositif qui fait que le fil se presse contre lui-même. le doigt ou contre un autre corps solide sur lequel il repose ; et c’est ainsi que la force même qui la tire pour l’arracher la comprime de plus en plus à mesure que la traction augmente. Ceci est accompli en enroulant le fil autour du solide à la manière d’une spirale ; et sera mieux compris au moyen d’un chiffre. Soient AB et CD deux cylindres entre lesquels est tendu le fil EF : et pour plus de clarté nous supposerons qu’il s’agit d’une petite corde. Si ces deux cylindres sont pressés fortement l’un contre l’autre, la corde EF, lorsqu’elle est tirée par l’extrémité F, supportera sans aucun doute une traction considérable avant de glisser entre les deux solides en compression. Mais si l’on enlève l’un de ces cylindres, la corde, tout en restant en contact avec l’autre, n’en sera pas empêchée de glisser librement. Par contre, si l’on tient lâchement le cordon contre le haut du cylindre A, l’enroule sous la forme spirale AFLOTR, puis le tire par l’extrémité R, il est évident que la corde commencera à lier le cylindre ; plus le nombre de spirales est grand, plus la corde sera pressée contre le cylindre par une traction donnée. Ainsi, à mesure que le nombre de tours augmente, la ligne deFigure 2(10) le contact devient plus long et par conséquent plus résistant ; de sorte que la corde glisse et cède à la force de traction avec une difficulté croissante. [58]
N’est-il pas clair que c’est précisément le genre de résistance que l’on rencontre dans le cas d’une grosse corde de chanvre où les fibres forment des milliers et des milliers de spirales semblables ? Et, en effet, l’effet contraignant de ces virages est si grand que quelques joncs courts tissés ensemble en quelques spirales entrelacées forment l’une des cordes les plus solides que je crois qu’ils appellent corde de bât [ susta ].
SAGR. Ce que vous dites a éclairci deux points que je ne comprenais pas auparavant. Un fait est que deux, ou au plus trois tours de corde autour de l’axe d’un guindeau peuvent non seulement le maintenir solidement, mais aussi l’empêcher de glisser lorsqu’il est tiré par l’immense force du poids [ forza del peso] qu’il soutient ; et de plus comment, en faisant tourner le guindeau, ce même essieu, par simple frottement de la corde autour de lui, peut s’enrouler et soulever d’énormes pierres tandis qu’un simple garçon est capable de manier le mou de la corde. L’autre fait concerne un appareil simple mais astucieux, inventé par un jeune de mes parents, dans le but de descendre d’une fenêtre au moyen d’une corde sans lacérer les paumes de ses mains, comme cela lui était arrivé peu de temps auparavant et grandement à son malaise. Un petit croquis le fera comprendre. Il prit un cylindre en bois, AB, à peu près aussi épais qu’un bâton de marche et long d’environ une travée : il y coupa un canal en spirale d’environ un tour et demi, et assez grand pour recevoir juste la corde qu’il souhaitait utiliser. Après avoir introduit la corde à l’extrémité A et l’avoir ramenée à l’extrémité B, il renfermait à la fois le cylindre et la corde dans une caisse de bois ou de fer-blanc, articulée sur le côté de manière à pouvoir être facilement ouverte et fermée. Après avoir attaché la corde à un support solide au-dessus, il pouvait, en saisissant et en serrant l’étui à deux mains, se suspendre par les bras. La pression exercée sur la corde, située entre l’étui et le barillet, était telle qu’il pouvait, à volonté, soit saisir l’étuiFigure 3(11) plus fermement et se retenir de glisser, ou relâcher sa prise et descendre aussi lentement qu’il le souhaite. [59]
SALV. Un appareil vraiment ingénieux ! Je sens cependant que, pour une explication complète, d’autres considérations pourraient bien entrer en ligne de compte ; mais je ne dois pas maintenant m’écarter de ce sujet particulier puisque vous attendez d’entendre ce que je pense de la résistance à la rupture d’autres matériaux qui, contrairement aux cordes et à la plupart des bois, ne présentent pas de structure filamenteuse. La cohérence de ces corps est, à mon avis, produite par d’autres causes qu’on peut grouper sous deux chefs. L’une est cette répugnance dont on parle tant que la nature montre envers le vide ; mais cette horreur du vide n’étant pas suffisante, il faut introduire une autre cause sous la forme d’une substance gluante ou visqueuse qui lie fermement les parties constituantes du corps.
Je parlerai d’abord du vide, démontrant par une expérience définie la qualité et la quantité de sa force [ virtù ]. Si vous prenez deux plaques de marbre, de métal ou de verre hautement polies et lisses et que vous les placez face à face, l’une glissera sur l’autre avec la plus grande facilité, montrant de manière concluante qu’il n’y a rien de nature visqueuse entre elles. Mais quand vous essayez de les séparer et de les maintenir à une distance constante, vous trouvez que les plaques présentent une telle répugnance à la séparation que la supérieure emportera la inférieure avec elle et la maintiendra soulevée indéfiniment, même lorsque celle-ci est grande et lourd.
Cette expérience montre l’aversion de la nature pour le vide, même pendant le bref instant nécessaire pour que l’air extérieur s’engouffre et remplisse la région entre les deux plaques. On observe aussi que si deux plaques ne sont pas parfaitement polies, leur contact est imparfait, de sorte que lorsqu’on essaie de les séparer lentement, la seule résistance qui s’offre est celle du poids ; si, cependant, la traction est soudaine, alors la plaque inférieure monte, mais retombe rapidement, n’ayant suivi la plaque supérieure que pendant le très court intervalle de temps nécessaire à l’expansion de la petite quantité d’air restant entre les plaques, en conséquence de leur inadéquation, et pour l’entrée de l’air ambiant. Cette résistance qui s’exerce entre les deux (12) plaques est sans doute également présente entre les parties d’un solide, et entre, au moins en partie, comme cause concomitante de leur cohérence. [60]
SAGR. Permettez-moi de vous interrompre un instant, s’il vous plaît ; car je veux parler d’une chose qui vient de me venir à l’esprit, à savoir, quand je vois comment la plaque inférieure suit la plaque supérieure et avec quelle rapidité elle se soulève, je suis sûr que, contrairement à l’opinion de nombreux philosophes, y compris peut-être même Aristote lui-même, le mouvement dans le vide n’est pas instantané. S’il en était ainsi, les deux plaques mentionnées ci-dessus se sépareraient sans aucune résistance, vu qu’un même instant de temps suffirait pour leur séparation et pour que le milieu environnant s’engouffre et comble le vide entre elles. Le fait que le plateau inférieur suive le plateau supérieur nous permet de déduire, non seulement que le mouvement dans le vide n’est pas instantané, mais aussi qu’entre les deux plateaux, un vide existe réellement, au moins pour un temps très court, suffisante pour permettre au milieu environnant de s’engouffrer et de remplir le vide ; car s’il n’y avait pas de vide, il n’y aurait pas besoin de mouvement dans le milieu. Il faut admettre alors que le vide est parfois produit par un mouvement violent [violenza ] ou contraire aux lois de la nature, (bien qu’à mon avis rien ne se produise contrairement à la nature sauf l’impossible, et cela ne se produit jamais).
Mais ici une autre difficulté surgit. Tandis que l’expérience me convainc de l’exactitude de cette conclusion, mon esprit n’est pas entièrement satisfait quant à la cause à laquelle cet effet doit être attribué. Car la séparation des plaques précède la formation du vide qui se produit à la suite de cette séparation ; et puisqu’il me paraît que, dans l’ordre de la nature, la cause doit précéder l’effet, quoiqu’elle paraisse suivre dans le temps, et que tout effet positif doit avoir une cause positive, je ne vois pas comment l’adhésion de deux plaques et leur résistance à la séparation - des faits réels - peuvent être référés à un vide comme cause lorsque ce vide n’a pas encore suivi. Selon la maxime infaillible du Philosophe, l’inexistant ne peut produire aucun effet. (13)
IDOLÂTRER. Voyant que vous acceptez cet axiome d’Aristote, je ne crois pas que vous rejetiez une autre maxime excellente et sûre de lui, à savoir : la nature n’entreprend que ce qui arrive sans résistance ; et dans ce mot, me semble-t-il, vous trouverez la solution de votre difficulté. Puisque la nature a horreur du vide, elle empêche ce dont un vide résulterait comme une conséquence nécessaire. Ainsi il arrive que la nature empêche la séparation des deux plaques. [61]
SAGR. En admettant maintenant que ce que dit Simplicio est une solution adéquate de ma difficulté, il me semble, si je puis me permettre de reprendre mon argument précédent, que cette résistance même au vide devrait être suffisante pour maintenir ensemble les parties soit de pierre, soit de métal ou les parties de tout autre solide qui sont liées ensemble plus fortement et qui sont plus résistantes à la séparation. Si pour un effet il n’y a qu’une cause, ou si, plusieurs étant assignés, on peut les réduire à une, alors pourquoi ce vide qui existe réellement n’est-il pas une cause suffisante pour toutes sortes de résistances ?
SALV. Je ne veux pas entrer tout à l’heure dans cette discussion pour savoir si le vide seul suffit à maintenir ensemble les parties séparées d’un corps solide ; mais je vous assure que le vide qui agit comme cause suffisante dans le cas des deux plaques ne suffit pas seul à lier ensemble les parties d’un cylindre solide de marbre ou de métal qui, tiré violemment, sépare et divise. Et maintenant, si je trouve une méthode pour distinguer cette résistance bien connue, dépendant du vide, de tout autre type qui pourrait augmenter la cohérence, et si je vous montre que la résistance susmentionnée seule n’est pas suffisante pour un tel effet, voulez-vous n’admets-tu pas que nous soyons obligés d’introduire une autre cause ? Aide-le, Simplicio, puisqu’il ne sait que répondre.
IDOLÂTRER. Certes, l’hésitation de Sagredo doit être due à une autre raison, car il ne peut y avoir aucun doute sur une conclusion à la fois si claire et si logique.
SAGR. Vous avez bien deviné, Simplicio. Je me demandais si, si un million d’or chaque année d’Espagne ne suffisait pas à payer l’armée, il ne faudrait pas (14) prévoir autre chose qu’une petite monnaie pour la solde des soldats. *
Mais vas-y, Salviati ; supposez que j’admette votre conclusion et que je nous montre votre méthode pour séparer l’action du vide des autres causes ; et en le mesurant nous montrer comment il ne suffit pas à produire l’effet en question.
SALV. Votre bon ange vous assiste. Je vous dirai comment séparer la force du vide des autres, et ensuite comment la mesurer. Considérons pour cela une substance continue dont les parties sont dépourvues de toute résistance à la séparation, sauf celle qui dérive du vide, comme c’est le cas de l’eau, fait pleinement démontré par notre académicien dans un de ses traités. Chaque fois qu’un cylindre d’eau est soumis à une traction et [62] offre une résistance à la séparation de ses parties, celle-ci ne peut être attribuée à aucune autre cause qu’à la résistance du vide. Afin de tenter une telle expérience, j’ai inventé un dispositif que je peux mieux expliquer au moyen d’un croquis que par de simples mots. Soit CABD la section transversale d’un cylindre en métal ou, de préférence, en verre, creux à l’intérieur et tourné avec précision. Dans celui-ci est introduit un cylindre de bois parfaitement ajusté, représenté en coupe transversale par EGHF, et capable d’un mouvement de haut en bas. Au milieu de ce cylindre est percé un trou pour recevoir un fil de fer, portant un crochet à l’extrémité K, tandis que l’extrémité supérieure du fil, I, est munie d’une tête conique. Le cylindre en bois est fraisé en partie haute de façon à recevoir, avec un ajustement parfait, la tête conique I du fil, IK, lorsqu’il est tiré vers le bas par l’extrémité K.
Figure 4
Insérez maintenant le cylindre de bois EH dans le cylindre creux AD, de manière à ne pas toucher l’extrémité supérieure de ce dernier mais à laisser libre un espace de deux ou trois largeurs de doigts ; cet espace doit être rempli (15) d’eau en tenant le récipient avec la bouche CD vers le haut, en appuyant sur le bouchon EH, et en même temps en maintenant la tête conique du fil, I, éloignée de la partie creuse du cylindre en bois. L’air peut ainsi s’échapper le long du fil de fer (qui n’est pas serré) dès qu’on appuie sur le bouchon en bois. L’air ayant pu s’échapper et le fil de fer ayant été tiré en arrière de manière à ce qu’il s’adapte parfaitement à la dépression conique du bois, renversez le récipient en l’amenant la bouche vers le bas, et accrocher au crochet K un récipient qui peut être rempli de sable ou de tout matériau lourd en quantité suffisante pour séparer finalement la surface supérieure du bouchon, EF, de la surface inférieure de l’eau à laquelle il était attaché uniquement par la résistance de le vide. Ensuite, pesez le bouchon et le fil avec le récipient attaché et son contenu ; nous aurons alors la force du vide [forza del vacuo ]. Si l’on attache à un cylindre de marbre [63] ou de verre un poids qui, avec le poids du marbre ou du verre lui-même, est juste égal à la somme des poids ci-dessus mentionnés, et s’il se produit une rupture, nous serons alors justifiés dans disant que le vide seul tient ensemble les parties du marbre et du verre ; mais si ce poids ne suffit pas et si la rupture n’a lieu qu’après avoir ajouté, disons, quatre fois ce poids, on sera alors obligé de dire que le vide ne fournit qu’un cinquième de la résistance totale .
IDOLÂTRER. Nul ne peut douter de l’ingéniosité de l’appareil ; pourtant il présente de nombreuses difficultés qui me font douter de sa fiabilité. Car qui nous assurera que l’air ne s’insinue pas entre le verre et le bouchon, même s’il est bien emballé avec de l’étoupe ou un autre matériau souple ? Je me demande aussi si un huilage avec de la cire ou de la térébenthine suffira pour que le cône, I, soit bien ajusté sur son siège. D’ailleurs, les parties de l’eau ne peuvent-elles pas se dilater et se dilater ? Pourquoi l’air ou les exhalaisons ou quelques autres substances plus subtiles ne peuvent-elles pas pénétrer les pores du bois, ou même du verre lui-même ?
SALV. Avec une grande habileté, en effet, Simplicio nous a exposé les difficultés ; et il a même suggéré en partie comment empêcher l’air (16) de pénétrer dans le bois ou de passer entre le bois et le verre. Mais permettez-moi maintenant de souligner qu’au fur et à mesure que notre expérience augmentera, nous apprendrons si oui ou non ces prétendues difficultés existent réellement. Car si, comme c’est le cas de l’air, l’eau est par nature expansible, quoique sous des traitements sévères, on verra le bouchon descendre ; et si l’on mettait une petite excavation dans la partie supérieure du vase de verre, comme indiqué par V, alors l’air ou toute autre substance ténue et gazeuse, qui pourrait pénétrer les pores du verre ou du bois, passerait à travers l’eau et s’accumulerait. dans ce réceptacle V. Mais si ces choses ne se produisent pas, nous pouvons être assurés que notre expérience a été effectuée avec la prudence appropriée ;
SAGR. Grâce à cette discussion, j’ai appris la cause d’un certain effet que je me suis longtemps demandé et désespéré de comprendre. J’ai vu une fois une citerne qui avait été munie d’une pompe sous l’impression erronée que l’eau pourrait ainsi être puisée avec moins d’effort ou en plus grande quantité qu’au moyen du seau ordinaire. La crosse de la pompe portait [64] sa ventouse et son clapet dans la partie supérieure de sorte que l’eau était soulevée par attraction et non par poussée comme c’est le cas avec les pompes dans lesquelles la ventouse est placée plus bas. Cette pompe fonctionnait parfaitement tant que l’eau de la citerne dépassait un certain niveau ; mais en dessous de ce niveau la pompe ne fonctionnait pas. Lorsque j’ai remarqué ce phénomène pour la première fois, j’ai pensé que la machine était en panne ; mais l’ouvrier que j’ai appelé pour la réparer m’a dit que le défaut n’était pas dans la pompe mais dans l’eau qui était tombée trop bas pour être soulevée d’une telle hauteur ; et il ajouta qu’il n’était pas possible, ni par une pompe, ni par aucune autre machine fonctionnant sur le principe de l’attraction, de soulever l’eau d’un cheveu au-dessus de dix-huit coudées ; que la pompe soit grande ou petite, c’est la limite extrême de la portance. Jusqu’à présent, j’avais été si irréfléchi que, bien que je sache qu’une corde, ou une tige de bois ou de fer, si elle était suffisamment longue, se romprait sous son propre poids lorsqu’elle serait tenue par l’extrémité supérieure, cela ne m’était jamais venu à l’esprit (17 ) que la même chose arriverait, mais beaucoup plus facilement, à une colonne d’eau.
SALV. C’est précisément ainsi que cela fonctionne ; cette élévation fixe de dix-huit coudées est vraie pour n’importe quelle quantité d’eau, que la pompe soit grande ou petite ou même aussi fine qu’une paille. On peut donc dire qu’en pesant l’eau contenue dans un tube de dix-huit coudées de longueur, quel que soit son diamètre, on obtiendra la valeur de la résistance du vide dans un cylindre de matière solide quelconque ayant un alésage de ce même diamètre. Et étant allés si loin, voyons combien il est facile de trouver à quelle longueur des cylindres de métal, de pierre, de bois, de verre, etc., de n’importe quel diamètre peuvent s’allonger sans se briser par leur propre poids. [65]
Prenez par exemple un fil de cuivre de n’importe quelle longueur et épaisseur ; fixez l’extrémité supérieure et à l’autre extrémité attachez une charge de plus en plus grande jusqu’à ce que finalement le fil se casse ; que la charge maximale soit, disons, cinquante livres. Alors il est clair que si cinquante livres de cuivre, en plus du poids du fil lui-même qui peut être, disons, 1/8 d’once, sont tirées en fil de cette même taille, nous aurons la plus grande longueur de ce genre de fil. fil qui peut supporter son propre poids. Supposons que le fil qui se casse ait une longueur d’une coudée et un poids de 1/8 d’once ; puis puisqu’il supporte 50 lbs. en plus de son propre poids, i. e. , 4800 huitièmes d’once, il s’ensuit que tous les fils de cuivre, indépendamment de leur grosseur, peuvent se soutenir jusqu’à une longueur de 4801 coudées et pas plus.résistenza ] qui dépend du vide, en le comparant aux autres facteurs de résistance, est égal au poids d’une tige d’eau, longue de dix-huit coudées et aussi épaisse que la tige de cuivre. Si, par exemple, le cuivre est neuf fois plus lourd que l’eau, la résistance à la rupture [ resistenza allo strapparsi ] de toute tige de cuivre, en tant qu’elle dépend du vide, est égale au poids de deux coudées de cette même tige. Par une méthode similaire, on peut (18) trouver la longueur maximale de fil ou de tige de n’importe quel matériau qui supportera juste son propre poids, et peut en même temps découvrir le rôle que joue le vide dans sa résistance à la rupture.
SAGR. Il vous reste encore à nous dire de quoi dépend la résistance à la rupture, autre que celle du vide ; quelle est la substance gluante ou visqueuse qui cimente ensemble les parties du solide ? Car je ne peux pas imaginer une colle qui ne brûle pas dans un four à haute température en deux ou trois mois, ou certainement en dix ou cent. Car si l’or, l’argent et le verre sont maintenus longtemps à l’état fondu et sont retirés du four, leurs parties, en se refroidissant, se réunissent immédiatement et se lient ensemble comme auparavant. Non seulement cela, mais quelle que soit la difficulté qui surgit à l’égard de la cimentation des parties du verre se pose également à l’égard des parties de la colle ; en d’autres termes, qu’est-ce qui tient si fermement ces parties ensemble ? [66]
SALV. Il y a peu de temps, j’ai exprimé l’espoir que votre bon ange pourrait vous aider. Je me retrouve maintenant dans la même situation. L’expérience ne laisse aucun doute que la raison pour laquelle deux plaques ne peuvent être séparées qu’avec un effort violent, c’est qu’elles sont maintenues ensemble par la résistance du vide ; et la même chose peut être dite de deux gros morceaux d’une colonne de marbre ou de bronze. Cela étant, je ne vois pas pourquoi cette même cause n’expliquerait pas la cohérence de parties plus petites et même des plus petites particules de ces matériaux. Or, puisque chaque effet doit avoir une cause vraie et suffisante et que je ne trouve pas d’autre ciment, ne suis-je pas fondé à chercher si le vide n’est pas une cause suffisante ?
IDOLÂTRER. Mais puisque vous avez déjà prouvé que la résistance que le grand vide offre à la séparation de deux grandes parties d’un solide est vraiment très petite en comparaison de cette force de cohésion qui lie ensemble les parties les plus infimes, pourquoi hésitez-vous à considérer cela ce dernier comme quelque chose de très différent du premier ?
SALV. Sagredo a déjà [ p. 13 ci-dessus] a répondu à cette question lorsqu’il a fait remarquer que chaque soldat individuel était (19) payé avec des pièces de monnaie perçues par une taxe générale de sous et de farthings, alors que même un million d’or ne suffirait pas à payer toute l’armée. Et qui sait sinon qu’il peut y avoir d’autres vides extrêmement minuscules qui affectent les plus petites particules de sorte que ce qui lie ensemble les parties contiguës est partout du même tirage ? Laissez-moi vous dire quelque chose qui vient de m’arriver et que je ne présente pas comme un fait absolu, mais plutôt comme une pensée passagère, encore immature et appelant une réflexion plus approfondie. Vous pouvez en prendre ce que vous voulez ; et jugez le reste comme bon vous semble. Parfois, quand j’ai observé comment le feu serpente entre les particules les plus infimes de tel ou tel métal et, même si elles sont solidement cimentées ensemble, les déchire et les sépare, et quand j’ai observé qu’en enlevant le feu, ces particules se réunissent avec la même ténacité qu’au début, sans aucune perte de quantité dans le cas de l’or et avec peu de perte dans le cas des autres métaux , même si ces parties ont été séparées depuis longtemps, j’ai pensé que l’explication pourrait résider dans le fait que les particules extrêmement fines de feu, pénétrant les pores minces du métal (trop petits pour admettre même les plus fines particules d’air ou de beaucoup d’autres fluides), remplirait le petit vide intermédiaire et libérerait ces petites particules de l’attraction. que ces mêmes vides exercent sur eux et qui empêche leur séparation. Ainsi les particules sont capables de [67] se déplacer librement de sorte que la masse [ ces particules se réunissent avec la même ténacité qu’au début, sans aucune perte de quantité dans le cas de l’or et avec peu de perte dans le cas des autres métaux, bien que ces parties aient été séparées depuis longtemps, j’ai pensé que l’explication pourrait résider dans le fait que les particules de feu extrêmement fines, pénétrant les pores minces du métal (trop petits pour admettre même les plus fines particules d’air ou de nombreux autres fluides), rempliraient le petit vide intermédiaire et libéreraient ces petits particules de l’attraction. que ces mêmes vides exercent sur eux et qui empêche leur séparation. Ainsi les particules sont capables de [67] se déplacer librement de sorte que la masse [ ces particules se réunissent avec la même ténacité qu’au début, sans aucune perte de quantité dans le cas de l’or et avec peu de perte dans le cas des autres métaux, bien que ces parties aient été séparées depuis longtemps, j’ai pensé que l’explication pourrait résider dans le fait que les particules de feu extrêmement fines, pénétrant les pores minces du métal (trop petits pour admettre même les plus fines particules d’air ou de nombreux autres fluides), rempliraient le petit vide intermédiaire et libéreraient ces petits particules de l’attraction. que ces mêmes vides exercent sur eux et qui empêche leur séparation. Ainsi les particules sont capables de [67] se déplacer librement de sorte que la masse [ même si ces parties ont été séparées depuis longtemps, j’ai pensé que l’explication pourrait résider dans le fait que les particules extrêmement fines de feu, pénétrant les pores minces du métal (trop petits pour admettre même les plus fines particules d’air ou de nombreux autres fluides), remplirait le petit vide intermédiaire et libérerait ces petites particules de l’attraction. que ces mêmes vides exercent sur eux et qui empêche leur séparation. Ainsi les particules sont capables de [67] se déplacer librement de sorte que la masse [ même si ces parties ont été séparées depuis longtemps, j’ai pensé que l’explication pourrait résider dans le fait que les particules extrêmement fines de feu, pénétrant les pores minces du métal (trop petits pour admettre même les plus fines particules d’air ou de nombreux autres fluides), remplirait le petit vide intermédiaire et libérerait ces petites particules de l’attraction. que ces mêmes vides exercent sur eux et qui empêche leur séparation. Ainsi les particules sont capables de [67] se déplacer librement de sorte que la masse [ remplirait le petit vide intermédiaire et libérerait ces petites particules de l’attraction. que ces mêmes vides exercent sur eux et qui empêche leur séparation. Ainsi les particules sont capables de [67] se déplacer librement de sorte que la masse [ remplirait le petit vide intermédiaire et libérerait ces petites particules de l’attraction. que ces mêmes vides exercent sur eux et qui empêche leur séparation. Ainsi les particules sont capables de [67] se déplacer librement de sorte que la masse [massa ] devient fluide et le reste tant que les particules de feu restent à l’intérieur ; mais s’ils partent et quittent l’ancien vide, alors l’attraction originelle [ attrazzione ] revient et les parties sont à nouveau cimentées ensemble.
En réponse à la question soulevée par Simplicio, on peut dire que bien que chaque vide particulier soit extrêmement petit et donc facilement surmonté, leur nombre est cependant si extraordinairement grand que leur résistance combinée est, pour ainsi dire, multipliée presque sans limite. La nature et la quantité de force [ forza ] qui résulte [ risulta ] de l’addition d’un nombre immense de petites forces [ debolissimi momenti] est clairement illustré par le fait qu’un poids de millions de livres, suspendu (20) par de grands câbles, est surmonté et soulevé, lorsque le vent du sud charrie d’innombrables atomes d’eau, suspendus dans une fine brume, qui se déplaçant dans l’air pénètrent entre les fibres des cordes tendues malgré la force formidable du poids suspendu. Lorsque ces particules pénètrent dans les pores étroits, elles gonflent les cordes, les raccourcissent ainsi et soulèvent nécessairement la masse lourde [ taupe ].
SAGR. Il ne fait aucun doute que toute résistance, tant qu’elle n’est pas infinie, peut être vaincue par une multitude de forces minuscules. Ainsi, un grand nombre de fourmis pourraient transporter à terre un navire chargé de céréales. Et puisque l’expérience nous montre quotidiennement qu’une fourmi peut facilement transporter un grain, il est clair que le nombre de grains dans le navire n’est pas infini, mais tombe en dessous d’une certaine limite. Si vous prenez un autre nombre quatre ou six fois plus grand, et si vous mettez au travail un nombre correspondant de fourmis, elles transporteront le grain à terre et le bateau aussi. Il est vrai que cela demandera un nombre prodigieux de fourmis, mais à mon avis c’est précisément le cas des vides qui lient entre elles les moindres particules d’un métal.
SALV. Mais même si cela exigeait un nombre infini, penseriez-vous toujours que c’est impossible ?
SAGR. Pas si la masse [ mole ] du métal était infinie ; Par ailleurs. . . . [68]
SALV. Sinon quoi ? Maintenant que nous sommes arrivés aux paradoxes, voyons si nous ne pouvons pas prouver que dans une étendue finie il est possible de découvrir un nombre infini de vides. En même temps, nous parviendrons au moins à une solution du plus remarquable de tous ces problèmes qu’Aristote lui-même qualifie de merveilleux ; Je me réfère à ses Questions en Mécanique. Cette solution n’est peut-être pas moins claire et concluante que celle qu’il donne lui-même et bien différente aussi de celle si habilement exposée par le très savant Monseigneur di Guevara. *
Il faut d’abord considérer une proposition, non traitée par d’autres, mais dont dépend la solution du problème et dont, si je ne me trompe, nous tirerons d’autres faits nouveaux et remarquables. Pour plus de clarté, traçons un (21) chiffre précis. A propos de G en tant que centre, décrivez un polygone équiangulaire et équilatéral de n’importe quel nombre de côtés, disons l’hexagone ABCDEF. Semblable à celui-ci et concentrique avec lui, décrivez-en un autre plus petit que nous appellerons HIKLMN. Prolonger le côté AB, du plus grand hexagone, indéfiniment vers S ; prolonger de même le côté correspondant HI du petit hexagone, dans le même sens, de façon que la ligne HT soit parallèle à AS ; et par le centre tracer la ligne GV parallèle aux deux autres. Ceci fait, imaginez le plus grand polygone sur lequel rouler Figure 5[69]
la ligne AS, emportant avec elle le plus petit polygone. Il est évident que, si le point B, extrémité du côté AB, reste fixe au début de la rotation, le point A montera et le point C descendra en décrivant l’arc CQ jusqu’à ce que le côté BC coïncide avec la ligne BQ , égal à BC. Mais pendant cette rotation le point I, sur le plus petit polygone, s’élèvera au-dessus de la droite IT car IB est oblique à AS ; et il ne reviendra sur la ligne IT que lorsque le point C aura atteint la position Q. Le point I, ayant décrit l’arc IO au-dessus de la ligne HT, atteindra la position (22) O en même temps que le côté IK prend la position OP ; mais entre-temps le centre G a parcouru un chemin au-dessus de GV et n’y revient qu’après avoir complété l’arc GC. Cette étape franchie, le plus grand polygone a été amené au repos avec son côté BC coïncidant avec la ligne BQ tandis que le côté IK du plus petit polygone a été amené à coïncider avec la ligne OP, après avoir traversé la portion IO sans la toucher ; aussi le centre G aura atteint la position C après avoir parcouru toute sa course au-dessus de la parallèle GV. Et enfin la figure entière prendra une position similaire à la première, de sorte que si nous continuons la rotation et passons à l’étape suivante, le côté DC du plus grand polygone coïncidera avec la portion QX et le côté KL du plus petit polygone, ayant d’abord sauté l’arc PY, tombera sur YZ, tandis que le centre restant toujours au-dessus de la ligne GV y reviendra en R après avoir sauté l’intervalle CR. Au bout d’une rotation complète le plus grand polygone aura tracé sur la ligne AS, sans rupture, six lignes ensemble égales à son périmètre ; le petit polygone aura également imprimé six lignes égales à son périmètre, mais séparées par l’interposition de cinq arcs, dont les cordes représentent les parties de HT non touchées par le polygone : le centre G n’atteint jamais la ligne GV qu’en six points. Il en résulte que l’espace parcouru par le plus petit polygone est presque égal à celui parcouru par le plus grand, c’est-à-dire que la ligne HT se rapproche de la ligne AS, n’en différant que par la longueur d’une corde de l’un de ces arcs, à condition que nous comprenions que la ligne HT inclut les cinq arcs sautés. le centre G n’atteint jamais la droite GV qu’en six points. Il en résulte que l’espace parcouru par le plus petit polygone est presque égal à celui parcouru par le plus grand, c’est-à-dire que la ligne HT se rapproche de la ligne AS, n’en différant que par la longueur d’une corde de l’un de ces arcs, à condition que nous comprenions que la ligne HT inclut les cinq arcs sautés. le centre G n’atteint jamais la droite GV qu’en six points. Il en résulte que l’espace parcouru par le plus petit polygone est presque égal à celui parcouru par le plus grand, c’est-à-dire que la ligne HT se rapproche de la ligne AS, n’en différant que par la longueur d’une corde de l’un de ces arcs, à condition que nous comprenions que la ligne HT inclut les cinq arcs sautés.
Or cette exposition que j’ai donnée dans le cas de ces hexagones doit être comprise comme applicable à tous les autres polygones, quel que soit le nombre de côtés, pourvu seulement qu’ils soient [70]semblables, concentriques et rigidement liés, de sorte que lorsque le plus grand on tourne le moindre tournera aussi si petit soit-il. Vous devez aussi comprendre que les lignes décrites par ces deux sont à peu près égales pourvu qu’on inclue dans l’espace parcouru par la plus petite les intervalles qui ne sont touchés par aucune partie du périmètre de ce plus petit polygone. (23) Supposons qu’un grand polygone de, disons, mille côtés fasse une rotation complète et trace ainsi une ligne égale à son périmètre ; en même temps le petit passera sur une distance approximativement égale, composée de mille petites portions, chacune égale à un de ses côtés, mais interrompu par mille espaces que, contrairement aux portions qui coïncident avec les côtés du polygone, nous pouvons appeler vides. Jusqu’à présent, la question est exempte de difficulté ou de doute.
Mais supposons maintenant qu’à propos de n’importe quel centre, disons A, nous décrivions deux cercles concentriques et rigidement connectés ; et supposons que des points C et B, sur leurs rayons, soient tirées les tangentes CE et BF et que par le centre A la droite AD leur soit tracée parallèlement, alors si le grand cercle fait un tour complet le long de la droite BF , égal non seulement à sa circonférence mais aussi aux deux autres droites CE et AD, dites-moi ce que fera le petit cercle et aussi ce que fera le centre. Quant au centre, il traversera et touchera certainement toute la ligne AD tandis que la circonférence du plus petit cercle aura mesuré par ses points de contact toute la ligne CE, comme le faisaient les polygones précités. La seule différence est que la ligne HT n’était pas en tout point en contact avec le périmètre du plus petit polygone, mais il restait intact autant d’espaces vacants qu’il y avait d’espaces coïncidant avec les côtés. Mais ici, dans le cas des cercles, la circonférence du plus petit ne quitte jamais la ligne CE, de sorte qu’aucune partie de celle-ci n’est laissée intacte, et il n’y a jamais non plus de moment où un point du cercle ne soit en contact avec la ligne droite. ligne. Comment maintenant le plus petit cercle peut-il parcourir une longueur supérieure à sa circonférence à moins qu’il n’aille par sauts ?
SAGR. Il me semble qu’on peut dire que de même que le centre du cercle, par lui-même, porté le long de la ligne AD est constamment en contact avec lui, bien qu’il ne soit qu’un seul point, de même les points sur la circonférence du plus petit cercle , emporté par le mouvement du grand cercle, glisserait sur quelques petites parties de la ligne CE. [71]
SALV. Il y a deux raisons pour lesquelles cela ne peut pas arriver. D’abord (24) parce qu’il n’y a pas lieu de penser qu’un point de contact, comme celui en C, plutôt qu’un autre, doive glisser sur certaines portions de la ligne CE. Mais si de tels glissements le long de CE se produisaient, ils seraient en nombre infini puisque les points de contact (n’étant que des points) sont en nombre infini : un nombre infini de glissements finis formeront cependant une ligne infiniment longue, alors qu’en fait les la droite CE est finie. L’autre raison est que, comme le grand cercle, dans sa rotation, change continuellement de point de contact, le petit cercle doit faire de même parce que B est le seul point à partir duquel une ligne droite peut être tirée vers A et passer par C. En conséquence, le le petit cercle doit changer de point de contact chaque fois que le grand change : aucun point du petit cercle ne touche la droite CE en plus d’un point. Non seulement cela, mais même dans la rotation des polygones, il n’y avait aucun point sur le périmètre du plus petit qui coïncidait avec plus d’un point sur la ligne traversée par ce périmètre ; ceci est immédiatement clair si l’on se souvient que la ligne IK est parallèle à BC et que, par conséquent, IK restera au-dessus de IP jusqu’à ce que BC coïncide avec BQ, et que IK ne reposera sur IP qu’à l’instant même où BC occupera la position BQ ; à cet instant toute la ligne IK coïncide avec OP et aussitôt après s’élève au-dessus d’elle. ceci est immédiatement clair si l’on se souvient que la ligne IK est parallèle à BC et que, par conséquent, IK restera au-dessus de IP jusqu’à ce que BC coïncide avec BQ, et que IK ne reposera sur IP qu’à l’instant même où BC occupera la position BQ ; à cet instant toute la ligne IK coïncide avec OP et aussitôt après s’élève au-dessus d’elle. ceci est immédiatement clair si l’on se souvient que la ligne IK est parallèle à BC et que, par conséquent, IK restera au-dessus de IP jusqu’à ce que BC coïncide avec BQ, et que IK ne reposera sur IP qu’à l’instant même où BC occupera la position BQ ; à cet instant toute la ligne IK coïncide avec OP et aussitôt après s’élève au-dessus d’elle.
SAGR. C’est une question très complexe. Je ne vois aucune solution. Veuillez nous l’expliquer.
SALV. Revenons à l’examen des polygones mentionnés ci-dessus dont nous comprenons déjà le comportement. Maintenant, dans le cas de polygones à 100 000 côtés, la ligne traversée par le périmètre du plus grand, i. e. , la ligne tracée par ses 100 000 côtés l’un après l’autre est égale à la ligne tracée par les 100 000 côtés du plus petit, à condition d’inclure les 100 000 espaces vacants intercalés. Ainsi dans le cas des cercles, polygones ayant une infinité de côtés, la ligne parcourue par les [ cantinuamente disposti] l’infinitude des côtés est dans le grand cercle égale à la ligne tracée par l’infinitude des côtés dans le petit cercle mais à l’exception que ces derniers alternent avec des espaces vides ; et puisque les côtés ne sont pas en nombre fini, mais infinis, les espaces vides intermédiaires (25) ne sont pas non plus finis mais infinis. La ligne parcourue par le plus grand cercle consiste alors en un nombre infini de points qui le remplissent complètement ; tandis que celui qui est tracé par le plus petit cercle consiste en un nombre infini de points qui laissent des espaces vides et ne remplissent qu’en partie la ligne. Et ici, je veux que vous remarquiez qu’après avoir divisé et résolu une ligne en un nombre fini de parties, c’est-à-dire en un nombre qui peut être compté.continue ] et étaient reliés sans l’interposition d’autant d’espaces vides. Mais si l’on considère la ligne résolue en un nombre infini de parties infiniment petites et indivisibles, on pourra concevoir la ligne étendue indéfiniment par l’interposition, non d’un fini, mais d’un nombre infini d’espaces vides indivisibles infiniment petits.
Or, ce qui a été dit au sujet des lignes simples doit s’entendre également dans le cas des surfaces et des corps solides, étant supposé qu’ils sont constitués d’un nombre infini et non fini d’atomes. Un tel corps une fois divisé en un nombre fini de parties, il est impossible de les rassembler de manière à occuper plus d’espace qu’auparavant, à moins d’interposer un nombre fini d’espaces vides, c’est-à-dire des espaces libres de la substance dont le solide est constitué. fabriqué. Mais si nous imaginons le corps, par une analyse extrême et finale, résolu en ses éléments primaires, en nombre infini, alors nous pourrons les penser comme indéfiniment étendus dans l’espace, non par l’interposition d’un fini, mais d’un nombre infini d’espaces vides.
IDOLÂTRER. Il me semble que vous vous dirigez vers ces vides prônés par un certain philosophe antique.
SALV. Mais vous avez omis d’ajouter « qui a renié la Providence divine », remarque inopportune faite en pareille occasion par un certain antagoniste de notre académicien. (26)
IDOLÂTRER. Je remarquai, non sans indignation, la rancœur de cet adversaire méchant ; J’omets d’autres références à ces affaires, non seulement par souci de forme, mais aussi parce que je sais à quel point elles sont désagréables pour l’esprit bien trempé et bien ordonné d’une personne aussi religieuse et pieuse, aussi orthodoxe et craignant Dieu que vous.
Mais pour revenir à notre sujet, votre discours précédent me laisse bien des difficultés que je ne puis résoudre. La première d’entre elles est que, si les circonférences des deux cercles sont égales aux deux droites CE et BF, la seconde considérée comme un continuum, la première comme interrompue par une infinité de points vides, je ne vois pas comment il en est. possible de dire que la ligne AD décrite par le centre, et composée d’une infinité de points, est égale à ce centre qui est un point unique. D’ailleurs cette construction de droites à partir de points, de divisibles à partir d’indivisibles et de finis à partir d’infinis, m’offre un obstacle difficile à éviter ; et la nécessité d’introduire le vide, si définitivement réfutée par Aristote, présente la même difficulté.
SALV. Ces difficultés sont réelles ; et ils ne sont pas les seuls. Mais rappelons-nous qu’il s’agit d’infinis et d’indivisibles, qui transcendent tous deux notre entendement fini, les premiers à cause de leur grandeur, les seconds à cause de leur petitesse. Malgré cela, les hommes ne peuvent s’empêcher d’en parler, même s’il faut le faire de manière détournée.
C’est pourquoi je voudrais également prendre la liberté de présenter quelques-unes de mes idées qui, bien que pas nécessairement convaincantes, seraient, du moins en raison de leur nouveauté, quelque peu surprenantes. Mais une telle diversion nous éloignerait peut-être trop du sujet en discussion et pourrait donc vous paraître inopportune et peu agréable.
SAGR. Jouissons-nous, je vous prie, des avantages et des privilèges qui viennent de la conversation entre amis, surtout sur des sujets librement choisis et non imposés, une matière très différente de traiter des livres morts qui soulèvent de nombreux doutes mais n’en lèvent aucun. Partagez donc avec nous les réflexions (27) que notre discussion vous a suggérées ; car puisque nous sommes libérés des affaires urgentes, il y aura amplement de temps pour poursuivre les sujets déjà mentionnés ; et en particulier les objections soulevées par Simplicio ne doivent en aucune manière être négligées.
SALV. Certes, puisque vous le désirez. La première question était : Comment un seul point peut-il être égal à une droite ? Puisque je ne peux pas faire plus pour le moment, je vais essayer d’écarter, ou du moins de diminuer, une invraisemblance en en introduisant une semblable ou une plus grande, comme quelquefois un prodige est diminué par un miracle. *
Et cela, je le ferai en vous montrant deux surfaces égales, ainsi que deux solides égaux situés sur ces mêmes surfaces comme bases, qui tous les quatre diminuent continûment et uniformément de telle manière que leurs restes conservent toujours l’égalité entre eux, et enfin les deux les surfaces et les solides terminent leur précédente égalité constante en dégénérant, l’un solide et l’une surface en une ligne très longue, l’autre solide et l’autre surface en un seul point ; c’est-à-dire le dernier à un point, le premier à un nombre infini de points. [74]
SAGR. Cette proposition me paraît merveilleuse, en effet ; mais écoutons l’explication et la démonstration.
SALV. La preuve étant purement géométrique, nous aurons besoin d’une figure. Soit AFB un demi-cercle de centre en C ; à ce sujet décrire le rectangle ADEB et à partir du centre tracer les lignes droites CD et CE jusqu’aux points D et E. Imaginez le rayon CF à tracer perpendiculairement à l’une des lignes AB ou DE, et la figure entière à tourner autour de ce rayon comme axe. Il est clair que le rectangle ADEB décrira donc un cylindre, le demi-cercle AFB un hémisphère, et le triangle CDE, un cône. Enlevons ensuite l’hémisphère mais laissons le cône et le reste du cylindre, que, à cause de sa forme, nous appellerons un « bol ». Nous prouverons d’abord que le bol et le cône sont égaux ; puis nous montrerons qu’un plan parallèle au cercle qui forme la base de la cuvette et qui a pour diamètre DE et F pour centre — plan dont la trace est GN — coupe la cuvette aux points G, I, O, N, et le cône aux points H, L, de sorte que la partie du cône indiquée par CHL soit toujours égale (28) à la partie de la cuvette dont le profil est représenté par les triangles GAI et BON. En plus de cela, nous prouverons que la base du cône, i. e. , le cercle dont le diamètre est HL, est égal à la surface circulaire qui forme la base de cette portion de la cuvette, ou comme on pourrait dire, égal à un ruban dont la largeur est GI. (Notez en passant la nature des définitions mathématiques qui consistent simplement à imposer des noms ou, si vous préférez,Figure 6[75]
quel nom voulez-vous, il suffit de comprendre que le plan, tracé à une hauteur quelconque, tant qu’il est parallèle à la base, i. e. , au cercle dont le diamètre est DE, coupe toujours les deux solides de sorte que la portion CHL du cône soit égale à la portion supérieure de la cuvette ; de même les deux aires qui sont les bases de ces solides Y à savoir la bande et le cercle HL, sont également égales. Nous avons ici le miracle mentionné ci-dessus ; à mesure que le plan de coupe se rapproche de la ligne AB, les portions des solides coupées sont toujours égales, ainsi que les aires de leurs bases. Et au fur et à mesure que le plan de coupe approche du sommet, les deux solides (toujours égaux) ainsi que leurs bases (aires également égales) disparaissent finalement, une paire dégénérant en circonférence d’un cercle, l’autre en un seul point , à savoir, le bord supérieur du bol et le sommet du cône. Or, puisque ces solides diminuant l’égalité se maintient entre eux jusqu’au dernier, nous sommes fondés à dire qu’à l’extrême et dernière fin de cette diminution, ils sont encore égaux et que l’un n’est pas infiniment plus grand que l’autre. Il semble donc que nous puissions assimiler la circonférence d’un grand cercle à un seul point. Et ce qui est vrai des solides est vrai aussi des surfaces qui (29) forment leurs bases ; car celles-ci aussi conservent l’égalité entre elles dans toute leur diminution et finissent par s’évanouir, l’une dans la circonférence d’un cercle, l’autre en un seul point. Ne les appellerons-nous donc pas égaux vu qu’ils sont les dernières traces et les restes d’égales grandeurs ? Notez également que, même si ces vaisseaux étaient assez grands pour contenir d’immenses hémisphères célestes, leurs bords supérieurs et les sommets des cônes qu’ils contiennent resteraient toujours égaux et s’évanouiraient, les premiers en cercles ayant les dimensions des plus grandes orbites célestes, les seconds en un seul points. Ainsi, conformément à ce qui précède, nous pouvons dire que toutes les circonférences des cercles, quelque différentes qu’elles soient, sont égales entre elles, et sont chacune égales à un seul point.
SAGR. Cette présentation me paraît si intelligente et nouvelle que, même si j’en étais capable, je ne voudrais pas m’y opposer ; car défigurer une si belle structure par une attaque brutale et pédante ne serait rien de moins qu’un péché. Mais pour notre entière satisfaction [76] je vous prie de nous donner cette preuve géométrique qu’il y a toujours égalité entre ces solides et entre leurs bases ; car elle ne peut, je pense, manquer d’être très ingénieuse, vu la subtilité de l’argument philosophique fondé sur ce résultat.
SALV. La démonstration est à la fois courte et facile. En se référant à la figure précédente, puisque IPC est un angle droit, le carré du rayon IC est égal à la somme des carrés des deux côtés IP, PC ; mais le rayon IC est égal à AC et aussi à GP, tandis que CP est égal à PH. Par conséquent, le carré de la ligne GP est égal à la somme du carré (26s de IP et PH, ou en multipliant par 4, nous avons le carré du diamètre GN égal à la somme des carrés sur IO et HL. Et, puisque les aires des cercles sont entre elles comme les carrés de leurs diamètres, il s’ensuit que l’aire du cercle dont le diamètre est GN est égale à la somme des aires des cercles ayant des diamètres IO et HL, de sorte que si l’on enlève le aire commune du cercle ayant IO pour diamètre l’aire restante du cercle GN sera égale à l’aire du cercle dont le diamètre est HL. Voilà pour la première partie. Quant à l’autre partie, nous laissons sa démonstration pour le moment, en partie (30) parce que ceux qui voudront la suivre la trouveront dans la douzième proposition du deuxième livre du De centro gravitatis solidorum de l’Archimède de notre époque, Luca Valerio ,* qui s’en sont servis pour un objet différent, et en partie parce que, pour notre propos, il suffit d’avoir vu que les surfaces précitées sont toujours égales et que, à mesure qu’elles diminuent uniformément, elles dégénèrent, l’une en un seul point, l’autre dans la circonférence d’un cercle plus grand que tout assignable ; dans ce fait réside notre miracle. ** en partie (30) parce que ceux qui voudront la suivre la trouveront dans la douzième proposition du deuxième livre du De centro gravitatis solidorum de l’Archimède de notre époque, Luca Valerio*, qui s’en servit pour un objet différent, et en partie car, pour notre propos, il suffit d’avoir vu que les surfaces précitées sont toujours égales et que, à mesure qu’elles diminuent uniformément, elles dégénèrent, l’une en un seul point, l’autre en la circonférence d’un cercle plus grand que tout cessible ; dans ce fait réside notre miracle. ** en partie (30) parce que ceux qui voudront la suivre la trouveront dans la douzième proposition du deuxième livre du De centro gravitatis solidorum de l’Archimède de notre époque, Luca Valerio*, qui s’en servit pour un objet différent, et en partie car, pour notre propos, il suffit d’avoir vu que les surfaces précitées sont toujours égales et que, à mesure qu’elles diminuent uniformément, elles dégénèrent, l’une en un seul point, l’autre en la circonférence d’un cercle plus grand que tout cessible ; dans ce fait réside notre miracle. ** l’autre dans la circonférence d’un cercle plus grand que tout assignable ; dans ce fait réside notre miracle. ** l’autre dans la circonférence d’un cercle plus grand que tout assignable ; dans ce fait réside notre miracle. **
SAGR. La démonstration est ingénieuse et les inférences qui en sont tirées sont remarquables. Et maintenant, écoutons quelque chose concernant l’autre difficulté soulevée par Simplicio, si vous avez quelque chose de spécial à dire, qui, cependant, me semble à peine possible, puisque la question a déjà été si bien discutée.
SALV. Mais j’ai quelque chose de particulier à dire, et je répéterai d’abord ce que je disais tout à l’heure, à savoir que l’infinité et l’indivisibilité nous sont par nature incompréhensibles ; imaginez alors ce qu’ils sont lorsqu’ils sont combinés. Cependant, si [77] nous voulons construire une ligne à partir de points indivisibles, nous devons en prendre un nombre infini, et sommes donc obligés de comprendre à la fois l’infini et l’indivisible. Beaucoup d’idées m’ont traversé l’esprit à ce sujet, dont certaines, peut-être les plus importantes, dont je ne pourrai peut-être pas me souvenir sous l’impulsion du moment ; mais au cours de notre discussion, il se peut que j’éveille en vous, et surtout en Simplicio, des objections et des difficultés qui à leur tour me rappelleront ce qui, sans un tel stimulant, serait resté en sommeil dans mon esprit. Permettez-moi donc la liberté habituelle d’introduire certaines de nos fantaisies humaines, car nous pouvons en effet les appeler ainsi en comparaison avec la vérité surnaturelle qui fournit le seul recours vrai et sûr pour la décision dans nos discussions et qui est un guide infaillible dans l’obscurité et l’incertitude. chemins de pensée. (31) L’une des principales objections avancées contre cette accumulation de quantités continues à partir de quantités indivisibles [continuo d’ indivisibili ] est que l’addition d’un indivisible à un autre ne peut produire un divisible, car s’il en était ainsi, cela rendrait l’indivisible divisible. Ainsi, si deux indivisibles, disons deux points, peuvent être unis pour former une quantité, disons une ligne divisible, alors une ligne encore plus divisible pourrait être formée par l’union de trois, cinq, sept ou tout autre nombre impair de points. Comme cependant ces lignes peuvent être coupées en deux parties égales, il devient possible de couper l’indivisible, qui se trouve exactement au milieu de la ligne. En réponse à cette objection et à d’autres du même type, nous répondons qu’une grandeur divisible ne peut pas être construite à partir de deux ou dix ou cent ou mille indivisibles, mais en exige un nombre infini.
IDOLÂTRER. Ici se présente une difficulté qui me paraît insoluble. Puisqu’il est clair qu’on peut avoir une ligne plus grande qu’une autre, contenant chacune une infinité de points, on est forcé d’admettre qu’à l’intérieur d’une même classe, on peut avoir quelque chose de plus grand que l’infini, parce que l’infinité des points dans la ligne longue est supérieure à l’infinité de points de la ligne courte. Cette attribution à une quantité infinie d’une valeur supérieure à l’infini est tout à fait au-delà de ma compréhension.
SALV. C’est une des difficultés qui surgissent quand nous essayons, avec nos esprits finis, de discuter de l’infini, en lui attribuant les propriétés que nous donnons au fini et au limité ; mais [78] je pense que cela est faux, car nous ne pouvons pas parler de quantités infinies comme étant l’une supérieure ou inférieure ou égale à une autre. Pour le prouver, j’ai en tête un argument que, par souci de clarté, je poserai sous forme de questions à Simplicio qui a soulevé cette difficulté.
Je prends pour acquis que vous savez lesquels des nombres sont des carrés et lesquels ne le sont pas.
IDOLÂTRER. Je sais bien qu’un nombre au carré est celui qui résulte de la multiplication d’un autre nombre par lui-même ; ainsi 4, 9, etc. , sont des nombres au carré qui proviennent de la multiplication de 2, 3, etc. , par eux-mêmes. (32) SALV. Très bien ; et vous savez aussi que tout comme les produits sont appelés carrés, les facteurs sont appelés côtés ou racines ; tandis que d’autre part les nombres qui ne consistent pas en deux facteurs égaux ne sont pas des carrés. Par conséquent, si j’affirme que tous les nombres, y compris les carrés et les non-carrés, sont plus que les seuls carrés, je dirai la vérité, n’est-ce pas ?
IDOLÂTRER. Certainement.
IDOLÂTRER. Si je demandais encore combien de carrés il y a, on pourrait répondre avec vérité qu’il y en a autant que le nombre correspondant de racines, puisque chaque carré a sa propre racine et chaque racine son propre carré, tandis qu’aucun carré n’a plus d’une racine et aucun racine plus d’un carré.
IDOLÂTRER. Précisément.
SALV. Mais si je demande combien il y a de racines, on ne peut nier qu’il y en a autant qu’il y a de nombres, car chaque nombre est la racine d’un carré. Ceci posé, il faut dire qu’il y a autant de carrés que de nombres car ils sont aussi nombreux que leurs racines, et tous les nombres sont des racines. Pourtant, au début, nous avons dit qu’il y avait beaucoup plus de nombres que de carrés, puisque la plus grande partie d’entre eux ne sont pas des carrés. Non seulement cela, mais le nombre proportionnel de carrés diminue à mesure que nous passons à des nombres plus grands. Ainsi jusqu’à 100 nous avons 10 carrés, c’est-à-dire que les carrés constituent 1/10 de tous les nombres ; jusqu’à 10000, nous trouvons seulement 1/100 [79] partie d’être des carrés ; et jusqu’à un million seulement 1/1000 partie ; d’autre part en nombre infini, si l’on pouvait concevoir une telle chose,
SAGR. Que faut-il alors conclure dans ces circonstances ?
SALV. Autant que je sache, nous ne pouvons qu’inférer que la totalité de tous les nombres est infinie, que le nombre de carrés est infini et que le nombre de leurs racines est infini ; ni le nombre de carrés n’est inférieur à la totalité de tous les nombres, ni ce dernier supérieur au premier ; et enfin les attributs "égal", "plus grand" et "moins" ne s’appliquent pas à des quantités infinies (33), mais seulement à des quantités finies. Quand donc Simplicio introduit plusieurs lignes de longueurs différentes et me demande comment il est possible que les les plus longues ne contiennent pas plus de points que les plus courtes, je lui réponds qu’une ligne ne contient pas plus ou moins ou autant de points qu’une autre, mais que chaque ligne en contient une infinité, ou si je lui avais répondu que les points dans une ligne étaient égaux en nombre aux carrés ; dans une autre, supérieur à la totalité des nombres ; et dans le petit, autant que le nombre de cubes, n’aurais-je pas, en effet, pu le satisfaire en plaçant ainsi plus de points dans une ligne que dans une autre et en maintenant cependant un nombre infini dans chacune ? Voilà pour la première difficulté.
SAGR. Je vous prie de m’arrêter un instant et permettez-moi d’ajouter à ce qui a déjà été dit une idée qui vient de me venir à l’esprit. Si ce qui précède est vrai, il me semble impossible de dire qu’un nombre infini est plus grand qu’un autre ou même qu’il est plus grand qu’un nombre fini, car si le nombre infini était plus grand que, disons, un million, il s’ensuivrait que en passant du million à des nombres de plus en plus élevés, on approcherait de l’infini ; mais ce n’est pas ainsi ; au contraire, plus le nombre auquel on passe est grand, plus on s’éloigne de [ cette propriété de ] l’infini, car plus les nombres sont grands moins [ relativement] sont les carrés qu’ils contiennent ; mais les carrés à l’infini ne peuvent être inférieurs à la totalité de tous les nombres, comme nous venons d’en convenir ; par conséquent, l’approche de nombres de plus en plus grands signifie un départ de l’infini. *
SALV. Et ainsi de votre argument ingénieux nous sommes amenés à [80] conclure que les attributs "plus grand", "plus petit" et "égal" n’ont leur place ni dans la comparaison de quantités infinies entre elles ni dans la comparaison de quantités infinies avec des quantités finies. Je passe maintenant à une autre considération. Puisque les lignes et toutes les quantités continues sont divisibles en parties elles-mêmes divisibles sans fin, je ne vois pas comment il est possible (34) d’éviter la conclusion que ces lignes sont constituées d’un nombre infini de quantités indivisibles parce qu’une division et une la subdivision qui peut se poursuivre indéfiniment suppose que les parties soient en nombre infini, sinon la subdivision arriverait à sa fin ; et si les parties sont en nombre infini, il faut en conclure qu’elles ne sont pas de taille finie, car un nombre infini de quantités finies donnerait une grandeur infinie. Et ainsi nous avons une quantité continue constituée d’un nombre infini d’indivisibles.
IDOLÂTRER. Mais si l’on peut continuer indéfiniment la division en parties finies, quelle est alors la nécessité d’introduire des parties non finies ?
SALV. Le fait même qu’on puisse continuer, sans fin, la division en parties finies [ in parti quante ] oblige à considérer la quantité comme composée d’un nombre infini d’éléments incommensurablement petits [ di infiniti non quanti ]. Maintenant, pour régler cette question, je vous demanderai de me dire si, à votre avis, un continu est constitué d’un nombre fini ou d’un nombre infini de parties finies .
IDOLÂTRER. Ma réponse est que leur nombre est à la fois infini et fini ; potentiellement infini mais réellement fini [ infini, in potenza ; e fini, en atto ] ; c’est-à-dire potentiellement infini avant division et effectivement fini après division ; parce qu’on ne peut pas dire que des parties existent dans un corps qui n’est pas encore divisé ou du moins délimité ; si cela n’est pas fait, nous disons qu’ils existent potentiellement.
SALV. De sorte qu’une ligne qui a, par exemple, vingt travées de long n’est pas dite contenir réellement vingt lignes chacune d’une travée de longueur, sauf après division en vingt parties égales ; avant division on dit qu’il ne les contient que potentiellement. Supposez que les faits soient tels que vous le dites ; dites-moi donc si, une fois la division faite, la grandeur de la quantité originelle s’en trouve augmentée, diminuée ou non affectée.
IDOLÂTRER. Il n’augmente ni ne diminue.
SALV. C’est aussi mon avis. Par conséquent, les parties finies [ parti quante ] dans un continuum, qu’elles soient réellement ou potentiellement présentes, ne rendent pas la quantité plus grande ou plus petite ; mais il est parfaitement clair que, si le nombre de parties finies actuellement (35) contenues dans le tout est en nombre infini, elles rendront la grandeur infinie. Donc le nombre des parties finies, bien qu’existant seulement en puissance, ne peut être infini que si la grandeur qui les contient est infinie ; et inversement, si la grandeur est [81] finie, elle ne peut pas contenir un nombre infini de parties finies ni actuellement ni potentiellement.
SAGR. Comment alors est-il possible de diviser un continu sans limite en parties elles-mêmes toujours subdivisionnables ?
SALV Votre distinction entre réel et potentiel semble rendre facile par une méthode ce qui serait impossible par une autre. Mais je m’efforcerai de concilier ces questions d’une autre manière ; et quant à la question de savoir si les parties finies d’un continuum limité [ continuo terminato ] sont en nombre fini ou infini, je répondrai, contrairement à l’opinion de Simplicio, qu’elles ne sont ni finies ni infinies.
IDOLÂTRER. Cette réponse ne me serait jamais venue à l’esprit puisque je ne pensais pas qu’il existait un pas intermédiaire entre le fini et l’infini, de sorte que la classification ou la distinction qui suppose qu’une chose doit être ou finie ou infinie est erronée et défectueuse.
SALV. Donc il me semble. Et si l’on considère des quantités discrètes je pense qu’il y a, entre les quantités finies et infinies, un troisième terme intermédiaire qui correspond à chaque nombre assigné ; de sorte que si l’on demande, comme dans le cas présent, si les parties finies d’un continuum sont en nombre fini ou infini, la meilleure réponse est qu’elles ne sont ni finies ni infinies mais correspondent à tout nombre assigné. Pour que cela soit possible, il faut que ces parties ne soient pas comprises dans un nombre limité, car dans ce cas elles ne correspondraient pas à un nombre plus grand ; ils ne peuvent pas non plus être infinis en nombre puisqu’aucun nombre assigné n’est infini ; et ainsi, au gré du questionneur, nous pouvons, à une ligne donnée, attribuer cent parties finies, mille, cent mille, ou bien n’importe quel nombre qui nous plaise tant qu’il n’est pas infini. J’accorde donc aux philosophes que le continu contient autant (36) de parties finies qu’il leur plaît et j’accorde aussi qu’il les contient, soit actuellement, soit en puissance, comme ils voudront ; mais je dois ajouter que tout comme une ligne de dix toises [canne ] de longueur contient dix lignes chacune d’une brasse et quarante lignes chacune d’une coudée [ braccia ] et quatre-vingts lignes chacune d’une demi-coudée, etc. , ainsi elle contient un nombre infini de points ; appelez-les réelles ou potentielles, comme vous voudrez, car quant à ce détail, Simplicio, je m’en remets à votre opinion et à votre jugement. [82]
IDOLÂTRER. Je ne peux m’empêcher d’admirer votre discussion ; mais je crains que ce parallélisme entre les points et les parties finies contenues dans une ligne ne donne satisfaction, et qu’il ne vous soit pas aussi facile de diviser une ligne donnée en un nombre infini de points que les philosophes font pour la découper en dix toises ou quarante coudées ; non seulement cela, mais une telle division est tout à fait impossible à réaliser dans la pratique, de sorte que ce sera une de ces potentialités qui ne peuvent être réduites à l’actualité.
SALV. Le fait qu’une chose ne puisse être faite qu’avec effort ou diligence ou avec une grande dépense de temps ne la rend pas impossible ; car je pense que vous-même ne pourriez pas facilement diviser une ligne en mille parties, et encore moins si le nombre de parties était 937 ou tout autre grand nombre premier. Mais si je devais accomplir cette division que vous jugez impossible aussi facilement qu’une autre personne diviserait la ligne en quarante parties, seriez-vous alors plus disposé, dans notre discussion, à concéder la possibilité d’une telle division ?
IDOLÂTRER. En général, j’apprécie beaucoup votre méthode ; et répondant à votre question, je réponds qu’il serait plus que suffisant s’il n’était pas plus difficile de résoudre une ligne en points que de la diviser en mille parties.
SALV. Je dirai maintenant quelque chose qui peut peut-être vous étonner ; il se rapporte à la possibilité de diviser une ligne en ses éléments infiniment petits en suivant le même ordre que celui dont on se sert pour diviser la même ligne en quarante, soixante ou cent parties, c’est-à-dire en la divisant en deux, quatre, etc. Celui qui pense qu’en suivant cette méthode il peut atteindre un nombre infini de points se trompe grandement ; car si ce processus était suivi jusqu’à (37) l’éternité, il resterait encore des parties finies qui seraient indivises.
En effet, par une telle méthode, on est bien loin d’atteindre le but de l’indivisibilité ; au contraire il s’en éloigne et tandis qu’il pense qu’en continuant cette division et en multipliant la multitude des parties, il approchera de l’infini, il s’en éloigne, à mon avis, de plus en plus. Ma raison est la suivante. Dans la discussion précédente nous avons conclu que, dans un nombre infini, il faut que les carrés et les cubes soient aussi nombreux que la totalité des nombres naturels [ tutti i numeri], car tous deux sont aussi nombreux que leurs racines qui constituent la totalité des nombres naturels. Ensuite nous avons vu que plus les nombres pris étaient grands, plus les carrés étaient distribués clairsemés, et encore plus clairsemés les cubes ; donc il est clair que plus les nombres auxquels on passe sont grands, plus on s’éloigne du nombre infini ; d’où il suit [83] que, puisque ce procédé nous éloigne de plus en plus du but recherché, si en revenant en arrière nous trouvons qu’un nombre quelconque peut être dit infini, ce doit être l’unité. Ici, en effet, sont satisfaites toutes les conditions qui sont requises pour un nombre infini ; Je veux dire que l’unité contient en elle-même autant de carrés qu’il y a de cubes et de nombres naturels [ tutti i numeri ].
IDOLÂTRER. Je ne saisis pas bien le sens de cela.
SALV. Il n’y a pas de difficulté en la matière car l’unité est à la fois un carré, un cube, un carré de carré et toutes les autres puissances [ dignità] ; il n’y a pas non plus de particularité essentielle dans les carrés ou les cubes qui n’appartiennent pas à l’unité ; comme, par exemple, la propriété de deux nombres carrés qu’ils ont entre eux une moyenne proportionnelle ; prenez n’importe quel nombre carré comme premier terme et l’unité pour l’autre, alors vous trouverez toujours un nombre qui est une moyenne proportionnelle. Considérez les deux nombres carrés, 9 et 4 ; alors 3 est la moyenne proportionnelle entre 9 et 1 ; tandis que 2 est une moyenne proportionnelle entre 4 et 1 ; entre 9 et 4 nous avons 6 comme moyenne proportionnelle. Une propriété des cubes est qu’ils doivent avoir entre eux deux nombres proportionnels moyens ; prendre 8 et 27 ; entre eux se trouvent 12 et 18 ; tandis que (38) entre 1 et 8 nous avons 2 et 4 qui interviennent ; et entre 1 et 27, il y a 3 et 9. Nous concluons donc que l’unité est le seul nombre infini.
A ce sujet, je dois vous dire une propriété remarquable qui vient de me venir à l’esprit et qui expliquera la vaste altération et le changement de caractère que subirait une quantité finie en passant à l’infini. Traçons la droite AB de longueur arbitraire et laissons le point C la diviser en deux parties inégales ; alors je dis que, si des paires de lignes sont tirées, une à partir de chacun des points terminaux A et B, et si le rapport entre les longueurs de ces lignes est le même que celui entre AC et CB, leurs points d’intersection seront tous situés sur la circonférence d’un même cercle. Ainsi, par exemple [84] AL et BL tirés de A et B, se rencontrant au point L, portant entre eux le même rapport que AC à BC, et le couple AK et BK se rencontrant en K portant aussi l’un à l’autre le même rapport, et de même les paires AI, BI, AH, BH, AG, BG, AF, BF, AE, BE, ont leurs points d’intersection L, K, I, H, G, F, E, tous situés sur la circonférence d’un seul et même cercle. En conséquence, si nous imaginons que le point C se déplace continuellement de telle manière que les lignes tirées de lui vers les points terminaux fixes, A et B, maintiennent toujours le même rapport entre leurs longueurs qu’il existe entre les parties d’origine, AC et CB, alors le point C décrira, comme je le prouverai tout à l’heure, un cercle. Et le cercle ainsi décrit sera maintiennent toujours le même rapport entre leurs longueurs qu’il existe entre les parties originales, AC et CB, alors le point C décrira, comme je le prouverai tout à l’heure, un cercle. Et le cercle ainsi décrit sera maintiennent toujours le même rapport entre leurs longueurs qu’il existe entre les parties originales, AC et CB, alors le point C décrira, comme je le prouverai tout à l’heure, un cercle. Et le cercle ainsi décrit seraFigure 7(39)
augmente de taille sans limite à mesure que le point C se rapproche du point médian que nous pouvons appeler O ; mais il diminuera de taille à mesure que C se rapproche de la fin B. De sorte que le nombre infini de points situés dans la ligne OB, si le mouvement est comme expliqué ci-dessus, décrira des cercles de toutes tailles, certains plus petits que la pupille de l’œil de une puce, d’autres plus grandes que l’équateur céleste. Or, si l’on déplace l’un quelconque des points compris entre les deux extrémités O et B, ils décriront tous des cercles, les plus proches O, des cercles immenses ; mais si nous déplaçons le point O lui-même, et continuons à le déplacer selon la loi susmentionnée, à savoir que les lignes tirées de O aux points terminaux, A et B, maintiennent le même rapport que les lignes originales AO et OB, ce qui une sorte de ligne sera produite ? Un cercle sera dessiné plus grand que le plus grand des autres, un cercle qui est donc infini. Mais du point O on tirera aussi une droite perpendiculaire à BA et s’étendant à l’infini sans jamais tourner, comme les autres, pour joindre sa dernière extrémité à sa première ; car le point C, avec son mouvement limité, ayant décrit [85] le demi-cercle supérieur, CHE, procède à la description du demi-cercle inférieur EMC, revenant ainsi au point de départ. Mais le point O ayant commencé à décrire son cercle, comme tous les autres points de la ligne AB, (car les points de l’autre portion OA décrivent aussi leurs cercles, les plus grands étant ceux les plus proches du point O) est incapable de revenir à son point de départ parce que le cercle qu’il décrit, étant le plus grand de tous, est infini ; en fait, il décrit une ligne droite infinie comme la circonférence de son cercle infini. Pensez maintenant quelle différence il y a entre un cercle fini et un cercle infini puisque ce dernier change de caractère de telle manière qu’il perd non seulement son existence mais aussi sa possibilité d’existence ; en effet, nous comprenons déjà clairement qu’il ne peut y avoir de cercle infini ; de même il ne peut y avoir de sphère infinie, de corps infini et de surface infinie de quelque forme que ce soit. Que dire maintenant de cette métamorphose dans le passage du fini à l’infini ? Et pourquoi aurions-nous plus de répugnance, puisque, dans notre recherche de l’infini parmi les nombres, nous l’avons trouvé dans l’unité ? Après avoir brisé un solide en plusieurs parties, l’avoir réduit à la plus fine des (40) poudres et l’avoir résolu en ses atomes indivisibles infiniment petits, pourquoi ne pouvons-nous pas dire que ce solide a été réduit à un continuum unique ?un solo continuo ] peut-être un fluide comme l’eau ou le mercure ou même un métal liquéfié ? Et ne voyons-nous pas des pierres se fondre en verre et le verre lui-même sous une forte chaleur devenir plus fluide que l’eau ?
SAGR. Faut-il alors croire que les substances deviennent fluides en vertu de leur résolution en leurs composants indivisibles infiniment petits ?
SALV. Je ne puis trouver de meilleur moyen de rendre compte de certains phénomènes dont voici un. Lorsque je prends une substance dure telle que la pierre ou le métal et que je la réduis au moyen d’un marteau ou d’une lime fine en une poudre infime et impalpable, il est clair que ses particules les plus fines, bien que prises une à une, soient, à cause de leur petitesse, imperceptibles à notre vue et à notre toucher, sont néanmoins de taille finie, possèdent une forme et peuvent être comptées. Il est vrai aussi qu’une fois entassés, ils restent en tas ; et si une excavation est faite dans des limites, la cavité restera et les particules environnantes ne se précipiteront pas pour la remplir ; si elles sont secouées, les particules s’immobilisent immédiatement après l’élimination de l’agent perturbateur externe ; les mêmes effets sont observés dans tous les empilements de [86] particules de plus en plus grosses, de toute forme, même sphérique, comme c’est le cas des tas de mil, de blé, de grenaille de plomb et de toute autre matière. Mais si nous essayons de découvrir de telles propriétés dans l’eau, nous ne les trouvons pas ; car une fois entassé, il s’aplatit immédiatement à moins qu’il ne soit retenu par un vaisseau ou un autre corps de retenue externe ; une fois creusé, il se précipite rapidement pour remplir la cavité ; et lorsqu’il est dérangé, il fluctue pendant longtemps et envoie ses ondes à de grandes distances.
Voyant que l’eau a moins de fermeté [ consistenza ] que la plus fine des poudres, en fait n’a aucune consistance, nous pouvons, me semble-t-il, très raisonnablement conclure que les plus petites particules dans lesquelles elle peut être résolue sont tout à fait différentes des particules finies et divisibles. particules ; en fait, la seule différence que je puisse découvrir est que les premières sont indivisibles. L’exquise (41) transparence de l’eau favorise également cette vue ; car le cristal le plus transparent, lorsqu’il est brisé, broyé et réduit en poudre, perd sa transparence ; plus le broyage est fin, plus la perte est importante ; mais dans le cas de l’eau où l’attrition est au plus haut degré, nous avons une transparence extrême. Or et argent lorsqu’ils sont pulvérisés avec des acides [ acque forti] plus finement qu’il n’est possible avec n’importe quelle lime, il reste encore des poudres,* et ne devient fluide que lorsque les particules les plus fines [ gl’ indivisibili ] du feu ou des rayons du soleil les dissolvent, comme je le pense, dans leur ultime, indivisible, et des composants infiniment petits.
SAGR. Ce phénomène de lumière dont vous parlez est un de ceux que j’ai maintes fois remarqués avec étonnement. J’ai, par exemple, vu du plomb fondre instantanément au moyen d’un miroir concave de seulement trois palmes de diamètre. Je pense donc que si le miroir était très grand, bien poli et de forme parabolique, il fondrait tout aussi facilement et rapidement n’importe quel autre métal, vu que le petit miroir, qui n’était pas bien poli et n’avait qu’une forme sphérique, était capable si énergiquement de faire fondre le plomb et de brûler toutes les substances combustibles. De tels effets me rendent crédibles les merveilles accomplies par les miroirs d’Archimède.
SALV. Parlant des effets produits par les miroirs d’Archimède, ce sont ses propres livres (que j’avais déjà lus et étudiés avec un infini étonnement) qui m’ont rendu crédibles tous les miracles décrits par divers écrivains. Et s’il en restait un doute, le livre que le Père Buonaventura Cavalieri** [87] vient de publier au sujet du verre brûlant [ specchio ustorio ] et que j’ai lu avec admiration aurait levé la dernière difficulté.
SAGR. J’ai vu aussi ce traité et je l’ai lu avec (42) plaisir et étonnement ; et connaissant l’auteur, je fus confirmé dans l’opinion que j’avais déjà formée de lui qu’il était destiné à devenir l’un des principaux mathématiciens de notre époque. Mais maintenant, à propos de l’effet surprenant des rayons solaires dans la fonte des métaux, faut-il croire qu’une action aussi furieuse soit dépourvue de mouvement ou qu’elle s’accompagne des mouvements les plus rapides ?
SALV. On observe que d’autres combustions et résolutions sont accompagnées de mouvement, et celle-là, les plus rapides ; notez l’action de la foudre et de la poudre utilisée dans les mines et les pétards ; notez aussi comment la flamme du charbon de bois, mêlée qu’elle est de vapeurs lourdes et impures, augmente son pouvoir de liquéfaction des métaux chaque fois qu’elle est stimulée par une paire de soufflets. Je ne comprends donc pas comment l’action de la lumière, bien que très pure, puisse être dépourvue de mouvement et du type le plus rapide.
SAGR. Mais de quelle nature et quelle grandeur doit-on considérer comme étant cette vitesse de la lumière ? Est-ce instantané ou momentané ou est-ce que, comme les autres mouvements, il faut du temps ? Ne pouvons-nous pas en décider par l’expérience ?
IDOLÂTRER. L’expérience quotidienne montre que la propagation de la lumière est instantanée ; car quand on voit tirer une pièce d’artillerie à grande distance, l’éclair atteint nos yeux sans laps de temps ; mais le son n’arrive à l’oreille qu’après un intervalle notable.
SAGR. Eh bien, Simplicio, la seule chose que je puisse déduire de cette expérience familière, c’est que le son, en atteignant notre oreille, voyage plus lentement que la lumière ; elle ne m’apprend pas si la venue de la lumière est instantanée ou si, bien qu’extrêmement rapide, elle occupe encore du temps. Une observation de ce genre ne nous apprend rien de plus qu’une observation dans laquelle il est affirmé que « Dès que le soleil atteint l’horizon, sa lumière atteint nos yeux » ; mais qui m’assurera que ces rayons n’avaient pas atteint cette limite plus tôt qu’ils n’atteignaient notre vision ?
SALV. Le peu de caractère concluant de ces observations et d’autres similaires m’a conduit une fois à concevoir une méthode par laquelle on pourrait déterminer avec précision si l’éclairage, i. e. , la propagation de la lumière, est vraiment instantanée. Le fait que la vitesse du son (43) [88] soit aussi élevée qu’elle l’est, nous assure que le mouvement de la lumière ne peut manquer d’être extraordinairement rapide. L’expérience que j’ai imaginée était la suivante :
Que chacune de deux personnes prenne une lumière contenue dans une lanterne, ou autre récipient, telle que par l’interposition de la main, l’une puisse éteindre ou admettre la lumière à la vision de l’autre. Ensuite, laissez-les se tenir l’un en face de l’autre à une distance de quelques coudées et exercez-vous jusqu’à ce qu’ils acquièrent une telle habileté à découvrir et à occulter leurs lumières qu’à l’instant où l’on verra la lumière de son compagnon, il découvrira la sienne. Après quelques essais, la réponse sera si rapide que sans erreur sensible [ svario] la découverte d’une lumière est immédiatement suivie de la découverte de l’autre, de sorte que dès que l’un expose sa lumière, il verra instantanément celle de l’autre. Ayant acquis des compétences à cette courte distance, laissez les deux expérimentateurs, équipés comme auparavant, prendre des positions séparées par une distance de deux ou trois milles et laissez-les effectuer la même expérience de nuit, en notant soigneusement si les expositions et les occultations se produisent de la même manière. comme à de courtes distances ; s’ils le font, nous pouvons conclure sans risque que la propagation de la lumière est instantanée ; mais s’il faut du temps à une distance de trois milles qui, compte tenu du départ d’un feu et de l’arrivée de l’autre, équivaut réellement à six, alors le retard doit être facilement observable. Si l’expérience doit être faite à des distances encore plus grandes, disons huit ou dix milles, des télescopes peuvent être employés, chaque observateur en ajustant un pour lui-même à l’endroit où il doit faire l’expérience de nuit ; alors bien que les lumières ne soient pas grandes et soient donc invisibles à l’œil nu à une si grande distance, elles peuvent facilement être couvertes et découvertes puisqu’à l’aide des télescopes, une fois ajustées et fixées, elles deviendront facilement visibles.
SAGR. Cette expérience me semble être une invention intelligente et fiable. Mais dites-nous ce que vous concluez des résultats.
SALV. En effet je n’ai tenté l’expérience qu’à une courte distance, moins d’un mille, d’où je n’ai pu constater avec certitude si l’apparition de la lumière opposée (44) était instantanée ou non ; mais s’il n’est pas instantané, il est extraordinairement rapide - je devrais l’appeler momentané ; et pour le moment je devrais le comparer au mouvement que nous voyons dans l’éclair entre des nuages distants de huit ou dix milles de nous. Nous voyons le début de cette lumière — je pourrais dire sa tête et [89] sa source — située à un endroit particulier parmi les nuages ; mais il se propage immédiatement à ceux qui l’entourent, ce qui semble être un argument selon lequel il faut au moins un certain temps pour se propager ; car si l’illumination était instantanée et non graduelle, on ne saurait distinguer son origine, son centre, pour ainsi dire - de ses parties périphériques. Dans quelle mer nous glissons peu à peu sans le savoir ! Avec le vide et les infinis et les indivisibles et les mouvements instantanés, pourrons-nous jamais, même au moyen de mille discussions, atteindre la terre ferme ?
SAGR. En réalité, ces questions sont bien au-delà de notre portée. Pensez simplement ; quand on cherche l’infini parmi les nombres, on le trouve dans l’unité ; ce qui est toujours divisible dérive des indivisibles ; le vide se trouve inséparablement lié au plenum ; en effet, les opinions communément admises concernant la nature de ces questions sont si inversées que même la circonférence d’un cercle s’avère être une ligne droite infinie, un fait que, si ma mémoire est bonne, vous, Salviati, aviez l’intention de démontrer géométriquement . Veuillez donc poursuivre sans digression supplémentaire.
SALV. Je suis à votre service ; mais, pour plus de clarté, montrons d’abord le problème suivant : étant donnée une ligne droite divisée en parties inégales qui ont entre elles un rapport quelconque, décrire un cercle tel que deux droites tirées des extrémités de la ligne donnée vers tout point de la circonférence aura entre eux le même rapport que les deux parties de la ligne donnée, rendant ainsi homologues les lignes tirées des mêmes points terminaux. Soit AB la droite donnée divisée en deux parties inégales quelconques par le point C ; le problème est de décrire un cercle (45) tel que deux lignes droites tirées des points terminaux, A et B, vers n’importe quel point de la circonférence auront entre elles le même rapport que la partie AC porte sur BC, de sorte que les lignes tirées des mêmes points terminaux sont homologues. A propos de C comme centre décrivent un cercle ayant la partie la plus courte CB de la ligne donnée, comme rayon. Par A tracer une droite AD qui [90] sera tangente au cercle en D et indéfiniment prolongée vers E. Tracer le rayon CD qui sera perpendiculaire à AE. En B dresser une perpendiculaire à AB ; cette perpendiculaire coupera AE en un point puisque l’angle en A est aigu ; appelons ce point d’intersection E, et en tirons une perpendiculaire à AE qui coupera AB prolongée en F. Or je dis que les deux droites FE et FC sont égales. Car si nous joignons E et C, nous aurons deux triangles, DEC et BEC, dans lesquels les deux côtés de l’un, DE et EC, sont égaux aux deux côtés de l’autre, BE et EC, DE et EB étant tous deux tangentes au cercle DB tandis que les bases DC et CB sont également égales ; d’où les deux angles DEC et BEC, sera égal. Or puisque l’angle BCE diffère d’un angle droit par l’angle CEB, et que l’angle CEF diffère aussi d’un angle droit par l’angle CED, et que ces différences sont égales, il s’ensuit que l’angle FCE est égal à CEF ; par conséquent les côtés FE et FC sont égaux. Si nous décrivons un cercle avec F comme centre et FE comme rayon, il passera par le point C ; laissez CEG être un tel cercle. C’est le cercle recherché, car si nous traçons des lignes depuis les points terminaux A et B jusqu’à n’importe quel point de sa circonférence, elles s’appuieront l’une sur l’autre. Si nous décrivons un cercle avec F comme centre et FE comme rayon, il passera par le point C ; laissez CEG être un tel cercle. C’est le cercle recherché, car si nous traçons des lignes depuis les points terminaux A et B jusqu’à n’importe quel point de sa circonférence, elles s’appuieront l’une sur l’autre. Si nous décrivons un cercle avec F comme centre et FE comme rayon, il passera par le point C ; laissez CEG être un tel cercle. C’est le cercle recherché, car si nous traçons des lignes depuis les points terminaux A et B jusqu’à n’importe quel point de sa circonférence, elles s’appuieront l’une sur l’autre.Figure 8(46)
le même rapport que les deux portions AC et BC qui se rencontrent au point C. Cela se manifeste dans le cas des deux droites AE et BE, se rencontrant au point E, car l’angle E du triangle AEB est bissecté par la droite CE, et donc AC:CB = AE:BE. On peut prouver la même chose des deux droites AG et BG se terminant au point G. Car puisque les triangles AFE et EFB sont semblables, on a AF:FE = EF:FB, ou AF:FC = CF:FB, et dividendo AC :CF = CB:BF, ou AC:FG = CB:BF ; aussi componendo nous avons à la fois AB:BG = CB:BF et AG:GB = CF:FB = AE:EB = AC:BC. CQFD [91]
Prenez maintenant n’importe quel autre point de la circonférence, disons H, où les deux lignes AH et BH se coupent ; de la même manière nous aurons AC:CB = AH:HB. Prolongez HB jusqu’à ce qu’il rencontre la circonférence en I et rejoignez IF ; et puisque nous avons déjà trouvé que AB:BG = CB:BF il s’ensuit que le rectangle AB. BF est égal au rectangle CB. BG ou IB. BH. Donc AB:BH = IB:BF. Mais les angles en B sont égaux et donc AH:HB = IF:FB = EF:FB = AE:EB.
De plus, je puis ajouter qu’il est impossible que des lignes qui maintiennent ce même rapport et qui partent des points terminaux A et B, se rencontrent en aucun point soit à l’intérieur, soit à l’extérieur du cercle CEG. Car supposons que cela soit possible ; soit AL et BL deux telles lignes se coupant au point L extérieur au cercle : prolongez LB jusqu’à ce qu’elle rencontre la circonférence en M et rejoignez MF. Si AL:BL = AC:BC = MF:FB, alors nous aurons deux triangles ALB et MFB qui ont les côtés autour des deux angles proportionnels, les angles au sommet, B, égaux, et les deux angles restants, FMB et LAB, inférieur à l’angle droit (car l’angle droit en M a pour base tout le diamètre CG et non seulement une partie BF : et l’autre angle au point A est aigu car la droite AL, homologue de AC, est plus grande que BL, l’homologue de BC). Il en résulte que les triangles ABL et MBF sont semblables et donc AB:BL = MB:BF, faisant le rectangle AB. BF = MB. BL ; mais il a été démontré que le rectangle AB. BF est égal à CB. BG ; d’où il s’ensuivrait que le rectangle MB. BL est égal au rectangle (47) CB. BG qui est impossible ; par conséquent, l’intersection ne peut pas tomber à l’extérieur du cercle. Et de la même manière nous pouvons montrer qu’il ne peut pas tomber à l’intérieur ; donc toutes ces intersections tombent sur la circonférence. Et de la même manière nous pouvons montrer qu’il ne peut pas tomber à l’intérieur ; donc toutes ces intersections tombent sur la circonférence. Et de la même manière nous pouvons montrer qu’il ne peut pas tomber à l’intérieur ; donc toutes ces intersections tombent sur la circonférence.
Mais maintenant il est temps pour nous de revenir en arrière et d’accéder à la demande de Simplicio, en lui montrant que non seulement il n’est pas impossible de résoudre une ligne en un nombre infini de points mais que c’est tout aussi facile que de la diviser en ses parties finies. Je le ferai à la condition suivante que je suis sûr, Simplicio, que vous ne me refuserez pas, à savoir que vous ne m’exigerez pas de séparer les points les uns des autres et de vous les montrer, [92] un par un. un, sur ce papier ; car je me contenterais que vous, sans séparer les unes des autres les quatre ou six parties d’une ligne, vous me montriez les divisions marquées ou tout au plus que vous les pliez à des angles formant un carré ou un hexagone : car, alors, je Je suis certain que vous considérez la division distinctement et effectivement accomplie.
IDOLÂTRER. Je devrais certainement.
SALV. Si maintenant le changement qui a lieu quand vous pliez une ligne à angles pour former tantôt un carré, tantôt un octogone, tantôt un polygone de quarante, cent ou mille angles, est suffisant pour mettre en réalité les quatre, huit, quarante, cent et mille parties qui, selon vous, n’existaient d’abord que potentiellement dans la ligne droite, ne puis-je pas dire, avec un droit égal, que, lorsque j’ai plié la ligne droite en un polygone ayant un nombre infini de côtés , je. e. , dans un cercle, j’ai réduit à l’actualité ce nombre infini de parties dont vous disiez, alors qu’il était droit, qu’il n’y était contenu qu’en puissance ? On ne peut pas non plus nier que la division en un nombre infini de points soit aussi véritablement accomplie que celle en quatre parties quand le carré est formé ou en mille parties quand le milligone est formé ; car dans une telle division les mêmes conditions sont remplies que dans le cas d’un polygone de mille ou de cent mille côtés. Un tel polygone posé sur une ligne droite le touche par l’un de ses côtés, i. e. , avec une de ses cent mille parties ; tandis que le cercle qui est un polygone d’un nombre infini de côtés (48) touche la même ligne droite par l’un de ses côtés qui est un seul point différent de tous ses voisins et donc séparé et distinct à un degré non moindre qu’un côté de un polygone des autres côtés. Et de même qu’un polygone, enroulé sur un plan, trace sur ce plan, par les contacts successifs de ses côtés, une droite égale à son périmètre, de même le cercle roulé sur un tel plan trace aussi par sa succession infinie de contacts une ligne droite de longueur égale à sa propre circonférence.il continuo ] n’est divisible qu’en parties qui sont encore plus divisibles de sorte que, aussi loin que la division et la subdivision soient poursuivies, aucune fin ne sera atteinte ; mais je ne suis pas si sûr qu’ils m’admettront qu’aucune de ces divisions ne puisse être définitive, comme c’est sûrement le cas, car il en reste toujours « un autre » ; la division finale et ultime est plutôt celle qui résout une quantité continue en un nombre infini de quantités indivisibles, résultat que j’admets ne peut jamais être atteint par une division successive en un nombre toujours croissant de parties. Mais s’ils emploient la méthode que je propose pour séparer [93] et résoudre le tout de l’infini [ tutta la infinità], d’un seul coup (artifice qu’il ne faudrait sûrement pas me nier), je pense qu’ils se contenteraient d’admettre qu’une quantité continue est constituée d’atomes absolument indivisibles, d’autant plus que cette méthode, peut-être meilleure que n’importe quelle autre, nous permet d’éviter de nombreux labyrinthes complexes, tels que la cohésion dans les solides, déjà mentionnée, et la question de l’expansion et de la contraction, sans nous imposer l’admission répréhensible d’espaces vides [ dans les solides ] qui entraîne la pénétrabilité des corps. Ces deux objections, me semble-t-il, sont évitées si nous acceptons la conception susmentionnée des constituants indivisibles.
IDOLÂTRER. Je sais à peine ce que diraient les péripatéticiens puisque les vues avancées par vous leur sembleraient pour la plupart nouvelles, et comme telles nous devons les considérer. Il n’est cependant pas improbable qu’ils trouvent des réponses et des solutions à ces problèmes que (49) moi, faute de temps et d’esprit critique, je suis actuellement incapable de résoudre. Laissant cela de côté pour le moment, je voudrais entendre comment l’introduction de ces grandeurs indivisibles nous aide à comprendre la contraction et l’expansion en évitant à la fois le vide et la pénétrabilité des corps.
SAGR. J’écouterai aussi avec un vif intérêt cette même question qui est loin d’être claire dans mon esprit ; pourvu qu’il me soit permis d’entendre ce que, tout à l’heure, Simplicio nous proposait d’omettre, à savoir les raisons qu’Aristote avance contre l’existence du vide et les arguments que vous devez avancer en réfutation.
SALV. Je ferai les deux. Et d’abord, de même que, pour la production de l’expansion, nous employons la ligne décrite par le petit cercle pendant une rotation du grand - une ligne plus grande que la circonférence du petit cercle - ainsi, pour expliquer la contraction, rappelons qu’à chaque rotation du plus petit cercle, le plus grand décrit une droite plus courte que sa circonférence.
Pour une meilleure compréhension de cela, nous procédons à l’examen de ce qui se passe dans le cas des polygones. En utilisant [94] une figure semblable à la précédente, construisons les deux hexagones, ABC et HIK, autour du centre commun L, et les laissons rouler le long des droites parallèles HOM et ABc. En tenant maintenant le sommet I fixe, laissez le plus petit polygone tourner jusqu’à ce que le côté IK repose sur la parallèle, mouvement pendant lequel le point K décrira l’arc KM, et le côté KI coïncidera avec IM. Voyons ce que, dans l’intervalle, le côté CB du plus grand polygone a fait. Puisque la rotation se fait autour du point I, le point terminal B, de la ligne IB, en reculant, décrira l’arc Bb sous la parallèle cA de sorte que lorsque le côté KI coïncide avec la ligne MI, le côté BC coïncidera avec bc , n’ayant avancé que sur la distance Bc, mais ayant reculé sur une portion de la ligne BA qui sous-tend l’arc Bb. Si nous laissons continuer la rotation du plus petit polygone, il traversera et décrira le long de sa parallèle une ligne égale à son périmètre ; tandis que la plus grande traversera et décrira une ligne inférieure à son périmètre d’autant de fois la longueur bB qu’il y a (50) de côtés moins un ; cette ligne est approximativement égale à celle décrite par le plus petit polygone ne la dépassant que de la distance bB. Ici maintenant on voit, sans aucune difficulté, pourquoi le plus grand polygone, porté par le plus petit, ne mesure pas de ses côtés une ligne plus longue que celle parcourue par le plus petit ; c’est qu’une partie de chaque côté se superpose à son voisin immédiatement précédent. mais ayant reculé par une portion de la ligne BA qui sous-tend l’arc Bb. Si nous laissons continuer la rotation du plus petit polygone, il traversera et décrira le long de sa parallèle une ligne égale à son périmètre ; tandis que la plus grande traversera et décrira une ligne inférieure à son périmètre d’autant de fois la longueur bB qu’il y a (50) de côtés moins un ; cette ligne est approximativement égale à celle décrite par le plus petit polygone ne la dépassant que de la distance bB. Ici maintenant on voit, sans aucune difficulté, pourquoi le plus grand polygone, porté par le plus petit, ne mesure pas de ses côtés une ligne plus longue que celle parcourue par le plus petit ; c’est qu’une partie de chaque côté se superpose à son voisin immédiatement précédent. mais ayant reculé par une portion de la ligne BA qui sous-tend l’arc Bb. Si nous laissons continuer la rotation du plus petit polygone, il traversera et décrira le long de sa parallèle une ligne égale à son périmètre ; tandis que la plus grande traversera et décrira une ligne inférieure à son périmètre d’autant de fois la longueur bB qu’il y a (50) de côtés moins un ; cette ligne est approximativement égale à celle décrite par le plus petit polygone ne la dépassant que de la distance bB. Ici maintenant on voit, sans aucune difficulté, pourquoi le plus grand polygone, porté par le plus petit, ne mesure pas de ses côtés une ligne plus longue que celle parcourue par le plus petit ; c’est qu’une partie de chaque côté se superpose à son voisin immédiatement précédent. Si nous laissons continuer la rotation du plus petit polygone, il traversera et décrira le long de sa parallèle une ligne égale à son périmètre ; tandis que la plus grande traversera et décrira une ligne inférieure à son périmètre d’autant de fois la longueur bB qu’il y a (50) de côtés moins un ; cette ligne est approximativement égale à celle décrite par le plus petit polygone ne la dépassant que de la distance bB. Ici maintenant on voit, sans aucune difficulté, pourquoi le plus grand polygone, porté par le plus petit, ne mesure pas de ses côtés une ligne plus longue que celle parcourue par le plus petit ; c’est qu’une partie de chaque côté se superpose à son voisin immédiatement précédent. Si nous laissons continuer la rotation du plus petit polygone, il traversera et décrira le long de sa parallèle une ligne égale à son périmètre ; tandis que la plus grande traversera et décrira une ligne inférieure à son périmètre d’autant de fois la longueur bB qu’il y a (50) de côtés moins un ; cette ligne est approximativement égale à celle décrite par le plus petit polygone ne la dépassant que de la distance bB. Ici maintenant on voit, sans aucune difficulté, pourquoi le plus grand polygone, porté par le plus petit, ne mesure pas de ses côtés une ligne plus longue que celle parcourue par le plus petit ; c’est qu’une partie de chaque côté se superpose à son voisin immédiatement précédent. tandis que la plus grande traversera et décrira une ligne inférieure à son périmètre d’autant de fois la longueur bB qu’il y a (50) de côtés moins un ; cette ligne est approximativement égale à celle décrite par le plus petit polygone ne la dépassant que de la distance bB. Ici maintenant on voit, sans aucune difficulté, pourquoi le plus grand polygone, porté par le plus petit, ne mesure pas de ses côtés une ligne plus longue que celle parcourue par le plus petit ; c’est qu’une partie de chaque côté se superpose à son voisin immédiatement précédent. tandis que la plus grande traversera et décrira une ligne inférieure à son périmètre d’autant de fois la longueur bB qu’il y a (50) de côtés moins un ; cette ligne est approximativement égale à celle décrite par le plus petit polygone ne la dépassant que de la distance bB. Ici maintenant on voit, sans aucune difficulté, pourquoi le plus grand polygone, porté par le plus petit, ne mesure pas de ses côtés une ligne plus longue que celle parcourue par le plus petit ; c’est qu’une partie de chaque côté se superpose à son voisin immédiatement précédent.
Considérons ensuite deux cercles ayant un centre commun en A, et se trouvant sur leurs parallèles respectifs, le plus petit étant tangent à son parallèle au point B ; le plus grand, au point C. Ici quand le petit cercle commence à rouler le point B Figure 9[95]
ne reste pas au repos pendant un certain temps afin de permettre à BC de reculer et d’entraîner avec lui le point C, comme cela s’est produit dans le cas des polygones, où le point I est resté fixe jusqu’à ce que le côté KI coïncide avec MI et la ligne IB reporta le point terminal B en arrière jusqu’en b, de sorte que le côté BC tomba sur bc, superposant ainsi à la ligne BA, la portion Bb, et s’avançant d’une quantité Bc, égale à MI, c’est-à-dire d’un côté de la polygone plus petit. A cause de ces superpositions, qui sont les excès des côtés du plus grand polygone sur le plus petit, chaque avance nette est égale à un côté du plus petit polygone et, lors d’une rotation complète, celles-ci se résument à une droite de longueur égale à le périmètre du plus petit polygone.
(51)
Mais maintenant, raisonnant de la même manière concernant les cercles, nous devons observer que, tandis que le nombre de côtés d’un polygone est compris dans une certaine limite, le nombre de côtés d’un cercle est infini ; les premiers sont finis et divisibles ; ce dernier infini et indivisible. Dans le cas du polygone, les sommets restent au repos pendant un intervalle de temps qui porte à la période d’une rotation complète le même rapport qu’un côté porte au périmètre ; de même, dans le cas des cercles, le retard de chacun du nombre infini de sommets est simplement instantané, car un instant est une fraction d’un intervalle fini comme un point est d’une ligne qui contient un nombre infini de points. Le recul des côtés du plus grand polygone n’est pas égal à la longueur d’un de ses côtés mais simplement à l’excédent d’un tel côté sur un côté du plus petit polygone, l’avance nette étant égale à ce petit côté ; mais dans le cercle, le point ou côté C, pendant le repos instantané de B, recule d’une quantité égale à son excès sur le côté B, faisant un progrès net égal à B lui-même. Bref le nombre infini de côtés indivisibles du grand cercle avec leur nombre infini de régressions indivisibles, faites pendant le nombre infini de retards instantanés du nombre infini de sommets du petit cercle, ainsi que le nombre infini de progressions, égal au nombre infini de côtés dans le plus petit cercle - tout cela, dis-je, s’additionne pour former une ligne égale à celle décrite par le plus petit cercle, une ligne qui contient un nombre infini de superpositions infiniment petites, provoquant ainsi un épaississement ou une contraction sans recouvrement ni interpénétration de parties finies. Ce résultat ne pourrait être obtenu dans le cas d’une ligne divisée [96] en parties finies comme l’est le périmètre d’un polygone quelconque, qui, tracé en ligne droite, ne peut être raccourci que par le recouvrement et l’interpénétration de ses côtés. Cette contraction d’un nombre infini de parties infiniment petites sans l’interpénétration ou le chevauchement de parties finies et le mentionné précédemment [ Ce résultat ne pourrait être obtenu dans le cas d’une ligne divisée [96] en parties finies comme l’est le périmètre d’un polygone quelconque, qui, tracé en ligne droite, ne peut être raccourci que par le recouvrement et l’interpénétration de ses côtés. Cette contraction d’un nombre infini de parties infiniment petites sans l’interpénétration ou le chevauchement de parties finies et le mentionné précédemment [ Ce résultat ne pourrait être obtenu dans le cas d’une ligne divisée [96] en parties finies comme l’est le périmètre d’un polygone quelconque, qui, tracé en ligne droite, ne peut être raccourci que par le recouvrement et l’interpénétration de ses côtés. Cette contraction d’un nombre infini de parties infiniment petites sans l’interpénétration ou le chevauchement de parties finies et le mentionné précédemment [p. 70, Nat. Éd. ] l’expansion d’un nombre infini de parties indivisibles par l’interposition de vides indivisibles est, à mon avis, le plus que l’on puisse dire de la contraction (52) et de la raréfaction des corps, à moins de renoncer à l’impénétrabilité de la matière et d’introduire des espaces vides de taille finie. Si vous trouvez quelque chose ici que vous jugez valable, utilisez-le ; si ce n’est pas le considérer, avec mes remarques, comme un bavardage ; mais souvenez-vous, nous avons affaire à l’infini et à l’indivisible.
SAGR. J’avoue franchement que votre idée est subtile et qu’elle m’impressionne comme nouvelle et étrange ; mais si, en fait, la nature se comporte réellement selon une telle loi, je suis incapable de le déterminer ; cependant, jusqu’à ce que je trouve une explication plus satisfaisante, je m’en tiendrai à celle-ci. Peut-être Simplicio peut-il nous dire quelque chose que je n’ai pas encore entendu, à savoir comment expliquer l’explication que les philosophes ont donnée de cette matière abstruse ; car, en effet, tout ce que j’ai lu jusqu’ici sur la contradiction est si dense et celui sur l’expansion si mince que mon pauvre cerveau ne peut ni pénétrer la première ni saisir la seconde.
IDOLÂTRER. Je suis tout en mer et j’ai du mal à suivre l’un ou l’autre chemin, en particulier ce nouveau ; parce que selon cette théorie, une once d’or pourrait être raréfiée et dilatée jusqu’à ce que sa taille dépasse celle de la terre, tandis que la terre, à son tour, pourrait être condensée et réduite jusqu’à ce qu’elle devienne plus petite qu’une noix, ce que je ne comprends pas. croire ; je ne crois pas non plus que vous le croyiez. Les arguments et les démonstrations que vous avez avancés sont mathématiques, abstraits et éloignés de la matière concrète ; et je ne crois pas que, lorsqu’elles seront appliquées au monde physique et naturel, ces lois tiendront.
SALV. Je ne suis pas capable de rendre visible l’invisible, et je ne pense pas non plus que vous me le demandiez. Mais maintenant que vous mentionnez l’or, nos sens ne nous disent-ils pas que ce métal peut être immensément dilaté ? Je ne sais si vous avez observé la méthode [97] employée par ceux qui sont habiles à tirer le fil d’or, dont en réalité seule la surface est de l’or, la matière intérieure étant de l’argent. Voici comment ils le dessinent : ils prennent un cylindre ou, s’il vous plaît, une tige d’argent, longue d’environ une demi-coudée et trois ou quatre fois large comme le pouce ; ils recouvrent cette tige d’une feuille d’or qui est si mince qu’elle flotte presque dans l’air, ne mettant (53) pas plus de huit ou dix épaisseurs. Une fois doré, ils commencent à le tirer, avec une grande force, à travers les trous d’une tirette ; encore et encore, on le fait passer à travers des trous de plus en plus petits, jusqu’à ce que, après de très nombreux passages, il est réduit à la finesse d’un cheveu de dame, ou peut-être même plus fin ; pourtant la surface reste dorée. Imaginez maintenant comment la substance de cet or a été élargie et à quelle finesse il a été réduit.
IDOLÂTRER. Je ne vois pas que ce procédé produirait, par suite, ce merveilleux amincissement de la substance de l’or que vous suggérez : premièrement, parce que la dorure primitive composée de dix couches de feuilles d’or a une épaisseur sensible ; 2° parce qu’en étirant l’argent, il s’allonge, mais en même temps diminue proportionnellement d’épaisseur ; et, puisqu’une dimension compense ainsi l’autre, la surface ne sera pas augmentée au point de rendre nécessaire, pendant le processus de dorure, de réduire la finesse de l’or au-delà de celle des feuilles d’origine.
SALV. Vous vous trompez beaucoup, Simplicio, car la surface augmente directement comme la racine carrée de la longueur, ce que je puis démontrer géométriquement.
SAGR. S’il vous plaît, donnez-nous la démonstration non seulement pour mon propre bien, mais aussi pour Simplicio, à condition que vous pensiez que nous pouvons le comprendre.
SALV. Je vais voir si je peux m’en souvenir sur un coup de tête. Au début, il est clair que la grosse tige d’argent originelle et le fil tiré sur une longueur énorme sont deux cylindres de même volume, puisqu’ils sont le même corps d’argent. Donc [98] que, si je détermine le rapport entre les surfaces de cylindres de même volume, le problème sera résolu. je dis alors,
Les aires des cylindres de volumes égaux, en négligeant les bases, ont entre elles un rapport qui est la racine carrée du rapport de leurs longueurs.
Soit deux cylindres de volume égal ayant pour altitudes AB et CD, entre lesquels la ligne E est une moyenne proportionnelle. Alors je prétends qu’en omettant les bases de chaque cylindre, la surface du cylindre AB est à celle du cylindre CD comme la longueur AB (54) est à la droite E, c’est-à-dire comme la racine carrée de AB est à la racine carrée de CD. Coupez maintenant le cylindre AB en F pour que l’altitude AF soit égale à CD. Alors puisque les bases des cylindres de volume égal portent entre elles le rapport inverse de leurs hauteurs, il s’ensuit que l’aire de la base circulaire du cylindre CD sera à l’aire de la base circulaire de AB comme l’altitude BA est à DC : de plus, puisque les cercles sont entre eux comme les carrés de leurs diamètres, lesdits carrés seront entre eux comme BA est à CD. Mais BA est à CD comme le carré de BA est au carré de E : et, donc ces quatre carrés formeront une proportion ; et de même leurs côtés ; ainsi la ligne AB est à E comme le diamètre du cercle C est au diamètre du cercle A. Mais les diamètres sont proportionnels aux circonférences et les circonférences sont proportionnelles aux aires des cylindres d’égale hauteur ; donc la droite AB est à E comme la surface du cylindre CD est à la surface du cylindre AF. Or puisque la hauteur AF est à AB comme la surface de AF est à la surface de AB ; et puisque la hauteur AB est à la ligne E comme la surface CD est à AF, il s’ensuit, ex oequal in proportione perturbata,* que la hauteur AF est à E comme la surface CD est à la surface AB, et convertendo, la surface du cylindre AB est à la surface du cylindre CD comme la ligne E est à AF, i. e. , sur CD, ou comme AB est à E qui est la racine carrée du rapport de AB à CD. CQFD ;
Si maintenant nous appliquons ces résultats au cas présent, et supposons que le cylindre d’argent au moment de la dorure n’avait qu’une longueur d’une demi-coudée et une épaisseur trois ou quatre fois celle de Figure 10[99]
pouce, nous trouverons que, lorsque le fil aura été réduit à la finesse d’un cheveu et étiré à une longueur de vingt mille coudées (et peut-être plus), l’aire de sa surface aura été augmentée d’au moins deux cents fois. Par conséquent les dix feuilles d’or qui ont été posées sur (55) se sont étendues sur une surface deux cents fois plus grande, nous assurant que l’épaisseur de l’or qui couvre maintenant la surface de tant de coudées de fil ne peut être supérieure à un vingtième que d’une feuille ordinaire d’or battu. Considérez maintenant quel degré de finesse elle doit avoir et si l’on pourrait concevoir qu’elle se produise d’une autre manière que par une expansion énorme des parties ; considérez aussi si cette expérience ne suggère pas que les corps physiques [ materie fisiche] sont composées de particules indivisibles infiniment petites, une vue qui est soutenue par d’autres exemples plus frappants et concluants.
SAGR. Cette démonstration est si belle que, même si elle n’a pas la force voulue à l’origine, — bien qu’à mon sens, elle soit très forte — le peu de temps qui lui a été consacré a néanmoins été très heureusement dépensé.
SALV. Puisque vous aimez tant ces démonstrations géométriques, qui apportent avec elles un gain distinct, je vais vous donner un théorème compagnon qui répond à une question extrêmement intéressante. Nous avons vu plus haut quelles relations existent entre des cylindres égaux de hauteur ou de longueur différente ; Voyons maintenant ce qui se passe lorsque les cylindres sont égaux en aire mais inégaux en hauteur, en entendant par aire la surface courbe, mais pas les bases supérieure et inférieure. Le théorème est :
Les volumes des cylindres droits ayant des surfaces courbes égales sont inversement proportionnels à leurs altitudes.
Que les surfaces des deux cylindres, AE et CF, soient égales mais que la hauteur de ce dernier, CD, soit plus grande que celle du premier, AB : alors je dis que le volume du cylindre AE est à celui du cylindre CF comme la hauteur CD est à AB. Or puisque la surface de CF est égale à la surface de AE, il s’ensuit que le volume de CF est moindre que celui de AE ; car, s’ils étaient égaux, la surface de CF dépasserait, par la proposition précédente, celle de AE, et l’excédent serait d’autant plus grand si le volume du cylindre CF était plus grand que celui [100] de AE. Prenons maintenant un cylindre ID ayant un volume égal à celui de AE ; alors, d’après le théorème précédent, la surface du cylindre ID est à la surface de AE comme l’altitude (56) IF est à la moyenne proportionnelle entre IF et AB. Mais comme une donnée du problème est que la surface de AE est égale à celle de CF, et puisque la surface ID est à la surface CF ce que l’altitude IF est à l’altitude CD, il s’ensuit que CD est une moyenne proportionnelle entre IF et AB. Non seulement cela, mais puisque le volume du cylindre ID est égal à celui de AE, chacun aura le même rapport au volume du cylindre CF ; mais le volume ID est au volume CF ce que l’altitude IF est à l’altitude CD ; donc le volume de AE est au volume de CF comme la longueur IF est à la longueur CD, c’est-à-dire comme la longueur CD est à la longueur AB. CQFD chacun aura le même rapport au volume du cylindre CF ; mais le volume ID est au volume CF ce que l’altitude IF est à l’altitude CD ; donc le volume de AE est au volume de CF comme la longueur IF est à la longueur CD, c’est-à-dire comme la longueur CD est à la longueur AB. CQFD chacun aura le même rapport au volume du cylindre CF ; mais le volume ID est au volume CF ce que l’altitude IF est à l’altitude CD ; donc le volume de AE est au volume de CF comme la longueur IF est à la longueur CD, c’est-à-dire comme la longueur CD est à la longueur AB. CQFD
Figure 11
Ainsi s’explique un phénomène que le commun des mortels regarde toujours avec émerveillement, à savoir que si nous avons une étoffe qui a un côté plus long que l’autre, nous pouvons en faire un sac de maïs, en utilisant la base en bois habituelle, qui tiendra plus lorsque le côté court du tissu est utilisé pour la hauteur du sac et que le côté long est enroulé autour de la base en bois, qu’avec l’arrangement alternatif. De sorte que, par exemple, à partir d’un morceau de tissu qui a six coudées d’un côté et douze de l’autre, on peut faire un sac qui contiendra plus quand le côté de douze coudées est enroulé autour de la base en bois, laissant le sac six coudées de haut que lorsque le côté de six coudées est placé autour de la base, ce qui fait le sac de douze coudées de haut. De ce qui a été prouvé ci-dessus, nous apprenons non seulement le fait général qu’un sac contient plus que l’autre, mais nous obtenons également des informations spécifiques et particulières sur la quantité de plus, à savoir, à mesure que l’altitude du sac diminue, le contenu augmente et vice versa. Ainsi, si nous utilisons les chiffres donnés qui font que le tissu est deux fois plus long que large et si nous utilisons le côté long pour la couture, le volume du sac sera juste la moitié aussi grand qu’avec l’arrangement opposé. De même (57) [101] si nous avons un morceau de natte qui mesure 7 x 25 coudées et en faisons un panier, le contenu du panier sera, lorsque la couture est dans le sens de la longueur, de sept par rapport à vingt-cinq lorsque le la couture passe dans le sens des extrémités. Ainsi, si nous utilisons les chiffres donnés qui font que le tissu est deux fois plus long que large et si nous utilisons le côté long pour la couture, le volume du sac sera juste la moitié aussi grand qu’avec l’arrangement opposé. De même (57) [101] si nous avons un morceau de natte qui mesure 7 x 25 coudées et en faisons un panier, le contenu du panier sera, lorsque la couture est dans le sens de la longueur, de sept par rapport à vingt-cinq lorsque le la couture passe dans le sens des extrémités. Ainsi, si nous utilisons les chiffres donnés qui font que le tissu est deux fois plus long que large et si nous utilisons le côté long pour la couture, le volume du sac sera juste la moitié aussi grand qu’avec l’arrangement opposé. De même (57) [101] si nous avons un morceau de natte qui mesure 7 x 25 coudées et en faisons un panier, le contenu du panier sera, lorsque la couture est dans le sens de la longueur, de sept par rapport à vingt-cinq lorsque le la couture passe dans le sens des extrémités.
SAGR. C’est avec grand plaisir que nous continuons ainsi à acquérir des informations nouvelles et utiles. Mais en ce qui concerne le sujet qui vient d’être traité, je crois bien que, parmi ceux qui ne sont pas déjà familiarisés avec la géométrie, vous ne trouveriez guère quatre personnes sur cent qui ne commettraient pas, à première vue, l’erreur de croire que des corps ayant des surfaces égales seraient égaux à d’autres égards. Parlant de superficie, la même erreur est commise lorsqu’on tente, comme cela arrive souvent, de déterminer les dimensions de diverses villes en mesurant leurs limites, oubliant que le circuit de l’une peut être égal au circuit de l’autre tandis que la superficie de l’une est bien supérieure à celle de l’autre. Et cela est vrai non seulement dans le cas de surfaces irrégulières, mais aussi de surfaces régulières, où le polygone ayant le plus grand nombre de côtés contient toujours une plus grande aire que celui qui a le moins de côtés, de sorte qu’enfin le cercle qui est un polygone d’un nombre infini de côtés contient la plus grande aire de tous les polygones d’égal périmètre. Je me souviens avec un plaisir particulier d’avoir vu cette démonstration lorsque j’étudiais la sphère de Sacrobosco* à l’aide d’un savant commentaire.
SALV. Très vrai ! Moi aussi je suis tombé sur le même passage qui m’a suggéré une méthode pour montrer comment, par une seule courte démonstration, on peut prouver que le cercle a le plus grand contenu de toutes les figures isopérimétriques régulières ; et que, des autres [102] figures, celle qui a le plus grand nombre de côtés contient une plus grande aire que celle qui en a le plus petit nombre.
SAGR. Aimant excessivement le choix et les propositions peu communes, je vous supplie de nous laisser votre démonstration.
SALV. Je peux le faire en quelques mots en démontrant le théorème suivant :
L’aire d’un cercle est une moyenne proportionnelle entre (58) quelconques deux polygones réguliers et semblables dont l’un le circonscrit et l’autre lui est isopérimétrique. De plus, l’aire du cercle est inférieure à celle de tout polygone circonscrit et supérieure à celle de tout polygone isopérimétrique. Et de plus, de ces polygones circonscrits, celui qui a le plus grand nombre de côtés est plus petit que celui qui en a le moins ; mais, d’autre part, le polygone isopérimétrique qui a le plus grand nombre de côtés est le plus grand.
Soient A et B deux polygones semblables dont A circonscrit le cercle donné et B lui est isopérimétrique. L’aire du cercle sera alors une moyenne proportionnelle entre les aires des polygones. Car si nous indiquons le rayon du cercle par AC et si nous nous souvenons que l’aire du cercle est égale à celle d’un triangle rectangle dont l’un des côtés autour de l’angle droit est égal au rayon, AC, et l’autre à la circonférence ; et si de même on se rappelle que l’aire du polygone A est égale à l’aire d’un triangle rectangle l’un de [103] dont les côtés autour de l’angle droit ont la même longueur que AC et l’autre est égal au périmètre du polygone lui-même ; il est alors manifeste que le polygone circonscrit fait au cercle le même rapport que son périmètre fait à la circonférence du cercle, soit au périmètre du polygone B qui est, par hypothèse, égal à la circonférence du cercle. Mais comme les polygones A et B sont semblables, leurs aires sont entre elles comme les carrés de leurs périmètres ; donc l’aire du cercle A est unFigure 12(59)
moyenne proportionnelle entre les aires des deux polygones A et B. Et comme l’aire du polygone A est supérieure à celle du cercle A, il est clair que l’aire du cercle A est supérieure à celle du polygone isopérimétrique B, et est donc le plus grand de tous les polygones réguliers ayant le même périmètre que le cercle.
Démontrons maintenant la partie restante du théorème, qui consiste à prouver que, dans le cas de polygones circonscrits à un cercle donné, celui qui a le plus petit nombre de côtés a une plus grande aire que celui qui a le plus grand nombre de côtés ; mais qu’en revanche, dans le cas des polygones isopérimétriques, celui qui a le plus de côtés a une aire plus grande que celui qui a le moins de côtés. Au cercle qui a O pour centre et OA pour rayon, tirez la tangente AD ; et sur cette tangente mettez, disons, AD qui représentera la moitié du côté d’un pentagone circonscrit et AC qui représentera la moitié du côté d’un heptagone ; tracez les droites OGC et OFD ; puis avec O comme centre et OC comme rayon tracer l’arc ECI. Or puisque le triangle DOC est supérieur au secteur EOC et puisque le secteur COI est supérieur au triangle COA, il s’ensuit que le triangle DOC porte sur le triangle COA un rapport plus grand que le secteur EOC porte sur le secteur COI, c’est-à-dire que le secteur FOG porte sur le secteur GOA. Par conséquent, componendo et permutando, le triangle DOA porte au secteur FOA un rapport plus grand que celui que le triangle COA au secteur GOA, et aussi 10 de ces triangles DOA portent à 10 de ces secteurs FOA un rapport supérieur à 14 de ces triangles COA portent à 14 tels secteurs GOA, c’est-à-dire que le pentagone circonscrit porte au cercle un rapport plus grand que l’heptagone. Par conséquent, le pentagone dépasse l’heptagone en surface. le triangle DOA porte sur le secteur FOA un rapport supérieur à celui que le triangle COA porte sur le secteur GOA, ainsi que 10 de ces triangles DOA portent sur 10 de ces secteurs FOA un rapport supérieur à 14 de ces triangles COA sur 14 de ces secteurs GOA, que c’est-à-dire que le pentagone circonscrit porte au cercle un rapport plus grand que l’heptagone. Par conséquent, le pentagone dépasse l’heptagone en surface. le triangle DOA porte sur le secteur FOA un rapport supérieur à celui que le triangle COA porte sur le secteur GOA, ainsi que 10 de ces triangles DOA portent sur 10 de ces secteurs FOA un rapport supérieur à 14 de ces triangles COA sur 14 de ces secteurs GOA, que c’est-à-dire que le pentagone circonscrit porte au cercle un rapport plus grand que l’heptagone. Par conséquent, le pentagone dépasse l’heptagone en surface.
Mais supposons maintenant que l’heptagone et le pentagone ont le même périmètre que celui d’un cercle donné. Ensuite, je dis que l’heptagone contiendra une plus grande surface que le pentagone. Car puisque l’aire du cercle est une moyenne proportionnelle entre les aires des pentagones circonscrits et isopérimétriques, [104] et puisque de même c’est une moyenne proportionnelle entre les heptagones circonscrits (60) et isopérimétriques, et puisque aussi nous avons prouvé que le pentagone circonscrit est plus grand que l’heptagone circonscrit, il s’ensuit que ce pentagone circonscrit porte au cercle un rapport plus grand que l’heptagone, c’est-à-dire que le cercle portera à son pentagone isopérimétrique un rapport plus grand qu’à son heptagone isopérimétrique. Le pentagone est donc plus petit que son heptagone isopérimétrique. CQFD ;
SAGR. Une démonstration très astucieuse et élégante ! Mais comment en sommes-nous arrivés à plonger dans la géométrie en discutant les objections soulevées par Simplicio, objections de grande importance, surtout celle de la densité qui me paraît particulièrement difficile ?
SALV. Si contraction et expansion [ condensazione e rarefazzione] consistent en des mouvements contraires, on doit trouver pour chaque grande expansion une contraction proportionnellement grande. Mais notre surprise est d’autant plus grande que, chaque jour, nous voyons se produire d’énormes expansions presque instantanément. Pensez à l’énorme expansion qui se produit lorsqu’une petite quantité de poudre à canon s’embrase en un vaste volume de feu ! Pensez aussi à l’expansion quasi illimitée de la lumière qu’il produit ! Imaginez la contraction qui aurait lieu si ce feu et cette lumière venaient à se réunir, ce qui, en effet, n’est pas impossible puisqu’il y a encore peu de temps ils se trouvaient ensemble dans ce petit espace. Vous trouverez, à l’observation, un millier de telles expansions car elles sont plus évidentes que les contractions puisque la matière dense est plus palpable et accessible à nos sens. Nous pouvons prendre du bois et le voir monter en feu et en lumière, mais on ne les [105] voit pas se recombiner pour former du bois ; nous voyons des fruits et des fleurs et un millier d’autres corps solides se dissoudre en grande partie en odeurs, mais nous n’observons pas ces atomes odorants se réunissant pour former des solides odorants. Mais là où les sens nous font défaut, la raison doit intervenir ; car elle nous permettra de comprendre aussi clairement le mouvement impliqué dans la condensation des substances extrêmement raréfiées et ténues que celui impliqué dans l’expansion et la dissolution des solides. De plus, nous cherchons à savoir comment il est possible de produire de l’expansion et de la contraction dans des corps capables de tels changements sans introduire de vide et sans renoncer (61) à l’impénétrabilité de la matière ; mais cela n’exclut pas la possibilité qu’il existe des matériaux qui ne possèdent pas de telles propriétés et qui, par conséquent, ne entraînent avec eux des conséquences que vous appelez incommodes et impossibles. Et enfin, Simplicio, j’ai, pour vous les philosophes, pris soin de trouver une explication de la façon dont l’expansion et la contraction peuvent avoir lieu sans que nous ayons admis la pénétrabilité de la matière et introduit le vide, propriétés que vous niez et n’aimez pas ; si vous les admettiez, je ne vous opposerais pas si vigoureusement. Maintenant, soit admettez ces difficultés, soit acceptez mon point de vue ou suggérez quelque chose de mieux.
SAGR. Je suis tout à fait d’accord avec les philosophes itinérants pour nier la pénétrabilité de la matière. Quant aux vides, je voudrais entendre une discussion approfondie de la démonstration d’Aristote dans laquelle il s’y oppose, et ce que vous, Salviati, avez à dire en réponse. Je vous en prie, Simplicio, que vous nous donniez la preuve précise du Philosophe et que vous, Salviati, nous donniez la réponse.
Pour les schéma de la suite, regarder ici :
Pour les défauts de traduction google, lire l’original :
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/tns_draft/tns_061to108.html
SIMPLICIO. Autant que je m’en souvienne, Aristote s’élève contre l’ancienne opinion selon laquelle le vide est une condition préalable nécessaire au mouvement et que ce dernier ne pourrait pas se produire sans le premier. A l’encontre de cette opinion, Aristote montre que c’est précisément le phénomène du mouvement, comme nous le verrons, qui rend insoutenable l’idée du vide. Sa méthode consiste à diviser l’argument en deux parties. Il suppose d’abord que des corps de poids différents se meuvent dans le même milieu ; suppose alors, qu’un seul et même corps se déplace dans des milieux différents. Dans le premier cas, il [106] suppose que des corps de poids différents se meuvent dans un même milieu avec des vitesses différentes qui se tiennent entre elles dans le même rapport que les poids ; de sorte que, par exemple, un corps dix fois plus lourd qu’un autre se meut dix fois plus vite que l’autre. Dans le second cas, il suppose que les vitesses d’un même corps se déplaçant dans des milieux différents sont en raison inverse des densités de ces milieux ; ainsi, par exemple, si la densité de l’eau était dix fois celle de l’air, la vitesse dans l’air serait dix fois plus grande que dans l’eau. De cette seconde supposition, (62) il montre que, puisque la ténuité d’un vide diffère infiniment de celle de tout milieu rempli de matière si rare qu’il soit, tout corps qui se meut dans un plenum à travers un certain espace en un certain temps doit se déplacer à travers un vide instantanément ; mais le mouvement instantané est une impossibilité ; il est donc impossible qu’un vide soit produit par le mouvement. si la densité de l’eau était dix fois celle de l’air, la vitesse dans l’air serait dix fois plus grande que dans l’eau. De cette seconde supposition, (62) il montre que, puisque la ténuité d’un vide diffère infiniment de celle de tout milieu rempli de matière si rare qu’il soit, tout corps qui se meut dans un plenum à travers un certain espace en un certain temps doit se déplacer à travers un vide instantanément ; mais le mouvement instantané est une impossibilité ; il est donc impossible qu’un vide soit produit par le mouvement. si la densité de l’eau était dix fois celle de l’air, la vitesse dans l’air serait dix fois plus grande que dans l’eau. De cette seconde supposition, (62) il montre que, puisque la ténuité d’un vide diffère infiniment de celle de tout milieu rempli de matière si rare qu’il soit, tout corps qui se meut dans un plenum à travers un certain espace en un certain temps doit se déplacer à travers un vide instantanément ; mais le mouvement instantané est une impossibilité ; il est donc impossible qu’un vide soit produit par le mouvement. mais le mouvement instantané est une impossibilité ; il est donc impossible qu’un vide soit produit par le mouvement. mais le mouvement instantané est une impossibilité ; il est donc impossible qu’un vide soit produit par le mouvement.
SALV. L’argument est, comme vous le voyez, ad hominem, c’est-à-dire qu’il est dirigé contre ceux qui pensaient que le vide était une condition préalable au mouvement. Or, si j’admets que l’argument est concluant et concède aussi que le mouvement ne peut avoir lieu dans le vide, l’hypothèse d’un vide considéré absolument et non en référence au mouvement, n’est pas pour autant invalidée. Mais pour vous dire ce qu’auraient pu répondre les anciens et pour mieux comprendre à quel point la démonstration d’Aristote est concluante, on peut, à mon avis, nier ses deux hypothèses. Et quant au premier, je doute fort qu’Aristote ait jamais testé par expérience s’il est vrai que deux pierres, l’une pesant dix fois plus que l’autre, si on les laisse tomber, au même instant, d’une hauteur de, disons, 100 coudées, différeraient tellement en vitesse que lorsque le plus lourd aurait atteint le sol,
SIMPLICIO. Son langage semble indiquer qu’il a tenté l’expérience, car il dit : On voit le plus lourd ; maintenant le mot voir indique qu’il avait fait l’expérience.
SAGR. Mais moi, Simplicio, qui ai fait le test, je peux vous assurer [107] qu’un boulet de canon pesant cent ou deux cents livres, ou même plus, n’atteindra pas le sol d’autant qu’un empan devant un boulet de mousquet pesant seulement la moitié. une livre, à condition que les deux soient lâchés d’une hauteur de 200 coudées.
SALV. Mais, même sans autre expérience, il est possible de prouver clairement, au moyen d’un argument court et concluant, qu’un corps plus lourd ne se déplace pas plus rapidement qu’un corps plus léger à condition que les deux corps soient du même matériau et en bref tels que ceux cité par Aristote. Mais dis-moi, Simplicio, si tu admets que chaque corps qui tombe acquiert une vitesse définie (63) fixée par la nature, une vitesse qui ne peut être augmentée ou diminuée que par l’usage de la force ou de la résistance.
SIMPLICIO. Il ne peut y avoir de doute qu’un seul et même corps se mouvant dans un seul milieu ait une vitesse fixe qui est déterminée par la nature et qui ne peut être augmentée que par l’addition d’ impeto ou diminuée que par quelque résistance qui la retarde.
SALV. Si donc nous prenons deux corps dont les vitesses naturelles sont différentes, il est clair qu’en réunissant les deux, le plus rapide sera en partie retardé par le plus lent, et le plus lent sera quelque peu accéléré par le plus rapide. N’êtes-vous pas d’accord avec moi dans cette opinion ?
SIMPLICIO. Vous avez incontestablement raison.
SALV. Mais si cela est vrai, et si une grosse pierre se déplace avec une vitesse de, disons, huit tandis qu’une plus petite se déplace avec une vitesse de quatre, alors lorsqu’elles sont unies, le système se déplacera avec une vitesse inférieure à huit ; mais les deux pierres, une fois liées ensemble, forment une pierre plus grande que celle qui se déplaçait auparavant avec une vitesse de huit. Ainsi le corps le plus lourd se meut avec moins de vitesse que le plus léger ; un effet qui est contraire à votre supposition. Ainsi vous voyez [108] comment, de votre hypothèse que le corps le plus lourd se déplace plus rapidement que le plus léger, j’infère que le corps le plus lourd se déplace plus lentement.
SIMPLICIO. Je suis tout en mer parce qu’il me semble que la plus petite pierre ajoutée à la plus grosse augmente son poids et qu’en ajoutant du poids je ne vois pas comment elle pourrait ne pas augmenter sa vitesse ou, du moins, ne pas la diminuer.
SALV. Là encore tu te trompes, Simplicio, car il n’est pas vrai que la plus petite pierre ajoute du poids à la plus grosse.
SIMPLICIO. C’est, en effet, tout à fait au-delà de ma compréhension.
SALV. Cela ne vous dépassera pas lorsque je vous aurai une fois montré l’erreur sous laquelle vous travaillez. A noter qu’il faut distinguer les corps lourds en mouvement des mêmes corps au repos. Une grosse pierre placée dans une balance non seulement acquiert un poids supplémentaire en ayant une autre pierre placée dessus, mais même par l’ajout d’une poignée de chanvre, son poids est (64) augmenté de six à dix onces selon la quantité de chanvre. Mais si vous attachez le chanvre à la pierre et les laissez tomber librement d’une certaine hauteur, croyez-vous que le chanvre appuiera sur la pierre et accélérera ainsi son mouvement ou pensez-vous que le mouvement sera retardé par une pression ascendante partielle ? ? On sent toujours la pression sur ses épaules quand il empêche le mouvement d’une charge qui repose sur lui ; mais si quelqu’un descend aussi rapidement que la charge tomberait, comment peut-elle graviter ou peser sur lui ? Ne voyez-vous pas que ce serait la même chose que d’essayer de frapper un homme avec une lance alors qu’il s’éloigne de vous avec une vitesse égale ou même supérieure à celle avec laquelle vous le suivez ? Vous devez donc en conclure que, lors de la chute libre et naturelle, la petite pierre n’appuie pas sur la plus grosse et par conséquent n’augmente pas son poids comme elle le fait au repos.
SIMPLICIO. Mais que se passerait-il si nous devions placer la plus grosse pierre sur la plus petite ? [109]
SALV. Son poids serait augmenté si la plus grosse pierre se déplaçait plus rapidement ; mais nous avons déjà conclu que lorsque la petite pierre se déplace plus lentement, elle retarde dans une certaine mesure la vitesse de la plus grande, de sorte que la combinaison des deux, qui est un corps plus lourd que la plus grande des deux pierres, se déplacerait moins rapidement, une conclusion contraire à votre hypothèse. Nous en déduisons donc que les corps grands et petits se meuvent avec la même vitesse pourvu qu’ils aient la même gravité spécifique.
SIMPLICIO. Votre discussion est vraiment admirable ; pourtant je ne trouve pas facile de croire qu’un coup d’oiseau tombe aussi vite qu’un boulet de canon.
SALV. Pourquoi ne pas dire un grain de sable aussi rapidement qu’une meule ? Mais, Simplicio, j’espère que vous ne suivrez pas l’exemple de beaucoup d’autres qui détournent la discussion de son intention principale et s’attachent à une de mes affirmations auxquelles il manque un cheveu de vérité et, sous ces cheveux, cachent la faute d’un autre qui est gros comme le câble d’un navire. Aristote dit qu’"une boule de fer de cent livres tombant d’une hauteur de cent coudées atteint le sol avant qu’une boule d’une livre soit tombée d’une seule coudée". Je dis qu’elles arrivent en même temps. Vous trouvez, en (65) faisant l’expérience, que le plus grand dépasse le plus petit de deux travers de doigt, c’est-à-dire que lorsque le plus grand a atteint le sol, l’autre en est plus court de deux travers de doigt ; maintenant tu ne cacherais pas derrière ces deux doigts les quatre-vingt-dix-neuf coudées d’Aristote, tu ne mentionnerais pas non plus ma petite erreur et en même temps tu passerais sous silence sa très grande. Aristote déclare que des corps de poids différents, dans un même milieu, voyagent (en tant que leur mouvement dépend de la pesanteur) avec des vitesses proportionnelles à leur poids ; ce qu’il illustre par l’utilisation de corps dans lesquels il est possible de percevoir l’effet pur et pur de la gravité, éliminant d’autres considérations, par exemple, la figure comme étant de peu d’importance [minimi momenti ], influences très dépendantes du milieu qui modifie le seul effet de la pesanteur seule. Ainsi, nous observons que l’or, la plus dense de toutes les substances, lorsqu’il est battu en une feuille très mince, flotte dans l’air ; la même chose se produit avec la pierre lorsqu’elle est broyée en une poudre très fine. Mais si vous voulez maintenir la proposition générale, vous devrez montrer que le même rapport des vitesses se conserve dans le [110] cas de tous les corps pesants, et qu’une pierre de vingt livres se meut dix fois plus vite qu’une sur deux ; mais je prétends que c’est faux et que, s’ils tombent d’une hauteur de cinquante ou de cent coudées, ils atteindront la terre au même moment.
SIMPLICIO. Peut-être que le résultat serait différent si la chute avait lieu non pas de quelques coudées mais de quelques milliers de coudées.
SALV. Si c’était ce qu’Aristote voulait dire, vous lui imposeriez une autre erreur qui équivaudrait à un mensonge ; parce que, puisqu’il n’y a pas une telle hauteur disponible sur terre, il est clair qu’Aristote n’aurait pas pu faire l’expérience ; pourtant il veut nous donner l’impression qu’il l’a fait quand il parle d’un effet comme celui que nous voyons.
SIMPLICIO. En fait, Aristote n’emploie pas ce principe, mais utilise l’autre qui n’est pas, je crois, sujet à ces mêmes difficultés.
SALV. Mais l’un est aussi faux que l’autre ; et je m’étonne que vous-même ne voyiez pas le sophisme et que vous (66) ne perceviez pas que s’il était vrai que, dans des milieux de densités différentes et de résistances différentes, comme l’eau et l’air, un seul et même corps se mouvait dans l’air plus rapidement que dans l’eau, à mesure que la densité de l’eau est plus grande que celle de l’air, il s’ensuivrait alors que tout corps qui tombe à travers l’air doit aussi tomber à travers l’eau. Mais cette conclusion est fausse dans la mesure où beaucoup de corps qui descendent dans l’air non seulement ne descendent pas dans l’eau, mais montent en fait.
SIMPLICIO. Je ne comprends pas la nécessité de votre inférence ; et de plus je dirai qu’Aristote ne parle que des corps qui tombent dans les deux milieux, non de ceux qui tombent dans l’air mais montent dans l’eau.
SALV. Les arguments que vous avancez pour le Philosophe sont tels qu’il aurait certainement évité lui-même pour ne pas aggraver sa première méprise. Mais dites-moi maintenant si la densité [ corpulenza ] de l’eau, ou quoi que ce soit qui [111] retarde le mouvement, a un rapport défini avec la densité de l’air qui est moins retardateur ; et si c’est le cas, fixez-en une valeur à votre guise.
SIMPLICIO. Un tel ratio existe ; supposons qu’il soit dix ; alors, pour un corps qui tombe dans ces deux milieux, la vitesse dans l’eau sera dix fois plus lente que dans l’air.
SALV. Je vais maintenant prendre un de ces corps qui tombent dans l’air mais pas dans l’eau, disons une boule de bois, et je vous demanderai de lui assigner la vitesse qu’il vous plaira pour sa descente dans l’air.
SIMPLICIO. Supposons qu’il se déplace avec une vitesse de vingt.
SALV. Très bien. Alors il est clair que cette vitesse porte à une vitesse plus petite le même rapport que la densité de l’eau porte à celle de l’air ; et la valeur de cette plus petite vitesse est de deux. De sorte qu’en réalité, si nous suivons exactement l’hypothèse d’Aristote, nous devrions en déduire que la boule de bois qui tombe dans l’air, une substance dix fois moins résistante que l’eau, avec une vitesse de vingt tomberait dans l’eau avec une vitesse de deux, au lieu de remonter à la surface par le bas comme il le fait ; à moins peut-être que vous ne vouliez répondre, ce que je ne crois pas, que la montée du bois à travers l’eau est la même que sa descente avec une vitesse de deux. (67) Mais comme la boule de bois ne va pas au fond, je pense que vous conviendrez avec moi qu’on peut trouver une boule d’un autre matériau, pas du bois, qui tombe dans l’eau avec une vitesse de deux.
SIMPLICIO. Sans aucun doute, nous le pouvons ; mais il doit être d’une substance considérablement plus lourde que le bois.
SALV. C’est exactement ça. Mais si cette deuxième balle tombe dans l’eau avec une vitesse de deux, quelle sera sa vitesse de descente dans l’air ? Si vous tenez à la règle d’Aristote, vous devez répondre qu’elle se déplacera au rythme de vingt ; mais vingt est la vitesse que vous avez vous-même déjà assignée à la boule de bois ; par conséquent, cette balle et l’autre balle plus lourde se déplaceront chacune dans l’air à la même vitesse. Mais maintenant, comment le Philosophe harmonise-t-il ce résultat avec son autre, à savoir que des corps de poids différents se déplacent à travers le même milieu avec des vitesses différentes - des vitesses qui sont proportionnelles à leurs poids ? Mais sans approfondir la question, comment ces propriétés communes et [112] évidentes ont-elles échappé à votre attention ? N’as-tu pas observé que deux corps qui tombent dans l’eau, l’un avec une vitesse cent fois plus grande que celle de l’autre, tombera dans l’air avec des vitesses si proches que l’une ne dépassera pas l’autre d’un centième ? Ainsi, par exemple, un œuf en marbre descendra dans l’eau cent fois plus rapidement qu’un œuf de poule, tandis que dans l’air tombant d’une hauteur de vingt coudées, l’un sera inférieur à l’autre de moins de quatre largeurs de doigt. En bref, un corps lourd qui traverse dix coudées d’eau en trois heures traversera dix coudées d’air en un ou deux battements de pouls ; et si le corps lourd est une boule de plomb, il traversera facilement les dix coudées d’eau en moins du double du temps requis pour dix coudées d’air. Et ici, je suis sûr, Simplicio, vous ne trouvez aucun motif de différence ou d’objection. Nous concluons donc que l’argument ne porte pas contre l’existence d’un vide ; mais si c’était le cas,violenza ] comme on peut le déduire de diverses expériences dont la description occuperait ici trop de temps. (68)
SAGR. Comme Simplicio se tait, j’en profite pour dire quelque chose. Puisque vous avez bien démontré que des corps de poids différents ne se meuvent pas dans un même milieu avec des vitesses proportionnelles à leurs poids, mais qu’ils se meuvent tous avec la même vitesse, sachant bien sûr qu’ils sont de la même substance ou du moins de la même gravité spécifique ; certainement pas de gravités spécifiques différentes, car je ne pense pas que vous voudriez nous faire croire qu’une boule de liège se déplace [113] avec la même vitesse qu’une boule de plomb ; et encore puisque vous avez bien démontré qu’un même corps se déplaçant dans des milieux différemment résistants n’acquiert pas des vitesses inversement proportionnelles aux résistances, je suis curieux de savoir quels sont les rapports effectivement observés dans ces cas.
SALV. Ce sont des questions intéressantes et j’y ai beaucoup réfléchi. Je vais vous donner la méthode d’approche et le résultat auquel j’ai finalement abouti. Ayant une fois établi la fausseté de la proposition qu’un seul et même corps se déplaçant à travers des milieux résistant différemment acquiert des vitesses inversement proportionnelles aux résistances de ces milieux, et ayant également réfuté l’affirmation selon laquelle dans le même milieu des corps de poids différents acquièrent des vitesses proportionnelles à leurs poids (comprenant que cela s’applique aussi aux corps qui ne diffèrent que par leur gravité spécifique), j’ai alors commencé à combiner ces deux faits et à considérer ce qui arriverait si des corps de poids différents étaient placés dans des milieux de résistances différentes ; et j’ai constaté que les différences de vitesse étaient plus importantes dans les supports les plus résistants, c’est-à-dire moins cédant. Cette différence était telle que deux corps qui différaient à peine par leur vitesse dans l’air tomberaient, dans l’eau, l’un avec une vitesse dix fois plus grande que celle de l’autre. De plus, il y a des corps qui tomberont rapidement dans l’air, alors que s’ils sont placés dans l’eau, non seulement ils ne s’enfonceront pas, mais ils resteront au repos ou même remonteront jusqu’au sommet : car il est possible de trouver des bois, tels que des nœuds et racines, qui restent au repos dans l’eau mais tombent rapidement dans l’air.
SAGR. J’ai souvent essayé avec la plus grande patience d’ajouter des grains de sable à une boule de cire jusqu’à ce qu’elle acquière la même (69) gravité spécifique que l’eau et reste donc au repos, dans ce milieu. Mais avec tout mon soin, je n’ai jamais pu accomplir cela. En effet, je ne sais pas s’il existe une substance solide dont la gravité spécifique est, par nature, si proche de celle de l’eau que si elle est placée n’importe où dans l’eau, elle restera au repos.
SALV. En cela, comme en mille autres opérations, les hommes sont surpassés par les animaux. Dans votre problème, on peut apprendre beaucoup des poissons qui sont très habiles à maintenir leur équilibre non seulement dans un type d’eau, mais aussi dans des eaux qui sont notablement différentes, soit par leur propre nature, soit par [114] quelque trouble accidentel ou par la salinité, dont chacune produit un changement marqué. Les poissons peuvent en effet si parfaitement garder leur équilibre qu’ils sont capables de rester immobiles dans n’importe quelle position. C’est ce qu’ils accomplissent, je crois, au moyen d’un appareil spécialement fourni par la nature, à savoir, une vessie située dans le corps et communiquant avec la bouche au moyen d’un tube étroit à travers lequel ils peuvent, à volonté, expulser une partie de l’air contenu dans la vessie : en remontant à la surface, elles peuvent aspirer plus d’air ;
SAGR. Au moyen d’un autre appareil, j’ai pu tromper des amis à qui je m’étais vanté de pouvoir fabriquer une boule de cire qui serait en équilibre dans l’eau. Au fond d’un vase, j’ai placé de l’eau salée et dessus de l’eau douce ; puis je leur ai montré que la boule s’arrêtait au milieu de l’eau, et que, poussée au fond ou soulevée en haut, elle ne resterait à aucun de ces endroits mais reviendrait au milieu.
SALV. Cette expérience n’est pas sans utilité. Car lorsque les médecins testent les diverses qualités des eaux, surtout leurs pesanteurs spécifiques, ils emploient une boule de ce genre si ajustée que, dans certaines eaux, elle ne montera ni ne descendra. Puis en testant une autre eau, différant très légèrement en gravité spécifique [ peso], la balle coulera si cette eau est plus légère et montera si elle est plus lourde. Et cette expérience est si exacte que l’addition (70) de deux grains de sel à six livres d’eau suffit pour faire remonter la boule à la surface du fond où elle était tombée. Pour illustrer la précision de cette expérience et aussi pour démontrer clairement la non-résistance de l’eau à la division, je souhaite ajouter que cette différence notable de gravité spécifique peut être produite non seulement par la solution d’une substance plus lourde, mais aussi par simple chauffage ou refroidissement ; et l’eau est si sensible à ce processus qu’en ajoutant simplement quatre gouttes d’une autre eau légèrement plus chaude ou plus froide que les six livres, on peut faire couler ou monter la balle ; il coulera lorsque l’eau chaude sera versée et montera lors de l’ajout d’eau froide.
SAGR. Sur cette question, j’ai trouvé beaucoup d’arguments convaincants dans un traité de notre académicien ; mais il y a une grande difficulté dont je n’ai pas pu me débarrasser, à savoir, s’il n’y a pas de ténacité ou de cohérence entre les particules d’eau, comment est-il possible que ces grosses gouttes d’eau se détachent en relief sur des feuilles de chou sans se disperser ou s’étaler ?
SALV. Bien que ceux qui sont en possession de la vérité soient capables de résoudre toutes les objections soulevées, je ne m’arrogerais pas un tel pouvoir ; néanmoins mon incapacité ne doit pas être autorisée à obscurcir la vérité. Pour commencer, permettez-moi d’avouer que je ne comprends pas comment ces gros globules d’eau se détachent et se tiennent debout, bien que je sache avec certitude que ce n’est pas dû à une quelconque ténacité interne agissant entre les particules d’eau ; d’où il doit s’ensuivre que la cause de cet effet est extérieure. A côté des expériences déjà montrées pour prouver que la cause n’est pas interne, je peux en proposer une autre qui est très convaincante. Si les particules d’eau qui se maintiennent en tas, tandis qu’elles sont entourées d’air, le faisaient en vertu d’une cause interne, alors ils se soutiendraient beaucoup plus facilement lorsqu’ils seraient entourés d’un milieu dans lequel ils auraient moins tendance à tomber qu’ils ne le font dans l’air ; un tel milieu serait n’importe quel fluide (71) plus lourd que l’air, comme, par exemple, le vin ; et par conséquent, si du vin était versé autour d’une telle goutte d’eau, le vin pourrait monter jusqu’à ce que la goutte soit entièrement recouverte, sans particules d’eau, maintenues ensemble par cette cohérence interne, toujours séparée. Mais ce n’est pas le fait ; car dès que le vin touche l’eau, celle-ci sans attendre d’être recouverte s’éparpille et s’étale sous le vin s’il est rouge. La cause de cet effet est donc externe et se trouve éventuellement dans l’air ambiant. En effet, il semble y avoir un antagonisme considérable entre l’air et l’eau comme je l’ai observé dans l’expérience suivante. Ayant pris un globe de verre qui avait une bouche d’environ le même diamètre qu’une paille, je l’ai rempli d’eau et j’ai tourné la bouche vers le bas ; néanmoins [116] l’eau, bien qu’assez lourde et sujette à descendre, et l’air, qui est très léger et disposé à monter à travers l’eau, refusèrent, l’un de descendre et l’autre de monter par l’ouverture, mais tous deux restèrent têtus. et défiant. D’autre part, dès que j’applique à cette ouverture un verre de vin rouge, qui est presque inappréciablement plus léger que l’eau, on observe immédiatement que des stries rouges montent lentement à travers l’eau sans se mélanger, jusqu’à ce que finalement le globe soit complètement rempli de vin. et l’eau est descendue dans le vaisseau en dessous. Que dire alors sinon qu’il existe, entre l’eau et l’air, une certaine incompatibilité que je ne comprends pas, mais peut-être. . .
IDOLÂTRER. J’ai presque envie de rire de la grande antipathie que Salviati manifeste contre l’emploi du mot antipathie ; et pourtant elle est parfaitement adaptée pour expliquer la difficulté.
SALV. D’accord, si cela plaît à Simplicio, que ce mot antipathie soit la solution de notre difficulté. Revenant de cette digression, reprenons notre problème. Nous avons déjà vu que la différence de vitesse entre les corps de densités différentes est la plus marquée dans les milieux les plus résistants : ainsi, dans un milieu de vif-argent, non seulement l’or descend au fond plus rapidement que le plomb, mais c’est le seule (72) substance qui descendra du tout ; tous les autres métaux et pierres remontent à la surface et flottent. D’autre part, la variation de vitesse dans l’air entre les boules d’or, de plomb, de cuivre, de porphyre et d’autres matériaux lourds est si faible que dans une chute de 100 coudées, une boule d’or ne dépasserait sûrement pas une boule de cuivre d’autant que quatre doigts.
IDOLÂTRER. C’est une déclaration remarquable, Salviati. Mais je ne croirai jamais que même dans le vide, si le mouvement en un tel lieu était possible, une mèche de laine et un morceau de plomb puissent tomber avec la même vitesse.
SALV. Un peu plus lentement, Simplicio. Votre difficulté n’est pas si obscure et je ne suis pas assez imprudent pour vous garantir de croire que je n’ai pas déjà examiné cette question et trouvé la solution appropriée. Par conséquent, pour ma justification et [117] pour votre illumination, écoutez ce que j’ai à dire. Notre problème est de savoir ce qui arrive aux corps de poids différents se déplaçant dans un milieu dépourvu de résistance, de sorte que la seule différence de vitesse soit celle qui provient de l’inégalité des poids. Puisqu’aucun médium, sauf un entièrement exempt d’air et d’autres corps, si ténu et si souple soit-il, ne peut fournir à nos sens l’évidence que nous recherchons, et puisqu’un tel médium n’est pas disponible, nous observerons ce qui se passe dans les cas les plus rares. et les milieux les moins résistants par rapport à ce qui se passe dans les milieux plus denses et plus résistants.peso], la différence de vitesse est très faible et presque inappréciable, alors nous sommes fondés à croire hautement probable que dans le vide tous les corps tomberaient avec la même vitesse. Considérons, en vue de cela, ce qui se passe dans l’air, où, pour une figure définie et un matériau léger, imaginons une vessie gonflée. L’air dans cette vessie lorsqu’il est entouré d’air (73) pèsera peu ou rien, puisqu’il ne peut être que légèrement comprimé ; son poids est alors faible, n’étant que celui de la peau qui ne s’élève pas à la millième partie d’une masse de plomb ayant la même grosseur que la vessie gonflée. Or, Simplicio, si nous laissons tomber ces deux corps d’une hauteur de quatre ou six coudées, de quelle distance imaginez-vous que le plomb devancera la vessie ? Vous pouvez être sûr que le plomb ne se déplacera pas trois fois, voire deux fois,
SIMPLICIO. Cela peut être comme vous le dites pendant les quatre ou six premières coudées de la chute ; mais après que le mouvement ait continué longtemps, je crois que le plomb aura laissé la vessie derrière non seulement six parties sur douze de la distance, mais même huit ou dix.
SALV. Je suis tout à fait d’accord avec vous et ne doute pas que, dans de très longues distances, le plomb puisse parcourir cent milles pendant que la [118] vessie en parcourait un ; mais, mon cher Simplicio, ce phénomène que vous invoquez contre ma proposition est précisément celui qui la confirme. Permettez-moi d’expliquer une fois de plus que la variation de vitesse observée dans les corps de différentes gravités spécifiques n’est pas causée par la différence de gravité spécifique, mais dépend de circonstances extérieures et, en particulier, de la résistance du milieu, de sorte que si cela est supprimé tout les corps tomberaient avec la même vitesse ; et ce résultat je le déduis principalement du fait que vous venez d’admettre et qui est bien vrai, à savoir que, dans le cas de corps qui diffèrent beaucoup de poids, leurs vitesses diffèrent de plus en plus à mesure que les espaces parcourus augmentent, quelque chose qui ne se produirait pas si l’effet dépendait de différences de gravité spécifique. Car puisque ces gravités spécifiques restent constantes, le rapport entre les distances parcourues doit rester constant alors qu’en réalité ce rapport ne cesse d’augmenter à mesure que le mouvement se poursuit. Ainsi un corps très lourd dans une chute d’une coudée n’anticipera pas un corps très léger d’autant que la dixième partie de cet espace ; mais dans une chute de douze coudées le corps lourd devancerait (74) l’autre d’un tiers, et dans une chute de cent coudées de 90/100, etc. Ainsi un corps très lourd dans une chute d’une coudée n’anticipera pas un corps très léger d’autant que la dixième partie de cet espace ; mais dans une chute de douze coudées le corps lourd devancerait (74) l’autre d’un tiers, et dans une chute de cent coudées de 90/100, etc. Ainsi un corps très lourd dans une chute d’une coudée n’anticipera pas un corps très léger d’autant que la dixième partie de cet espace ; mais dans une chute de douze coudées le corps lourd devancerait (74) l’autre d’un tiers, et dans une chute de cent coudées de 90/100, etc.
SIMPLICIO. Très bien : mais, suivant votre propre argumentation, si des différences de poids entre des corps de gravités spécifiques différentes ne peuvent pas produire un changement dans le rapport de leurs vitesses, au motif que leurs gravités spécifiques ne changent pas, comment est-il possible que les moyen, que nous supposons également constant, pour provoquer un changement dans le rapport de ces vitesses ?
SALV. Cette objection que vous opposez à ma déclaration est habile ; et je dois le rencontrer. Je commence par dire qu’un corps lourd a une tendance inhérente à se déplacer avec un mouvement constamment et uniformément accéléré vers le centre de gravité commun, c’est-à-dire vers le centre de notre terre, de sorte que pendant des intervalles de temps égaux, il reçoit des incréments égaux de quantité de mouvement et vitesse. Ceci, vous devez le comprendre, vaut chaque fois que tous les obstacles externes et accidentels ont été supprimés ; mais parmi ceux-ci il y en a un que nous ne pourrons jamais enlever, à savoir le milieu qui doit être pénétré et écarté par le corps qui tombe. Ce milieu fluide, tranquille, souple, oppose au mouvement [119] à travers lui une résistance qui est proportionnelle à la rapidité avec laquelle le milieu doit céder au passage du corps ; quel corps, comme je l’ai dit, est par nature continuellement accélérée de sorte qu’elle rencontre de plus en plus de résistance dans le milieu et donc une diminution de son taux de gain de vitesse jusqu’à ce que finalement la vitesse atteigne un tel point et que la résistance du milieu devienne si grande que, s’équilibrant , ils empêchent toute accélération supplémentaire et réduisent le mouvement du corps à un mouvement uniforme qui conservera ensuite une valeur constante. Il y a donc augmentation de la résistance du milieu, non en raison d’un changement quelconque de ses propriétés essentielles, mais en raison du changement de rapidité avec laquelle il doit céder et céder latéralement au passage du corps qui tombe qui est en constante accélération. ils empêchent toute accélération supplémentaire et réduisent le mouvement du corps à un mouvement uniforme qui conservera ensuite une valeur constante. Il y a donc augmentation de la résistance du milieu, non en raison d’un changement quelconque de ses propriétés essentielles, mais en raison du changement de rapidité avec laquelle il doit céder et céder latéralement au passage du corps qui tombe qui est en constante accélération. ils empêchent toute accélération supplémentaire et réduisent le mouvement du corps à un mouvement uniforme qui conservera ensuite une valeur constante. Il y a donc augmentation de la résistance du milieu, non en raison d’un changement quelconque de ses propriétés essentielles, mais en raison du changement de rapidité avec laquelle il doit céder et céder latéralement au passage du corps qui tombe qui est en constante accélération.
Maintenant, voyant combien est grande la résistance que l’air offre au léger élan [ momento ] de la vessie et combien petite celle qu’il offre au grand poids [ peso ]] du plomb, je (75) suis convaincu que, si le milieu était entièrement enlevé, l’avantage reçu par la vessie serait si grand et celui venant au plomb si petit que leurs vitesses seraient égalisées. En supposant ce principe, que tous les corps qui tombent acquièrent des vitesses égales dans un milieu qui, à cause du vide ou de quelque chose d’autre, n’offre aucune résistance à la vitesse du mouvement, nous pourrons en conséquence déterminer les rapports des vitesses des deux corps semblables. et des corps dissemblables se déplaçant soit à travers un seul et même médium, soit à travers différents médiums occupant l’espace, et donc résistants. On peut obtenir ce résultat en observant combien le poids du médium diminue le poids du mobile, lequel poids est le moyen employé par le corps qui tombe pour s’ouvrir un chemin et écarter les parties du médium,de vitesse ] est à attendre d’une différence de gravité spécifique. Et puisque l’on sait que l’effet du médium est de diminuer le poids du corps par le poids du médium déplacé, nous pouvons accomplir notre but en diminuant dans cette proportion exactement les vitesses des corps qui tombent, ce qui dans un non- milieu résistant que nous avons supposé égal.
Ainsi, par exemple, imaginez que le plomb soit dix mille fois plus lourd que l’air alors que l’ébène n’est que mille fois plus lourd. [120] Nous avons ici deux substances dont les vitesses de chute dans un milieu dépourvu de résistance sont égales : mais, lorsque l’air est le milieu, il soustraira à la vitesse du plomb une partie sur dix mille, et à la vitesse du ébène une partie sur mille, c’est-à-dire dix parties sur dix mille. Alors que par conséquent le plomb et l’ébène tomberaient d’une hauteur donnée dans le même intervalle de temps, pourvu que l’effet retardateur de l’air soit supprimé, le plomb, dans l’air, perdra en vitesse une partie sur dix mille ; et l’ébène, dix parties pour mille. En d’autres termes, si l’élévation d’où partent les corps est divisée en dix mille parties, le plomb atteindra le sol laissant l’ébène derrière jusqu’à dix, ou au moins neuf, de ces pièces. N’est-il pas clair alors qu’une boule de plomb qu’on laisse tomber d’une tour de deux cents coudées (76) de haut devancera une boule d’ébène de moins de quatre pouces ? Or l’ébène pèse mille fois plus que l’air mais cette vessie gonflée ne pèse que quatre fois plus ; donc l’air diminue la vitesse inhérente et naturelle de l’ébène d’une partie sur mille ; tandis que celui de la vessie qui, s’il n’était pas gêné, serait le même, éprouve une diminution d’air d’une partie sur quatre. De sorte que lorsque la boule d’ébène, tombant de la tour, aura atteint la terre, la vessie n’aura parcouru que les trois quarts de cette distance. Le plomb est douze fois plus lourd que l’eau ; mais l’ivoire n’est que deux fois plus lourd. Les vitesses de ces deux substances qui, lorsqu’elles sont entièrement libres, sont égales, seront diminuées dans l’eau, celle du plomb d’une partie sur douze, celle de l’ivoire de moitié. En conséquence, lorsque le plomb aura traversé onze coudées d’eau, l’ivoire n’en aura traversé que six. En employant ce principe, nous trouverons, je crois, un accord d’expérience beaucoup plus étroit avec notre calcul qu’avec celui d’Aristote.
De la même manière, on peut trouver le rapport des vitesses d’un même corps dans différents milieux fluides, non pas en comparant les différentes résistances des milieux, mais en considérant l’excès de la gravité spécifique du corps sur celles des milieux. . Ainsi, par exemple, l’étain est mille fois plus lourd que l’air et dix fois plus lourd que l’eau ; donc, si nous divisons sa vitesse sans entrave en 1000 parties, l’air lui enlèvera une de ces parties de sorte qu’il tombera avec une vitesse de 999, tandis que dans l’eau sa vitesse sera de 900, vu que l’eau diminue son poids d’une partie sur dix alors que l’air n’est que d’une partie sur mille.
Prenons encore un solide un peu plus lourd que l’eau, tel que le chêne, dont une boule pèsera, disons, 1000 drachmes ; supposons qu’un [121] volume égal d’eau pèse 950, et un volume égal d’air, 2 ; alors il est clair que si la vitesse sans entrave de la balle est de 1000, sa vitesse dans l’air sera de 998, mais dans l’eau seulement de 50, vu que l’eau enlève 950 des 1000 parties que pèse le corps, n’en laissant que 50.
Un tel solide se déplacerait donc presque vingt fois plus vite dans l’air que dans l’eau, puisque sa gravité spécifique dépasse celle de (77) l’eau d’une partie sur vingt. Et ici, nous devons considérer le fait que seules les substances qui ont une gravité spécifique supérieure à l’eau peuvent tomber à travers elle - substances qui doivent, par conséquent, être des centaines de fois plus lourdes que l’air ; par conséquent, lorsque nous essayons d’obtenir le rapport de la vitesse dans l’air à celle dans l’eau, nous pouvons, sans erreur appréciable, supposer que l’air ne diminue pas, dans une mesure considérable, le poids libre [ assoluta gravità ], et par conséquent la vitesse sans entrave. [ assoluta velocità] de ces substances. Ayant ainsi facilement trouvé l’excès du poids de ces substances sur celui de l’eau, on peut dire que leur vitesse dans l’air est à leur vitesse dans l’eau comme leur poids libre est à l’excès de ce poids sur celui de l’eau. . Par exemple, une boule d’ivoire pèse 20 onces ; un volume égal d’eau pèse 17 onces ; d’où la vitesse de l’ivoire dans l’air porte à sa vitesse dans l’eau le rapport approximatif de 20:3.
SAGR. J’ai fait un grand pas en avant dans ce sujet vraiment intéressant sur lequel j’ai longtemps travaillé en vain. Pour mettre ces théories en pratique, nous n’avons qu’à découvrir une méthode de détermination de la gravité spécifique de l’air par rapport à l’eau et donc par rapport à d’autres substances lourdes.
IDOLÂTRER. Mais si nous trouvons que l’air a de la légèreté au lieu de la gravité, que dirons-nous alors de la discussion précédente qui, à d’autres égards, est très intelligente ?
SALV. Je dois dire que c’était vide, vain et futile. Mais pouvez-vous douter que l’air ait un poids quand vous avez le témoignage clair d’Aristote affirmant que tous les éléments ont un poids y compris l’air, et à l’exception du seul feu ? Pour preuve, il cite le fait qu’une bouteille en cuir pèse plus lorsqu’elle est gonflée que lorsqu’elle est repliée. [122]
SIMPLICIO. Je suis porté à croire que l’augmentation de poids observée dans la bouteille ou la vessie en cuir gonflée provient, non de la gravité de l’air, mais des nombreuses vapeurs épaisses qui s’y mêlent dans ces régions inférieures. J’attribuerais à cela l’augmentation de poids de la bouteille en cuir.
SALV. Je ne voudrais pas que vous disiez cela, et encore moins que vous l’attribuiez à Aristote ; parce que, s’il parlait des éléments, il voulait (78) me persuader par l’expérience que l’air a du poids et me disait : « Prends une bouteille de cuir, remplis-la de vapeurs lourdes et observe comment son poids augmente », je voudrais répondre que la bouteille pèserait plus lourd si elle était remplie de son ; et j’ajouterais alors que cela prouve simplement que le son et les vapeurs épaisses sont lourds, mais en ce qui concerne l’air je resterais encore dans le même doute qu’auparavant. Cependant, l’expérience d’Aristote est bonne et la proposition est vraie. Mais je ne peux pas en dire autant d’une certaine autre considération, prise au pied de la lettre ; cette considération m’a été offerte par un philosophe dont le nom m’échappe ; mais je sais que j’ai lu son argument qui est que l’air présente une plus grande gravité que la légèreté,
SAGR. Bien en effet ! Ainsi, selon cette théorie, l’air est beaucoup plus lourd que l’eau, puisque tous les corps lourds sont entraînés vers le bas plus facilement par l’air que par l’eau, et tous les corps légers sont portés plus facilement par l’eau que par l’air ; de plus il y a une infinité de corps pesants qui tombent dans l’air mais montent dans l’eau et il y a une infinité de substances qui s’élèvent dans l’eau et retombent dans l’air. Mais, Simplicio, la question de savoir si le poids de la bouteille de cuir est dû à des vapeurs épaisses ou à de l’air pur n’affecte pas notre problème qui est de découvrir comment les corps se meuvent dans cette atmosphère chargée de vapeur qui est la nôtre. Revenant maintenant à la question qui m’intéresse le plus, je voudrais, pour une connaissance plus complète et approfondie de cette matière, non seulement pour être renforcé dans ma conviction que l’air a du poids, mais aussi pour apprendre, si possible, quelle est sa gravité spécifique. Par conséquent, Salviati, si vous pouvez satisfaire ma curiosité sur ce point, je vous prie de le faire.
SALV. L’expérience avec la bouteille en cuir gonflée d’Aristote prouve de manière concluante que l’air possède une gravité positive et non, comme certains l’ont cru, une légèreté, une propriété possédée peut-être par aucune substance quelle qu’elle soit ; car si l’air possédait cette qualité de légèreté absolue et positive, il devrait, lors de la compression [123], montrer une plus grande légèreté et, par conséquent, une plus grande tendance à s’élever ; mais l’expérience montre précisément le contraire. (79) Quant à l’autre question, à savoir, comment déterminer la gravité spécifique de l’air, j’ai employé la méthode suivante. J’ai pris une bouteille en verre assez grande avec un goulot étroit et j’y ai attaché un couvercle en cuir, en le liant étroitement autour du goulot de la bouteille : dans le haut de ce couvercle, j’ai inséré et fixé fermement la valve d’une bouteille en cuir, à travers laquelle j’ai forcée dans le flacon en verre, au moyen d’une seringue, une grande quantité d’air. Et puisque l’air se condense facilement, on peut pomper dans la bouteille deux ou trois fois son propre volume d’air. Après cela, j’ai pris une balance précise et j’ai pesé cette bouteille d’air comprimé avec la plus grande précision, en ajustant le poids avec du sable fin. J’ouvris ensuite la valve et laissai échapper l’air comprimé ; puis je replaçai le flacon sur la balance et le trouvai sensiblement plus léger : du sable qui avait servi de contrepoids, j’enlevai et je mis de côté autant qu’il était nécessaire pour rétablir l’équilibre. Dans ces conditions, il ne peut y avoir aucun doute que le poids du sable ainsi mis de côté représente le poids de l’air qui avait été forcé dans le ballon et s’en était ensuite échappé. Mais après tout cette expérience me dit seulement que le poids de l’air comprimé est le même que celui du sable retiré de la balance ; quand cependant il s’agit de connaître de façon certaine et définitive le poids de l’air par rapport à celui de l’eau ou de toute autre substance lourde, je ne puis espérer le faire sans d’abord mesurer le volume.quantité ] d’air comprimé ; pour cette mesure, j’ai conçu les deux méthodes suivantes.
Selon la première méthode on prend une bouteille à goulot étroit semblable à la précédente ; sur le goulot de cette bouteille est glissé un tube de cuir qui est étroitement lié autour du goulot de la fiole ; l’autre extrémité de ce tube embrasse la valve attachée au premier flacon et en est étroitement liée. Ce second flacon est muni d’un trou dans le fond par lequel on peut placer une tige de fer de manière à ouvrir, à volonté, la valve ci-dessus mentionnée et ainsi permettre à l’excédent d’air du premier de s’échapper une fois pesé : mais sa deuxième bouteille doit être remplie d’eau. Après avoir tout préparé de la manière [124] (80) ci-dessus décrite, ouvrez la vanne avec la tige ; l’air va s’engouffrer dans le ballon contenant l’eau et l’entraîner par le trou du fond, étant entendu que le volume [quantité ] d’eau ainsi déplacée est égale au volume [ mole e quantità ] d’air échappé de l’autre récipient. Après avoir mis de côté cette eau déplacée, pesez le vase d’où s’est échappé l’air (que l’on suppose avoir été pesé précédemment tout en contenant l’air comprimé), et enlevez le surplus de sable comme décrit ci-dessus ; il est alors manifeste que le poids de ce sable est précisément le poids d’un volume [ mole] d’air égal au volume d’eau déplacé et mis de côté ; nous pouvons peser cette eau et trouver combien de fois son poids contient le poids du sable enlevé, déterminant ainsi définitivement combien de fois l’eau est plus lourde que l’air ; et nous trouverons, contrairement à l’opinion d’Aristote, que ce n’est pas 10 fois, mais, comme le montre notre expérience, plus près de 400 fois.
La deuxième méthode est plus expéditive et peut être réalisée avec un seul navire équipé comme l’était la première. Ici, aucun air n’est ajouté à celui que le récipient contient naturellement, mais de l’eau y est forcée sans permettre à l’air de s’échapper ; l’eau ainsi introduite comprime nécessairement l’air. Après avoir forcé dans le vase autant d’eau que possible, en le remplissant, disons, aux trois quarts, ce qui ne demande aucun effort extraordinaire, placez-le sur la balance et pesez-le avec précision ; tenir ensuite l’embouchure du récipient vers le haut, ouvrir la valve et laisser l’air s’échapper ; le volume d’air ainsi échappé est exactement égal au volume d’eau contenu dans le ballon. Pesez de nouveau le vase qui aura diminué de poids à cause de l’air échappé ;
IDOLÂTRER. Personne ne peut nier l’ingéniosité et l’ingéniosité de vos appareils ; mais alors qu’ils semblent donner une satisfaction intellectuelle complète, ils me confondent dans une autre direction. Car, puisqu’il est indubitablement vrai que les éléments, lorsqu’ils sont à leur place, n’ont ni poids ni légèreté, je ne comprends pas comment il est possible que cette portion d’air, qui semblait peser, disons, 4 drachmes de sable, ait réellement un tel poids. poids dans l’air comme le (81) sable qui le contrebalance. Il me semble donc que l’expérience doit être faite, non dans l’air, mais dans un milieu [125] où l’air pourrait manifester sa propriété de poids s’il en a réellement.
SALV. L’objection de Simplicio est certainement pertinente et doit donc soit être sans réponse, soit exiger une solution tout aussi claire. Il est parfaitement évident que cet air qui, sous compression, pesait autant que le sable, perd ce poids une fois qu’on le laisse s’échapper dans son propre élément, tandis qu’en effet le sable conserve son poids. Il devient donc nécessaire pour cette expérience de choisir un endroit où l’air aussi bien que le sable puissent graviter ; parce que, comme on l’a souvent remarqué, le milieu diminue le poids de toute substance qui y est immergée d’une quantité égale au poids du milieu déplacé ; de sorte que l’air dans l’air perd tout son poids. Si donc cette expérience doit être faite avec exactitude, elle doit être effectuée dans un vide où chaque corps pesant exhibe sa quantité de mouvement sans la moindre diminution. Si donc, Simplicio,
SIMPLICIO. Oui vraiment : mais c’est souhaiter ou demander l’impossible.
SALV. Votre obligation sera alors très grande si, pour vous, j’accomplis l’impossible. Mais je ne veux pas vous vendre quelque chose que je vous ai déjà donné ; car dans l’expérience précédente nous avons pesé l’air dans le vide et non dans l’air ou dans un autre milieu. Le fait qu’un milieu fluide quelconque diminue le poids d’une masse qui y est immergée, est dû, Simplicio, à la résistance que ce milieu oppose à ce qu’il soit ouvert, écarté et enfin soulevé. La preuve en est vue dans la promptitude avec laquelle le fluide se précipite pour remplir tout espace autrefois occupé par la masse ; si le milieu n’était pas affecté par une telle immersion, il ne réagirait pas contre le corps immergé. Dites-moi maintenant, quand vous avez un flacon, dans l’air, rempli de sa quantité naturelle d’air, puis continuez à pomper dans le récipient plus d’air, ces frais supplémentaires séparent-ils, divisent-ils ou modifient-ils l’air ambiant ? Le vaisseau se dilate-t-il (82) de sorte que le milieu environnant se déplace pour donner plus de place ? Certainement pas. On peut donc dire que [126] cette charge supplémentaire d’air n’est pas immergée dans le milieu environnant car elle n’y occupe aucun espace, mais est comme dans le vide. En effet, c’est vraiment dans le vide ; car il diffuse dans les vides qui ne sont pas complètement remplis par l’air primitif et non condensé. En fait, je ne vois aucune différence entre le milieu clos et le milieu environnant : car le milieu environnant ne presse pas sur le milieu clos et, inversement, le milieu clos n’exerce aucune pression sur le milieu environnant ; cette même relation existe dans le cas de toute matière dans le vide, ainsi que dans le cas du surcoût d’air comprimé dans le ballon. Le poids de cet air condensé est donc le même que celui qu’il aurait s’il était libéré dans le vide. Il est vrai bien sûr que le poids du sable utilisé comme contrepoids serait un peu plus important dans le vide qu’à l’air libre. Il faut donc dire que l’air est un peu plus léger que le sable qu’il faut pour le contrebalancer, c’est-à-dire d’une quantité égale au poids dans le vide d’un volume d’air égal au volume du sable.
À ce stade, dans une copie annotée de l’édition originale, la note suivante de Galileo se trouve.
SAGR. Une discussion très intelligente, résolvant un problème merveilleux, car elle démontre brièvement et avec concision la manière dont on peut trouver le poids d’un corps dans le vide en le pesant simplement dans l’air. L’explication est la suivante : lorsqu’un corps lourd est immergé dans l’air, il perd en poids une quantité égale au poids d’un volume [ mole ] d’air équivalent au volume [ mole ] du corps lui-même. Si donc on ajoute à un corps, sans le dilater, une quantité d’air égale à celle qu’il déplace et le pèse, on obtiendra son poids absolu dans le vide, puisque, sans l’augmenter de volume, on a augmenté son poids d’à peine la quantité qu’il a perdue par immersion dans l’air.
Lorsque donc nous forçons une quantité d’eau dans un récipient qui contient déjà sa quantité normale d’air, sans laisser échapper aucun de cet air, il est clair que cette quantité normale d’air sera comprimée et condensée dans un espace plus petit afin de faire place pour l’eau qui est forcée : il est également clair que le volume d’air ainsi comprimé est égal au volume d’eau ajouté. Si maintenant le vase est (83) pesé dans l’air dans cet état, il est manifeste que le poids de l’eau sera augmenté de celui d’un volume égal d’air ; le poids total d’eau et d’air ainsi obtenu est égal au poids de l’eau seule sous vide.
Enregistrez maintenant le poids de l’ensemble du récipient, puis laissez l’air comprimé s’échapper ; peser le reste ; la différence de ces deux poids sera le poids de l’air comprimé qui, en volume, est égal à celui de l’eau. Trouvez ensuite le poids de l’eau seule et ajoutez-y celui de l’air comprimé ; nous aurons alors l’eau seule sous vide. Pour trouver le poids de l’eau, nous devrons l’enlever du vase et peser le vase seul ; soustrayez ce poids de celui du récipient et de l’eau ensemble. Il est clair que le reste sera le poids de l’eau seule dans l’air. ] [127]
SIMPLICIO. Les expériences précédentes, à mon avis, laissaient à désirer : mais maintenant je suis pleinement satisfait.
SALV. Les faits que j’ai exposés jusqu’ici et, en particulier, celui qui montre que la différence de poids, même très grande, est sans effet pour changer la vitesse de chute des corps, de sorte qu’en ce qui concerne le poids, ils tombent avec une égale vitesse : cette idée est, dis-je, si nouvelle, et à première vue si éloignée des faits, que si nous n’avons pas les moyens de la rendre aussi claire que la lumière du soleil, il vaut mieux ne pas la mentionner ; mais l’ayant une fois laissé passer mes lèvres, je ne dois négliger aucune expérience ni aucun argument pour l’établir.
SAGR. Non seulement cela, mais aussi beaucoup d’autres de vos vues sont si éloignées des opinions et des doctrines communément acceptées que si vous deviez les publier, vous soulèveriez un grand nombre d’antagonistes ; car la nature humaine est telle que les hommes ne voient pas d’un bon œil les découvertes, soit de la vérité, soit de l’erreur, dans leur propre domaine, lorsqu’elles sont faites par d’autres qu’eux-mêmes. Ils l’appellent un innovateur de doctrine, titre déplaisant, par lequel ils espèrent couper les nœuds qu’ils ne peuvent dénouer, et par des mines souterraines ils cherchent à détruire les constructions que de patients artisans ont bâties avec des outils coutumiers. [128] Mais quant à nous qui n’avons pas de telles pensées, les expériences et les arguments que vous avez jusqu’ici apportés sont pleinement satisfaisants ;
SALV. L’expérience faite pour savoir si deux corps de poids très différents tomberont d’une hauteur donnée avec la même vitesse offre quelque difficulté ; car, si la hauteur est considérable, l’effet retardateur du milieu, qui doit être pénétré et écarté par le corps qui tombe, sera plus grand dans le cas de la petite impulsion du corps très léger que dans le cas de la grande force [ violenza ] du corps lourd ; de sorte que, dans une longue distance, le corps léger sera laissé en arrière ; si la hauteur est petite, on peut bien douter qu’il y ait une différence ; et s’il y a une différence, elle sera inappréciable.
Il m’est donc venu à l’esprit de répéter plusieurs fois la chute d’une petite hauteur de manière à accumuler tous ces petits intervalles de temps qui s’écoulent entre l’arrivée des corps lourds et légers respectivement à leur extrémité commune, de sorte que cette somme fait un intervalle de temps non seulement observable, mais facilement observable. Afin d’employer les vitesses les plus lentes possibles et de réduire ainsi la variation que produit le milieu résistant sur le simple effet de la pesanteur, il m’est venu à l’esprit de faire tomber les corps selon un plan légèrement incliné sur l’horizontale. Car dans un tel plan, aussi bien que dans un plan vertical, on peut découvrir comment se comportent des corps de poids différents : et outre cela, j’ai voulu aussi me débarrasser de la résistance qui pouvait résulter du contact du corps en mouvement avec le susdit plan incliné. En conséquence, je pris deux boules, une de plomb et une de liège, la première plus de cent fois plus lourde que la seconde, et je les suspendis au moyen de deux fils fins égaux, longs chacun de quatre ou cinq coudées. Écartant chaque boule de la perpendiculaire, je les laissais aller au même instant, et elles, tombant le long des circonférences de cercles ayant ces cordes égales pour demi-diamètres, dépassaient la perpendiculaire et revenaient par le même chemin. Cette vibration libre [ tombant le long des circonférences de cercles ayant ces cordes égales pour demi-diamètres, passaient au-delà de la perpendiculaire et revenaient par le même chemin. Cette vibration libre [ tombant le long des circonférences de cercles ayant ces cordes égales pour demi-diamètres, passaient au-delà de la perpendiculaire et revenaient par le même chemin. Cette vibration libre [per lor medesime le andate e le tornate ] répété cent fois a montré clairement que le corps lourd maintient à [129] si près la période du corps léger que ni en cent oscillations (85) ni même en mille le premier n’anticipera la ce dernier par autant qu’un seul instant [ minimo momento ], si parfaitement ils marchent pas. On peut aussi observer l’effet du milieu qui, par la résistance qu’il offre au mouvement, diminue plus la vibration du liège que celle du plomb, mais sans altérer la fréquence de l’un ou de l’autre ; même lorsque l’arc parcouru par le liège ne dépassait pas cinq ou six degrés tandis que celui du plomb était de cinquante ou soixante, les balançoires s’exécutaient en temps égaux.
SIMPLICIO. S’il en est ainsi, pourquoi la vitesse du plomb n’est-elle pas plus grande que celle du bouchon, puisque le premier parcourt soixante degrés dans le même intervalle où le second en couvre à peine six ?
SALV. Mais que diriez-vous, Simplicio, si tous deux couvraient leur chemin en même temps, quand le bouchon, écarté de trente degrés, parcourt un arc de soixante, tandis que le plomb écarté de deux degrés seulement parcourt un arc de quatre ? Le bouchon ne serait-il pas alors proportionnellement plus rapide ? Et pourtant tel est le fait expérimental. Mais observez ceci : après avoir écarté le pendule de plomb, disons sur un arc de cinquante degrés, et l’avoir libéré, il oscille au-delà de la perpendiculaire de près de cinquante degrés, décrivant ainsi un arc de près de cent degrés ; sur le swing de retour, il décrit un arc un peu plus petit ; et après un grand nombre de ces vibrations, il finit par s’immobiliser. Chaque vibration, qu’elle soit de quatre-vingt-dix, cinquante, vingt, dix ou quatre degrés occupe le même temps :
Il se passe exactement les mêmes choses avec le pendule de liège, suspendu par une ficelle d’égale longueur, sauf qu’il faut un plus petit nombre de vibrations pour l’immobiliser, puisqu’à cause de sa légèreté il est moins capable de vaincre la résistance du air ; néanmoins les vibrations, qu’elles soient grandes ou petites, s’effectuent toutes dans des intervalles de temps non seulement égaux entre eux, mais aussi égaux à la période du pendule en plomb. Il est donc vrai que, si pendant que le plomb parcourt un arc de cinquante degrés, le bouchon n’en couvre qu’un sur dix, le bouchon se meut plus lentement que le plomb ; mais d’autre part il est aussi vrai (86) [130] que le bouchon peut couvrir un arc de cinquante tandis que le plomb passe sur un seul de dix ou six ; ainsi, à des moments différents, nous avons tantôt le liège, tantôt le plomb, se déplaçant plus rapidement.
IDOLÂTRER. J’hésite à admettre le caractère concluant de cet argument à cause de la confusion qui résulte du fait que vous faites bouger les deux corps tantôt rapidement, tantôt lentement et tantôt très lentement, ce qui me laisse dans le doute quant à savoir si leurs vitesses sont toujours égales.
SAGR. Permettez-moi, s’il vous plaît, Salviati, de dire quelques mots. Maintenant dis-moi, Simplicio, si tu admets qu’on puisse dire avec certitude que les vitesses du bouchon et du plomb sont égales quand tous deux, partant du repos au même moment et descendant les mêmes pentes, parcourent toujours des espaces égaux en des temps égaux ?
SIMPLICIO. Cela ne peut être ni mis en doute ni contredit.
SAGR. Or il arrive, dans le cas des pendules, que chacun d’eux parcourt tantôt un arc de soixante degrés, tantôt un de cinquante, ou trente ou dix ou huit ou quatre ou deux, etc. ; et quand ils oscillent tous les deux sur un arc de soixante degrés, ils le font à des intervalles de temps égaux ; la même chose se produit lorsque l’arc est de cinquante degrés ou de trente ou de dix ou de tout autre nombre ; et par conséquent nous concluons que la vitesse du plomb dans un arc de soixante degrés est égale à la vitesse du bouchon lorsque celui-ci oscille également dans un arc de soixante degrés ; dans le cas d’un arc de cinquante degrés, ces vitesses sont également égales entre elles ; donc aussi dans le cas d’autres arcs. Mais cela ne veut pas dire que la vitesse qui se produit dans un arc de soixante est la même que celle qui se produit dans un arc de cinquante ; la vitesse d’un arc de cinquante n’est pas non plus égale à celle d’un arc de trente, etc. ; mais plus les arcs sont petits, plus les vitesses sont petites ; le fait observé est qu’un même mobile met le même temps pour parcourir un grand arc de soixante degrés que pour un petit arc de cinquante ou même un très petit arc de dix ; tous ces arcs, en effet, sont parcourus dans le même intervalle de temps. Il est donc vrai que le plomb et [131] (87) le bouchon diminuent chacun leur vitesse [moto ] à mesure que leurs arcs diminuent ; mais cela ne contredit pas le fait qu’ils maintiennent des vitesses égales dans des arcs égaux.
La raison pour laquelle j’ai dit ces choses a été plutôt parce que je voulais savoir si j’avais bien compris Salviati, que parce que je pensais que Simplicio avait besoin d’une explication plus claire que celle donnée par Salviati qui, comme tout le reste, est extrêmement lucide, si lucide , en effet, que lorsqu’il résout des questions difficiles non seulement en apparence, mais en réalité et en fait, il le fait avec des raisons, des observations et des expériences communes et familières à tous.
De cette manière, il a, comme je l’ai appris de diverses sources, donné l’occasion à un professeur très estimé de sous-évaluer ses découvertes au motif qu’elles sont banales et établies sur une base mesquine et vulgaire ; comme si ce n’était pas un des traits les plus admirables et les plus louables de la science démonstrative qu’elle naisse et se développe à partir de principes bien connus, compris et reconnus par tous.
Mais continuons avec ce régime léger ; et si Simplicio se contente de comprendre et d’admettre que la gravité inhérente [ interna gravità] dans divers corps qui tombent n’a rien à voir avec la différence de vitesse observée entre eux, et que tous les corps, dans la mesure où leurs vitesses en dépendent, se déplaceraient avec la même vitesse, je vous prie de nous dire, Salviati, comment vous expliquez la inégalité de mouvement appréciable et évidente ; Veuillez répondre également à l’objection soulevée par Simplicio - une objection à laquelle je souscris - à savoir qu’un boulet de canon tombe plus rapidement qu’un coup d’oiseau. De mon point de vue, on pourrait s’attendre à ce que la différence de vitesse soit petite dans le cas de corps de la même substance se déplaçant à travers un seul milieu, alors que les plus grands descendront, pendant un seul battement d’impulsion, une distance que le plus petit on ne traversera pas en une heure, ni en quatre, ni même en vingt heures ; comme par exemple dans le cas des pierres et du sable fin et surtout de ce sable très fin qui produit de l’eau boueuse et qui, en plusieurs heures, ne tombera pas jusqu’à deux coudées, une distance que des pierres pas beaucoup plus grandes parcourront en une seule impulsion - battre. (88)
SALV. L’action du milieu en produisant un plus grand retard sur les corps qui ont une gravité spécifique moindre a déjà été expliquée en montrant qu’ils éprouvent une diminution de poids. Mais expliquer comment un seul et même [132] milieu produit des retards si différents dans des corps qui sont faits du même matériau et ont la même forme, mais ne diffèrent que par la taille, exige une discussion plus habile que celle par laquelle on explique comment un forme plus élargie ou un mouvement opposé du milieu retarde la vitesse du corps en mouvement. La solution du problème actuel réside, je pense, dans la rugosité et la porosité que l’on trouve généralement et presque nécessairement à la surface des corps solides. Lorsque le corps est en mouvement, ces endroits rugueux heurtent l’air ou un autre milieu ambiant. La preuve en est trouvée dans le bourdonnement qui accompagne le mouvement rapide d’un corps dans l’air, même lorsque ce corps est aussi rond que possible. On entend non seulement des bourdonnements, mais aussi des sifflements et des sifflements, chaque fois qu’il y a une cavité ou une élévation appréciable sur le corps. On observe aussi qu’un corps solide rond tournant dans un tour produit un courant d’air. Mais de quoi avons-nous besoin de plus ? Lorsqu’une toupie tourne sur le sol à sa plus grande vitesse, n’entendons-nous pas un bourdonnement aigu distinct ? Cette note sifflante s’atténue au fur et à mesure que la vitesse de rotation diminue, preuve que ces petites rugosités de surface rencontrent une résistance dans l’air. Il n’est donc pas douteux que, dans le mouvement des corps qui tombent, ces rugosités frappent le fluide environnant et ralentissent la vitesse ;
SIMPLICIO. Arrêtez un instant s’il vous plait, je m’embrouille. Car bien que je comprenne et admette que le frottement du médium sur la surface du corps retarde son mouvement et que, s’il en est d’ailleurs, la plus grande surface subit un plus grand retard, je ne vois pas sur quel fondement vous dites que la surface de le petit corps est plus grand. De plus, si, comme vous le dites, la plus grande surface subit un plus grand retard, le plus grand solide devrait se déplacer plus lentement, ce qui n’est pas le cas. Mais cette objection peut (89) être facilement résolue en disant que, bien que le plus grand corps ait une plus grande surface, il a aussi un plus grand poids, en comparaison duquel la résistance de la plus grande surface n’est pas plus que la résistance de la petite surface. en comparaison avec son plus petit poids ; de sorte que la vitesse du plus gros solide ne diminue pas.gravità movente ] diminue dans la même proportion [133] que le pouvoir retardateur [ facoltà ritardante ] de la surface.
SALV. Je répondrai à toutes vos objections à la fois. Vous admettrez, bien entendu, Simplicio, que si l’on prend deux corps égaux, de même matière et de même figure, corps qui tomberaient donc avec des vitesses égales, et s’il diminue le poids de l’un d’eux dans la même proportion que son surface (en conservant la similitude de forme), il ne diminuerait pas pour autant la vitesse de ce corps.
SIMPLICIO. Cette inférence semble être en harmonie avec votre théorie selon laquelle le poids d’un corps n’a aucun effet sur l’accélération ou le retard de son mouvement.
SALV. Je suis tout à fait d’accord avec vous dans cette opinion d’où il paraît résulter que, si le poids d’un corps diminue dans une plus grande proportion que sa surface, le mouvement est retardé dans une certaine mesure ; et ce retard est de plus en plus grand à mesure que la diminution de poids dépasse celle de la surface.
SIMPLICIO. Cela, je l’admets sans hésitation.
SALV. Or tu dois savoir, Simplicio, qu’il n’est pas possible de diminuer la surface d’un corps solide dans le même rapport que le poids, et en même temps de maintenir la similitude de figure. Car puisqu’il est clair que dans le cas d’un solide décroissant le poids croît moins en proportion du volume, et que le volume diminue toujours plus vite que la surface, quand on conserve la même forme, le poids doit donc décroître plus vite que la surface. Mais la géométrie nous apprend que, dans le cas de solides semblables, le rapport de deux volumes est plus grand que le rapport de leurs surfaces ; que, pour mieux comprendre, j’illustrerai par un cas particulier. (90) Prenons, par exemple, un cube de deux pouces de côté de sorte que chaque face ait une aire de quatre pouces carrés et l’aire totale, i. e. , la somme des six faces, s’élève à vingt-quatre pouces carrés ; imaginez maintenant que ce cube soit scié trois fois de manière à le diviser en huit cubes plus petits, chacun d’un pouce de côté, chaque face d’un pouce carré, et la surface totale de chaque cube de six pouces carrés au lieu de vingt-quatre comme dans le cas du [134] plus grand cube. Il est donc évident que la surface du petit cube n’est que le quart de celle du plus grand, c’est-à-dire le rapport de six à vingt-quatre ; mais le volume du cube solide lui-même n’est que d’un huitième ; le volume, et donc aussi le poids, diminue donc beaucoup plus rapidement que la surface. Si nous divisons encore le petit cube en huit autres, nous aurons, pour la surface totale de l’un d’eux, un pouce carré et demi, soit un seizième de la surface du cube primitif ; mais son volume n’est que d’un soixante-quatrième partie. Ainsi, par deux divisions, vous voyez que le volume est diminué quatre fois autant que la surface. Et, si la subdivision est continuée jusqu’à ce que le solide primitif soit réduit en poudre fine, nous trouverons que le poids d’une de ces plus petites particules a diminué des centaines et des centaines de fois autant que sa surface. Et ce que j’ai illustré dans le cas des cubes vaut aussi dans le cas de tous les solides semblables, où les volumes sont en rapport sesquialteral avec leurs surfaces. Observez donc combien la résistance résultant du contact de la surface du mobile avec le milieu est plus grande dans le cas des petits corps que dans le cas des grands ; et quand on considère que les rugosités sur les très petites surfaces des particules fines de poussière ne sont peut-être pas plus petites que celles sur les surfaces des solides plus gros qui ont été soigneusement polis, il verra combien il est important que le médium soit très fluide et n’offre aucune résistance à l’écartement, cédant facilement à une petite force. Vous voyez donc, Simplicio, que je ne m’étais pas trompé quand, il n’y a pas longtemps, j’ai dit que la surface d’un petit solide est relativement plus grande que celle d’un grand.
SIMPLICIO. je suis tout à fait convaincu ; et, croyez-moi, si je recommençais mes études, je suivrais le conseil de Platon et (91) commencerais par les mathématiques, science qui procède avec beaucoup de prudence et n’admet rien d’établi tant qu’il n’a pas été rigoureusement démontré.
SAGR. Cette discussion m’a fait grand plaisir ; mais avant d’aller plus loin, je voudrais entendre l’explication d’une de vos phrases qui est nouvelle pour moi, à savoir, que des solides semblables sont entre eux dans le rapport sesquialteral de leurs surfaces ; car bien que j’aie vu et compris la proposition dans laquelle il est démontré que les surfaces de solides semblables sont dans le rapport [135] double de leurs côtés et aussi la proposition qui prouve que les volumes sont dans le rapport triple de leurs côtés, cependant Je n’ai même pas entendu parler du rapport du volume d’un solide à sa surface.
SALV. Vous avez vous-même suggéré la réponse à votre question et avez levé tout doute. Car si une quantité est le cube de quelque chose dont une autre est le carré, ne s’ensuit-il pas que le cube est le sesquialteral du carré ? Sûrement. Or, si la surface varie comme le carré de ses dimensions linéaires, tandis que le volume varie comme le cube de ces dimensions, ne pouvons-nous pas dire que le volume est en rapport sesquialteral avec la surface ?
SAGR. Tout à fait. Et maintenant, bien qu’il y ait encore quelques détails, en rapport avec le sujet en discussion, sur lesquels je pourrais encore poser des questions, si nous continuons à faire une digression après l’autre, il faudra longtemps avant que nous n’atteignions le sujet principal qui a à voir avec le variété des propriétés trouvées dans la résistance qu’offrent les corps solides à la rupture ; et, par conséquent, s’il vous plaît, revenons au sujet que nous nous proposions initialement de discuter.
SALV. Très bien ; mais les questions que nous avons déjà examinées sont si nombreuses et si variées, et ont pris tant de temps, qu’il ne reste pas grand-chose de cette journée à consacrer à notre sujet principal qui abonde en démonstrations géométriques appelant à une réflexion approfondie. Puis-je donc suggérer que nous reportions la réunion à demain, non seulement pour la raison que je viens d’indiquer, mais aussi afin que je puisse apporter avec moi (92) quelques documents dans lesquels j’ai exposé de manière ordonnée les théorèmes et les propositions traitant des diverses phases de ce sujet, questions que, de mémoire seulement, je ne pouvais pas présenter dans l’ordre approprié.
SAGR. Je partage pleinement votre avis et d’autant plus volontiers que cela me laissera le temps aujourd’hui d’aborder quelques-unes de mes difficultés sur le sujet dont nous venons de traiter. Une question est de savoir si l’on doit considérer la résistance du milieu comme suffisante pour détruire l’accélération d’un corps de matière très lourde, de très grand volume et de [136] figure sphérique. Je dis sphérique pour sélectionner un volume contenu dans une surface minimale et donc moins sujet aux retards.
Une autre question porte sur les vibrations des pendules qui peuvent être considérées de plusieurs points de vue ; la première est de savoir si toutes les vibrations, grandes, moyennes et petites, s’effectuent en des temps exactement et précisément égaux : une autre est de trouver le rapport des temps de vibration des pendules soutenus par des fils de longueur inégale.
SALV. Ce sont là des questions intéressantes : mais je crains qu’ici, comme pour tous les autres faits, si nous reprenons en discussion l’un d’entre eux, il n’entraîne dans son sillage tant d’autres faits et de curieuses conséquences qu’il ne reste pas de temps pour -journée pour la discussion de tous.
SAGR. Si celles-ci sont aussi pleines d’intérêt que les précédentes, j’y passerais volontiers autant de jours qu’il reste d’heures d’ici à la tombée de la nuit ; et j’ose dire que Simplicio ne se lasserait pas de ces discussions.
SIMPLICIO. Certainement pas ; surtout quand les questions relèvent des sciences naturelles et n’ont pas été traitées par d’autres philosophes.
SALV. Reprenant maintenant la première question, je puis affirmer sans hésiter qu’il n’y a pas de sphère si grande, ou composée de matière si dense, mais que la résistance du milieu, bien que très faible, freinerait son accélération et réduirait, avec le temps, son mouvement. à l’uniformité ; une affirmation qui est (93) fortement étayée par l’expérience. Car si un corps qui tombe, avec le temps, devait acquérir une vitesse aussi grande qu’il vous plaira, aucune telle vitesse, imprimée par des forces extérieures [ motore esterno ], ne peut être si grande sans que le corps l’acquière d’abord et ensuite, en raison du milieu résistant, perdez-le. Ainsi, par exemple, si un boulet de canon, étant tombé d’une distance de quatre coudées dans l’air et ayant acquis une vitesse de, disons, dix unités [ gradi] devaient frapper la surface de l’eau, et si la résistance de l’eau n’était pas en mesure de contrôler l’élan [ impeto] du coup, il augmenterait de vitesse ou maintiendrait un mouvement uniforme jusqu’au fond : mais tel n’est pas le fait observé ; au contraire, l’eau, lorsqu’elle n’a que quelques coudées de profondeur, gêne et diminue le mouvement de telle sorte que le coup de feu donne au lit de la rivière ou du lac une très légère impulsion. Il est donc clair [137] que si une courte chute dans l’eau suffit à priver un boulet de sa vitesse, cette vitesse ne peut être retrouvée par une chute de mille coudées. Comment un corps pourrait-il acquérir, dans une chute de mille coudées, ce qu’il perd dans une chute de quatre ? Mais que faut-il de plus ? N’observe-t-on pas que l’énorme élan, délivré à un coup de canon, est tellement amorti en traversant quelques coudées d’eau que le boulet, loin de blesser le navire, le frappe à peine ? Même l’air, bien qu’il s’agisse d’un milieu très souple, il peut également diminuer la vitesse d’un corps qui tombe, comme on peut facilement le comprendre à partir d’expériences similaires. Car si un canon est tiré vers le bas du haut d’une très haute tour, le coup fera moins d’impression sur le sol que si le canon avait été tiré d’une élévation de seulement quatre ou six coudées ; c’est une preuve évidente que l’élan de la balle, tirée du haut de la tour, diminue continuellement depuis l’instant où elle quitte le canon jusqu’à ce qu’elle atteigne le sol. C’est pourquoi une chute d’une si grande altitude ne suffira pas à donner à un corps cet élan qu’il a perdu une fois par la résistance de l’air, quelle que soit la manière dont il a été acquis à l’origine. De la même manière, l’effet destructeur produit sur un mur par un coup tiré d’un canon à une distance de vingt coudées ne peut être reproduit par la chute du même coup de n’importe quelle altitude (94) aussi grande soit-elle. Mon opinion est donc que, dans les circonstances qui se produisent dans la nature, l’accélération de tout corps tombant du repos arrive à son terme et que la résistance du milieu réduit finalement sa vitesse à une valeur constante qui se maintient ensuite.
SAGR. Ces expériences sont, à mon avis, très utiles ; la seule question est de savoir si un adversaire ne pourrait pas s’enhardir à nier le fait dans le cas de corps [ moli ] qui sont très grands et lourds ou à affirmer qu’un boulet de canon, tombant de la distance de la lune ou des régions supérieures de l’atmosphère, porterait un coup plus lourd que s’il sortait simplement de la bouche du canon.
SALV. Sans doute de nombreuses objections peuvent être soulevées, dont toutes ne peuvent pas être réfutées par l’expérience : cependant, dans ce cas [138] particulier, la considération suivante doit être prise en compte, à savoir qu’il est très probable qu’un corps lourd tombant d’une hauteur , en atteignant le sol, ont acquis tout l’élan nécessaire pour le porter à cette hauteur ; comme on peut le voir clairement dans le cas d’un pendule assez lourd qui, lorsqu’il est écarté de cinquante ou soixante degrés de la verticale, acquiert précisément la vitesse et la force suffisantes pour le porter à une élévation égale, sauf seulement la petite partie qu’il perd par frottement sur l’air. Pour placer un boulet de canon à une hauteur suffisante pour lui donner exactement l’élan que lui donnait la poudre en quittant le canon, il suffit de le tirer verticalement vers le haut à partir du même canon ; et l’on peut alors observer si, en retombant, il donne un coup égal à celui du canon tiré à bout portant ; à mon avis, ce serait beaucoup plus faible. La résistance de l’air empêcherait donc, je pense, que la vitesse initiale soit égalée par une chute naturelle du repos à quelque hauteur que ce soit.
Nous arrivons maintenant aux autres questions relatives aux pendules, sujet qui peut paraître à beaucoup extrêmement aride, surtout à ces philosophes qui sont continuellement occupés des questions les plus profondes de la nature. Néanmoins, le problème en est un que je ne méprise pas. Je suis encouragé par l’exemple (95) d’Aristote que j’admire surtout parce qu’il ne manquait pas de traiter tous les sujets qu’il jugeait à quelque degré dignes de considération.
Poussé par vos questions, je peux vous donner quelques-unes de mes idées concernant certains problèmes de la musique, un sujet splendide, sur lequel tant d’hommes éminents ont écrit : parmi ceux-ci se trouve Aristote lui-même qui a discuté de nombreuses questions acoustiques intéressantes. Aussi, si sur la base de quelques expériences faciles et tangibles, j’explique quelques phénomènes saisissants dans le domaine du son, j’espère que mes explications rencontreront votre agrément.
SAGR. Je les recevrai non seulement avec gratitude mais avec empressement. Car, bien que je me plaise à toutes sortes d’instruments de musique [139] et que j’aie porté une attention considérable à l’harmonie, je n’ai jamais pu comprendre pleinement pourquoi certaines combinaisons de tons sont plus agréables que d’autres, ou pourquoi certaines combinaisons non seulement ne réussissent pas à s’il vous plaît, mais sont même très offensants. Ensuite, il y a le vieux problème de deux cordes tendues à l’unisson ; quand l’un d’eux retentit, l’autre se met à vibrer et à émettre sa note ; je ne comprends pas non plus les différents rapports d’harmonie [ forme delle consonanze ] et quelques autres détails.
SALV. Voyons si nous ne pouvons tirer du pendule une solution satisfaisante de toutes ces difficultés. Et d’abord, quant à la question de savoir si un seul et même pendule accomplit réellement ses vibrations, grandes, moyennes et petites, toutes exactement dans le même temps, je m’appuierai sur ce que j’ai déjà entendu de notre académicien. Il a bien montré que le temps de descente est le même le long de toutes les cordes, quels que soient les arcs qui les sous-tendent, aussi bien le long d’un arc de 180° (c’est-à-dire tout le diamètre) que le long d’un de 100°, 60°, 10° , 2°, 1/2° ou 4’. Il est bien entendu que ces arcs se terminent tous au point le plus bas du cercle, là où il touche le plan horizontal.
Si maintenant on considère la descente le long des arcs au lieu de leurs cordes, pourvu que ceux-ci ne dépassent pas 90°, l’expérience montre qu’ils sont tous parcourus en temps égaux ; mais ces temps sont plus grands pour l’accord que pour l’arc, effet d’autant plus (96) remarquable qu’à première vue on croirait tout le contraire. Car puisque les points terminaux des deux mouvements sont les mêmes et que la ligne droite comprise entre ces deux points est la distance la plus courte entre eux, il semblerait raisonnable que le mouvement le long de cette ligne soit exécuté dans le temps le plus court ; mais ce n’est pas le cas, car le temps le plus court — et par conséquent le mouvement le plus rapide — est celui employé le long de l’arc dont cette droite est la corde.
Quant aux temps de vibration des corps suspendus par des fils de différentes longueurs, ils ont entre eux la même proportion que les racines carrées des longueurs du fil ; ou on pourrait dire que les longueurs sont entre elles comme les carrés des temps ; de sorte que si l’on veut rendre le temps de vibration d’un pendule double de celui d’un autre, il faut rendre sa suspension quatre fois plus longue. De même, si un pendule a une suspension neuf fois [140] plus longue qu’un autre, ce second pendule exécutera trois vibrations pendant chacune des premières ; d’où il suit que les longueurs des cordes de suspension portent entre elles le rapport [ inverse ] des carrés du nombre de vibrations effectuées dans le même temps.
SAGR. Alors, si je vous comprends bien, je peux facilement mesurer la longueur d’une ficelle dont l’extrémité supérieure est attachée à n’importe quelle hauteur même si cette extrémité était invisible et je ne pouvais voir que l’extrémité inférieure. Car si j’attache à l’extrémité inférieure de cette corde un poids assez lourd et lui donne un mouvement de va-et-vient, et si je demande à un ami de compter un certain nombre de ses vibrations, tandis que moi, pendant le même intervalle de temps, compter le nombre de vibrations d’un pendule qui a exactement une coudée de longueur, puis connaissant le nombre de vibrations que chaque pendule fait dans l’intervalle de temps donné, on peut déterminer la longueur de la corde. Supposons, par exemple, que mon ami compte 20 vibrations de la longue corde pendant le même temps où je compte 240 de ma corde qui a une coudée de longueur ; en prenant les carrés des deux nombres, 20 et 240, à savoir 400 et 57600, alors, dis-je, la longue ficelle contient 57600 unités d’une longueur telle que mon pendule en contiendra 400 ; et puisque la longueur de (97) ma ficelle est d’une coudée, je diviserai 57600 par 400 et j’obtiendrai ainsi 144. En conséquence j’appellerai la longueur de la ficelle 144 coudées.
SALV. Vous ne le manquerez pas non plus d’une largeur de main, surtout si vous observez un grand nombre de vibrations.
SAGR. Vous me donnez souvent l’occasion d’admirer la richesse et la profusion de la nature lorsque, de phénomènes aussi communs et même insignifiants, vous tirez des faits non seulement frappants et nouveaux, mais souvent très éloignés de ce que nous aurions imaginé. Des milliers de fois j’ai observé des vibrations surtout dans des églises où des lampes, suspendues par de longues cordes, avaient été mises en mouvement par inadvertance ; mais tout ce que je pouvais déduire de ces observations était que l’opinion de ceux qui pensent que de telles vibrations sont entretenues par le médium est hautement improbable : car, dans ce cas, l’air doit avoir un jugement considérable et rien d’autre à faire que de tuer. le temps en faisant aller et venir une masse pendante avec une parfaite régularité. Mais je n’ai jamais rêvé d’apprendre qu’un seul et même corps, quand [141] suspendu à une ficelle de cent coudées de long et écarté sur un arc de 90° ou même 1° ou 1/2° emploierait le même temps à passer par le moins que par le plus grand de ces arcs ; et, en effet, cela me semble encore quelque peu improbable. Maintenant, j’attends d’entendre comment ces mêmes phénomènes simples peuvent fournir des solutions à ces problèmes acoustiques - des solutions qui seront au moins partiellement satisfaisantes.
SALV. Il faut tout d’abord observer que chaque pendule a son propre temps de vibration si défini et déterminé qu’il n’est pas possible de le faire mouvoir avec une autre période [ altro periodo ] que celle que la nature lui a donnée. Car que chacun prenne dans sa main la corde à laquelle est attaché le poids et essaye, autant qu’il lui plaît, d’augmenter ou de diminuer la fréquence [ frequenza] de ses vibrations ; ce sera du temps perdu. D’autre part, on peut conférer un mouvement même à un pendule lourd qui est au repos en soufflant simplement contre lui ; en répétant ces coups avec une fréquence qui est la même que celle du pendule, on peut imprimer un mouvement considérable. Supposons que par la (98) première bouffée nous ayons déplacé le pendule de la verticale de, disons, un demi-pouce ; puis si, après que le pendule est revenu et est sur le point de commencer la seconde vibration, nous ajoutons une seconde bouffée, nous communiquerons un mouvement supplémentaire ; et ainsi de suite avec d’autres coups pourvu qu’ils soient appliqués au bon moment, et non quand le pendule vient vers nous puisque dans ce cas le souffle gênerait plutôt qu’il ne favoriserait le mouvement. En continuant ainsi avec de nombreuses impulsions [ impulsi ] nous communiquons au pendule un tel élan [impeto ] qu’une plus grande impulsion [ forza ] que celle d’un seul souffle sera nécessaire pour l’arrêter.
SAGR. Même enfant, j’ai observé qu’un seul homme en donnant ces impulsions au bon moment était capable de faire sonner une cloche si grosse que lorsque quatre, voire six hommes saisissaient la corde et essayaient de l’arrêter, ils étaient soulevés de terre. , tous ensemble incapables de contrebalancer l’élan qu’un seul homme, par des tractions bien chronométrées, lui avait donné.
SALV. Votre illustration éclaire mon propos et est tout aussi propre, que ce que je viens de dire, à expliquer le phénomène merveilleux des cordes du cistre [ cetera ] ou de l’épinette [142] [ cimbalo ], à savoir le fait que une corde vibrante mettra en mouvement une autre corde et la fera sonner non seulement lorsque celle-ci est à l’unisson, mais même lorsqu’elle diffère de la première d’une octave ou d’une quinte. Une corde qui a été frappée se met à vibrer et continue le mouvement tant qu’on entend le son [ risonanza] ; ces vibrations font vibrer et trembler l’air immédiatement environnant ; alors ces ondulations dans l’air s’étendent loin dans l’espace et frappent non seulement toutes les cordes d’un même instrument mais même celles des instruments voisins. Comme la corde qui s’accorde à l’unisson avec celle qui est pincée est capable de vibrer à la même fréquence, elle acquiert, à la première impulsion, une légère oscillation ; après avoir reçu deux, trois, vingt impulsions ou plus, délivrées à des intervalles convenables, elle accumule finalement un mouvement vibratoire égal à celui de la corde pincée, comme le montre clairement l’égalité d’amplitude de leurs vibrations. Cette ondulation se dilate dans l’air et met en vibration non seulement les cordes, mais aussi tout autre corps (99) qui se trouve avoir la même période que celle de la corde pincée. En conséquence, si nous attachons au côté d’un instrument de petits morceaux de soie ou d’autres corps flexibles, nous observerons que, lorsqu’une épinette retentit, ne répondent que les morceaux qui ont la même période que la corde qui a été frappée ; les pièces restantes ne vibrent pas en réponse à cette corde, et les pièces précédentes ne répondent à aucune autre tonalité.
Si l’on incline la corde de base d’un alto assez intelligemment et que l’on approche un gobelet de verre fin et mince ayant le même ton [ tuono] comme celle de la corde, ce gobelet vibrera et résonnera de manière audible. Que les ondulations du médium soient largement dispersées autour du corps sonore est démontré par le fait qu’un verre d’eau peut être amené à émettre un son simplement par le frottement du bout du doigt sur le bord du verre ; car dans cette eau se produit une série de vagues régulières. Le même phénomène s’observe mieux en fixant la base du gobelet sur le fond d’un vase d’eau assez grand rempli presque jusqu’au bord du gobelet ; car si, comme précédemment, on fait sonder le verre par frottement du doigt, on verra des ondulations se propager avec la plus grande régularité et avec une grande vitesse à de grandes distances autour du verre. J’ai souvent remarqué, en faisant ainsi sonner un assez [143] grand verre presque plein d’eau, que d’abord les vagues sont espacées avec une grande uniformité, et quand, comme il arrive quelquefois, le ton du verre saute d’une octave au-dessus, j’ai constaté qu’à ce moment chacune des ondes précitées se divise en deux ; phénomène qui montre bien que le rapport mis en jeu dans l’octave [forma dell’ ottava ] est deux.
SAGR. Plus d’une fois j’ai observé la même chose, à ma grande joie et aussi à mon profit. J’ai longtemps été perplexe sur ces différentes harmonies, car les explications données jusqu’ici par les savants de la musique m’ont paru insuffisamment concluantes. Ils nous disent que le diapason, c’est-à-dire l’octave, comporte le rapport de deux, que le diapente que nous appelons quinte comporte un rapport de 3:2, etc. ; parce que si l’on fait retentir la corde à vide d’un monocorde, puis qu’on place un chevalet au milieu et que l’on fait retentir la demi-longueur (100), on entend l’octave ; et si le chevalet est placé à 1/3 de la longueur de la corde, alors en pinçant d’abord la corde à vide et ensuite aux 2/3 de sa longueur, la quinte est donnée ; pour cette raison, ils disent que l’octave dépend du rapport de deux à un [contenuta tra’l due e l’uno] et le cinquième sur le rapport de trois à deux. Cette explication ne m’impressionne pas comme suffisante pour établir 2 et 3/2 comme les rapports naturels de l’octave et de la quinte ; et ma raison de le penser est la suivante. Il existe trois manières différentes d’aiguiser le son d’une corde, à savoir en la raccourcissant, en l’étirant et en la rendant plus fine. Si la tension et la grosseur de la corde restent constantes, on obtient l’octave en la raccourcissant de moitié, c’est-à-dire en faisant retentir d’abord la corde à vide, puis la moitié de celle-ci ; mais si la longueur et la taille restent constantes et que l’on essaie de produire l’octave en s’étirant, on trouvera qu’il ne suffit pas de doubler le poids de l’étirement ; il doit être quadruplé ; de sorte que, si la note fondamentale est produite par un poids d’une livre, il en faudra quatre pour faire ressortir l’octave.
Et enfin si la longueur et la tension restent constantes, tandis qu’on change la grosseur* de la corde on trouvera que pour produire l’octave la grosseur doit être réduite à 1/4 de celle qui a donné la fondamentale. Et ce que j’ai dit concernant l’octave, à savoir que son rapport dérivé de la tension et de la taille de la corde est le carré de celui dérivé de la longueur, s’applique également à tous les autres intervalles musicaux [ intervalli [144 ] musici]. Ainsi, si l’on veut produire une quinte en changeant la longueur, on trouve que le rapport des longueurs doit être sesquialteral, c’est-à-dire qu’on fait entendre d’abord la corde à vide, puis les deux tiers ; mais s’il souhaite produire ce même résultat en étirant ou en amincissant la corde alors il devient nécessaire de mettre au carré le rapport 3/2 c’est-à-dire en prenant 9/4 [dupla sesquiquarta ] ; ainsi, si la fondamentale exige un poids de 4 livres, la note la plus haute ne sera pas produite par 6, mais par 9 livres ; il en est de même pour la taille, la corde qui donne la fondamentale est plus grande que celle qui donne la quinte dans le rapport de 9 à 4.
Compte tenu de ces faits, je ne vois aucune raison pour laquelle ces sages (101) philosophes devraient adopter 2 plutôt que 4 comme rapport de l’octave, ou pourquoi, dans le cas de la quinte, ils devraient employer le rapport sesquialteral, 3/2, plutôt que celle du 9/4. Puisqu’il est impossible de compter les vibrations d’une corde qui sonne à cause de sa haute fréquence, j’aurais encore eu des doutes quant à savoir si une corde, émettant l’octave supérieure, faisait deux fois plus de vibrations dans le même temps qu’une corde donnant la fondamental, n’eût été le fait suivant, à savoir qu’à l’instant où le ton saute à l’octave, les ondes qui accompagnent constamment le verre vibrant se divisent en ondes plus petites qui ont exactement la moitié de la longueur des premières.
SALV. C’est une belle expérience qui permet de distinguer individuellement les ondes produites par les vibrations d’un corps sonore, qui se propagent dans l’air, apportant au tympan de l’oreille un stimulus que l’esprit traduit en son. Mais puisque ces vagues dans l’eau ne durent que tant que le frottement du doigt continue et ne sont pas, même alors, constantes mais se forment et disparaissent toujours, ne serait-ce pas une belle chose si l’on avait la capacité de produire des vagues qui persister longtemps, voire des mois et des années, de manière à pouvoir facilement les mesurer et les compter ?
SAGR. Une telle invention forcerait, je vous l’assure, mon admiration.
SALV. L’appareil est celui que j’ai rencontré par accident ; mon rôle consiste simplement à l’observer et à apprécier sa valeur comme confirmation de quelque chose auquel j’avais donné une profonde considération ; et pourtant le dispositif est, en soi, assez courant. Comme je grattais une plaque de laiton avec un ciseau de fer [145] aiguisé afin d’en enlever quelques taches et que je faisais passer le ciseau assez rapidement dessus, j’ai entendu une ou deux fois, pendant de nombreux coups, entendre la plaque émettre un son assez fort et sifflement clair ; en regardant plus attentivement la plaque, j’ai remarqué une longue rangée de fines stries parallèles et équidistantes les unes des autres. En grattant encore et encore avec le ciseau, je remarquai que ce n’était que lorsque la plaque émettait ce sifflement qu’il y avait des marques sur elle ; quand le grattage n’était pas accompagné (102) de cette note sifflante il n’y avait pas la moindre trace de telles marques. En répétant le tour plusieurs fois et en exécutant le coup, tantôt avec plus tantôt avec moins de vitesse, le sifflement suivait avec un ton qui était proportionnellement plus haut et plus bas. J’ai noté aussi que les marques faites lorsque les tons étaient plus élevés étaient plus rapprochées ; mais quand les tons étaient plus profonds, ils étaient plus éloignés. J’ai également observé que lorsque, lors d’un seul coup, la vitesse augmentait vers la fin, le son devenait plus aigu et les stries se rapprochaient, mais toujours de manière à rester nettement définies et équidistantes. D’ailleurs, chaque fois que le coup s’accompagnait de sifflements, je sentais le ciseau trembler sous ma prise et une sorte de frisson me parcourir la main. Bref, nous voyons et entendons dans le cas du ciseau précisément ce qui est vu et entendu dans le cas d’un chuchotement suivi d’une voix forte ; car, lorsque le souffle est émis sans produire de tonalité, on ne sent ni dans la gorge ni dans la bouche aucun mouvement à proprement parler en comparaison de celui qui se fait sentir dans le larynx et la partie supérieure de la gorge lorsqu’on utilise la voix , surtout lorsque les tons employés sont graves et forts.
Parfois j’ai aussi observé parmi les cordes de l’épinette deux qui étaient à l’unisson avec deux des sons produits par le grattage précité ; et parmi ceux qui différaient le plus de hauteur, j’en ai trouvé deux qui étaient séparés par un intervalle d’une quinte parfaite. En mesurant la distance entre les marques produites par les deux grattages, on a constaté que l’espace qui contenait 45 de l’un contenait 30 de l’autre, ce qui est précisément le rapport attribué au cinquième.
Mais maintenant, avant d’aller plus loin, je veux attirer votre attention sur le fait que, des trois méthodes pour aiguiser un son, celle que vous appelez la finesse de la corde doit être attribuée à son poids. Tant que le matériau de [146] la corde est inchangé, la taille et le poids varient dans le même rapport. Ainsi dans le cas des cordes en boyau, on obtient l’octave en faisant une corde 4 fois plus grosse que l’autre ; de même, dans le cas du laiton, un fil doit avoir 4 fois la taille de l’autre ; mais si maintenant nous voulons obtenir l’octave d’une corde en boyau, en utilisant du fil de laiton (103), nous devons le faire, non pas quatre fois plus grand, mais quatre fois plus lourd que la corde en boyau : en ce qui concerne la taille donc la corde métallique n’est pas quatre fois plus grosse mais quatre fois plus lourde. Le fil peut donc être encore plus fin que le boyau malgré le fait que ce dernier donne la note la plus aiguë. Donc, si deux épinettes sont enfilées, l’une avec du fil d’or, l’autre avec du laiton, et si les cordes correspondantes ont chacune la même longueur, le même diamètre et la même tension, il s’ensuit que l’instrument enfilé d’or aura une hauteur d’environ un cinquième inférieure à la autre parce que l’or a une densité presque deux fois supérieure à celle du laiton. Et ici, il convient de noter que c’est le poids plutôt que la taille d’un corps en mouvement qui offre une résistance au changement de mouvement. et de tension, il s’ensuit que l’instrument enfilé d’or aura une hauteur d’environ un cinquième inférieure à l’autre parce que l’or a une densité presque double de celle du laiton. Et ici, il convient de noter que c’est le poids plutôt que la taille d’un corps en mouvement qui offre une résistance au changement de mouvement. et de tension, il s’ensuit que l’instrument enfilé d’or aura une hauteur d’environ un cinquième inférieure à l’autre parce que l’or a une densité presque double de celle du laiton. Et ici, il convient de noter que c’est le poids plutôt que la taille d’un corps en mouvement qui offre une résistance au changement de mouvement.velocità del moto ] contrairement à ce que l’on pourrait penser à première vue. Car il semble raisonnable de croire qu’un corps qui est grand et léger devrait subir un plus grand retard de mouvement en écartant le médium qu’un corps qui est mince et lourd ; pourtant ici c’est exactement le contraire qui est vrai.
Revenant maintenant au sujet initial de la discussion, j’affirme que le rapport d’un intervalle musical n’est pas immédiatement déterminé soit par la longueur, la taille ou la tension des cordes, mais plutôt par le rapport de leurs fréquences, c’est-à-dire par le nombre de des impulsions d’ondes d’air qui frappent le tympan de l’oreille, le faisant également vibrer à la même fréquence. Ce fait établi, on s’expliquera peut-être pourquoi certaines paires de notes, différant par la hauteur, produisent une sensation agréable, d’autres un effet moins agréable, et d’autres encore une sensation désagréable. Une telle explication reviendrait à une explication des consonances plus ou moins parfaites et des dissonances. La sensation désagréable produite par ce dernier provient, je pense, des vibrations discordantes de deux tons différents qui frappent l’oreille hors du temps.proportionnellement ]. Particulièrement dure est la dissonance entre des notes dont les fréquences sont incommensurables ; un tel cas se produit lorsque l’on a deux cordes à l’unisson et que l’une d’elles sonne à vide, avec une partie de l’autre [147] qui a le même rapport à sa longueur entière que le côté d’un carré à la diagonale ; cela donne une dissonance similaire (104) à la quarte augmentée ou quinte diminuée [ tritono o semidiapente ].
Les consonances agréables sont des paires de tons qui frappent l’oreille avec une certaine régularité ; cette régularité consiste dans le fait que les impulsions délivrées par les deux tonalités, dans le même intervalle de temps, doivent être en nombre commensurable, afin de ne pas tenir le tympan en perpétuel tourment, se pliant dans deux directions différentes pour céder à les impulsions toujours discordantes.
La première et la plus agréable consonance est donc l’octave puisque, pour chaque impulsion donnée au tympan par la corde grave, la corde aiguë en délivre deux ; en conséquence, à chaque autre vibration de la corde supérieure, les deux impulsions sont délivrées simultanément de sorte que la moitié du nombre total d’impulsions sont délivrées à l’unisson. Mais quand deux cordes sont à l’unisson leurs vibrations coïncident toujours et l’effet est celui d’une seule corde ; par conséquent, nous ne l’appelons pas consonance. La quinte est également un intervalle agréable puisque pour deux vibrations de la corde inférieure, la corde supérieure en donne trois, de sorte que, compte tenu du nombre total d’impulsions de la corde supérieure, un tiers d’entre elles frapperont à l’unisson, c’est-à-dire entre chaque paire de des vibrations concordantes interviennent deux vibrations uniques ; et quand l’intervalle est d’une quarte, trois vibrations simples interviennent. Dans le cas où l’intervalle est d’une seconde où le rapport est de 9/8, ce n’est qu’une neuvième vibration de la corde supérieure qui atteint l’oreille simultanément avec l’une des inférieures ; toutes les autres sont discordantes et produisent un effet dur sur l’oreille réceptrice qui les interprète comme des dissonances.
SIMPLICIO. Ne serez-vous pas assez bon pour expliquer cet argument un peu plus clairement ?
SALV. Soit AB la longueur d’une onde [ lo spazio e la dilatazione d’una vibrazione] émise par la corde grave et CD celle d’une corde aiguë qui émet l’octave de AB ; divisez AB au milieu en E. Si les deux cordes commencent leurs mouvements en A et C, il est clair que lorsque la vibration aiguë aura atteint l’extrémité D, l’autre vibration n’aura parcouru que jusqu’à E, qui, n’étant pas un point terminal, n’émettra aucune impulsion ; mais il y a un coup porté en D. Ainsi, lorsque l’une (105) onde revient de D en C, l’autre passe de E en B ; par conséquent, les deux impulsions de B et C frappent simultanément le tympan de l’oreille. En voyant que ces vibrations se répètent encore et encore de la même manière, nous concluons que chaque impulsion alternative de CD tombe à l’unisson avec une de AB. Mais chacune des [148] pulsations aux points terminaux, A et B, est constamment accompagné d’une qui part toujours de C ou toujours de D. Cela est clair car si l’on suppose que les ondes atteignent A et C au même instant, alors, pendant qu’une onde va de A à B, l’autre partira de C à D et retour à C, de sorte que les ondes frappent C et B simultanément ; pendant le passage de l’onde de B à A, la perturbation en C va en D et revient de nouveau en C, de sorte qu’une fois de plus les impulsions en A et C sont simultanées.
Figure 13
Laissez ensuite les vibrations AB et CD être séparées d’un intervalle d’un cinquième, c’est-à-dire d’un rapport de 3/2 ; choisissez les points E et O tels qu’ils divisent la longueur d’onde de la corde inférieure en trois parties égales et imaginez que les vibrations commencent au même instant de chacune des bornes A et C. Il est évident que lorsque l’impulsion a été délivrée au terminal D, l’onde en AB n’a voyagé que jusqu’en O ; le tympan ne reçoit donc que l’impulsion de D. Puis lors du retour d’une vibration de D à C, l’autre passera de O à B puis reviendra à O, produisant une impulsion isolée en B — une impulsion hors du temps mais dont il faut tenir compte.
Or puisque nous avons supposé que les premières pulsations partaient des bornes A et C au même instant, il s’ensuit que la seconde pulsation, isolée en D, s’est produite après un intervalle de temps égal à celui nécessaire pour le passage de C à D ou, qu’est-ce que c’est la même chose, de A à O ; mais la pulsation suivante, celle en B, n’est séparée de la précédente que par la moitié de cet intervalle, c’est-à-dire le temps nécessaire pour passer de O à B. Ensuite, tandis que l’une des vibrations va de O à A, l’autre va de C à D, (106) dont le résultat est que deux pulsations se produisent simultanément en A et D. Des cycles de ce genre se succèdent, c’est-à-dire une impulsion solitaire de la corde inférieure interposée entre deux impulsions solitaires de la corde supérieure. Imaginons maintenant que le temps soit divisé en très petits intervalles égaux ; alors si nous supposons que, pendant les deux premiers de ces intervalles, les perturbations survenues simultanément en A et C ont parcouru jusqu’en O et D et ont produit une impulsion en D ; et si l’on suppose que pendant les troisième et quatrième intervalles une perturbation revient de D en C, produisant une impulsion en C, tandis que l’autre, passant de O en B et revenant en O, produit une impulsion en B ; et si enfin, au cours des cinquième et sixième intervalles, les perturbations voyagent de O et C à A et D, produisant une impulsion à chacun des deux derniers, alors la séquence dans laquelle les impulsions frappent l’oreille sera telle que, si nous commencer à compter le temps à partir de n’importe quel instant où deux impulsions sont simultanées, le tympan recevra, après l’écoulement de deux desdits intervalles, une impulsion solitaire ; à la fin du troisième intervalle, une autre impulsion solitaire [149] ; de même aussi à la fin du quatrième intervalle ; et deux intervalles plus tard, c’est-à-dire à la fin du sixième intervalle, on entendra deux impulsions à l’unisson. Ici se termine le cycle - l’anomalie, pour ainsi dire - qui se répète encore et encore.
SAGR. Je ne peux plus me taire ; car je dois vous exprimer le grand plaisir que j’ai à entendre une explication si complète de phénomènes au sujet desquels j’ai été si longtemps dans les ténèbres. Je comprends maintenant pourquoi l’unisson ne diffère pas d’un seul ton ; Je comprends pourquoi l’octave est l’harmonie principale, mais si semblable à l’unisson qu’on la confond souvent avec elle et aussi pourquoi elle se produit avec les autres harmonies. Il ressemble à l’unisson parce que les pulsations des cordes à l’unisson se produisent toujours simultanément, et celles de la corde inférieure de l’octave sont toujours accompagnées de celles de la corde supérieure ; et parmi celles-ci est interposée une impulsion solitaire à intervalles égaux et de manière à ne produire aucune perturbation ; il en résulte qu’une telle harmonie est un peu trop adoucie et manque de feu. Mais la quinte est caractérisée par ses battements décalés et par l’interposition (107) de deux battements solitaires de la corde supérieure et d’un battement solitaire de la corde inférieure entre chaque couple d’impulsions simultanées ; ces trois pulsations solitaires sont séparées par des intervalles de temps égaux à la moitié de l’intervalle qui sépare chaque paire de battements simultanés des battements solitaires de la corde supérieure. Ainsi l’effet de la quinte est de produire un chatouillement du tympan tel que sa douceur se modifie avec vivacité, donnant à la fois l’impression d’un doux baiser et d’une morsure. ces trois pulsations solitaires sont séparées par des intervalles de temps égaux à la moitié de l’intervalle qui sépare chaque paire de battements simultanés des battements solitaires de la corde supérieure. Ainsi l’effet de la quinte est de produire un chatouillement du tympan tel que sa douceur se modifie avec vivacité, donnant à la fois l’impression d’un doux baiser et d’une morsure. ces trois pulsations solitaires sont séparées par des intervalles de temps égaux à la moitié de l’intervalle qui sépare chaque paire de battements simultanés des battements solitaires de la corde supérieure. Ainsi l’effet de la quinte est de produire un chatouillement du tympan tel que sa douceur se modifie avec vivacité, donnant à la fois l’impression d’un doux baiser et d’une morsure.
SALV. Voyant que vous avez tiré tant de plaisir de ces nouveautés, je dois vous montrer une méthode par laquelle l’œil peut jouir du même jeu que l’oreille. Suspendez trois boules de plomb, ou d’un autre matériau lourd, au moyen de cordes de longueur différente, de sorte que tandis que la plus longue fait deux vibrations, la plus courte en fera quatre et la moyenne trois ; cela aura lieu lorsque la corde la plus longue mesurera 16, soit en largeurs de main, soit dans toute autre unité, la moyenne 9 et la plus courte 4, toutes mesurées dans la même unité.
Maintenant écartez tous ces pendules de la perpendiculaire et relâchez-les au même instant ; vous verrez un curieux jeu de fils se croisant de diverses manières mais tel qu’à la fin d’une quatrième vibration du pendule le plus long, tous les trois arriveront simultanément au même terminus, d’où ils recommenceront à répéter le même cycle . Cette combinaison de vibrations, lorsqu’elle est produite sur les cordes, est précisément celle qui donne l’intervalle de l’octave et la quinte intermédiaire. Si nous employons la même disposition [150] d’appareils mais changeons les longueurs des fils, toujours cependant de manière à ce que leurs vibrations correspondent à celles des intervalles musicaux agréables, nous verrons un croisement différent de ces fils mais toujours tel que,
Si toutefois les vibrations de deux ou plusieurs cordes sont incommensurables de sorte qu’elles ne complètent jamais un nombre défini de vibrations au même instant, ou si elles sont commensurables, elles ne reviennent (108) qu’après un long intervalle de temps et après un grand nombre de vibrations, alors l’œil est troublé par la succession désordonnée des fils croisés. De la même manière, l’oreille est peinée par une suite irrégulière d’ondes aériennes qui frappent le tympan sans ordre fixe.
Mais, messieurs, où avons-nous dérivé pendant ces nombreuses heures attirées par des problèmes divers et des digressions inattendues ? La journée est déjà finie et nous avons à peine effleuré le sujet proposé à la discussion. En fait, nous nous sommes tellement écartés que je ne me souviens que difficilement de notre première introduction et du peu de progrès fait dans la voie des hypothèses et des principes à utiliser dans les démonstrations ultérieures.
SAGR. Ajournons donc pour aujourd’hui, afin que notre esprit puisse se rafraîchir dans le sommeil et que nous puissions revenir demain, s’il vous plaît, et reprendre la discussion de la question principale.
SALV. Je ne manquerai pas d’être ici demain à la même heure, espérant non seulement vous rendre service, mais encore jouir de votre compagnie.
FIN DU PREMIER JOUR.
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